Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. परावर्ती और संक्रामक पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
Every number divides itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a) divides (b) and (b) divides (c), then (a) divides (c), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
For symmetry, always check the reverse pair; (1) divides (2) but (2) does not divide (1). चरण 1: हर संख्या अपने आप को विभाजित करती है, इसलिए संबंध परावर्ती है। चरण 2: यदि (a) (b) को और (b) (c) को विभाजित करे तो (a) (c) को विभाजित करता है, इसलिए यह संक्रामक है। चरण 3: परीक्षा में सममितता के लिए उल्टा युग्म जरूर जांचें, क्योंकि (1) (2) को विभाजित करता है पर (2) (1) को नहीं।
B. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
((1,1),(2,2),(3,3)) are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) and ((2,1)) both exist, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
Checking all needed chains shows transitivity is not broken, so it is an equivalence relation. चरण 1: ((1,1),(2,2),(3,3)) मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। चरण 2: ((1,2)) के साथ ((2,1)) भी है, इसलिए सममितता बनी रहती है। चरण 3: जरूरी संयोजन जांचने पर संक्रामकता नहीं टूटती, इसलिए यह तुल्यता संबंध है।
A. संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Transitive but not reflexive
Step 1
Concept
((3,3)) is missing, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required and it is present.
Step 3
Exam Tip
In hard questions, first look for missing self-pairs to reject reflexivity quickly. चरण 1: ((3,3)) अनुपस्थित है, इसलिए संबंध परावर्ती नहीं है। चरण 2: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मिलना चाहिए, जो संबंध में है। चरण 3: कठिन प्रश्नों में पहले गायब स्वयुग्म देखकर परावर्तन जल्दी खारिज करें।
A. यह सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/It is symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
No ((a,a)) pair is present, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
There is no pair that can violate symmetry or transitivity, so those conditions hold vacuously.
Step 3
Exam Tip
For an empty relation, reflexivity is the main condition to check. चरण 1: कोई भी ((a,a)) मौजूद नहीं है, इसलिए यह परावर्ती नहीं है। चरण 2: उल्टे युग्म या संक्रामकता को तोड़ने वाला कोई युग्म नहीं है, इसलिए सममित और संक्रामक शर्त खाली रूप से पूरी होती है। चरण 3: खाली संबंध में परावर्तन जरूर जांचें, वही मुख्य फर्क बनाता है।
A. यह सदैव परावर्ती, सममित और संक्रामक होता है/It is always reflexive, symmetric and transitive
Step 1
Concept
\(A\times A\) contains every ((a,a)), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
For every ((a,b)), ((b,a)) is also present, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
Since every possible pair exists, transitivity also holds automatically. चरण 1: \(A\times A\) में हर ((a,a)) होता है, इसलिए परावर्ती है। चरण 2: हर ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी होता है, इसलिए सममित है। चरण 3: हर संभावित युग्म मौजूद होने से संक्रामकता भी अपने आप पूरी हो जाती है।
If (a-b) is even, then (b-a) is also even, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
The sum of even differences is even, so transitivity holds and the relation is an equivalence relation. चरण 1: (a-a=0) सम है, इसलिए संबंध परावर्ती है। चरण 2: यदि (a-b) सम है तो (b-a) भी सम है, इसलिए संबंध सममित है। चरण 3: समता का जोड़ फिर सम देता है, इसलिए संक्रामकता भी पूरी होती है और संबंध तुल्यता है।
For every integer, \(a \equiv a \pmod{3}\), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If \(a \equiv b \pmod{3}\), then \(b \equiv a \pmod{3}\), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
Having the same remainder is transitive, so it is an equivalence relation. चरण 1: हर पूर्णांक के लिए \(a \equiv a \pmod{3}\), इसलिए परावर्ती है। चरण 2: यदि \(a \equiv b \pmod{3}\) तो \(b \equiv a \pmod{3}\), इसलिए सममित है। चरण 3: समान शेषफल का संबंध संक्रामक होता है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है।
A. यह परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं/It is reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
For every (a), \(a\le a\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If \(a\le b\) and \(b\le c\), then \(a\le c\), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
\(2\le 3\) is true but \(3\le 2\) is false, so it is not symmetric. चरण 1: हर (a) के लिए \(a\le a\), इसलिए संबंध परावर्ती है। चरण 2: यदि \(a\le b\) और \(b\le c\), तो \(a\le c\), इसलिए संक्रामक है। चरण 3: \(2\le 3\) सही है पर \(3\le 2\) गलत है, इसलिए सममित नहीं।
A. संक्रामक है पर न परावर्ती न सममित/Transitive but neither reflexive nor symmetric
Step 1
Concept
(a<a) is never true, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a<b), then (b<a) cannot be true, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
From (a<b) and (b<c), we get (a<c), so it is transitive. चरण 1: (a<a) कभी सत्य नहीं होता, इसलिए परावर्ती नहीं है। चरण 2: (a<b) होने पर (b<a) नहीं हो सकता, इसलिए सममित नहीं है। चरण 3: (a<b) और (b<c) से (a<c) मिलता है, इसलिए संबंध संक्रामक है।
A. यह सममित है पर न परावर्ती न संक्रामक/It is symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
(|a-a|=0), so no self-pair occurs and the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (|a-b|=1), then (|b-a|=1), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) and ((2,3)) exist but ((1,3)) does not, so it is not transitive. चरण 1: (|a-a|=0), इसलिए कोई स्वयुग्म नहीं मिलता और संबंध परावर्ती नहीं है। चरण 2: यदि (|a-b|=1), तो (|b-a|=1), इसलिए सममित है। चरण 3: ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं, इसलिए संक्रामक नहीं।
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but not reflexive and not transitive
Step 1
Concept
The self-pairs ((1,1),(2,2),(3,3)) are not all present, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Every listed pair has its reverse pair, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
From ((1,2)) and ((2,1)), ((1,1)) is required but missing, so it is not transitive. चरण 1: कोई भी ((1,1),(2,2),(3,3)) पूरा समूह नहीं है, इसलिए परावर्ती नहीं है। चरण 2: हर दिए गए युग्म का उल्टा युग्म भी मौजूद है, इसलिए सममित है। चरण 3: ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामक नहीं।
If (a+b) is even, then (b+a) is also even, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
The same parity condition preserves transitivity, so the relation is an equivalence relation. चरण 1: (a+a=2a) सम है, इसलिए हर स्वयुग्म मौजूद है। चरण 2: (a+b) सम है तो (b+a) भी सम है, इसलिए सममितता है। चरण 3: समान सम-विषम प्रकृति के कारण संक्रामकता भी रहती है, इसलिए संबंध तुल्यता है।
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but not reflexive and not transitive
Step 1
Concept
A self-pair like ((1,1)) gives sum (2), so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a+b=5), then (b+a=5), so the relation is symmetric.
Step 3
Exam Tip
From ((1,4)) and ((4,1)), ((1,1)) would be needed, but it is missing, so transitivity fails. चरण 1: ((1,1)) जैसे स्वयुग्म में योग (2) है, इसलिए परावर्ती नहीं है। चरण 2: यदि (a+b=5), तो (b+a=5), इसलिए संबंध सममित है। चरण 3: ((1,4)) और ((4,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामकता टूटती है।
A. परावर्ती है पर न सममित न संक्रामक/Reflexive but neither symmetric nor transitive
Step 1
Concept
All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) exists but ((2,1)) does not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) and ((2,3)) exist but ((1,3)) is missing, so it is not transitive. चरण 1: सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए परावर्ती है। चरण 2: ((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं, इसलिए सममित नहीं है। चरण 3: ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं, इसलिए संक्रामक नहीं है।
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
In the identity relation, every element is related to itself, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The reverse of ((a,a)) is again ((a,a)), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
Combining self-pairs gives the same self-pair, so transitivity also holds. चरण 1: पहचान संबंध में हर तत्व अपने आप से जुड़ा होता है, इसलिए परावर्ती है। चरण 2: ((a,a)) का उल्टा भी वही ((a,a)) है, इसलिए सममित है। चरण 3: ((a,a)) और ((a,a)) से फिर ((a,a)) मिलता है, इसलिए संक्रामकता भी पूरी है।
A. परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
For every (a), \(a\ge a\), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
\(3\ge 2\) is true but \(2\ge 3\) is false, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
If \(a\ge b\) and \(b\ge c\), then \(a\ge c\), so it is transitive. चरण 1: हर (a) के लिए \(a\ge a\), इसलिए परावर्ती है। चरण 2: \(3\ge 2\) सही है पर \(2\ge 3\) गलत है, इसलिए सममित नहीं। चरण 3: \(a\ge b\) और \(b\ge c\) से \(a\ge c\), इसलिए संक्रामक है।
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
Self-pairs for (2) and (4) will not occur, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If both numbers are odd, changing order keeps both odd, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
Within the odd elements, the relation stays connected, so transitivity holds. चरण 1: (2) और (4) के स्वयुग्म नहीं आएंगे, इसलिए परावर्ती नहीं है। चरण 2: यदि दोनों संख्याएं विषम हैं तो क्रम बदलने पर भी दोनों विषम रहती हैं, इसलिए सममित है। चरण 3: विषम तत्वों के समूह में जुड़ाव बना रहता है, इसलिए संक्रामकता पूरी होती है।
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
(a+a=2a) is even, so no self-pair occurs and it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a+b) is odd, then (b+a) is odd, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) and ((2,1)) exist but ((1,1)) does not, so transitivity fails. चरण 1: (a+a=2a) सम है, इसलिए कोई स्वयुग्म नहीं आता और परावर्ती नहीं है। चरण 2: (a+b) विषम है तो (b+a) भी विषम है, इसलिए सममित है। चरण 3: ((1,2)) और ((2,1)) हैं पर ((1,1)) नहीं, इसलिए संक्रामकता टूटती है।
From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required but missing, so transitivity fails. चरण 1: सभी स्वयुग्म हैं, इसलिए परावर्तन सही है। चरण 2: हर युग्म का उल्टा भी है, इसलिए सममितता सही है। चरण 3: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामकता की कमी है।
A reflexive relation must contain ((a,a)) for every \(a\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
There are three elements, so ((1,1),(2,2),(3,3)) are necessary.
Step 3
Exam Tip
The minimum number is equal to the number of elements in the set. चरण 1: परावर्ती संबंध में हर \(a\in A\) के लिए ((a,a)) होना जरूरी है। चरण 2: यहां तीन तत्व हैं, इसलिए ((1,1),(2,2),(3,3)) कम से कम चाहिए। चरण 3: न्यूनतम संख्या हमेशा समुच्चय के तत्वों की संख्या के बराबर होती है।
Reflexivity forces (4) self-pairs, so the remaining (12) pairs are optional.
Step 3
Exam Tip
Each optional pair has two choices, giving \(2^{12}\) relations. चरण 1: \(A\times A\) में \(4^2=16\) युग्म होते हैं। चरण 2: परावर्तन के लिए (4) स्वयुग्म अनिवार्य हैं, इसलिए बाकी (12) युग्म स्वतंत्र हैं। चरण 3: हर स्वतंत्र युग्म को चुनने या न चुनने के दो तरीके हैं, इसलिए संख्या \(2^{12}\) है।
There are three unordered pairs of distinct elements, and both directions must be selected together or omitted together.
Step 3
Exam Tip
Total independent choices are (3+3=6), so the number is \(2^6\). चरण 1: तीन स्वयुग्मों को स्वतंत्र रूप से चुना जा सकता है। चरण 2: अलग-अलग तत्वों के तीन जोड़े बनते हैं और हर जोड़े में दोनों दिशाएं साथ चुनी जाती हैं या साथ छोड़ी जाती हैं। चरण 3: कुल स्वतंत्र चुनाव (3+3=6) हैं, इसलिए संबंधों की संख्या \(2^6\) है।
The remaining \(n^2-n\) pairs are optional, so the number is \(2^{n^2-n}\). चरण 1: \(A\times A\) में कुल \(n^2\) युग्म होते हैं। चरण 2: परावर्तन के लिए (n) स्वयुग्म अनिवार्य हैं। चरण 3: बचे \(n^2-n\) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए कुल संख्या \(2^{n^2-n}\) है।
There are (\frac{n(n-1)}{2}) unordered pairs of distinct elements, and both directions are decided together.
Step 3
Exam Tip
Total independent choices are (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}). चरण 1: (n) स्वयुग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। चरण 2: अलग-अलग तत्वों के (\frac{n(n-1)}{2}) अनियोजित जोड़े होते हैं, जिनमें दोनों दिशाएं साथ तय होती हैं। चरण 3: कुल स्वतंत्र चुनाव (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}) हैं।
There are three unordered distinct-element pairs, and symmetry makes each pair chosen or omitted together.
Step 3
Exam Tip
Hence only three independent choices remain, giving \(2^3\). चरण 1: परावर्तन के कारण तीनों स्वयुग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: अलग-अलग तत्वों के तीन जोड़े हैं और सममितता के कारण हर जोड़ा साथ चुना या छोड़ा जाएगा। चरण 3: इसलिए केवल तीन स्वतंत्र चुनाव हैं और संख्या \(2^3\) है।
A. यह परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/It is reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) has ((2,1)) and ((1,3)) has ((3,1)), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
From ((2,1)) and ((1,3)), ((2,3)) is required but missing, so it is not transitive. चरण 1: सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। चरण 2: ((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((1,3)) के साथ ((3,1)) हैं, इसलिए सममित है। चरण 3: ((2,1)) और ((1,3)) से ((2,3)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामक नहीं।
If (a-b) is rational, then (b-a) is rational, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
The sum of two rational differences is rational, so transitivity holds. चरण 1: (a-a=0) परिमेय है, इसलिए परावर्ती है। चरण 2: यदि (a-b) परिमेय है तो (b-a) भी परिमेय है, इसलिए सममित है। चरण 3: दो परिमेय अंतरों का योग परिमेय होता है, इसलिए संक्रामकता भी पूरी होती है।
For every (a), \(a^2=a^2\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
From \(a^2=b^2\), we get \(b^2=a^2\), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
If \(a^2=b^2\) and \(b^2=c^2\), then \(a^2=c^2\), so it is transitive. चरण 1: हर (a) के लिए \(a^2=a^2\), इसलिए परावर्ती है। चरण 2: \(a^2=b^2\) से \(b^2=a^2\), इसलिए सममित है। चरण 3: यदि \(a^2=b^2\) और \(b^2=c^2\), तो \(a^2=c^2\), इसलिए संक्रामक है।
Equality of absolute values passes through a third number, so transitivity holds. चरण 1: (|a|=|a|), इसलिए संबंध परावर्ती है। चरण 2: (|a|=|b|) होने पर (|b|=|a|), इसलिए सममित है। चरण 3: समान परिमाण का संबंध तीसरी संख्या तक भी जाता है, इसलिए संक्रामकता पूरी होती है।
A. संक्रामक है पर न परावर्ती न सममित/Transitive but neither reflexive nor symmetric
Step 1
Concept
(a-a=0), so (aRa) does not hold and the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a-b>0), then (b-a>0) cannot hold, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
From (a>b) and (b>c), we get (a>c), so it is transitive. चरण 1: (a-a=0), इसलिए (aRa) नहीं होगा और संबंध परावर्ती नहीं है। चरण 2: यदि (a-b>0) है तो (b-a>0) नहीं हो सकता, इसलिए सममित नहीं। चरण 3: (a>b) और (b>c) से (a>c), इसलिए संक्रामक है।
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but not reflexive and not transitive
Step 1
Concept
For ((2,2)), the greatest common divisor is (2), so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The greatest common divisor does not change when order is changed, so the relation is symmetric.
Step 3
Exam Tip
(2) is coprime to (3), and (3) is coprime to (4), but (2) is not coprime to (4), so transitivity fails. चरण 1: ((2,2)) में समापवर्तक (2) है, इसलिए परावर्ती नहीं। चरण 2: दो संख्याओं का सबसे बड़ा समापवर्तक क्रम बदलने से नहीं बदलता, इसलिए सममित है। चरण 3: (2) और (3) सहअभाज्य हैं तथा (3) और (4) सहअभाज्य हैं, पर (2) और (4) नहीं, इसलिए संक्रामक नहीं।
A. परावर्ती और संक्रामक पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
Every number divides itself, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
In divisibility, \(a\mid b\) and \(b\mid c\) imply \(a\mid c\), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
\(2\mid 4\) is true but \(4\mid 2\) is false, so it is not symmetric. चरण 1: हर संख्या स्वयं को विभाजित करती है, इसलिए परावर्ती है। चरण 2: विभाज्यता में \(a\mid b\) और \(b\mid c\) से \(a\mid c\), इसलिए संक्रामक है। चरण 3: \(2\mid 4\) सत्य है पर \(4\mid 2\) असत्य है, इसलिए सममित नहीं।
A. परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
All self-pairs are given, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) exists but ((2,1)) does not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
Required resulting pairs such as ((1,3),(2,4),(1,4)) are present, so transitivity holds. चरण 1: सभी स्वयुग्म दिए हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। चरण 2: ((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं, इसलिए सममित नहीं है। चरण 3: दिए गए आगे बढ़ने वाले युग्मों के लिए जरूरी परिणामी युग्म जैसे ((1,3),(2,4),(1,4)) मौजूद हैं, इसलिए संक्रामकता बनी रहती है।
Every student has the same birth month as themselves, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a)'s month is the same as (b)'s, then (b)'s is the same as (a)'s, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
Same birth month passes through a third student, so transitivity holds. चरण 1: हर विद्यार्थी का जन्म महीना अपने जन्म महीने के समान है, इसलिए परावर्ती है। चरण 2: यदि (a) का महीना (b) जैसा है, तो (b) का महीना भी (a) जैसा है, इसलिए सममित है। चरण 3: समान जन्म महीना तीसरे विद्यार्थी तक भी समान रहता है, इसलिए संक्रामकता पूरी होती है।
A. संक्रामक है पर न परावर्ती न सममित/Transitive but neither reflexive nor symmetric
Step 1
Concept
A person cannot be taller than themselves, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a) is taller than (b), then (b) is not taller than (a), so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
If (a) is taller than (b) and (b) is taller than (c), then (a) is taller than (c), so it is transitive. चरण 1: कोई व्यक्ति स्वयं से लंबा नहीं हो सकता, इसलिए परावर्ती नहीं। चरण 2: यदि (a), (b) से लंबा है तो (b), (a) से लंबा नहीं होगा, इसलिए सममित नहीं। चरण 3: यदि (a), (b) से लंबा और (b), (c) से लंबा है, तो (a), (c) से लंबा होगा, इसलिए संक्रामक है।
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but not reflexive and not transitive
Step 1
Concept
\(a\neq a\) is false, so no self-pair exists and the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If \(a\neq b\), then \(b\neq a\), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
\(1\neq 2\) and \(2\neq 1\) hold but \(1\neq 1\) does not, so transitivity fails. चरण 1: \(a\neq a\) असत्य है, इसलिए कोई स्वयुग्म नहीं और संबंध परावर्ती नहीं। चरण 2: यदि \(a\neq b\), तो \(b\neq a\), इसलिए सममित है। चरण 3: \(1\neq 2\) और \(2\neq 1\) हैं पर \(1\neq 1\) नहीं, इसलिए संक्रामकता टूटती है।
A. सममित है पर न परावर्ती न संक्रामक/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
For ((3,3)), the sum is (6), so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
In \(a+b\le 5\), changing the order does not change the sum, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((4,1)) and ((1,4)) exist but ((4,4)) does not, so it is not transitive. चरण 1: ((3,3)) के लिए योग (6) है, इसलिए परावर्ती नहीं। चरण 2: \(a+b\le 5\) में क्रम बदलने से योग नहीं बदलता, इसलिए सममित है। चरण 3: ((4,1)) और ((1,4)) हैं पर ((4,4)) नहीं, इसलिए संक्रामक नहीं।
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
(a-a=0) is divisible by (2), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a-b) is divisible by (2), then (b-a) is also divisible by (2), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
The sum of divisible differences is divisible, so transitivity holds. चरण 1: (a-a=0) (2) से विभाज्य है, इसलिए परावर्ती है। चरण 2: यदि (a-b) (2) से विभाज्य है तो (b-a) भी (2) से विभाज्य है, इसलिए सममित है। चरण 3: विभाज्य अंतरों का योग भी विभाज्य होता है, इसलिए संक्रामकता पूरी है।
((1,2)) has ((2,1)) and ((3,4)) has ((4,3)), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
Within the groups ({1,2}) and ({3,4}), required pairs are complete, so transitivity holds. चरण 1: सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए परावर्ती है। चरण 2: ((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((3,4)) के साथ ((4,3)) हैं, इसलिए सममित है। चरण 3: हर समूह ({1,2}) और ({3,4}) के भीतर जरूरी युग्म पूरे हैं, इसलिए संक्रामकता भी पूरी है।
A. नहीं, उदाहरण के लिए \(A=\{1,2\}\) पर ({(1,1)}) सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/No, for example on \(A=\{1,2\}\), ({(1,1)}) is symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
Being symmetric and transitive does not automatically give all self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
On \(A=\{1,2\}\), ({(1,1)}) misses ((2,2)), so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
For such theory questions, a small counterexample is the fastest method. चरण 1: सममित और संक्रामक होना अपने आप सभी स्वयुग्म नहीं देता। चरण 2: \(A=\{1,2\}\) पर ({(1,1)}) में ((2,2)) नहीं है, इसलिए परावर्ती नहीं। चरण 3: ऐसे सिद्धांत प्रश्नों में एक छोटा प्रति-उदाहरण सबसे तेज तरीका होता है।
A. नहीं, \(A=\{1,2,3\}\) पर ({(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)}) प्रति-उदाहरण है/No, on \(A=\{1,2,3\}\), ({(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)}) is a counterexample
Step 1
Concept
Reflexive and symmetric together are not sufficient.
Step 2
Why this answer is correct
In the given example, ((1,2)) and ((2,3)) exist but ((1,3)) is missing.
Step 3
Exam Tip
To prove an equivalence relation, all three properties must be checked separately. चरण 1: परावर्ती और सममित होना पर्याप्त नहीं है। चरण 2: दिए गए उदाहरण में ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है। चरण 3: तुल्यता संबंध साबित करने के लिए तीनों गुण अलग-अलग जांचना जरूरी है।
A. नहीं, \(\le\) संबंध इसका प्रति-उदाहरण है/No, the \(\le\) relation is a counterexample
Step 1
Concept
In \(\le\), every number is related to itself, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
\(a\le b\) and \(b\le c\) imply \(a\le c\), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
\(2\le 3\) is true but \(3\le 2\) is false, so symmetry need not hold. चरण 1: \(\le\) में हर संख्या अपने बराबर होती है, इसलिए परावर्ती है। चरण 2: \(a\le b\) और \(b\le c\) से \(a\le c\), इसलिए संक्रामक है। चरण 3: \(2\le 3\) सही है पर \(3\le 2\) गलत है, इसलिए सममितता जरूरी नहीं।
First check all self-pairs; option A has all three.
Step 2
Why this answer is correct
Option A contains both ((1,2)) and ((2,1)), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
The available chains do not break transitivity, so option A is an equivalence relation. चरण 1: पहले सभी स्वयुग्म देखें, विकल्प A में तीनों स्वयुग्म हैं। चरण 2: विकल्प A में ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए सममितता ठीक है। चरण 3: उपलब्ध युग्मों की श्रृंखला संक्रामकता नहीं तोड़ती, इसलिए विकल्प A तुल्यता संबंध है।
Every number has the same remainder as itself, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Same remainder is unaffected by changing order, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
If (a) and (b) have the same remainder and (b) and (c) have the same remainder, then (a) and (c) also do. चरण 1: हर संख्या का शेषफल अपने आप के समान होता है, इसलिए परावर्ती है। चरण 2: समान शेषफल का क्रम बदलने से संबंध नहीं बदलता, इसलिए सममित है। चरण 3: यदि (a) और (b) का शेषफल समान है तथा (b) और (c) का समान है, तो (a) और (c) का भी समान होगा।
Same parity means odd numbers together and even numbers together.
Step 2
Why this answer is correct
(1,3,5) are odd and (2,4,6) are even.
Step 3
Exam Tip
While forming equivalence classes, each element must appear in exactly one class. चरण 1: समान सम-विषम प्रकार का अर्थ है विषम संख्याएं साथ और सम संख्याएं साथ। चरण 2: (1,3,5) विषम हैं तथा (2,4,6) सम हैं। चरण 3: तुल्यता वर्ग बनाते समय हर तत्व केवल एक ही वर्ग में आना चाहिए।
A. यह परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/It is reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
Because (a=b) is allowed, all self-pairs are present, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The condition (a+b=5) is unchanged by reversing order, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
The relation splits into the blocks ({1,4}) and ({2,3}), so it is actually transitive and hence an equivalence relation. चरण 1: (a=b) होने से सभी स्वयुग्म आते हैं, इसलिए परावर्ती है। चरण 2: (a+b=5) क्रम बदलने पर भी वही रहता है, इसलिए सममित है। चरण 3: ((1,4)) और ((4,1)) हैं पर ((1,1)) तो है, लेकिन ((1,4)) और ((4,2)) नहीं जुड़े; मुख्य जांच में ((1,4)) और ((4,1)) ठीक है, पर ((2,3)) और ((3,4)) लागू नहीं। सही टूटन ((1,4)) और ((4,1)) से नहीं, इसलिए दूसरा मार्ग देखें: यह संबंध वास्तव में दो जोड़ों और स्वयुग्मों में बंद है, अतः संक्रामक है।
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
(a=b) gives all self-pairs, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a+b=5), then (b+a=5), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
It forms closed blocks ({1,4}) and ({2,3}), so it is also transitive. चरण 1: (a=b) से सभी स्वयुग्म मिलते हैं, इसलिए परावर्ती है। चरण 2: (a+b=5) होने पर (b+a=5) भी होगा, इसलिए सममितता है। चरण 3: यह संबंध ({1,4}) और ({2,3}) जैसे बंद समूह बनाता है, इसलिए संक्रामक भी है।
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
\(|a-a|=0\le 1\), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(|a-b|=|b-a|), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) and ((2,3)) exist, but ((1,3)) does not because the difference is (2), so it is not transitive. चरण 1: \(|a-a|=0\le 1\), इसलिए परावर्ती है। चरण 2: (|a-b|=|b-a|), इसलिए सममित है। चरण 3: ((1,2)) और ((2,3)) हैं, पर ((1,3)) नहीं क्योंकि अंतर (2) है, इसलिए संक्रामक नहीं।
The condition that (a+b) is even remains the same after reversing order, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
This is essentially the same-parity relation, which is also transitive. चरण 1: (a=b) से सभी स्वयुग्म मिलते हैं, इसलिए परावर्ती है। चरण 2: (a+b) सम होना क्रम बदलने पर भी समान रहता है, इसलिए सममित है। चरण 3: असल में यह समान सम-विषम प्रकार का संबंध है, जो संक्रामक भी होता है।
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
All four self-pairs are present, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Within ({1,2,3}), all directed pairs are present, and (4) has its self-pair, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
({1,2,3}) is a closed complete block and (4) is a single class, so transitivity also holds. चरण 1: चारों स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए परावर्ती है। चरण 2: ({1,2,3}) के बीच सभी दिशाओं वाले युग्म और (4) का स्वयुग्म हैं, इसलिए सममितता बनी है। चरण 3: ({1,2,3}) एक पूरा बंद समूह है और (4) अकेला वर्ग है, इसलिए संबंध संक्रामक भी है।
