Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. \(\sqrt{2}\) परिमेय है/\(\sqrt{2}\) is rational
Explanation
Simple Explanation
पहले उल्टा मानते हैं कि \(\sqrt{2}\) परिमेय है। फिर इसी से विरोधाभास मिलता है। / First we assume the opposite that \(\sqrt{2}\) is rational. Then a contradiction is obtained.
B. \(\sqrt{3}\) परिमेय है/\(\sqrt{3}\) is rational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास विधि में पहले \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानते हैं। बाद में यह मान्यता गलत सिद्ध होती है। / In contradiction method \(\sqrt{3}\) is first assumed rational. Later this assumption is shown false.
परिमेय संख्या को सरलतम रूप में लिखा जाता है। इसलिए (a) और (b) सहभाज्य तथा \(b\neq0\) होते हैं। / A rational number is written in lowest form. So (a) and (b) are coprime and \(b\neq0\).
किसी पूर्णांक का वर्ग सम हो तो वह पूर्णांक भी सम होता है। यह \(\sqrt{2}\) के प्रमाण का मुख्य तथ्य है। / If the square of an integer is even then the integer is also even. This is the key fact in the proof of \(\sqrt{2}\).
अभाज्य गुणनखंड (3) यदि वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है। यही \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में लगता है। / If prime factor (3) divides the square then it also divides the number. This is used in the proof of \(\sqrt{3}\).
(3) से विभाज्य संख्या (3) के गुणज के रूप में लिखी जाती है। इसलिए (p=3r) लिखा जाता है। / A number divisible by (3) is written as a multiple of (3). So (p=3r) is written.
\(q^2\) (3) से विभाज्य है इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य होगा। यही विरोधाभास बनाता है। / Since \(q^2\) is divisible by (3), (q) is also divisible by (3). This creates the contradiction.
A. क्योंकि उससे असंभव स्थिति मिलती है/Because it leads to an impossible situation
Explanation
Simple Explanation
जब मान्यता से विरोधाभास मिलता है तो वह मान्यता गलत होती है। इसी से अपरिमेयता सिद्ध होती है। / When an assumption leads to contradiction, that assumption is false. This proves irrationality.
A. यदि \(a^2\) सम है तो (a) सम है/If \(a^2\) is even then (a) is even
Explanation
Simple Explanation
यह प्रमाण का जरूरी तथ्य है। इससे (a) और बाद में (b) दोनों सम सिद्ध होते हैं। / This is a necessary fact in the proof. It shows (a) and later (b) are both even.
B. यदि \(p^2\) (3) से विभाज्य है तो (p) (3) से विभाज्य है/If \(p^2\) is divisible by (3) then (p) is divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
अभाज्य (3) वर्ग को विभाजित करे तो वह संख्या को भी विभाजित करता है। यही प्रमाण में मुख्य कदम है। / If prime (3) divides the square, it divides the number too. This is the main step in the proof.
A. \(\sqrt{2}\) परिमेय नहीं है/\(\sqrt{2}\) is not rational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास से परिमेय मान्यता गलत सिद्ध होती है। इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / The contradiction proves the rational assumption false. So \(\sqrt{2}\) is irrational.
B. \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं है/\(\sqrt{3}\) is not rational
Explanation
Simple Explanation
परिमेय मान्यता से विरोधाभास मिलता है। इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / The rational assumption leads to contradiction. Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational.
A. \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) मानना/Assuming \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\)
Explanation
Simple Explanation
पहले \(\sqrt{2}\) को सरलतम परिमेय रूप में मानते हैं। फिर वर्ग करने पर \(a^2=2b^2\) मिलता है। / First \(\sqrt{2}\) is assumed in lowest rational form. Then squaring gives \(a^2=2b^2\).
B. \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानना/Assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\)
Explanation
Simple Explanation
पहले \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) रूप में लिखा जाता है। फिर वर्ग करने पर \(p^2=3q^2\) बनता है। / First \(\sqrt{3}\) is assumed rational and written as \(\frac{p}{q}\). Then squaring gives \(p^2=3q^2\).
A. दोनों का सामान्य गुणनखंड केवल (1) है/Their only common factor is (1)
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य का अर्थ है कोई सामान्य गुणनखंड (1) के अलावा न हो। यही बाद में विरोधाभास बनाता है। / Coprime means no common factor except (1). This later creates the contradiction.
B. दोनों का सामान्य गुणनखंड केवल (1) है/Their only common factor is (1)
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा कोई सामान्य गुणनखंड नहीं होता। दोनों का (3) से विभाज्य निकलना इसी से टकराता है। / Coprime numbers have no common factor except (1). Both becoming divisible by (3) clashes with this.
A. परिमेय मानना फिर वर्ग करना फिर दोनों सम का विरोधाभास/Assume rational then square then contradiction of both even
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में पहले परिमेय मानते हैं। फिर वर्ग करके दोनों सम का विरोधाभास मिलता है। / In the proof of \(\sqrt{2}\), it is first assumed rational. Then squaring gives the contradiction of both even.
B. परिमेय मानना फिर वर्ग करना फिर दोनों (3) से विभाज्य का विरोधाभास/Assume rational then square then contradiction of both divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में पहले परिमेय मानते हैं। फिर (3) से विभाज्यता का विरोधाभास मिलता है। / In the proof of \(\sqrt{3}\), it is first assumed rational. Then a divisibility by (3) contradiction is obtained.
जब (a) और (b) दोनों सम हों तो दोनों में (2) सामान्य होता है। यह सहभाज्य होने के विरुद्ध है। / When (a) and (b) are both even, (2) is common to both. This contradicts being coprime.
जब (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हों तो (3) सामान्य गुणनखंड है। यही विरोधाभास है। / When (p) and (q) are both divisible by (3), (3) is a common factor. This is the contradiction.
C. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय सिद्ध हुआ/\(\sqrt{2}\) is proved irrational
Explanation
Simple Explanation
परिमेय मान्यता से विरोधाभास आता है। इसलिए सही निष्कर्ष \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / The rational assumption leads to contradiction. So the correct conclusion is that \(\sqrt{2}\) is irrational.
D. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{3}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
परिमेय मान्यता से सहभाज्य शर्त टूटती है। इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / The rational assumption breaks the coprime condition. Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational.
पूर्णांक के लिए वर्ग की समता संख्या की समता से जुड़ी होती है। वर्ग सम न हो तो संख्या सम नहीं होगी। / For integers, evenness of the square is linked with evenness of the number. If the square is not even, the number is not even.
अभाज्य गुणनखंड (3) वर्ग में तभी आता है जब संख्या में (3) हो। यह \(\sqrt{3}\) के प्रमाण का आधार है। / Prime factor (3) appears in the square only when it appears in the number. This supports the proof of \(\sqrt{3}\).
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में समता और गुणनखंड (2) का उपयोग होता है। इसलिए (2) मुख्य है। / The proof of \(\sqrt{2}\) uses evenness and factor (2). So (2) is central.
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (3) से विभाज्यता का उपयोग होता है। इसलिए (3) मुख्य गुणनखंड है। / The proof of \(\sqrt{3}\) uses divisibility by (3). So (3) is the central factor.
A. ताकि सहभाज्य मान्यता से विरोधाभास दिख सके/So contradiction with coprime assumption can be shown
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में (a) और (b) सहभाज्य होते हैं। बाद में दोनों सम निकलना इसी से विरोधाभास देता है। / In lowest form (a) and (b) are coprime. Later both becoming even contradicts this.
B. ताकि सहभाज्य मान्यता से विरोधाभास दिख सके/So contradiction with coprime assumption can be shown
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में (p) और (q) सहभाज्य होते हैं। दोनों का (3) से विभाज्य होना इसी से विरोधाभास देता है। / In lowest form (p) and (q) are coprime. Both being divisible by (3) contradicts this.
A. \(\sqrt{2}\) परिमेय है/\(\sqrt{2}\) is rational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास केवल परिमेय मान्यता को गलत सिद्ध करता है। इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / The contradiction proves only the rational assumption false. Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational.
B. \(\sqrt{3}\) परिमेय है/\(\sqrt{3}\) is rational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास से परिमेय मान्यता गलत होती है। इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय सिद्ध होता है। / The contradiction makes the rational assumption false. Therefore \(\sqrt{3}\) is proved irrational.
परिमेय मानकर संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है। इसी से सहभाज्य शर्त मिलती है। / After assuming rationality, the number is written in lowest fraction form. This gives the coprime condition.
A. दोनों में विरोधाभास विधि है/Both use contradiction method
Explanation
Simple Explanation
दोनों प्रमाणों में पहले परिमेय मानते हैं। फिर सहभाज्य शर्त से विरोधाभास मिलता है। / Both proofs first assume rationality. Then a contradiction with coprime condition is obtained.
A. \(\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में था/\(\frac{a}{b}\) was in lowest form
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम हों तो भिन्न सरलतम रूप में नहीं रह सकती। इसलिए पहला निष्कर्ष नहीं लेना चाहिए। / If both are even, the fraction cannot be in lowest form. So the first conclusion should not be taken.
A. यह दिखाना कि इन्हें सरलतम परिमेय भिन्न में नहीं लिखा जा सकता/To show they cannot be written as lowest rational fractions
Explanation
Simple Explanation
अपरिमेय संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात में नहीं लिखा जा सकता। दोनों प्रमाण यही बात सिद्ध करते हैं। / An irrational number cannot be written as a ratio of two integers. Both proofs establish this fact.
\(a^2=2b^2\) में दाएँ पक्ष में (2) का गुणनखंड है। इसलिए \(a^2\) सम माना जाता है। / In \(a^2=2b^2\), the right side has factor (2). Therefore \(a^2\) is considered even.
A. यह दिखाना कि (q) भी (3) से विभाज्य है/To show that (q) is also divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
(p=3r) रखने पर आगे \(q^2=3r^2\) मिलता है। इससे (q) भी (3) से विभाज्य सिद्ध होता है। / Taking (p=3r) gives \(q^2=3r^2\) next. This proves (q) is also divisible by (3).
