फलन (f(x)=\frac{x+2}{x-1}) का वास्तविक प्रान्त क्या है?
What is the real domain of (f(x)=\frac{x+2}{x-1})?
#domain
#rational function
#denominator restriction
A (R-{1})
B (R-{-2})
C (R)
D \([1,\infty\))
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Correct Answer
A. (R-{1})
Step 1
Concept
हर (x-1) शून्य नहीं होना चाहिए। / The denominator (x-1) must not be zero.
Step 2
Why this answer is correct
(x-1=0) से (x=1) मिलता है। / (x-1=0) gives (x=1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (1) को हटाकर सभी वास्तविक संख्याएँ प्रान्त हैं। / So the domain is all real numbers except (1).
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(B=\{a,b\}\), तो (A) से (B) में कुल कितने फलन बन सकते हैं?
If \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(B=\{a,b\}\), how many functions can be formed from (A) to (B)?
#number of functions
#finite sets
#counting
A (16)
B (8)
C (6)
D (4)
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Step 1
Concept
(A) में (4) अवयव हैं और (B) में (2) विकल्प हैं। / (A) has (4) elements and (B) gives (2) choices.
Step 2
Why this answer is correct
हर अवयव के लिए (2) छवि विकल्प हैं। / Each element has (2) image choices.
Step 3
Exam Tip
कुल फलन \(2^4=16\) होंगे। / Total functions are \(2^4=16\).
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यदि (A) में (3) अवयव और (B) में (4) अवयव हैं, तो (A) से (B) में कुल फलनों की संख्या कितनी होगी?
If (A) has (3) elements and (B) has (4) elements, how many functions are there from (A) to (B)?
#counting functions
#finite sets
#domain codomain
A (64)
B (12)
C (81)
D (7)
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Step 1
Concept
कुल फलनों की संख्या \(n^m\) होती है। / The number of functions is \(n^m\).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ (m=3) और (n=4) हैं। / Here (m=3) and (n=4).
Step 3
Exam Tip
इसलिए संख्या \(4^3=64\) है। / Therefore the number is \(4^3=64\).
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यदि \(A=\{1,2\}\) और \(B=\{a,b,c\}\), तो (A) से (B) में एक-एकी फलनों की संख्या कितनी है?
If \(A=\{1,2\}\) and \(B=\{a,b,c\}\), how many one-one functions are there from (A) to (B)?
#one one functions
#counting
#finite sets
A (6)
B (9)
C (3)
D (2)
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Step 1
Concept
एक-एकी फलन में दोनों आगतों की छवियाँ अलग होंगी। / In a one-one function, the two inputs must have distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
पहले आगत के लिए (3) और दूसरे के लिए (2) विकल्प हैं। / The first input has (3) choices and the second has (2) choices.
Step 3
Exam Tip
कुल \(3\cdot2=6\) एक-एकी फलन हैं। / Total one-one functions are \(3\cdot2=6\).
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यदि \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{a,b,c\}\), और \(f=\{(1,a),(2,b),(3,c)\}\), तो (f) कैसा है?
If \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{a,b,c\}\), and \(f=\{(1,a),(2,b),(3,c)\}\), what type of function is (f)?
#bijective function
#finite mapping
#one one onto
A उभयैक / Bijective
B केवल बहु-एकी / Only many-one
C आच्छादक नहीं / Not onto
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. उभयैक / Bijective
Step 1
Concept
तीनों आगतों की छवियाँ अलग-अलग हैं, इसलिए फलन एक-एकी है। / The three inputs have distinct images, so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
(B) के सभी अवयव छवि के रूप में आए हैं, इसलिए आच्छादक है। / All elements of (B) appear as images, so it is onto.
Step 3
Exam Tip
एक-एकी और आच्छादक दोनों होने से यह उभयैक है। / Since it is both one-one and onto, it is bijective.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{a,b,c\}\), और \(f=\{(1,a),(2,a),(3,c)\}\), तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{a,b,c\}\), and \(f=\{(1,a),(2,a),(3,c)\}\), what is correct about (f)?
#finite function
#not one one
#not onto
A यह न एक-एकी है न आच्छादक / It is neither one-one nor onto
B यह उभयैक है / It is bijective
C यह केवल आच्छादक है / It is only onto
D यह फलन नहीं है / It is not a function
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Correct Answer
A. यह न एक-एकी है न आच्छादक / It is neither one-one nor onto
Step 1
Concept
(1) और (2) दोनों की छवि (a) है, इसलिए एक-एकी नहीं है। / Both (1) and (2) map to (a), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
(b) सहप्रान्त में है पर छवि नहीं है, इसलिए आच्छादक नहीं है। / (b) is in the codomain but is not an image, so it is not onto.
Step 3
Exam Tip
फिर भी हर आगत की एक छवि है, इसलिए यह फलन है। / Still, every input has one image, so it is a function.
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फलन \(f:R\to R\), (f(x)=5x-2) एक-एकी क्यों है?
Why is \(f:R\to R\), (f(x)=5x-2), one-one?
#one one proof
#linear function
#injective
A क्योंकि (f(a)=f(b)) से (a=b) मिलता है / Because (f(a)=f(b)) gives (a=b)
B क्योंकि सभी छवियाँ समान हैं / Because all images are the same
C क्योंकि यह स्थिर है / Because it is constant
D क्योंकि इसका परास ({-2}) है / Because its range is ({-2})
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Correct Answer
A. क्योंकि (f(a)=f(b)) से (a=b) मिलता है / Because (f(a)=f(b)) gives (a=b)
Step 1
Concept
मान लें (f(a)=f(b))। / Assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
तब (5a-2=5b-2), इसलिए (5a=5b)। / Then (5a-2=5b-2), so (5a=5b).
Step 3
Exam Tip
इससे (a=b) मिलता है, इसलिए फलन एक-एकी है। / This gives (a=b), so the function is one-one.
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फलन \(f:R\to R\), (f(x)=x-2 -9) एक-एकी क्यों नहीं है?
Why is \(f:R\to R\), (f(x)=x-2 -9), not one-one?
#not one one
#quadratic function
#many one
A क्योंकि (f(3)=f(-3)) / Because (f(3)=f(-3))
B क्योंकि (f(0)=-9) / Because (f(0)=-9)
C क्योंकि (f(1)=-8) / Because (f(1)=-8)
D क्योंकि यह परिभाषित नहीं है / Because it is not defined
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Correct Answer
A. क्योंकि (f(3)=f(-3)) / Because (f(3)=f(-3))
Step 1
Concept
एक-एकी में अलग आगतों की छवियाँ अलग होती हैं। / In a one-one function, different inputs have different images.
Step 2
Why this answer is correct
\(3\ne -3\), पर (f(3)=0) और (f(-3)=0)। / \(3\ne -3\), but (f(3)=0) and (f(-3)=0).
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह फलन एक-एकी नहीं है। / Therefore this function is not one-one.
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यदि \(f:R\to R\), (f(x)=x-3 -2), तो क्या (f) आच्छादक है?
If \(f:R\to R\), (f(x)=x-3 -2), is (f) onto?
#onto function
#cubic function
#real numbers
A हाँ, क्योंकि हर वास्तविक (y) के लिए \(x=\sqrt[3]{y+2}\) मिल जाता है / Yes, because for every real (y), \(x=\sqrt[3]{y+2}\) exists
B नहीं, क्योंकि घन हमेशा धनात्मक होता है / No, because a cube is always positive
C नहीं, क्योंकि (-2) छवि नहीं है / No, because (-2) is not an image
D नहीं, क्योंकि यह स्थिर फलन है / No, because it is constant
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Correct Answer
A. हाँ, क्योंकि हर वास्तविक (y) के लिए \(x=\sqrt[3]{y+2}\) मिल जाता है / Yes, because for every real (y), \(x=\sqrt[3]{y+2}\) exists
Step 1
Concept
आच्छादकता के लिए हर वास्तविक (y) की पूर्वछवि चाहिए। / For onto, every real (y) must have a preimage.
Step 2
Why this answer is correct
\(x^3-2=y\) से \(x=\sqrt[3]{y+2}\) मिलता है। / From \(x^3-2=y\), we get \(x=\sqrt[3]{y+2}\).
Step 3
Exam Tip
यह हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है, इसलिए फलन आच्छादक है। / This is real for every real (y), so the function is onto.
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फलन \(f:R\to R\), (f(x)=|x+2|) एक-एकी क्यों नहीं है?
Why is \(f:R\to R\), (f(x)=|x+2|), not one-one?
#absolute value function
#not one one
#many one
A क्योंकि (f(-3)=f(-1)) / Because (f(-3)=f(-1))
B क्योंकि (f(-2)=0) / Because (f(-2)=0)
C क्योंकि (f(0)=2) / Because (f(0)=2)
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
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Correct Answer
A. क्योंकि (f(-3)=f(-1)) / Because (f(-3)=f(-1))
Step 1
Concept
(f(-3)=|-3+2|=1)। / (f(-3)=|-3+2|=1).
Step 2
Why this answer is correct
(f(-1)=|-1+2|=1)। / (f(-1)=|-1+2|=1).
Step 3
Exam Tip
दो अलग आगतों की छवि समान है, इसलिए फलन एक-एकी नहीं है। / Two different inputs have the same image, so the function is not one-one.
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