(A) has 3 elements, so \(A \times A\) has 9 pairs.
Step 2
Why this answer is correct
A reflexive relation must contain 3 self-pairs, while the remaining (9-3=6) pairs are optional.
Step 3
Exam Tip
Hence the number of reflexive relations is \(2^6=64\). चरण 1: (A) में 3 तत्व हैं, इसलिए \(A \times A\) में (9) युग्म होंगे। चरण 2: परावर्ती संबंध में 3 अपने-अपने युग्म अनिवार्य हैं, बाकी (9-3=6) युग्म चुने या छोड़े जा सकते हैं। चरण 3: इसलिए कुल संख्या \(2^6=64\) होगी।
Reflexivity fixes 4 diagonal pairs, so (16-4=12) pairs are optional.
Step 3
Exam Tip
Each optional pair has two choices, giving \(2^{12}\). चरण 1: 4 तत्वों के लिए \(A \times A\) में (16) युग्म होंगे। चरण 2: परावर्ती होने के लिए 4 विकर्ण युग्म निश्चित रहेंगे, इसलिए वैकल्पिक युग्म (16-4=12) हैं। चरण 3: हर वैकल्पिक युग्म के लिए दो चुनाव हैं, अतः संख्या \(2^{12}\) है।
In a reflexive relation, (n) self-pairs are compulsory, so \(n^2-n\) pairs are free.
Step 3
Exam Tip
Therefore the number is \(2^{n^2-n}\). चरण 1: \(A \times A\) में \(n^2\) युग्म होते हैं। चरण 2: परावर्ती संबंध में (n) अपने-अपने युग्म अनिवार्य होते हैं, इसलिए बाकी \(n^2-n\) युग्म स्वतंत्र हैं। चरण 3: इसलिए कुल परावर्ती संबंध \(2^{n^2-n}\) होते हैं।
For (A), the required pairs are ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)).
Step 2
Why this answer is correct
Only ((3,3)) is missing in the given relation.
Step 3
Exam Tip
So adding one pair is enough. चरण 1: (A) के लिए ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)) जरूरी हैं। चरण 2: दिए गए संबंध में केवल ((3,3)) अनुपस्थित है। चरण 3: इसलिए एक युग्म जोड़ना पर्याप्त है।
A. क्योंकि \(X\subset X\) असत्य है/Because \(X\subset X\) is false
Step 1
Concept
\(X\subset Y\) means proper subset.
Step 2
Why this answer is correct
No set is a proper subset of itself.
Step 3
Exam Tip
In exams, clearly distinguish \(\subset\) and \(\subseteq\). चरण 1: \(X\subset Y\) वास्तविक उपसमुच्चय को दर्शाता है। चरण 2: कोई समुच्चय अपने-आप का वास्तविक उपसमुच्चय नहीं होता। चरण 3: \(\subset\) और \(\subseteq\) के अंतर को परीक्षा में जरूर पहचानें।
A. \(R\cap S\) परावर्ती है/\(R\cap S\) is reflexive
Step 1
Concept
Both relations contain ((1,1),(2,2),(3,3)).
Step 2
Why this answer is correct
The intersection keeps pairs common to both, so all self-pairs remain.
Step 3
Exam Tip
The intersection of two reflexive relations is reflexive. चरण 1: दोनों संबंधों में ((1,1),(2,2),(3,3)) मौजूद हैं। चरण 2: प्रतिच्छेद में वे युग्म रहेंगे जो दोनों में समान हैं, इसलिए सभी अपने-अपने युग्म रहेंगे। चरण 3: दो परावर्ती संबंधों का प्रतिच्छेद परावर्ती रहता है।
A. \(R\cup S\) परावर्ती होगा/\(R\cup S\) will be reflexive
Step 1
Concept
Both (R) and (S) contain all self-pairs of (A).
Step 2
Why this answer is correct
The union contains all pairs from both relations, so the self-pairs remain.
Step 3
Exam Tip
The union of reflexive relations is always reflexive. चरण 1: (R) और (S) दोनों में (A) के सभी अपने-अपने युग्म हैं। चरण 2: संघ में दोनों संबंधों के सभी युग्म आ जाते हैं, इसलिए अपने-अपने युग्म भी रहेंगे। चरण 3: परावर्ती संबंधों का संघ हमेशा परावर्ती होता है।
A. यह जरूरी नहीं कि परावर्ती हो/It need not be reflexive
Step 1
Concept
(S) contains all self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
In (R-S), pairs of (S) are removed, so self-pairs may also be removed.
Step 3
Exam Tip
In difference of relations, check whether compulsory pairs are being removed. चरण 1: (S) में सभी अपने-अपने युग्म होते हैं। चरण 2: (R-S) में (S) के युग्म हट जाते हैं, इसलिए अपने-अपने युग्म भी हट सकते हैं। चरण 3: अंतर वाले प्रश्नों में अनिवार्य युग्म हट रहे हैं या नहीं, यह जरूर देखें।
A. (T) का परावर्ती होना निश्चित नहीं है/Reflexivity of (T) is not guaranteed
Step 1
Concept
(R) has all self-pairs, but (T) may be a smaller part of (R).
Step 2
Why this answer is correct
Some self-pairs may be removed while forming (T).
Step 3
Exam Tip
Reflexivity is not automatically preserved in sub-relations. चरण 1: (R) में अपने-अपने युग्म हैं, पर (T) (R) का छोटा भाग हो सकता है। चरण 2: (T) बनाते समय कुछ अपने-अपने युग्म हट सकते हैं। चरण 3: उपसम संबंध में परावर्ती गुण अपने-आप नहीं बचता।
The number of reflexive relations is \(2^{25-5}=2^{20}\).
Step 3
Exam Tip
The ratio is \(2^{25}:2^{20}=2^5:1\). चरण 1: कुल संबंधों की संख्या \(2^{25}\) है। चरण 2: परावर्ती संबंधों की संख्या \(2^{25-5}=2^{20}\) है। चरण 3: अनुपात \(2^{25}:2^{20}=2^5:1\) होगा।
The fraction is \(\frac{2^6}{2^9}=\frac{1}{8}\). चरण 1: कुल संबंध \(2^9\) होंगे। चरण 2: परावर्ती संबंध \(2^{9-3}=2^6\) होंगे। चरण 3: भाग \(\frac{2^6}{2^9}=\frac{1}{8}\) है।
To have exactly 4 pairs, choose 1 pair from the 6 non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
The number is \(\binom{6}{1}=6\). चरण 1: 3 अपने-अपने युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: कुल 4 युग्म चाहिए, इसलिए 6 गैर-विकर्ण युग्मों में से 1 युग्म चुनना होगा। चरण 3: संख्या \(\binom{6}{1}=6\) होगी।
To have 5 total pairs, choose 2 from the 6 non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
The number is \(\binom{6}{2}=15\). चरण 1: परावर्ती होने के लिए 3 अपने-अपने युग्म निश्चित हैं। चरण 2: कुल 5 युग्म चाहिए, इसलिए 6 गैर-विकर्ण युग्मों में से 2 युग्म चुनेंगे। चरण 3: संख्या \(\binom{6}{2}=15\) होगी।
For 6 total pairs, choose 2 from (16-4=12) non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
The count is \(\binom{12}{2}=66\). चरण 1: 4 अपने-अपने युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: कुल 6 युग्म चाहिए, इसलिए (16-4=12) गैर-विकर्ण युग्मों में से 2 चुनने होंगे। चरण 3: संख्या \(\binom{12}{2}=66\) है।
