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A. परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
All four self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) is present but ((2,1)) is not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required and it is present, so transitivity holds. चरण 1: चारों स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। चरण 2: ((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए यह सममित नहीं है। चरण 3: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो मौजूद है, इसलिए संक्रामकता बनी रहती है।
Every listed pair has its reverse, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is missing, so transitivity fails. चरण 1: सभी स्वयुग्म हैं, इसलिए परावर्तन सही है। चरण 2: हर दिए गए युग्म का उल्टा भी है, इसलिए सममितता सही है। चरण 3: ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता असफल होती है।
(a-a=0) is divisible by (5), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a-b) is divisible by (5), then (b-a) is also divisible by (5), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
The sum of two such differences is also divisible by (5), so transitivity holds. चरण 1: (a-a=0) (5) से विभाज्य है, इसलिए संबंध परावर्ती है। चरण 2: यदि (a-b) (5) से विभाज्य है, तो (b-a) भी (5) से विभाज्य है, इसलिए सममित है। चरण 3: दो ऐसे अंतरों का योग भी (5) से विभाज्य होगा, इसलिए संक्रामकता पूरी होती है।
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
(a+a=6) is not true for every (a), so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a+b=6), then (b+a=6), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,5)) and ((5,1)) exist but ((1,1)) does not, so transitivity fails. चरण 1: हर (a) के लिए (a+a=6) नहीं होता, इसलिए परावर्ती नहीं है। चरण 2: (a+b=6) होने पर (b+a=6) भी होगा, इसलिए सममितता है। चरण 3: ((1,5)) और ((5,1)) हैं पर ((1,1)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता टूटती है।
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
(a-a=0) is rational, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a-b) is irrational, then (b-a) is also irrational, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
Differences like \(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\) can add to (0), so transitivity need not hold. चरण 1: (a-a=0) परिमेय है, इसलिए संबंध परावर्ती नहीं है। चरण 2: यदि (a-b) अपरिमेय है, तो (b-a) भी अपरिमेय है, इसलिए सममित है। चरण 3: \(\sqrt{2}\) और \(-\sqrt{2}\) जैसे अंतर मिलकर (0) दे सकते हैं, इसलिए संक्रामकता जरूरी नहीं रहती।
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
Self-pairs for (1) and (3) will not occur, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The condition that both elements are even remains true after reversing order, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
Chains stay within even elements, so transitivity holds. चरण 1: (1) और (3) के स्वयुग्म नहीं आएंगे, इसलिए संबंध परावर्ती नहीं है। चरण 2: दोनों तत्व सम होने की शर्त क्रम बदलने पर भी सही रहती है, इसलिए सममितता है। चरण 3: यदि संबंध केवल सम तत्वों के बीच है, तो उनके बीच की श्रृंखला भी सम तत्वों में ही रहती है, इसलिए संक्रामकता है।
Elements with the same remainder on division by (3) are grouped together.
Step 2
Why this answer is correct
(1,4) have remainder (1), (2,5) have remainder (2), and (3,6) have remainder (0).
Step 3
Exam Tip
Equivalence classes divide the set into non-overlapping parts. चरण 1: (3) से भाग देने पर समान शेषफल वाले तत्व साथ रखे जाते हैं। चरण 2: (1,4) का शेषफल (1), (2,5) का शेषफल (2), और (3,6) का शेषफल (0) है। चरण 3: तुल्यता वर्ग समुच्चय को बिना दोहराव के अलग-अलग भागों में बांटते हैं।
The remaining (20) pairs are optional, so the number is \(2^{20}\). चरण 1: \(A\times A\) में \(5^2=25\) क्रमित युग्म होते हैं। चरण 2: परावर्ती संबंध के लिए (5) स्वयुग्म अनिवार्य हैं। चरण 3: बचे (20) युग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं, इसलिए संख्या \(2^{20}\) है।
There are \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) unordered pairs of distinct elements.
Step 3
Exam Tip
Total independent choices are (4+6=10), so the number of symmetric relations is \(2^{10}\). चरण 1: चार स्वयुग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। चरण 2: अलग-अलग तत्वों के \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) अनियोजित जोड़े हैं। चरण 3: कुल स्वतंत्र चुनाव (4+6=10) हैं, इसलिए सममित संबंधों की संख्या \(2^{10}\) है।
There are (6) unordered pairs of distinct elements, and symmetry makes each pair chosen or omitted together.
Step 3
Exam Tip
Only (6) independent choices remain, so the number is \(2^6\). चरण 1: परावर्तन के कारण चारों स्वयुग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: अलग-अलग तत्वों के (6) अनियोजित जोड़े हैं और सममितता में हर जोड़ा साथ चुना या छोड़ा जाता है। चरण 3: केवल (6) स्वतंत्र चुनाव बचते हैं, इसलिए संख्या \(2^6\) है।
A. यह सार्वत्रिक संबंध और तुल्यता संबंध दोनों है/It is both the universal relation and an equivalence relation
Step 1
Concept
For a set of three elements, \(A\times A\) has (9) pairs and all (9) are listed here.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, it is the universal relation.
Step 3
Exam Tip
The universal relation is reflexive, symmetric and transitive, so it is also an equivalence relation. चरण 1: तीन तत्वों के लिए \(A\times A\) में कुल (9) युग्म होते हैं और यहां सभी (9) युग्म हैं। चरण 2: इसलिए यह सार्वत्रिक संबंध है। चरण 3: सार्वत्रिक संबंध परावर्ती, सममित और संक्रामक होता है, इसलिए यह तुल्यता संबंध भी है।
For (a=a), \(a\le a\) and \(a-a=0\le2\), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) is in the relation, but ((2,1)) is not.
Step 3
Exam Tip
Hence symmetry fails; one missing reverse pair is enough. चरण 1: (a=a) होने पर \(a\le a\) और \(a-a=0\le2\), इसलिए परावर्तन सही है। चरण 2: ((1,2)) संबंध में है, पर ((2,1)) नहीं है। चरण 3: इसलिए सममितता असफल है; ऐसे प्रश्नों में एक उल्टा युग्म काफी होता है।
A. नहीं, क्योंकि ((1,3)) और ((3,4)) हैं पर ((1,4)) नहीं/No, because ((1,3)) and ((3,4)) exist but ((1,4)) does not
Step 1
Concept
((1,3)) has difference (2), so it is in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
((3,4)) has difference (1), so it is also in the relation.
Step 3
Exam Tip
((1,4)) has difference (3), which is beyond the limit, so transitivity fails. चरण 1: ((1,3)) में अंतर (2) है, इसलिए यह संबंध में है। चरण 2: ((3,4)) में अंतर (1) है, इसलिए यह भी संबंध में है। चरण 3: ((1,4)) में अंतर (3) है, जो सीमा से अधिक है, इसलिए संक्रामकता टूटती है।
From \(a^3=b^3\), we get \(b^3=a^3\), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
If \(a^3=b^3\) and \(b^3=c^3\), then \(a^3=c^3\), so it is transitive too. चरण 1: हर (a) के लिए \(a^3=a^3\), इसलिए परावर्तन है। चरण 2: \(a^3=b^3\) से \(b^3=a^3\) मिलता है, इसलिए सममितता है। चरण 3: यदि \(a^3=b^3\) और \(b^3=c^3\), तो \(a^3=c^3\), इसलिए संबंध संक्रामक भी है।
A. परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
\(a^2\le a^2\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If \(a^2\le b^2\) and \(b^2\le c^2\), then \(a^2\le c^2\), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
\(1^2\le2^2\) is true but \(2^2\le1^2\) is false, so it is not symmetric. चरण 1: \(a^2\le a^2\), इसलिए संबंध परावर्ती है। चरण 2: यदि \(a^2\le b^2\) और \(b^2\le c^2\), तो \(a^2\le c^2\), इसलिए संक्रामक है। चरण 3: \(1^2\le2^2\) सही है पर \(2^2\le1^2\) गलत है, इसलिए सममित नहीं।
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
For ((1,1)), the sum is (2), so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The sum stays the same when order is reversed, so the relation is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,3)) and ((3,1)) exist but ((1,1)) does not, so transitivity fails. चरण 1: ((1,1)) में योग (2) है, इसलिए परावर्ती नहीं है। चरण 2: योग क्रम बदलने पर वही रहता है, इसलिए संबंध सममित है। चरण 3: ((1,3)) और ((3,1)) हैं पर ((1,1)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता टूटती है।
A. परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
For every (a), \(a\le a\), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
\(a\le b\) and \(b\le c\) imply \(a\le c\), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
\(1\le2\) is true but \(2\le1\) is false, so it is not symmetric. चरण 1: हर (a) के लिए \(a\le a\), इसलिए परावर्ती है। चरण 2: \(a\le b\) और \(b\le c\) से \(a\le c\), इसलिए संक्रामक है। चरण 3: \(1\le2\) सही है पर \(2\le1\) गलत है, इसलिए सममित नहीं।
A. संक्रामक है पर न परावर्ती न सममित/Transitive but neither reflexive nor symmetric
Step 1
Concept
No number is less than itself, so reflexivity fails.
Step 2
Why this answer is correct
If (a<b), then (b<a) cannot hold, so symmetry fails.
Step 3
Exam Tip
From (a<b) and (b<c), we get (a<c), so transitivity holds. चरण 1: कोई संख्या स्वयं से छोटी नहीं होती, इसलिए परावर्तन नहीं है। चरण 2: यदि (a<b), तो (b<a) नहीं हो सकता, इसलिए सममितता नहीं है। चरण 3: (a<b) और (b<c) से (a<c) मिलता है, इसलिए संक्रामकता है।
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
All self-pairs are given, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Extra pairs such as ((1,2),(2,4),(1,4)) have their reverse pairs, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
({1,2,4}) is a complete closed block and (3) is alone, so the relation is transitive too. चरण 1: सभी स्वयुग्म दिए हैं, इसलिए परावर्ती है। चरण 2: ((1,2),(2,4),(1,4)) जैसे सभी अतिरिक्त युग्मों के उल्टे भी हैं, इसलिए सममित है। चरण 3: ({1,2,4}) एक पूरा बंद समूह है और (3) अकेला है, इसलिए संबंध संक्रामक भी है।
In exams, checking self-pairs first saves a lot of time. चरण 1: परावर्ती संबंध के लिए ((4,4)) होना जरूरी है। चरण 2: यहां ((4,4)) नहीं है, इसलिए परावर्तन असफल है। चरण 3: परीक्षा में पहले स्वयुग्मों की गिनती करने से बहुत समय बचता है।
A. संक्रामक है पर परावर्ती और सममित नहीं/Transitive but neither reflexive nor symmetric
Step 1
Concept
No self-pair is present, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) exists but ((2,1)) does not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present, so transitivity holds. चरण 1: कोई भी स्वयुग्म नहीं है, इसलिए परावर्ती नहीं है। चरण 2: ((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममित नहीं है। चरण 3: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मिलना चाहिए और वह मौजूद है, इसलिए संक्रामकता बनी रहती है।
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
(|a-a|=0), so no self-pair occurs and reflexivity fails.
Step 2
Why this answer is correct
(|a-b|=|b-a|), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
((1,3)) and ((3,1)) exist but ((1,1)) does not, so transitivity fails. चरण 1: (|a-a|=0), इसलिए कोई स्वयुग्म नहीं आता और परावर्तन नहीं है। चरण 2: (|a-b|=|b-a|), इसलिए सममितता है। चरण 3: ((1,3)) और ((3,1)) हैं पर ((1,1)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता असफल है।
A. यह तुल्यता संबंध होता है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
In the identity relation, every element is related only to itself, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The reverse of ((a,a)) is still ((a,a)), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
Chains of self-pairs again give self-pairs, so transitivity holds. चरण 1: पहचान संबंध में हर तत्व केवल अपने आप से जुड़ा होता है, इसलिए परावर्ती है। चरण 2: ((a,a)) का उल्टा वही ((a,a)) रहता है, इसलिए सममित है। चरण 3: स्वयुग्मों की श्रृंखला फिर स्वयुग्म ही देती है, इसलिए संक्रामकता भी पूरी होती है।
A. यह सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/It is symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
On a non-empty set, reflexivity needs self-pairs, but the empty relation has no pair.
Step 2
Why this answer is correct
There is no pair that can violate symmetry or transitivity.
Step 3
Exam Tip
Hence it is symmetric and transitive, but not reflexive. चरण 1: अरिक्त समुच्चय में परावर्तन के लिए कम से कम स्वयुग्म चाहिए, पर रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं है। चरण 2: सममितता या संक्रामकता को तोड़ने वाला भी कोई युग्म नहीं है। चरण 3: इसलिए यह सममित और संक्रामक माना जाता है, पर परावर्ती नहीं।
A reflexive relation must contain ((a,a)) for every element.
Step 2
Why this answer is correct
For four elements, ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)) are necessary.
Step 3
Exam Tip
Hence a minimum of (4) pairs must be added. चरण 1: परावर्ती संबंध में हर तत्व के लिए ((a,a)) होना चाहिए। चरण 2: चार तत्वों के लिए ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)) जरूरी हैं। चरण 3: इसलिए न्यूनतम (4) युग्म जोड़ने होंगे।
The reverse of ((2,3)), namely ((3,2)), is missing, so it must be added. चरण 1: सममितता के लिए हर ((a,b)) के साथ ((b,a)) चाहिए। चरण 2: ((1,2)) और ((2,1)) पहले से दोनों मौजूद हैं। चरण 3: ((2,3)) का उल्टा ((3,2)) गायब है, इसलिए वही जोड़ना होगा।
Transitivity requires ((a,c)) whenever ((a,b)) and ((b,c)) exist.
Step 2
Why this answer is correct
Here ((1,2)) and ((2,3)) are present.
Step 3
Exam Tip
Therefore ((1,3)) is necessary and is the minimum addition. चरण 1: संक्रामकता में ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) चाहिए। चरण 2: यहां ((1,2)) और ((2,3)) मौजूद हैं। चरण 3: इसलिए ((1,3)) जरूरी है; यही न्यूनतम जोड़ है।
No chain involves the third element, so ((1,1)) and ((2,2)) are the minimum additions. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए। चरण 2: ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए। चरण 3: तीसरे तत्व से कोई श्रृंखला नहीं बनती, इसलिए ((1,1)) और ((2,2)) ही न्यूनतम हैं।
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
(1) and (4) are not prime, so their self-pairs will not occur and reflexivity fails.
Step 2
Why this answer is correct
The condition that both are prime does not change with order, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
The relation is complete within ({2,3}), so transitivity holds. चरण 1: (1) और (4) अभाज्य नहीं हैं, इसलिए उनके स्वयुग्म नहीं आएंगे और परावर्तन नहीं होगा। चरण 2: दोनों अभाज्य होने की शर्त क्रम बदलने पर नहीं बदलती, इसलिए सममितता है। चरण 3: संबंध केवल ({2,3}) के भीतर पूरा है, इसलिए संक्रामकता बनी रहती है।
A. परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
Every number is a multiple of itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(4) is a multiple of (2), but (2) is not a multiple of (4), so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
If (a) is a multiple of (b) and (b) is a multiple of (c), then (a) is a multiple of (c), so it is transitive. चरण 1: हर संख्या स्वयं की गुणज होती है, इसलिए संबंध परावर्ती है। चरण 2: (4) (2) का गुणज है, पर (2) (4) का गुणज नहीं है, इसलिए सममित नहीं। चरण 3: यदि (a) (b) का और (b) (c) का गुणज है, तो (a) (c) का गुणज होगा, इसलिए संक्रामक है।
Every person has the same blood group as themselves, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
Equality is unchanged by reversing order, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
If two pairs have the same blood group through a common person, the first and third also have the same group, so transitivity holds. चरण 1: हर व्यक्ति का रक्त समूह अपने रक्त समूह के समान होता है, इसलिए परावर्तन है। चरण 2: समानता का क्रम बदलने से संबंध नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। चरण 3: यदि दो-दो लोगों का रक्त समूह समान है, तो पहले और तीसरे का भी समान होगा, इसलिए संक्रामकता है।
If (a+b) is even, then (b+a) is even, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
This is the same-parity relation, so it is transitive too. चरण 1: (a+a=2a) सम होता है, इसलिए हर स्वयुग्म मौजूद है। चरण 2: (a+b) सम होने पर (b+a) भी सम होता है, इसलिए सममितता है। चरण 3: यह समान सम-विषम प्रकार का संबंध है, इसलिए संक्रामक भी है।
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
(a+a=2a) is even, so no element is related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
If (a+b) is odd, then (b+a) is also odd, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) and ((2,1)) exist but ((1,1)) does not, so transitivity fails. चरण 1: (a+a=2a) सम है, इसलिए कोई तत्व अपने आप से संबंधित नहीं होगा। चरण 2: (a+b) विषम होने पर (b+a) भी विषम है, इसलिए सममितता है। चरण 3: ((1,2)) और ((2,1)) हैं पर ((1,1)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता टूटती है।
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Reverse pairs for ((1,2)) and ((1,3)) are also present, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
From ((2,1)) and ((1,3)), ((2,3)) is required but missing, so transitivity fails. चरण 1: सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। चरण 2: ((1,2)) और ((1,3)) के उल्टे युग्म भी मौजूद हैं, इसलिए सममितता है। चरण 3: ((2,1)) और ((1,3)) से ((2,3)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामकता असफल है।
In reflexive relations, three self-pairs are compulsory, so the number is \(2^{9-3}=2^6\).
Step 3
Exam Tip
The ratio is \(2^9:2^6=2^3:1\). चरण 1: कुल संबंधों की संख्या \(2^{3^2}=2^9\) है। चरण 2: परावर्ती संबंधों में तीन स्वयुग्म अनिवार्य हैं, इसलिए संख्या \(2^{9-3}=2^6\) है। चरण 3: अनुपात \(2^9:2^6=2^3:1\) होगा।
The remaining unordered pairs of distinct elements are (\frac{n(n-1)}{2}).
Step 3
Exam Tip
For symmetry, each such pair is chosen or omitted together, so the number is \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\). चरण 1: परावर्तन के कारण (n) स्वयुग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: अलग-अलग तत्वों के (\frac{n(n-1)}{2}) अनियोजित जोड़े बचते हैं। चरण 3: सममितता में हर ऐसा जोड़ा साथ चुना या छोड़ा जाता है, इसलिए कुल संख्या \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\) है।
The condition (a=b) gives all self-pairs, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
({a,b}={1,2}) does not depend on order, so both ((1,2)) and ((2,1)) occur.
Step 3
Exam Tip
It forms closed classes ({1,2}), ({3}), and ({4}), so transitivity also holds. चरण 1: (a=b) से सभी स्वयुग्म मिल जाते हैं, इसलिए परावर्ती है। चरण 2: ({a,b}={1,2}) में क्रम का महत्व नहीं है, इसलिए ((1,2)) और ((2,1)) दोनों मिलते हैं। चरण 3: ({1,2}), ({3}), ({4}) जैसे बंद वर्ग बनते हैं, इसलिए संक्रामकता भी है।
The condition (a+b=5) relates (1) with (4), and (2) with (3).
Step 2
Why this answer is correct
The condition (a=b) keeps each element in its own class.
Step 3
Exam Tip
Hence the classes are ({1,4}) and ({2,3}). चरण 1: (a+b=5) से (1) का संबंध (4) से और (2) का संबंध (3) से बनेगा। चरण 2: (a=b) के कारण हर तत्व अपने वर्ग में स्वयं भी शामिल है। चरण 3: इसलिए वर्ग ({1,4}) और ({2,3}) बनते हैं।
Option A contains all self-pairs, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) is present but ((2,1)) is missing, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is missing, so it is not transitive. चरण 1: विकल्प A में सभी स्वयुग्म हैं, इसलिए परावर्ती है। चरण 2: ((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं, इसलिए सममित नहीं है। चरण 3: ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं, इसलिए संक्रामक नहीं है।
In option A, both ((1,2)) and ((2,1)) are present, and ((3,3)) reverses to itself.
Step 2
Why this answer is correct
Hence it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,1)) and ((2,2)) are missing, so it is not reflexive. चरण 1: विकल्प A में ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, तथा ((3,3)) का उल्टा वही है। चरण 2: इसलिए यह सममित है। चरण 3: ((1,1)) और ((2,2)) गायब हैं, इसलिए यह परावर्ती नहीं है।
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
(3) and (4) are not related to themselves, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The condition that both elements are less than (3) remains true after reversing order, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
The relation is complete within ({1,2}), so it is transitive. चरण 1: (3) और (4) अपने आप से संबंधित नहीं होंगे, इसलिए परावर्ती नहीं है। चरण 2: दोनों तत्वों के (3) से छोटे होने की शर्त क्रम बदलने पर भी सही रहती है, इसलिए सममित है। चरण 3: संबंध केवल ({1,2}) के भीतर पूरा है, इसलिए संक्रामकता है।
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
\(0\cdot0=0\), so (0) is not related to itself and reflexivity fails.
Step 2
Why this answer is correct
If (ab>0), then (ba>0), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
Same-sign non-zero numbers keep the sign class through a chain, so transitivity holds. चरण 1: \(0\cdot0=0\), इसलिए (0) स्वयं से संबंधित नहीं है और परावर्तन नहीं है। चरण 2: (ab>0) होने पर (ba>0) भी होगा, इसलिए सममितता है। चरण 3: धनात्मक-दोनों या ऋणात्मक-दोनों स्थिति आगे भी समान चिन्ह बनाए रखती है, इसलिए संक्रामकता है।
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
\(a\cdot a=a^2\ge0\), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Since (ab=ba), the relation is symmetric.
Step 3
Exam Tip
(1R0) and (0R(-1)) are true, but (1R(-1)) is false, so transitivity fails. चरण 1: \(a\cdot a=a^2\ge0\), इसलिए परावर्ती है। चरण 2: (ab=ba), इसलिए सममितता है। चरण 3: (1R0) और (0R(-1)) सही हैं, पर (1R(-1)) गलत है, इसलिए संक्रामकता असफल है।
(3) is odd, so its class contains all odd elements.
Step 3
Exam Tip
In (A), the odd elements are (1,3,5), so the class is ({1,3,5}). चरण 1: (a-b) का (2) से विभाज्य होना समान सम-विषम प्रकार दिखाता है। चरण 2: (3) विषम है, इसलिए (3) के साथ सभी विषम तत्व होंगे। चरण 3: (A) में विषम तत्व (1,3,5) हैं, इसलिए वर्ग ({1,3,5}) है।
Symmetry is compulsory in an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
If ((1,2)) is present, its reverse ((2,1)) must also be present.
Step 3
Exam Tip
((2,3)) or ((1,3)) would be forced only with additional information. चरण 1: तुल्यता संबंध में सममितता अनिवार्य होती है। चरण 2: ((1,2)) होने पर उसका उल्टा ((2,1)) भी होना चाहिए। चरण 3: ((2,3)) या ((1,3)) तभी जरूरी होंगे जब उनसे जुड़ी और जानकारी दी जाए।
No conclusion involving the separate element (3) can be drawn without more information. चरण 1: तुल्यता संबंध में संक्रामकता होती है। चरण 2: (1R2) और (2R4) से संक्रामकता द्वारा (1R4) मिलता है। चरण 3: किसी तीसरे अलग तत्व (3) से जुड़ा निष्कर्ष बिना सूचना के नहीं निकाला जा सकता।
Since (1R2), (1) and (2) must lie in the same class.
Step 2
Why this answer is correct
Since (3) is not related to any distinct element, its class is ({3}).
Step 3
Exam Tip
Option A satisfies both conditions, with (4) as a singleton class. चरण 1: (1R2) होने से (1) और (2) एक ही वर्ग में होंगे। चरण 2: (3) किसी अलग तत्व से संबंधित नहीं है, इसलिए उसका वर्ग ({3}) होगा। चरण 3: विकल्प A में ये दोनों बातें पूरी हैं और (4) अकेला वर्ग बन सकता है।
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
(|a-a|=0<1), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(|a-b|=|b-a|), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
(0R0.6) and (0.6R1.2) are true, but (0R1.2) is false, so it is not transitive. चरण 1: (|a-a|=0<1), इसलिए परावर्ती है। चरण 2: (|a-b|=|b-a|), इसलिए सममित है। चरण 3: (0R0.6) और (0.6R1.2) सही हैं, पर (0R1.2) गलत है, इसलिए संक्रामकता नहीं है।
A. न परावर्ती, न सममित, न संक्रामक/Neither reflexive, symmetric, nor transitive
Step 1
Concept
(a-a=0), so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a-b=1), then (b-a=-1), so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
(2R1) and (1R0) are true, but (2R0) has difference (2), so transitivity also fails. चरण 1: (a-a=0), इसलिए परावर्ती नहीं है। चरण 2: (a-b=1) होने पर (b-a=-1), इसलिए सममितता नहीं है। चरण 3: (2R1) और (1R0) सही हैं, पर (2R0) के लिए अंतर (2) है, इसलिए संक्रामकता भी नहीं है।
A. यह तुल्यता संबंध है और वर्ग ({2,4,6},{1,3,5}) हैं/It is an equivalence relation with classes ({2,4,6},{1,3,5})
Step 1
Concept
Every number has the same divisibility type as itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
Same divisibility type is unchanged by reversing order, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
A chain of the same type remains in that type, so transitivity holds and the classes are even and odd numbers. चरण 1: हर संख्या अपने जैसे ही विभाज्यता प्रकार में आती है, इसलिए परावर्तन है। चरण 2: समान विभाज्यता प्रकार का क्रम बदलने से संबंध नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। चरण 3: समान प्रकार की श्रृंखला उसी प्रकार में रहती है, इसलिए संक्रामकता है और वर्ग सम तथा विषम संख्याओं के बनते हैं।
