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A. यदि \((a,b)\in R\) हो तो \((b,a)\in R\) भी हो/If \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R\) also
Step 1
Concept
In a symmetric relation, reversing an ordered pair must keep it in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
So if \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R\) must also belong to (R).
Step 3
Exam Tip
In exams, always check the reverse of each pair. चरण 1: सममित संबंध में युग्म को उलटने पर भी वह संबंध में रहना चाहिए। चरण 2: इसलिए \((a,b)\in R\) के साथ \((b,a)\in R\) होना जरूरी है। चरण 3: परीक्षा में हमेशा हर उलटे युग्म को अलग से जाँचें।
The reverse of ((1,2)), which is ((2,1)), is present.
Step 2
Why this answer is correct
The reverse of ((2,1)) is also present, so the relation is symmetric.
Step 3
Exam Tip
For small sets, list every pair and its reverse. चरण 1: संबंध में ((1,2)) का उलटा ((2,1)) मौजूद है। चरण 2: ((2,1)) का उलटा ((1,2)) भी मौजूद है, इसलिए यह सममित है। चरण 3: छोटे समुच्चय में सभी युग्मों को लिखकर जाँच करना आसान रहता है।
Symmetry requires the reverse of every ordered pair.
Step 2
Why this answer is correct
Here ((1,2)) is present but ((2,1)) is missing.
Step 3
Exam Tip
Do not check only diagonal pairs; focus on reverse pairs. चरण 1: सममितता के लिए हर युग्म का उलटा युग्म चाहिए। चरण 2: यहाँ ((1,2)) है लेकिन ((2,1)) नहीं है। चरण 3: केवल विकर्ण युग्म न देखकर उलटे युग्मों पर ध्यान दें।
A. केवल ((a,a)) जैसे युग्मों वाले संबंध में/In a relation having only pairs like ((a,a))
Step 1
Concept
Reversing ((a,a)) gives the same pair ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore diagonal pairs do not break symmetry.
Step 3
Exam Tip
In exams, pairs of the form ((a,a)) are always safe for symmetry. चरण 1: ((a,a)) को उलटने पर फिर ((a,a)) ही मिलता है। चरण 2: इसलिए ऐसे विकर्ण युग्म सममितता को नहीं तोड़ते। चरण 3: परीक्षा में ((a,a)) वाले युग्म हमेशा सुरक्षित माने जाते हैं।
A symmetric relation must contain the reverse of every ordered pair.
Step 2
Why this answer is correct
The reverse of ((3,5)) is ((5,3)).
Step 3
Exam Tip
In such questions, swap the two positions first. चरण 1: सममित संबंध में किसी भी युग्म का उलटा युग्म जरूरी होता है। चरण 2: ((3,5)) का उलटा ((5,3)) है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले स्थानों को बदलकर उत्तर पहचानें।
If every non-diagonal pair has its reverse, the relation is symmetric. चरण 1: ((1,1)) और ((2,2)) अपने ही उलटे हैं। चरण 2: ((1,3)) के साथ ((3,1)) मौजूद है। चरण 3: यदि हर गैर-विकर्ण युग्म का उलटा मिल जाए, तो संबंध सममित है।
The reverse of ((2,3)), which is ((3,2)), is missing.
Step 3
Exam Tip
To make a relation symmetric, add only the missing reverse pairs. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) पहले से जोड़ी बनाते हैं। चरण 2: ((2,3)) का उलटा ((3,2)) गायब है। चरण 3: सममित बनाने में केवल गायब उलटे युग्म जोड़ें।
So whenever ((a,b)) belongs to (R), ((b,a)) also belongs to (R).
Step 3
Exam Tip
In addition-based rules, changing order does not change the sum. चरण 1: यदि (a+b) सम है, तो (b+a) भी सम होगा। चरण 2: इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी संबंध में आएगा। चरण 3: जोड़ वाले नियमों में क्रम बदलने से योग नहीं बदलता, इसलिए सममितता अक्सर मिलती है।
Thus the reverse pair also satisfies the same rule.
Step 3
Exam Tip
In subtraction rules, the sign changes but evenness does not. चरण 1: यदि (a-b) सम है, तो (b-a) भी सम होगा। चरण 2: इसलिए किसी युग्म का उलटा भी उसी नियम को पूरा करता है। चरण 3: घटाव के नियम में चिह्न बदलता है, पर सम या विषम होना नहीं बदलता।
A. हर युग्म का उलटा उपस्थित है/The reverse of every pair is present
Step 1
Concept
Diagonal pairs are their own reverses.
Step 2
Why this answer is correct
Both ((1,2)) and ((2,1)) are present.
Step 3
Exam Tip
When explaining, connect the answer directly with the definition. चरण 1: विकर्ण युग्म अपने ही उलटे होते हैं। चरण 2: ((1,2)) और ((2,1)) दोनों उपस्थित हैं। चरण 3: कारण बताते समय केवल परिभाषा से जोड़कर लिखें।
In option A, both ((1,2)) and ((2,1)) are present, and ((3,3)) is self-reverse.
Step 3
Exam Tip
In options, quickly spot missing reverse pairs. चरण 1: पहले गैर-विकर्ण युग्मों को पहचानें। चरण 2: पहले विकल्प में ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, तथा ((3,3)) अपने आप ठीक है। चरण 3: विकल्पों में गायब उलटे युग्म जल्दी पकड़ें।
A. हाँ, क्योंकि उलटा वही युग्म है/Yes, because its reverse is the same pair
Step 1
Concept
Reversing ((4,4)) gives ((4,4)) itself.
Step 2
Why this answer is correct
So no additional reverse pair is needed.
Step 3
Exam Tip
Pairs with equal entries do not create a problem for symmetry. चरण 1: ((4,4)) को उलटने पर ((4,4)) ही मिलता है। चरण 2: इसलिए कोई नया उलटा युग्म जोड़ने की जरूरत नहीं है। चरण 3: समान स्थान वाले युग्म सममितता में बाधा नहीं बनते।
The reverse of ((7,2)) is ((2,7)), so that must be present.
Step 3
Exam Tip
Symmetry does not automatically prove every diagonal pair. चरण 1: सममितता केवल उलटे युग्म की गारंटी देती है। चरण 2: ((7,2)) का उलटा ((2,7)) है, इसलिए वही अवश्य होगा। चरण 3: सममितता से हर विकर्ण युग्म अपने आप सिद्ध नहीं होता।
A. हर युग्म के उलटे युग्म पर/The reverse pair of every ordered pair
Step 1
Concept
Symmetry is based on a pair and its reverse.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, for every ((a,b)), check whether ((b,a)) is present.
Step 3
Exam Tip
Do not decide only by looking at the size of the set. चरण 1: सममितता युग्म और उसके उलटे युग्म पर आधारित होती है। चरण 2: इसलिए हर ((a,b)) के लिए ((b,a)) देखना जरूरी है। चरण 3: केवल समुच्चय का आकार देखकर निर्णय न लें।
All non-diagonal pairs occur in reverse pairs, so the relation is symmetric. चरण 1: ((1,2)) का उलटा ((2,1)) मौजूद है। चरण 2: ((3,2)) का उलटा ((2,3)) भी मौजूद है। चरण 3: सभी गैर-विकर्ण युग्म जोड़ी में हैं, इसलिए संबंध सममित है।
The reverse of ((2,3)), which is ((3,2)), is missing.
Step 3
Exam Tip
To make a relation symmetric, unnecessary diagonal pairs are not required. चरण 1: ((1,3)) और ((3,1)) पहले से संतुलित हैं। चरण 2: ((2,3)) का उलटा ((3,2)) अभी नहीं है। चरण 3: सममित बनाने में अनावश्यक विकर्ण युग्म जोड़ने की जरूरत नहीं होती।
A. क्योंकि ऐसा कोई युग्म नहीं है जिसका उलटा जाँचना पड़े/Because there is no pair whose reverse must be checked
Step 1
Concept
The condition of symmetry applies to every pair that is present.
Step 2
Why this answer is correct
The empty relation has no pair, so the condition is not violated.
Step 3
Exam Tip
In an empty case, the condition is treated as automatically true. चरण 1: सममितता की शर्त हर मौजूद युग्म पर लगती है। चरण 2: रिक्त संबंध में कोई युग्म है ही नहीं, इसलिए शर्त नहीं टूटती। चरण 3: खाली स्थिति में शर्त अपने आप सत्य मानी जाती है।
A. क्योंकि हर ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी \(A\times A\) में होता है/Because with every ((a,b)), ((b,a)) is also in \(A\times A\)
Step 1
Concept
\(A\times A\) contains all possible ordered pairs from (A).
Step 2
Why this answer is correct
Hence if ((a,b)) is present, ((b,a)) is also present.
Step 3
Exam Tip
Remember that the universal relation is symmetric. चरण 1: \(A\times A\) में (A) के सभी संभव क्रमित युग्म होते हैं। चरण 2: इसलिए यदि ((a,b)) है, तो ((b,a)) भी जरूर होगा। चरण 3: सार्वत्रिक संबंध को सममित मानना याद रखें।
In a symmetric relation, all reverse pairs already exist, so \(R^{-1}=R\).
Step 3
Exam Tip
This link between symmetry and inverse relation is useful in exams. चरण 1: प्रतिलोम संबंध में हर युग्म उलट जाता है। चरण 2: सममित संबंध में उलटे युग्म पहले से मौजूद होते हैं, इसलिए \(R^{-1}=R\) होता है। चरण 3: सममितता और प्रतिलोम संबंध का यह संबंध परीक्षा में उपयोगी है।
\(R^{-1}=R\) means every reverse pair is also in the same relation.
Step 2
Why this answer is correct
This is exactly the main condition of a symmetric relation.
Step 3
Exam Tip
When you see equality with the inverse relation, identify symmetry quickly. चरण 1: \(R^{-1}=R\) का अर्थ है कि हर उलटा युग्म भी उसी संबंध में है। चरण 2: यही सममित संबंध की मुख्य शर्त है। चरण 3: प्रतिलोम बराबरी देखकर तुरंत सममितता पहचानें।
If entries on both sides of the main diagonal match, reverse pairs occur together.
Step 2
Why this answer is correct
This represents the condition of symmetry.
Step 3
Exam Tip
In matrix questions, treat the main diagonal like a mirror line. चरण 1: आव्यूह में मुख्य विकर्ण के दोनों ओर समान प्रविष्टियाँ हों तो उलटे युग्म साथ-साथ मिलते हैं। चरण 2: यह सममितता की शर्त को दिखाता है। चरण 3: आव्यूह वाले प्रश्नों में मुख्य विकर्ण को दर्पण रेखा की तरह देखें।
\(m_{12}=1\) means ((1,2)) belongs to the relation.
Step 2
Why this answer is correct
By symmetry, ((2,1)) also belongs, so \(m_{21}=1\).
Step 3
Exam Tip
In a matrix, reversing a pair reverses the indices. चरण 1: \(m_{12}=1\) का अर्थ है कि ((1,2)) संबंध में है। चरण 2: सममितता के कारण ((2,1)) भी होगा, इसलिए \(m_{21}=1\) होगा। चरण 3: आव्यूह में स्थान उलटने पर सूचकांक भी उलटते हैं।
The reverse of each such pair is the same pair, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
The identity relation is always symmetric. चरण 1: सभी युग्म ((a,a)) के रूप में हैं। चरण 2: ऐसे युग्मों का उलटा वही युग्म होता है, इसलिए सममितता पूरी होती है। चरण 3: पहचान संबंध हमेशा सममित होता है।
A. संबंध में आने-जाने की दिशा दोनों तरफ हो/The relation works in both directions
Step 1
Concept
Symmetry simply means the relation remains true in both directions.
Step 2
Why this answer is correct
If ((a,b)) is present, ((b,a)) must also be present.
Step 3
Exam Tip
Remember it as a two-way relation. चरण 1: सममितता का सरल अर्थ है कि संबंध दोनों दिशाओं में बना रहे। चरण 2: ((a,b)) हो तो ((b,a)) भी होना चाहिए। चरण 3: इसे दोतरफा संबंध की तरह याद करें।
A relation formed by equality is symmetric. चरण 1: (a=b) होने पर युग्म ((a,a)) के रूप में बनता है। चरण 2: ((a,a)) का उलटा वही ((a,a)) है। चरण 3: बराबरी से बना पहचान संबंध सममित होता है।
Symmetry does not require all diagonal pairs to be present. चरण 1: ((1,2)) का उलटा ((2,1)) मौजूद है। चरण 2: ((1,1)) अपना ही उलटा है। चरण 3: सममितता के लिए सभी विकर्ण युग्म होना जरूरी नहीं है।
A. सममितता के लिए हर ((a,a)) का होना जरूरी है/Every ((a,a)) must be present for symmetry
Step 1
Concept
Symmetry asks only for reverses of the pairs that are present.
Step 2
Why this answer is correct
It does not require every ((a,a)) to be present.
Step 3
Exam Tip
Remember the difference between symmetric and reflexive relations. चरण 1: सममितता केवल मौजूद युग्मों के उलटे युग्म माँगती है। चरण 2: हर ((a,a)) का होना जरूरी नहीं है। चरण 3: सममित और स्वतुल्य संबंध में यह अंतर याद रखें।
A. नहीं, अलग से उलटे युग्म जाँचने पड़ते हैं/No, reverse pairs must be checked separately
Step 1
Concept
Reflexivity talks about pairs of the form ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
Symmetry talks about ((a,b)) and ((b,a)).
Step 3
Exam Tip
Do not mix different properties while deciding. चरण 1: स्वतुल्यता केवल ((a,a)) युग्मों की बात करती है। चरण 2: सममितता ((a,b)) और ((b,a)) की बात करती है। चरण 3: अलग गुणों को मिलाकर निर्णय न करें।
((1,1)) and ((2,2)) are fine because they are their own reverses.
Step 2
Why this answer is correct
The reverse of ((1,2)), ((2,1)), is missing.
Step 3
Exam Tip
Even one missing reverse pair breaks symmetry. चरण 1: ((1,1)) और ((2,2)) सही हैं क्योंकि वे अपने ही उलटे हैं। चरण 2: ((1,2)) का उलटा ((2,1)) नहीं है। चरण 3: एक भी उलटा युग्म गायब हो तो संबंध सममित नहीं रहता।
Its reverse ((2,1)) is absent, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
In options, check non-diagonal pairs first. चरण 1: पहले विकल्प में ((1,2)) है। चरण 2: उसका उलटा ((2,1)) नहीं है, इसलिए यह सममित नहीं है। चरण 3: विकल्पों में गैर-विकर्ण युग्म को पहले जाँचें।
A. यदि \((a,b)\in R\), तो \((b,a)\in R\)/If \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R\)
Step 1
Concept
Symmetry checks the ordered pair after swapping its two positions.
Step 2
Why this answer is correct
So the correct form is \((a,b)\in R\Rightarrow (b,a)\in R\).
Step 3
Exam Tip
Learn the meaning of the symbols, not only the statement. चरण 1: सममितता में युग्म के दोनों स्थान बदलकर देखा जाता है। चरण 2: इसलिए सही रूप \((a,b)\in R\Rightarrow (b,a)\in R\) है। चरण 3: प्रतीक देखकर अर्थ समझना सीखें, केवल याद न करें।
A pair is its own reverse when both entries are the same.
Step 2
Why this answer is correct
Reversing ((4,4)) gives ((4,4)).
Step 3
Exam Tip
Recognize such pairs as diagonal pairs. चरण 1: अपना ही उलटा वही युग्म होता है जिसमें दोनों स्थानों पर समान तत्व हों। चरण 2: ((4,4)) को उलटने पर ((4,4)) ही मिलता है। चरण 3: ऐसे युग्मों को विकर्ण युग्म कहकर पहचानें।
Do not treat conclusions as compulsory unless they follow from the definition. चरण 1: सममितता केवल ((b,a)) की उपस्थिति बताती है। चरण 2: इससे ((a,a)) का होना जरूरी नहीं होता। चरण 3: जो निष्कर्ष सीधे परिभाषा से न निकले, उसे अनिवार्य न मानें।
So the reverse pair ((b,a)) also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
In sum-based rules, changing order does not change the rule. चरण 1: यदि (a+b=5), तो (b+a=5) भी होगा। चरण 2: इसलिए ((a,b)) का उलटा ((b,a)) भी संबंध में आएगा। चरण 3: योग वाले नियमों में क्रम बदलने से नियम नहीं बदलता।
A. क्योंकि (a<b) होने पर (b<a) सत्य नहीं होता/Because if (a<b), then (b<a) is not true
Step 1
Concept
(a<b) is a one-direction rule.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) belongs, but ((2,1)) does not satisfy the rule.
Step 3
Exam Tip
If at least one reverse pair fails, the relation is not symmetric. चरण 1: (a<b) एक दिशा वाला नियम है। चरण 2: ((1,2)) है, पर ((2,1)) नियम को पूरा नहीं करता। चरण 3: कम-से-कम एक उलटा युग्म असफल हो तो संबंध सममित नहीं है।
((1,2)) belongs to the relation because \(1\le 2\).
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) does not belong because \(2\le 1\) is false.
Step 3
Exam Tip
Order-based rules are often not symmetric. चरण 1: ((1,2)) संबंध में है क्योंकि \(1\le 2\)। चरण 2: ((2,1)) संबंध में नहीं है क्योंकि \(2\le 1\) गलत है। चरण 3: क्रम वाले नियमों में सममितता अक्सर नहीं होती।
Symmetry is proved when all reverse pairs are present. चरण 1: ((1,2)) के साथ ((2,1)) है। चरण 2: ((2,3)) के साथ ((3,2)) है और ((1,1)) सुरक्षित है। चरण 3: सभी उलटे युग्म मिलने पर सममितता सिद्ध होती है।
A symmetric relation must contain the reverse of every pair.
Step 2
Why this answer is correct
Here ((5,8)) is present but ((8,5)) is absent.
Step 3
Exam Tip
Even one missing reverse pair destroys symmetry. चरण 1: सममित संबंध में हर युग्म का उलटा होना आवश्यक है। चरण 2: यहाँ ((5,8)) है पर ((8,5)) नहीं है। चरण 3: एक कमी भी सममितता को तोड़ देती है।
A. ((a,b)) तब जब (a+b) सम हो/((a,b)) when (a+b) is even
Step 1
Concept
The value of (a+b) remains the same after changing order.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, if (a+b) is even, then (b+a) is also even.
Step 3
Exam Tip
When a rule is not affected by order, check for symmetry. चरण 1: (a+b) का मान क्रम बदलने पर वही रहता है। चरण 2: इसलिए (a+b) सम होने पर (b+a) भी सम होगा। चरण 3: जहाँ नियम क्रम से प्रभावित न हो, वहाँ सममितता जाँचें।
Both ((2,3)) and ((3,2)) are present, and diagonal pairs are fine.
Step 3
Exam Tip
If every pair has its reverse, the relation is symmetric. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) दोनों मौजूद हैं। चरण 2: ((2,3)) और ((3,2)) दोनों मौजूद हैं, तथा विकर्ण युग्म अपने आप ठीक हैं। चरण 3: हर युग्म का उलटा मिल जाए तो संबंध सममित है।
A. यदि एक मौजूद है तो दूसरा भी मौजूद होगा/If one is present, the other will also be present
Step 1
Concept
Symmetry keeps a pair and its reverse together.
Step 2
Why this answer is correct
So if ((a,b)) is present, ((b,a)) must also be present.
Step 3
Exam Tip
Remember it as pairwise checking. चरण 1: सममितता युग्म और उसके उलटे युग्म को साथ रखती है। चरण 2: इसलिए ((a,b)) हो तो ((b,a)) भी होना चाहिए। चरण 3: इसे जोड़ीदार जाँच की तरह याद करें।
A. हाँ, क्योंकि दोनों एक-दूसरे के उलटे हैं/Yes, because both are reverses of each other
Step 1
Concept
The reverse of ((1,2)) is ((2,1)).
Step 2
Why this answer is correct
Both pairs are present, so symmetry is satisfied.
Step 3
Exam Tip
Diagonal pairs are not compulsory for symmetry. चरण 1: ((1,2)) का उलटा ((2,1)) है। चरण 2: दोनों युग्म मौजूद हैं, इसलिए सममितता पूरी है। चरण 3: सममितता के लिए विकर्ण युग्म अनिवार्य नहीं होते।
A. जब किसी युग्म का उलटा युग्म अनुपस्थित हो/When the reverse of a pair is absent
Step 1
Concept
The main condition of symmetry is the presence of reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
If any reverse pair is missing, the condition fails.
Step 3
Exam Tip
One counterexample is enough to disprove symmetry. चरण 1: सममितता की मुख्य शर्त उलटे युग्म की उपस्थिति है। चरण 2: यदि कोई भी उलटा युग्म गायब हो, तो शर्त टूट जाती है। चरण 3: असफलता के लिए केवल एक उदाहरण काफी होता है।
For a pair to be its own reverse, both entries must be equal.
Step 2
Why this answer is correct
In ((2,2)), both entries are equal.
Step 3
Exam Tip
Identifying diagonal pairs quickly helps in checking symmetry. चरण 1: अपना उलटा स्वयं होने के लिए दोनों घटक समान होने चाहिए। चरण 2: ((2,2)) में दोनों घटक समान हैं। चरण 3: विकर्ण युग्मों को जल्दी पहचानना सममितता जाँचने में मदद करता है।
Therefore, the reverse pair also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
In absolute difference rules, changing order does not change the value. चरण 1: यदि (|a-b|=1), तो (|b-a|=1) भी होगा। चरण 2: इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी संबंध में आएगा। चरण 3: निरपेक्ष अंतर वाले नियमों में क्रम बदलने से मान नहीं बदलता।
Only pairs present in the relation need their reverses. चरण 1: ((1,3)) का उलटा ((3,1)) उपस्थित है। चरण 2: ((2,2)) और ((3,3)) अपने ही उलटे हैं। चरण 3: जो युग्म संबंध में है, केवल उसी का उलटा चाहिए।
The given statement says the reverse pair is always present.
Step 2
Why this answer is correct
This is exactly the definition of a symmetric relation.
Step 3
Exam Tip
In name-identification questions, match the statement directly with the definition. चरण 1: दिए गए कथन में युग्म का उलटा हमेशा मौजूद है। चरण 2: यही सममित संबंध की परिभाषा है। चरण 3: नाम पहचानने वाले प्रश्नों में परिभाषा को सीधे मिलाएँ।
A. नहीं, क्योंकि उसका उलटा वही है/No, because its reverse is the same
Step 1
Concept
In ((6,6)), both entries are equal.
Step 2
Why this answer is correct
Reversing it still gives ((6,6)).
Step 3
Exam Tip
Treat pairs with equal entries as immediately safe for symmetry. चरण 1: ((6,6)) में दोनों घटक समान हैं। चरण 2: इसे उलटने पर भी ((6,6)) ही मिलता है। चरण 3: समान घटक वाले युग्मों को तुरंत सुरक्षित मानें।
Add the missing reverse pair to complete symmetry. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) पहले से उलटे युग्म हैं। चरण 2: ((3,4)) का उलटा ((4,3)) अभी नहीं है। चरण 3: सममित पूरा करने के लिए गायब उलटे युग्म को जोड़ें।
A correct example must contain the reverse of every pair.
Step 2
Why this answer is correct
In ({(1,2),(2,1)}), both pairs are reverses of each other.
Step 3
Exam Tip
Small examples help you remember the definition clearly. चरण 1: सही उदाहरण में हर युग्म का उलटा होना चाहिए। चरण 2: ({(1,2),(2,1)}) में दोनों युग्म एक-दूसरे के उलटे हैं। चरण 3: छोटे उदाहरण से परिभाषा याद रखना आसान होता है।
