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There are \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) unordered distinct pairs and each pair-group may be included or excluded.
Step 3
Exam Tip
Hence the number of relations is \(2^6\). चरण 1: स्वपरकता के कारण (4) स्वयं युग्म अनिवार्य हो जाते हैं। चरण 2: अलग तत्वों की बिना क्रम वाली जोड़ियां \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) हैं और हर जोड़ी को दोनों दिशाओं सहित लेना या छोड़ना है। चरण 3: इसलिए कुल संबंध \(2^6\) होंगे।
For each of the \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) unordered distinct pairs, there are three choices.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the count is \(3^6\). चरण 1: स्वपरकता के कारण सभी (4) स्वयं युग्म निश्चित हैं। चरण 2: अलग तत्वों की \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) जोड़ियों में हर जोड़ी के लिए तीन चुनाव हैं। चरण 3: इसलिए संख्या \(3^6\) होगी।
Antisymmetry forbids two-way pairs between distinct elements, so only self-pairs may be chosen.
Step 3
Exam Tip
There are (4) free self-pairs, so the count is \(2^4\). चरण 1: सममितता अलग युग्म के उल्टे युग्म को चाहती है। चरण 2: प्रतिसममितता अलग तत्वों के दोनों दिशाओं वाले युग्मों को रोकती है, इसलिए केवल स्वयं युग्म चुने जा सकते हैं। चरण 3: (4) स्वयं युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^4\) है।
This is the key missing pair, so it must be added. चरण 1: ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) चाहिए। चरण 2: ((1,2)) और ((2,4)) से भी ((1,4)) चाहिए। चरण 3: यही एक मुख्य अनुपस्थित युग्म है, इसलिए इसे जोड़ना होगा।
Total pairs are (4+9=13). चरण 1: वर्ग ({1,2}) से \(2^2=4\) युग्म बनते हैं। चरण 2: वर्ग ({3,4,5}) से \(3^2=9\) युग्म बनते हैं। चरण 3: कुल युग्म (4+9=13) होंगे।
The two classes with two elements each give \(2^2+2^2=8\) pairs.
Step 3
Exam Tip
Total pairs are (1+8=9). चरण 1: एक तत्व वाले वर्ग से \(1^2=1\) युग्म मिलता है। चरण 2: दो-दो तत्व वाले दोनों वर्गों से \(2^2+2^2=8\) युग्म मिलते हैं। चरण 3: कुल युग्म (1+8=9) होंगे।
The even class is ({2,4,6}) and the odd class is ({1,3,5}).
Step 2
Why this answer is correct
Each class has (3) elements, so each gives \(3^2=9\) pairs.
Step 3
Exam Tip
Total pairs are (9+9=18). चरण 1: सम वर्ग ({2,4,6}) और विषम वर्ग ({1,3,5}) बनेंगे। चरण 2: प्रत्येक वर्ग में (3) तत्व हैं, इसलिए प्रत्येक से \(3^2=9\) युग्म मिलते हैं। चरण 3: कुल युग्म (9+9=18) होंगे।
Elements with the same remainder lie in the same class. चरण 1: (2) को (3) से भाग देने पर शेष (2) है। चरण 2: (5) और (8) का भी शेष (2) है। चरण 3: समान शेष वाले तत्व एक ही वर्ग में आते हैं।
Therefore, the class of (1) is ({1,5}). चरण 1: (1) को (4) से भाग देने पर शेष (1) है। चरण 2: (5) को भी (4) से भाग देने पर शेष (1) मिलता है। चरण 3: इसलिए (1) का वर्ग ({1,5}) है।
For the sum to be even, both elements must have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
The odd class ({1,3,5}) gives \(3^2=9\) pairs and the even class ({2,4}) gives \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
Total pairs are (9+4=13). चरण 1: योग सम होने के लिए दोनों तत्व समान समता के होने चाहिए। चरण 2: विषम वर्ग ({1,3,5}) से \(3^2=9\) और सम वर्ग ({2,4}) से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। चरण 3: कुल युग्म (9+4=13) हैं।
The sum is odd when one element is odd and the other is even.
Step 2
Why this answer is correct
There are (3) odd and (2) even elements.
Step 3
Exam Tip
Both directions give \(3\cdot2+2\cdot3=12\) pairs. चरण 1: योग विषम तब होगा जब एक तत्व विषम और दूसरा सम हो। चरण 2: विषम तत्व (3) और सम तत्व (2) हैं। चरण 3: दोनों दिशाओं के कारण कुल युग्म \(3\cdot2+2\cdot3=12\) होंगे।
(2) divides (2) and (6); (3) divides (3) and (6); (6) divides only (6).
Step 3
Exam Tip
Total pairs are (4+2+2+1=9). चरण 1: (1) सभी चार तत्वों को विभाजित करता है। चरण 2: (2), (2) और (6) को विभाजित करता है; (3), (3) और (6) को विभाजित करता है; (6) केवल (6) को विभाजित करता है। चरण 3: कुल युग्म (4+2+2+1=9) हैं।
The greatest element is the one divisible by every element of the set.
Step 2
Why this answer is correct
(2,3,4,6,12) all divide (12).
Step 3
Exam Tip
Hence (12) is the greatest element. चरण 1: सबसे बड़ा तत्व वह है जिसे समुच्चय के सभी तत्व विभाजित करें। चरण 2: (2,3,4,6,12) सभी (12) को विभाजित करते हैं। चरण 3: इसलिए (12) सबसे बड़ा तत्व है।
The least element divides every element in the set.
Step 2
Why this answer is correct
(2) divides (2,4,6,12).
Step 3
Exam Tip
Therefore, (2) is the least element. चरण 1: सबसे छोटा तत्व सभी तत्वों को विभाजित करता है। चरण 2: (2), (2,4,6,12) सभी को विभाजित करता है। चरण 3: इसलिए (2) सबसे छोटा तत्व है।
(2) does not divide (3), and (3) does not divide (2).
Step 3
Exam Tip
Hence this set has no least element. चरण 1: सबसे छोटा तत्व सभी तत्वों को विभाजित करना चाहिए। चरण 2: (2), (3) को नहीं विभाजित करता और (3), (2) को नहीं विभाजित करता। चरण 3: इसलिए इस समुच्चय में कोई सबसे छोटा तत्व नहीं है।
No two-way pair exists between distinct elements, so it is antisymmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) and ((2,4)) require ((1,4)), which is present, so transitivity holds. चरण 1: सभी स्वयं युग्म मौजूद हैं, इसलिए स्वपरकता है। चरण 2: अलग तत्वों के दोनों दिशाओं वाले युग्म नहीं हैं, इसलिए प्रतिसममितता है। चरण 3: ((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) मौजूद है, इसलिए संक्रामकता पूरी है।
A. क्योंकि ((1,4)) अनुपस्थित है/Because ((1,4)) is missing
Step 1
Concept
A partial order requires transitivity.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) and ((3,4)) require ((1,4)).
Step 3
Exam Tip
Since ((1,4)) is missing, transitivity fails. चरण 1: आंशिक क्रम के लिए संक्रामकता जरूरी है। चरण 2: ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) चाहिए। चरण 3: ((1,4)) अनुपस्थित है, इसलिए संक्रामकता टूटती है।
Both ((1,2)) and ((2,1)) are present while \(1\ne2\).
Step 3
Exam Tip
Therefore, antisymmetry definitely fails. चरण 1: सभी स्वयं युग्म हैं, इसलिए स्वपरकता है। चरण 2: ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं जबकि \(1\ne2\)। चरण 3: इसलिए प्रतिसममितता निश्चित रूप से टूटती है।
For a symmetric relation, remember \(R^{-1}=R\). चरण 1: सममितता से \((5,3)\in R\) भी होगा। चरण 2: विलोम लेने पर \((5,3)\in R\) से \((3,5)\in R^{-1}\) मिलता है। चरण 3: सममित संबंध के लिए \(R^{-1}=R\) याद रखना उपयोगी है।
In the inverse relation, the two entries of each pair are interchanged.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)), ((2,4)), and ((4,1)) become ((2,1)), ((4,2)), and ((1,4)).
Step 3
Exam Tip
While finding inverse, reverse entries inside each pair. चरण 1: विलोम संबंध में हर युग्म के दोनों स्थान बदलते हैं। चरण 2: ((1,2)), ((2,4)), ((4,1)) क्रमशः ((2,1)), ((4,2)), ((1,4)) बनते हैं। चरण 3: विलोम निकालते समय युग्मों का क्रम नहीं, प्रत्येक युग्म के भीतर का क्रम बदलता है।
(1) goes to (2), and (2) goes to (4), giving ((1,4)); (2) goes to (3), and (3) goes to (5), giving ((2,5)).
Step 3
Exam Tip
The middle element must match in composition. चरण 1: \(S\circ R\) में पहले (R) और फिर (S) लगाया जाता है। चरण 2: (1) से (2) और (2) से (4) मिलता है, इसलिए ((1,4)) आएगा; (2) से (3) और (3) से (5) मिलता है, इसलिए ((2,5)) आएगा। चरण 3: संयोजन में बीच वाला तत्व समान होना चाहिए।
In \(R\circ R\), ((a,c)) occurs when some (b) satisfies \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) and ((2,1)) give ((1,1)).
Step 3
Exam Tip
In composition, look for connected pairs. चरण 1: \(R\circ R\) में ((a,c)) तब होगा जब कोई (b) हो ताकि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\)। चरण 2: ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) मिलता है। चरण 3: संयोजन में दो जुड़े युग्मों की कड़ी देखें।
A. क्योंकि स्वपरकता नहीं है/Because reflexivity is absent
Step 1
Concept
Every pair has its reverse, so it is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
((1,1)), ((2,2)), and ((3,3)) are absent, so reflexivity is missing.
Step 3
Exam Tip
An equivalence relation needs reflexivity, symmetry and transitivity. चरण 1: हर युग्म का उल्टा युग्म मौजूद है, इसलिए सममितता है। चरण 2: ((1,1)), ((2,2)), ((3,3)) नहीं हैं, इसलिए स्वपरकता नहीं है। चरण 3: समतुल्यता के लिए स्वपरकता, सममितता और संक्रामकता तीनों जरूरी हैं।
Being both symmetric and antisymmetric forbids pairs between distinct elements.
Step 3
Exam Tip
So only ((1,1)), ((2,2)), and ((3,3)) remain, giving (3) pairs. चरण 1: स्वपरकता से तीन स्वयं युग्म जरूरी हैं। चरण 2: सममित और प्रतिसममित दोनों होने पर अलग तत्वों वाले युग्म नहीं हो सकते। चरण 3: इसलिए केवल ((1,1)), ((2,2)), ((3,3)) होंगे, यानी (3) युग्म।
Symmetry and antisymmetry together do not allow non-self pairs.
Step 3
Exam Tip
Hence the relation must be the identity relation. चरण 1: स्वपरकता सभी स्वयं युग्मों को अनिवार्य करती है। चरण 2: सममित और प्रतिसममित साथ होने पर अलग तत्वों वाले युग्म नहीं रह सकते। चरण 3: इसलिए संबंध केवल सर्वसम संबंध होगा।
A. (R) समतुल्यता संबंध है/(R) is an equivalence relation
Step 1
Concept
A universal relation contains all self-pairs, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
It also contains every reverse pair, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
Since all pairs are present, transitivity also holds, making it an equivalence relation. चरण 1: सार्वत्रिक संबंध में सभी स्वयं युग्म होते हैं, इसलिए स्वपरकता है। चरण 2: हर युग्म का उल्टा भी होता है, इसलिए सममितता है। चरण 3: सभी युग्म मौजूद होने से संक्रामकता भी पूरी है, इसलिए यह समतुल्यता संबंध है।
The universal relation contains both ((1,2)) and ((2,1)).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(1\ne2\), antisymmetry fails.
Step 3
Exam Tip
On a set with two or more elements, the universal relation is usually not antisymmetric. चरण 1: सार्वत्रिक संबंध में ((1,2)) और ((2,1)) दोनों होते हैं। चरण 2: \(1\ne2\), इसलिए प्रतिसममितता की शर्त टूटती है। चरण 3: दो या अधिक तत्वों पर सार्वत्रिक संबंध सामान्यतः प्रतिसममित नहीं होता।
A. यह स्वपरक, सममित, संक्रामक और प्रतिसममित है/It is reflexive, symmetric, transitive and antisymmetric
Step 1
Concept
On a one-element set, the only pair is ((1,1)).
Step 2
Why this answer is correct
This pair satisfies all required conditions.
Step 3
Exam Tip
On a singleton set, many relation properties can hold together. चरण 1: एक तत्व वाले समुच्चय पर केवल ((1,1)) युग्म होता है। चरण 2: यही युग्म सभी जरूरी शर्तों को पूरा करता है। चरण 3: एक तत्व वाले समुच्चय में कई गुण एक साथ पूरे हो सकते हैं।
A. क्योंकि ((1,3)) अनुपस्थित है/Because ((1,3)) is missing
Step 1
Concept
((1,2)) and ((2,3)) are in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
Since ((1,3)) is missing, the relation is not transitive. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) संबंध में हैं। चरण 2: संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए। चरण 3: ((1,3)) अनुपस्थित है, इसलिए संक्रामकता नहीं है।
A relation containing all possible pairs is the universal relation. चरण 1: \(A=\{1,2,3\}\) के लिए \(A\times A\) में (9) युग्म होते हैं। चरण 2: दिए गए संबंध में वे सभी (9) युग्म मौजूद हैं। चरण 3: सभी संभव युग्मों वाला संबंध सार्वत्रिक संबंध है।
The singleton classes ({2}) and ({3}) give (1+1) pairs.
Step 3
Exam Tip
Total pairs are (4+1+1=6). चरण 1: वर्ग ({1,4}) से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। चरण 2: ({2}) और ({3}) से (1+1) युग्म मिलते हैं। चरण 3: कुल युग्म (4+1+1=6) हैं।
One class means all elements are related to one another.
Step 2
Why this answer is correct
A class with (4) elements gives \(4^2=16\) ordered pairs.
Step 3
Exam Tip
Hence the relation is universal and has (16) pairs. चरण 1: एक ही वर्ग होने का अर्थ है कि सभी तत्व आपस में संबंधित हैं। चरण 2: (4) तत्वों वाले एक वर्ग से \(4^2=16\) क्रमित युग्म बनते हैं। चरण 3: इसलिए संबंध सार्वत्रिक होगा और उसमें (16) युग्म होंगे।
Singleton classes mean each element is related only to itself.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, only four self-pairs are formed.
Step 3
Exam Tip
This is the identity relation and it has (4) pairs. चरण 1: एक-एक तत्व वाले वर्ग में हर तत्व केवल अपने आप से संबंधित होता है। चरण 2: इसलिए केवल चार स्वयं युग्म बनेंगे। चरण 3: यह सर्वसम संबंध है और इसमें (4) युग्म हैं।
Reflexivity gives self-pairs, and symmetry gives reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)) by transitivity.
Step 3
Exam Tip
To keep symmetry, ((3,1)) is also needed. चरण 1: स्वपरकता से स्वयं युग्म पहले से मिलते हैं और सममितता से उल्टे युग्म मिलते हैं। चरण 2: ((1,2)) और ((2,3)) से संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए। चरण 3: सममितता बनाए रखने के लिए ((3,1)) भी चाहिए।
The pairs are ((1,4)), ((2,3)), ((3,2)), and ((4,1)).
Step 3
Exam Tip
Therefore, there are (4) pairs. चरण 1: (a+b=5) बनाने वाले युग्म खोजें। चरण 2: ((1,4)), ((2,3)), ((3,2)), ((4,1)) मिलते हैं। चरण 3: इसलिए कुल (4) युग्म हैं।
A. यह सममित है पर स्वपरक और संक्रामक नहीं/It is symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
If (a+b=5), then (b+a=5), so it is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
No self-pair exists because (2a=5) is not possible in the set.
Step 3
Exam Tip
((1,4)) and ((4,1)) would require ((1,1)), which is absent, so it is not transitive. चरण 1: (a+b=5) होने पर (b+a=5), इसलिए सममितता है। चरण 2: कोई ((a,a)) नहीं है क्योंकि (2a=5) नहीं हो सकता। चरण 3: ((1,4)) और ((4,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामकता भी नहीं है।
All self-pairs ((1,1)), ((2,2)), and ((3,3)) are included.
Step 2
Why this answer is correct
Pairs with difference (1), namely ((1,2)), ((2,1)), ((2,3)), and ((3,2)), are also included.
Step 3
Exam Tip
Total pairs are (3+4=7). चरण 1: सभी स्वयं युग्म ((1,1)), ((2,2)), ((3,3)) मिलते हैं। चरण 2: अंतर (1) वाले युग्म ((1,2)), ((2,1)), ((2,3)), ((3,2)) भी मिलते हैं। चरण 3: कुल युग्म (3+4=7) हैं।
((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is absent, so transitivity fails. चरण 1: (|a-a|=0), इसलिए स्वपरकता है। चरण 2: (|a-b|=|b-a|), इसलिए सममितता है। चरण 3: ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता नहीं है।
Even difference means the two elements have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
The odd class ({1,3}) gives (4) pairs and the even class ({2,4}) gives (4) pairs.
Step 3
Exam Tip
Total pairs are (8). चरण 1: सम अंतर का अर्थ है कि दोनों तत्व समान समता के हैं। चरण 2: विषम वर्ग ({1,3}) से (4) और सम वर्ग ({2,4}) से (4) युग्म मिलते हैं। चरण 3: कुल युग्म (8) होंगे।
Same parity continues through a chain, so it is transitive. चरण 1: (|a-a|=0) सम है, इसलिए स्वपरकता है। चरण 2: (|a-b|=|b-a|), इसलिए सममितता है। चरण 3: समान समता आगे भी समान समता देती है, इसलिए संक्रामकता है।
From (2), we get three pairs; from (3), two pairs; from (4), one pair.
Step 3
Exam Tip
Total pairs are (4+3+2+1=10). चरण 1: (1) से (1,2,3,4) तक चार युग्म मिलते हैं। चरण 2: (2) से तीन, (3) से दो और (4) से एक युग्म मिलता है। चरण 3: कुल युग्म (4+3+2+1=10) हैं।
From (2), pairs with (3,4) are formed, and from (3), one pair with (4) is formed.
Step 3
Exam Tip
Total pairs are (3+2+1=6). चरण 1: (1) से (2,3,4) तक तीन युग्म बनते हैं। चरण 2: (2) से (3,4) तक दो युग्म और (3) से (4) तक एक युग्म बनता है। चरण 3: कुल युग्म (3+2+1=6) हैं।
A. यह संक्रामक है पर स्वपरक नहीं/It is transitive but not reflexive
Step 1
Concept
(a<a) is never true, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a<b) and (b<c), then (a<c), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
Do not expect symmetry in a directed order relation. चरण 1: (a<a) कभी सही नहीं होता, इसलिए स्वपरकता नहीं है। चरण 2: यदि (a<b) और (b<c), तो (a<c), इसलिए संक्रामकता है। चरण 3: दिशा वाले संबंध में सममितता की अपेक्षा न करें।
A. यह आंशिक क्रम संबंध है/It is a partial order relation
Step 1
Concept
For every (a), \(a\le a\), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If \(a\le b\) and \(b\le a\), then (a=b), so it is antisymmetric.
Step 3
Exam Tip
If \(a\le b\) and \(b\le c\), then \(a\le c\), so it is a partial order relation. चरण 1: हर (a) के लिए \(a\le a\), इसलिए स्वपरकता है। चरण 2: \(a\le b\) और \(b\le a\) से (a=b), इसलिए प्रतिसममितता है। चरण 3: \(a\le b\) और \(b\le c\) से \(a\le c\), इसलिए यह आंशिक क्रम संबंध है।
Hence the partition is ({{1,2},{3,4}}). चरण 1: (1) और (2) आपस में दोनों दिशाओं में संबंधित हैं। चरण 2: (3) और (4) भी दोनों दिशाओं में संबंधित हैं। चरण 3: इसलिए विभाजन ({{1,2},{3,4}}) है।
Within the same equivalence class, all ordered pairs are present.
Step 2
Why this answer is correct
(3) and (4) are in the same class ({3,4}).
Step 3
Exam Tip
Hence ((3,4)) must belong to the relation. चरण 1: एक ही समतुल्यता वर्ग के अंदर सभी क्रमित युग्म होते हैं। चरण 2: (3) और (4) एक ही वर्ग ({3,4}) में हैं। चरण 3: इसलिए ((3,4)) अवश्य संबंध में होगा।
In an equivalence relation, pairs are not formed across different classes.
Step 2
Why this answer is correct
(2) is in ({1,2}), while (3) is in ({3,4}).
Step 3
Exam Tip
Hence ((2,3)) will not be in the relation. चरण 1: समतुल्यता संबंध में अलग-अलग वर्गों के बीच युग्म नहीं बनते। चरण 2: (2) वर्ग ({1,2}) में है और (3) वर्ग ({3,4}) में है। चरण 3: इसलिए ((2,3)) संबंध में नहीं होगा।
A. किसी (b) के लिए \((1,b)\in R\) और \((b,3)\in R\)/For some (b), \((1,b)\in R\) and \((b,3)\in R\)
Step 1
Concept
Composition \(R\circ R\) is checked through a chain of two pairs.
Step 2
Why this answer is correct
For ((1,3)) to appear, there must be some middle element (b) with (1) related to (b) and (b) related to (3).
Step 3
Exam Tip
In composition questions, look for the middle element. चरण 1: संयोजन \(R\circ R\) में दो युग्मों की कड़ी देखी जाती है। चरण 2: ((1,3)) आने के लिए कोई बीच का तत्व (b) चाहिए जिससे (1) से (b) और (b) से (3) संबंध बने। चरण 3: संयोजन के प्रश्नों में बीच वाले तत्व को खोजें।
All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
There are no reverse non-self pairs, and all forward chains are complete, so it is antisymmetric and transitive.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) is present but ((2,1)) is absent, so the statement that it is symmetric is false. चरण 1: सभी स्वयं युग्म हैं, इसलिए स्वपरकता है। चरण 2: उल्टे अलग युग्म नहीं हैं, इसलिए प्रतिसममितता है और सभी आगे की कड़ियां पूरी हैं। चरण 3: ((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममितता वाला कथन गलत है।
