Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
नए कर्ण का वर्ग (35+1=36) होगा, इसलिए \(OQ=\sqrt{36}\)। कर्ण पूछने पर वर्गमूल रूप लिखें। / The square of the new hypotenuse is (35+1=36), so \(OQ=\sqrt{36}\). When the hypotenuse is asked, write the square root form.
पिछले चरण में वर्गमूल के अंदर की संख्या (1) कम होती है। इसलिए \(\sqrt{42}\) से पहले \(\sqrt{41}\) होगा। / In the previous step, the number under the root is (1) less. Therefore, \(\sqrt{41}\) comes before \(\sqrt{42}\).
(r)वें त्रिभुज का कर्ण \(\sqrt{r+1}\) होता है। इसलिए (18)वें त्रिभुज का कर्ण \(\sqrt{19}\) है। / The hypotenuse of the (r)th triangle is \(\sqrt{r+1}\). Therefore, the (18)th triangle has hypotenuse \(\sqrt{19}\).
\(\sqrt{2}\) पहला त्रिभुज देता है, इसलिए \(\sqrt{48}\) तक त्रिभुजों की संख्या (48-1=47) होगी। गणना में आरंभिक \(\sqrt{1}\) को अलग रखें। / \(\sqrt{2}\) is given by the first triangle, so up to \(\sqrt{48}\), the number of triangles is (48-1=47). Keep the initial \(\sqrt{1}\) separate in counting.
लगातार कर्णों में वर्गमूल के अंदर की संख्याएं (1) के अंतर से बढ़ती हैं। इसलिए \(\sqrt{22},\sqrt{23},\sqrt{24}\) सही क्रम है। / In consecutive hypotenuses, the numbers under the roots increase by (1). Therefore, \(\sqrt{22},\sqrt{23},\sqrt{24}\) is the correct order.
पाइथागोरस प्रमेय से \(OQ^2=63+1=64\)। प्रश्न \(OQ^2\) पूछता है, इसलिए उत्तर (64) है। / By Pythagoras theorem, \(OQ^2=63+1=64\). The question asks for \(OQ^2\), so the answer is (64).
(\(\sqrt{30}\)2+12=31), इसलिए \(\sqrt{30}\) पर लंब बनता है। अगले वर्गमूल के लिए पिछले अंदर मान को पहचानें। / (\(\sqrt{30}\)2+12=31), so the perpendicular is drawn on \(\sqrt{30}\). For the next square root, identify the previous inner value.
A. लंबाइयों का अंतर (1) नहीं, उनके वर्गों का अंतर (1) है/The difference of lengths is not (1), the difference of their squares is (1)
Explanation
Simple Explanation
(\(\sqrt{11}\)2-\(\sqrt{10}\)2=1), लेकिन \(\sqrt{11}-\sqrt{10}\neq1\)। परीक्षा में लंबाई और वर्ग में अंतर समझें। / (\(\sqrt{11}\)2-\(\sqrt{10}\)2=1), but \(\sqrt{11}-\sqrt{10}\neq1\). In exams, understand the difference between length and square.
\(\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=6\sqrt{2}\)। पूर्ण वर्ग गुणनखंड निकालना सरल करने का अच्छा तरीका है। / \(\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=6\sqrt{2}\). Taking out the perfect square factor is a good way to simplify.
\(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) है और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। इसलिए \(\sqrt{50}\) अपरिमेय संख्या है। / \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), and \(\sqrt{2}\) is irrational. Therefore, \(\sqrt{50}\) is an irrational number.
\(\sqrt{49}=7\), जो प्राकृतिक संख्या है। पूर्ण वर्गों के वर्गमूल प्राकृतिक संख्या हो सकते हैं। / \(\sqrt{49}=7\), which is a natural number. Square roots of perfect squares can be natural numbers.
अगले चरण में अंदर की संख्या (1) बढ़ती है, इसलिए \(\sqrt{81}\) बनेगा। सर्पिल क्रम में कोई संख्या नहीं छोड़ता। / In the next step, the inner number increases by (1), so \(\sqrt{81}\) is formed. The spiral does not skip numbers in order.
\(OQ^2=a+1\), इसलिए \(OQ=\sqrt{a+1}\)। सामान्य रूप में भी पाइथागोरस प्रमेय ही लागू होता है। / \(OQ^2=a+1\), so \(OQ=\sqrt{a+1}\). Even in general form, Pythagoras theorem applies.
B. \(\sqrt{98}\) और \(\sqrt{100}\)/\(\sqrt{98}\) and \(\sqrt{100}\)
Explanation
Simple Explanation
क्रम में अंदर की संख्या (1) घटती और (1) बढ़ती है। इसलिए \(\sqrt{99}\) के पहले \(\sqrt{98}\) और बाद में \(\sqrt{100}\) होगा। / In order, the inner number decreases by (1) before and increases by (1) after. So \(\sqrt{98}\) comes before \(\sqrt{99}\), and \(\sqrt{100}\) comes after it.
\(\sqrt{121}=11\), क्योंकि \(11^2=121\)। पूर्ण वर्ग पहचानना समय बचाता है। / \(\sqrt{121}=11\), because \(11^2=121\). Identifying perfect squares saves time.
हर नए चरण में अंदर की संख्या (1) बढ़ती है, इसलिए (8+5=13)। अंतिम कर्ण \(\sqrt{13}\) होगा। / At each new step, the inner number increases by (1), so (8+5=13). The final hypotenuse is \(\sqrt{13}\).
(7) चरण पीछे जाने पर (29-7=22) मिलता है। इसलिए शुरुआत का कर्ण \(\sqrt{22}\) था। / Going (7) steps backward gives (29-7=22). Therefore, the starting hypotenuse was \(\sqrt{22}\).
\(\sqrt{54}=\sqrt{9\times6}=3\sqrt{6}\)। सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड चुनें। / \(\sqrt{54}=\sqrt{9\times6}=3\sqrt{6}\). Choose the greatest perfect square factor.
B. पिछले कर्ण पर (1) इकाई का लंब बनाना/Drawing a (1) unit perpendicular to the previous hypotenuse
Explanation
Simple Explanation
मुख्य रचना पिछले कर्ण पर (1) इकाई का लंब बनाने पर निर्भर करती है। इसी से अगला समकोण त्रिभुज बनता है। / The main construction depends on drawing a (1) unit perpendicular to the previous hypotenuse. This creates the next right triangle.
B. नहीं, दिशा बदलती है क्योंकि प्रत्येक नया लंब पिछले कर्ण पर बनता है/No, the direction changes because each new perpendicular is drawn on the previous hypotenuse
Explanation
Simple Explanation
हर नए चरण में लंब पिछले कर्ण पर बनता है, इसलिए दिशा धीरे-धीरे बदलती है। सर्पिल इसी घुमाव से बनता है। / At each new step, the perpendicular is drawn on the previous hypotenuse, so the direction gradually changes. The spiral is formed by this turning.
B. नहीं, क्योंकि पाइथागोरस प्रमेय के लिए समकोण जरूरी है/No, because a right angle is necessary for Pythagoras theorem
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{16}\) तभी निश्चित होगा जब नया खंड पिछले कर्ण पर लंब हो। समकोण के बिना पाइथागोरस प्रमेय नहीं लगेगा। / \(\sqrt{16}\) is certain only when the new segment is perpendicular to the previous hypotenuse. Without a right angle, Pythagoras theorem cannot be applied.
अंदर की संख्या (3) से (7) तक (4) बढ़ती है। इसलिए (4) नए चरण चाहिए। / The inner number increases from (3) to (7) by (4). Therefore, (4) new steps are needed.
\(\sqrt{90}=\sqrt{9\times10}=3\sqrt{10}\)। पूर्ण वर्ग (9) को बाहर निकालें। / \(\sqrt{90}=\sqrt{9\times10}=3\sqrt{10}\). Take the perfect square (9) outside.
(\(\sqrt{26}\)2=26) और \(1^2=1\), इसलिए योग (27) है। यही \(\sqrt{27}\) बनाने का चरण है। / (\(\sqrt{26}\)2=26) and \(1^2=1\), so the sum is (27). This is the step to form \(\sqrt{27}\).
अगला कर्ण \(\sqrt{101}\) होगा, जो सरल पूर्णांक नहीं है। \(\sqrt{100}=10\) के बाद भी क्रम \(\sqrt{101}\) से चलता है। / The next hypotenuse is \(\sqrt{101}\), which is not a simple integer. Even after \(\sqrt{100}=10\), the sequence continues with \(\sqrt{101}\).
A. सर्पिल से मिली दूरी को कंपास से संख्या रेखा पर चिह्नित किया जा सकता है/The distance obtained from the spiral can be marked on the number line using a compass
Explanation
Simple Explanation
सर्पिल सटीक दूरी देता है, जिसे कंपास से संख्या रेखा पर स्थानांतरित किया जा सकता है। यह अपरिमेय संख्याओं को दिखाने में उपयोगी है। / The spiral gives an exact distance that can be transferred to the number line with a compass. It is useful for showing irrational numbers.
(3) चरण पहले जाने पर (65-3=62) मिलता है। इसलिए कर्ण \(\sqrt{62}\) था। / Going (3) steps back gives (65-3=62). Therefore, the hypotenuse was \(\sqrt{62}\).
C. हर नए लंब खंड की लंबाई (2)/Length of every new perpendicular segment is (2)
Explanation
Simple Explanation
मानक सर्पिल में हर नया लंब खंड (1) इकाई का होता है। (2) इकाई लेने से अलग क्रम बनेगा। / In the standard spiral, every new perpendicular segment is (1) unit long. Taking (2) units would create a different sequence.
\(\sqrt{120}=\sqrt{4\times30}=2\sqrt{30}\) भी सही है, लेकिन \(\sqrt{120}=\sqrt{4\times30}\) से और बड़ा पूर्ण वर्ग नहीं निकलता। विकल्पों में \(2\sqrt{30}\) नहीं सही दिया गया है, इसलिए ध्यान से जांचें। / \(\sqrt{120}=\sqrt{4\times30}=2\sqrt{30}\) is simplest, while \(4\sqrt{15}\) squares to (240). Check each option carefully.
\(\sqrt{120}=\sqrt{4\times30}=2\sqrt{30}\)। विकल्पों को वर्ग करके भी जांच सकते हैं। / \(\sqrt{120}=\sqrt{4\times30}=2\sqrt{30}\). You can also check options by squaring them.
\(\sqrt{2}\) पहला कर्ण है, इसलिए (25)वां कर्ण \(\sqrt{25+1}=\sqrt{26}\) होगा। गिनती का आरंभ स्पष्ट रखें। / \(\sqrt{2}\) is the first hypotenuse, so the (25)th hypotenuse is \(\sqrt{25+1}=\sqrt{26}\). Keep the starting point of counting clear.
(\(\sqrt{12}\)2+12=13), इसलिए परिणाम \(\sqrt{13}\) होगा। \(\sqrt{14}\) के लिए पहले \(\sqrt{13}\) चाहिए। / (\(\sqrt{12}\)2+12=13), so the result will be \(\sqrt{13}\). To get \(\sqrt{14}\), \(\sqrt{13}\) is needed first.
B. \(\sqrt{144}\) परिमेय है और \(\sqrt{145}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{144}\) is rational and \(\sqrt{145}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{144}=12\) परिमेय है, जबकि (145) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए \(\sqrt{145}\) अपरिमेय है। / \(\sqrt{144}=12\) is rational, while (145) is not a perfect square. Therefore, \(\sqrt{145}\) is irrational.
अंदर की संख्या (40) से (47) तक (7) बढ़ती है। इसलिए (7) नए लंब खंड बनेंगे। / The inner number increases from (40) to (47) by (7). Therefore, (7) new perpendicular segments will be drawn.
पहले समकोण त्रिभुज की दोनों लंब भुजाएं (1) और (1) होती हैं। इसलिए कर्ण \(\sqrt{2}\) होता है। / The first right triangle has perpendicular sides (1) and (1). Therefore, the hypotenuse is \(\sqrt{2}\).
A. सर्पिल में मिली दूरी को कंपास से संख्या रेखा पर स्थानांतरित करें/Transfer the distance obtained in the spiral to the number line using a compass
Explanation
Simple Explanation
सर्पिल \(\sqrt{6}\) की सटीक ज्यामितीय दूरी देता है। कंपास से वही दूरी संख्या रेखा पर रखी जा सकती है। / The spiral gives the exact geometric distance of \(\sqrt{6}\). The same distance can be placed on the number line using a compass.
\(\sqrt{200}=\sqrt{100\times2}=10\sqrt{2}\)। बड़े पूर्ण वर्ग गुणनखंड से सरल रूप जल्दी मिलता है। / \(\sqrt{200}=\sqrt{100\times2}=10\sqrt{2}\). A large perfect square factor gives the simplified form quickly.
\(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4},\sqrt{5}\) कुल (4) कर्ण हैं। गिनती में \(\sqrt{2}\) को पहला कर्ण मानें। / \(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4},\sqrt{5}\) are (4) hypotenuses in total. Count \(\sqrt{2}\) as the first hypotenuse.
\(\sqrt{75}=\sqrt{25\times3}=5\sqrt{3}\)। पूर्ण वर्ग (25) को बाहर निकालें। / \(\sqrt{75}=\sqrt{25\times3}=5\sqrt{3}\). Take the perfect square (25) outside.
\(\sqrt{2}\) से \(\sqrt{9}\) तक (2,3,4,5,6,7,8,9) कुल (8) कर्ण हैं। \(\sqrt{4}\) और \(\sqrt{9}\) पूर्णांक लंबाइयां भी देते हैं। / From \(\sqrt{2}\) to \(\sqrt{9}\), the inner numbers (2,3,4,5,6,7,8,9) give (8) hypotenuses. \(\sqrt{4}\) and \(\sqrt{9}\) also give integer lengths.
\(\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=3\sqrt{3}\)। मूल लंबाई वही है, केवल रूप सरल किया गया है। / \(\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=3\sqrt{3}\). The length is the same, only the form is simplified.
नया कर्ण \(\sqrt{18+1}=\sqrt{19}\) होगा। (19) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए यही सरल रूप है। / The new hypotenuse is \(\sqrt{18+1}=\sqrt{19}\). Since (19) is not a perfect square, this is already the simplest form.
\(\sqrt{4}=2\) है, जो परिमेय संख्या है। सर्पिल में बने सभी वर्गमूल अपरिमेय नहीं होते। / \(\sqrt{4}=2\), which is a rational number. Not all square roots formed in the spiral are irrational.
(m)वें त्रिभुज का कर्ण \(\sqrt{m+1}\) होता है। इसलिए (m+1=46) से (m=45)। / The hypotenuse of the (m)th triangle is \(\sqrt{m+1}\). Thus (m+1=46), so (m=45).
\(\sqrt{4}=2\), \(\sqrt{9}=3\), और \(\sqrt{16}=4\) पूर्णांक हैं। इसलिए कुल (3) पूर्णांक लंबाइयां मिलेंगी। / \(\sqrt{4}=2\), \(\sqrt{9}=3\), and \(\sqrt{16}=4\) are integers. Therefore, (3) integer lengths are obtained.
A. \(अगला कर्ण (=\sqrt{\)पिछले कर्ण का वर्ग+1})/\(Next hypotenuse (=\sqrt{\)square of previous hypotenuse+1})
Explanation
Simple Explanation
\(पाइथागोरस प्रमेय से अगला कर्ण (\sqrt{(\)पिछला कर्ण)2+1}) होता है। इसलिए वर्ग और वर्गमूल दोनों सही जगह होने चाहिए। \(/ By Pythagoras theorem, the next hypotenuse is (\sqrt{(\)previous hypotenuse\()^2+1}). So both square and square root must be in the correct places.\)
लंबाई (5) होने पर वर्ग (25) होगा, इसलिए कर्ण \(\sqrt{25}\) के रूप में दिखेगा। पूर्णांक लंबाइयों को उनके वर्गमूल रूप से जोड़ें। / If the length is (5), its square is (25), so the hypotenuse appears as \(\sqrt{25}\). Connect integer lengths with their square root forms.
वर्गमूल सर्पिल में हर नया कर्ण समकोण त्रिभुज से बनता है। इसलिए इसका मुख्य आधार पाइथागोरस प्रमेय है। / In a square root spiral, every new hypotenuse is formed using a right triangle. Therefore, its main basis is Pythagoras theorem.
