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बहुपद की घात उस चर की सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक अशून्य हो। यहाँ \(x^3\) का गुणांक 2 है, जो (h) के किसी भी वास्तविक मान के लिए अशून्य रहता है। इसलिए बहुपद की घात हमेशा 3 होगी। (h=5) रखने पर केवल (x) का पद समाप्त होता है, \(x^3\) का पद नहीं। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करते समय सबसे बड़ी घात वाले पद के गुणांक को पहले जाँचें। / The degree of a polynomial is the highest power of the variable having a non-zero coefficient. Here, the coefficient of \(x^3\) is 2, which remains non-zero for every real value of (h). Hence, the polynomial always has degree 3. For (h=5), only the (x) term disappears; the \(x^3\) term does not. Exam tip: To determine degree, first check the coefficient of the highest-power term.
A. वास्तव में यह \(x^3+1\) बनता है, इसलिए यह बहुपद है/It actually simplifies to \(x^3+1\), so it is a polynomial.
Explanation
Simple Explanation
अंश का गुणनखंड करने पर \(x^5+x^2=x^2(x^3+1)\) मिलता है। इसलिए \(\frac{x^5+x^2}{x^2}=x^3+1\), जहाँ \(x\ne0\) है। \(x^3+1\) में चर की घातें 3 और 0 हैं, जो दोनों अऋणात्मक पूर्णांक हैं; अतः यह बहुपद है। विकल्प B में \(x^2\) से भाग देने का गलत सरलीकरण किया गया है। परीक्षा टिप: भिन्नात्मक बीजीय व्यंजक को सरल करने से पहले अंश का गुणनखंड कीजिए। / Factor the numerator: \(x^5+x^2=x^2(x^3+1)\). Hence \(\frac{x^5+x^2}{x^2}=x^3+1\), for \(x\ne0\). The exponents of the variable in \(x^3+1\) are 3 and 0, both non-negative integers, so it is a polynomial. Option B comes from incorrect division by \(x^2\). Exam tip: factor the numerator before cancelling a common factor in an algebraic fraction.
B. यह बहुपद नहीं है क्योंकि \(\sin x\) बहुपद पद नहीं है/It is not a polynomial because \(\sin x\) is not a polynomial term
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में पद चर की शून्य या धनात्मक पूर्णांक घातों के रूप में होते हैं। \(\sin x\) ऐसा पद नहीं है। / In a polynomial, terms are powers of the variable with non-negative integer exponents. \(\sin x\) is not such a term.
बहुपद की घात उसके उच्चतम घात वाले पद की घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ \(x^2\) का गुणांक \(1\) है और यह \(a\) के किसी भी मान पर शून्य नहीं होता। इसलिए \(p(x)\) की घात सभी वास्तविक \(a\) के लिए \(2\) है। \(a=0\) रखने पर भी \(p(x)=x^2\) रहता है, जिसकी घात \(2\) है। परीक्षा टिप: पैरामीटर वाले बहुपद में सबसे बड़े घात वाले पद का गुणांक पहले जाँचें। / The degree of a polynomial is the highest exponent whose coefficient is non-zero. Here, the coefficient of \(x^2\) is \(1\), and it never becomes zero for any value of \(a\). Hence, \(p(x)\) has degree \(2\) for all real \(a\). Even when \(a=0\), \(p(x)=x^2\), which still has degree \(2\). Exam tip: In a polynomial containing a parameter, first check whether the coefficient of the highest-power term can become zero.
विकल्प B, \(4+\frac{1}{x^5}\), बहुपद नहीं है क्योंकि \(\frac{1}{x^5}=x^{-5}\) होता है। इसमें \(x\) की घात \(-5\) है, जबकि बहुपद में चर की घात केवल गैर-ऋणात्मक पूर्णांक, अर्थात \(0,1,2,\ldots\), हो सकती है। विकल्प C में \(x^0=1\) है, इसलिए वह बहुपद है। परीक्षा टिप: चर हर में हो तो उसे ऋणात्मक घात के रूप में लिखकर जाँचें। / Option B, \(4+\frac{1}{x^5}\), is not a polynomial because \(\frac{1}{x^5}=x^{-5}\). The exponent of \(x\) is \(-5\), whereas exponents of variables in a polynomial must be non-negative integers: \(0,1,2,\ldots\). In option C, \(x^0=1\), so it is a polynomial. Exam tip: If a variable is in the denominator, rewrite it with a negative exponent and check it.
बहुपद के पद हैं: x-6, -2x-4, x-2 और -1। अतः इसमें 4 पद हैं। बहुपद की घात उसके किसी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है, जो यहाँ 6 है। घात 4 नहीं है, क्योंकि x-6 पद मौजूद है। परीक्षा टिप: पदों को जोड़ और घटाव के चिह्नों के आधार पर अलग-अलग गिनें। / The terms of the polynomial are x-6, -2x-4, x-2, and -1. Therefore, it has 4 terms. The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable in any term, which is 6 here. Degree 4 is incorrect because the term x-6 is present. Exam tip: Count terms by separating the expression at addition and subtraction signs.
\(z^2x^4+3zx^2-8\) में \(x\) की घातें \(4\), \(2\) और \(0\) हैं। ये सभी ऋणेतर पूर्णांक हैं, इसलिए यह \(x\) में बहुपद है। यहाँ \(z^2\) तथा \(3z\), \(x\) की घातों के गुणांक हैं। विकल्प A में \(x\) की घात \(-2\) है, विकल्प C में \(x\) हर में है अर्थात उसकी घात \(-1\) है, और विकल्प D में \(x\) की घात \(\frac12\) है; इसलिए ये \(x\) में बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक को \(x\) में बहुपद जाँचते समय केवल \(x\) की घातों को देखें; अन्य अक्षर गुणांक हो सकते हैं। / In \(z^2x^4+3zx^2-8\), the powers of \(x\) are \(4\), \(2\), and \(0\). All are non-negative integers, so it is a polynomial in \(x\). The expressions \(z^2\) and \(3z\) act as coefficients of powers of \(x\). In option A, \(x\) has exponent \(-2\); in option C, \(x\) is in the denominator, so its exponent is \(-1\); and in option D, the exponent of \(x\) is \(\frac12\). Hence, these are not polynomials in \(x\). Exam tip: when testing for a polynomial in \(x\), check the exponents of \(x\); other letters may be coefficients.
घात (0) के लिए \(x^2\) और (x) दोनों के गुणांक शून्य होने चाहिए। (a-2=0) से (a=2) है और (7) बचता है। / For degree (0), the coefficients of both \(x^2\) and (x) must be zero. From (a-2=0), (a=2), and (7) remains.
\(\log x\) चर की शून्य या धनात्मक पूर्णांक घात वाला पद नहीं है। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / \(\log x\) is not a term with a non-negative integer power of the variable. Therefore, it is not a polynomial.
C. यह शून्य बहुपद है जिसकी घात परिभाषित नहीं है/It is the zero polynomial whose degree is not defined
Explanation
Simple Explanation
सभी पदों के गुणांक शून्य हैं, इसलिए यह शून्य बहुपद है। शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं होती। / All terms have zero coefficients, so it is the zero polynomial. The degree of the zero polynomial is not defined.
