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Read both boundary conditions separately before making the list. चरण 1: (4<x) होने से (4) शामिल नहीं होगा। चरण 2: \(x\leq 10\) होने से (10) शामिल होगा। चरण 3: दोनों सीमाओं को अलग-अलग देखकर सूची बनाना सुरक्षित रहता है।
The difference between consecutive elements is (3).
Step 2
Why this answer is correct
For (n=0,1,2,3,4), (3n+1) gives (1,4,7,10,13).
Step 3
Exam Tip
Use the common difference to identify the set-builder rule. चरण 1: दिए गए सदस्यों में अंतर हर बार (3) है। चरण 2: (n=0,1,2,3,4) रखने पर (3n+1) से (1,4,7,10,13) मिलते हैं। चरण 3: क्रमागत अंतर देखकर निर्माण नियम पहचानें।
The elements are (-4,-3,-2,-1,0,1,2,3), so there are (8).
Step 3
Exam Tip
When counting across negative and positive integers, include (0). चरण 1: (-5<x) होने से (-5) शामिल नहीं है। चरण 2: सदस्य (-4,-3,-2,-1,0,1,2,3) हैं, इसलिए कुल (8) हैं। चरण 3: ऋणात्मक से धनात्मक तक गिनते समय (0) को जरूर गिनें।
C. कक्षा के पसंदीदा विद्यार्थी/Favourite students of a class
Step 1
Concept
Membership in a set must be clear.
Step 2
Why this answer is correct
Favourite students can depend on personal opinion, so the collection is not well-defined.
Step 3
Exam Tip
Be careful with collections based on feelings or preferences. चरण 1: समुच्चय में सदस्यता स्पष्ट होनी चाहिए। चरण 2: पसंदीदा विद्यार्थी व्यक्ति के विचार पर निर्भर कर सकते हैं, इसलिए यह स्पष्ट संग्रह नहीं है। चरण 3: भावना या पसंद पर आधारित संग्रह से सावधान रहें।
The solutions are (x=3) and (x=4), and both are natural numbers.
Step 3
Exam Tip
After solving, always check the given number set. चरण 1: \(x^2-7x+12=0\) को ((x-3)(x-4)=0) लिखा जा सकता है। चरण 2: हल (x=3) और (x=4) हैं, और दोनों प्राकृतिक संख्याएँ हैं। चरण 3: हल निकालने के बाद संख्या-समूह की शर्त जरूर मिलाएँ।
First list all factors, then filter using the second condition. चरण 1: (28) के धनात्मक गुणनखंड (1,2,4,7,14,28) हैं। चरण 2: इनमें सम सदस्य (2,4,14,28) हैं। चरण 3: पहले सभी गुणनखंड लिखें, फिर दूसरी शर्त से छाँटें।
The equation \(x^2=49\) can have two integer solutions.
Step 2
Why this answer is correct
((-7)2=49) and \(7^2=49\), so both are elements.
Step 3
Exam Tip
For integer square equations, do not forget the negative solution. चरण 1: \(x^2=49\) के दो पूर्णांक हल हो सकते हैं। चरण 2: ((-7)2=49) और \(7^2=49\), इसलिए दोनों सदस्य हैं। चरण 3: पूर्णांकों में वर्ग समीकरण के ऋणात्मक हल को न भूलें।
Equal sets have exactly the same distinct elements.
Step 2
Why this answer is correct
In the first option, both sets have the distinct elements (0,2,4,6).
Step 3
Exam Tip
Ignore order and repetition, but not an extra element. चरण 1: समान समुच्चयों में अलग सदस्य बिल्कुल एक जैसे होते हैं। चरण 2: पहले विकल्प में दोनों में अलग सदस्य (0,2,4,6) ही हैं। चरण 3: क्रम और दोहराव को अनदेखा करें, लेकिन अतिरिक्त सदस्य को नहीं।
The factors of (25) are (1,5,25), so the common factors are (1,5).
Step 3
Exam Tip
For common factors, choose elements present in both lists. चरण 1: (15) के गुणनखंड (1,3,5,15) हैं। चरण 2: (25) के गुणनखंड (1,5,25) हैं, इसलिए सामान्य गुणनखंड (1,5) हैं। चरण 3: सामान्य गुणनखंड के लिए दोनों सूचियों में आने वाले सदस्य चुनें।
The multiples of (5) less than (30) in this range are (15,20,25).
Step 3
Exam Tip
Do not include (30) because the condition is (x<30). चरण 1: \(15\leq x\) होने से (15) शामिल है। चरण 2: (30) से कम (5) से विभाज्य सदस्य (15,20,25) हैं। चरण 3: अंतिम सीमा (30) को शामिल न करें क्योंकि (x<30) दिया है।
A. पहली पाँच प्राकृतिक संख्याओं के दोगुने वर्ग/Twice the squares of the first five natural numbers
Step 1
Concept
Take twice the squares of (1,2,3,4,5).
Step 2
Why this answer is correct
This gives (2,8,18,32,50).
Step 3
Exam Tip
Being even is not enough; identify the full pattern. चरण 1: \(1^2,2^2,3^2,4^2,5^2\) के दोगुने लें। चरण 2: इससे (2,8,18,32,50) मिलते हैं। चरण 3: केवल सम होने से पैटर्न पूरा नहीं समझ आता, नियम पहचानना जरूरी है।
(|x|<4) means the distance from (0) is less than (4).
Step 2
Why this answer is correct
Integers from (-3) to (3) satisfy it.
Step 3
Exam Tip
In absolute value, check (0) and values on both sides. चरण 1: (|x|<4) का अर्थ है (0) से दूरी (4) से कम हो। चरण 2: पूर्णांक (-3) से (3) तक यह शर्त पूरी करते हैं। चरण 3: परिमाण में (0) और दोनों दिशाओं के मान जाँचें।
Multiples of (8) less than (60) are (8,16,24,32,40,48,56).
Step 2
Why this answer is correct
(64) is a multiple of (8), but it is not less than (60).
Step 3
Exam Tip
For membership, apply all conditions together. चरण 1: (60) से कम (8) के गुणज (8,16,24,32,40,48,56) हैं। चरण 2: (64) (8) का गुणज है, पर (60) से कम नहीं है। चरण 3: सदस्यता जाँचते समय सभी शर्तें साथ में लागू करें।
Natural numbers are taken as positive and start from (1).
Step 2
Why this answer is correct
There is no natural number less than (0).
Step 3
Exam Tip
If no element satisfies the condition, the set is empty. चरण 1: प्राकृतिक संख्याएँ धनात्मक मानी जाती हैं और (1) से शुरू होती हैं। चरण 2: (0) से छोटी कोई प्राकृतिक संख्या नहीं है। चरण 3: यदि कोई सदस्य शर्त पूरी न करे, तो समुच्चय रिक्त होता है।
Positive multiples of (12) are \(12,24,36,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
The last multiple less than (120) is (108), so there are (9) multiples.
Step 3
Exam Tip
With a less-than limit, do not include the boundary number. चरण 1: (12) के धनात्मक गुणज \(12,24,36,\ldots\) होते हैं। चरण 2: (120) से कम अंतिम गुणज (108) है, इसलिए (9) गुणज हैं। चरण 3: छोटी सीमा हो तो सीमा संख्या को शामिल न करें।
A two-digit prime is searched among numbers (10) and above.
Step 2
Why this answer is correct
Such primes less than (30) are (11,13,17,19,23,29).
Step 3
Exam Tip
Remove composite numbers such as (15,21,25,27). चरण 1: दो अंकों की अभाज्य संख्या (10) से बड़ी या बराबर संख्या में खोजी जाएगी। चरण 2: (30) से कम ऐसी संख्याएँ (11,13,17,19,23,29) हैं। चरण 3: अभाज्य जाँचते समय (15,21,25,27) जैसी संयुक्त संख्याएँ हटाएँ।
Since (x<6), the elements are (0,1,2,3,4,5), so (6) is not a member.
Step 3
Exam Tip
While finding the false statement, focus on the boundary number. चरण 1: (W) में (0) शामिल होता है। चरण 2: (x<6) होने से सदस्य (0,1,2,3,4,5) हैं, इसलिए (6) सदस्य नहीं है। चरण 3: गलत कथन खोजते समय सीमा वाली संख्या पर विशेष ध्यान दें।
So the rule \(x=3^n\) with \(1\leq n\leq 4\) is correct.
Step 3
Exam Tip
Recognize the difference between multiples and powers. चरण 1: (3,9,27,81) क्रमशः \(3^1,3^2,3^3,3^4\) हैं। चरण 2: इसलिए नियम \(x=3^n\) और \(1\leq n\leq 4\) सही है। चरण 3: गुणज और घात के अंतर को पहचानना जरूरी है।
(0) is also an even number, so do not omit it. चरण 1: (-7) और (3) के बीच के पूर्णांक देखें। चरण 2: उनमें सम सदस्य (-6,-4,-2,0,2) हैं। चरण 3: (0) भी सम संख्या है, इसलिए उसे न छोड़ें।
Natural numbers divisible by (9) up to (45) are (9,18,27,36,45).
Step 2
Why this answer is correct
(45) is included because the condition uses \(\leq\).
Step 3
Exam Tip
With \(\leq\), check the boundary number as a possible member. चरण 1: (9) से विभाज्य और (45) तक की प्राकृतिक संख्याएँ (9,18,27,36,45) हैं। चरण 2: (45) सीमा में शामिल है क्योंकि \(\leq\) दिया है। चरण 3: \(\leq\) वाली सीमा में अंतिम संख्या को भी जाँचें।
Keep the empty set and the set containing zero separate. चरण 1: \(\varnothing\) में कोई सदस्य नहीं होता। चरण 2: ({0}) में (0) एक सदस्य के रूप में मौजूद है। चरण 3: खाली समुच्चय और शून्य वाले समुच्चय को अलग रखें।
Squares of natural numbers must be less than (50).
Step 2
Why this answer is correct
\(7^2=49\), but \(8^2=64\).
Step 3
Exam Tip
To find the greatest element, also check the square of the next number. चरण 1: प्राकृतिक संख्याओं के वर्ग (50) से छोटे होने चाहिए। चरण 2: \(7^2=49\) है, पर \(8^2=64\) है। चरण 3: सबसे बड़ा सदस्य खोजते समय अगली संख्या का वर्ग भी जाँचें।
For powers of (2), list all powers up to the number itself. चरण 1: (32) के धनात्मक गुणनखंड (1,2,4,8,16,32) हैं। चरण 2: इनकी संख्या (6) है। चरण 3: (2) की घातों के गुणनखंड गिनते समय सभी घातें देखें।
A. (30) तक (6) के धनात्मक गुणज/Positive multiples of (6) up to (30)
Step 1
Concept
All elements are multiples of (6).
Step 2
Why this answer is correct
(30) is included, so up to (30) is correct.
Step 3
Exam Tip
Up to and less than change the last element. चरण 1: सभी सदस्य (6) के गुणज हैं। चरण 2: (30) भी सूची में है, इसलिए (30) तक कहना सही है। चरण 3: तक और से कम में अंतर अंतिम सदस्य को बदल देता है।
For \(x^2\leq 9\), integers can range from (-3) to (3).
Step 2
Why this answer is correct
The elements are (-3,-2,-1,0,1,2,3).
Step 3
Exam Tip
In square conditions, include both signs and (0). चरण 1: \(x^2\leq 9\) के लिए पूर्णांक (-3) से (3) तक हो सकते हैं। चरण 2: सदस्य (-3,-2,-1,0,1,2,3) हैं। चरण 3: वर्ग वाली शर्त में दोनों चिह्न और (0) शामिल करें।
Multiples of (11) less than (70) are (11,22,33,44,55,66).
Step 3
Exam Tip
Do not include the next multiple beyond the limit. चरण 1: प्राकृतिक गुणज (11) से शुरू होंगे। चरण 2: (70) से कम (11) के गुणज (11,22,33,44,55,66) हैं। चरण 3: सीमा से बड़ा अगला गुणज शामिल नहीं करना चाहिए।
After solving the inequality, choose only natural values. चरण 1: (3x-2<13) से (3x<15) मिलता है। चरण 2: इसलिए (x<5), और प्राकृतिक संख्याएँ (1,2,3,4) होंगी। चरण 3: असमानता हल करने के बाद केवल प्राकृतिक मान चुनें।
From \(2x+1\leq 9\), we get \(2x\leq 8\), so \(x\leq 4\).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(x\in W\), the elements are (0,1,2,3,4).
Step 3
Exam Tip
Do not forget (0) in whole numbers. चरण 1: \(2x+1\leq 9\) से \(2x\leq 8\) और \(x\leq 4\) मिलता है। चरण 2: \(x\in W\) होने से (0,1,2,3,4) सदस्य होंगे। चरण 3: पूर्ण संख्याओं में (0) को शामिल करना न भूलें।
The word between usually excludes the endpoints (14) and (35).
Step 2
Why this answer is correct
The multiples of (7) inside are (21) and (28).
Step 3
Exam Tip
In between-type questions, do not include endpoints automatically. चरण 1: बीच शब्द सामान्यतः सिरों (14) और (35) को छोड़ता है। चरण 2: अंदर आने वाले (7) के गुणज (21) और (28) हैं। चरण 3: बीच वाले प्रश्न में सिरों को तुरंत शामिल न करें।
Write a factor only if it divides the number exactly. चरण 1: (48) के छोटे धनात्मक गुणनखंड जाँचें। चरण 2: (10) से कम गुणनखंड (1,2,3,4,6,8) हैं। चरण 3: गुणनखंड तभी लिखें जब वह संख्या को पूरा भाग दे।
(q) is present in the list, so \(q\in E\) is correct.
Step 3
Exam Tip
In membership questions, directly match with the listed elements. चरण 1: दिए गए समुच्चय में सदस्य (m,n,o,p,q) हैं। चरण 2: (q) सूची में मौजूद है, इसलिए \(q\in E\) सही है। चरण 3: सदस्यता के प्रश्न में सीधे दिए गए सदस्यों से मिलान करें।
Odd composite numbers less than (25) are (9,15,21).
Step 3
Exam Tip
(1) is not considered a composite number. चरण 1: संयुक्त संख्या के दो से अधिक गुणनखंड होते हैं। चरण 2: (25) से कम विषम संयुक्त संख्याएँ (9,15,21) हैं। चरण 3: (1) को संयुक्त संख्या नहीं माना जाता।
Check boundary numbers carefully in membership questions. चरण 1: \(-2\leq x\) होने से (-2) शामिल है। चरण 2: (x<5) होने से (5) शामिल नहीं है। चरण 3: सीमा पर दी गई संख्या को सदस्यता में खास तौर पर जाँचें।
Removing the factors of (10), namely (1,2,5,10), leaves (3,4,6,7,8,9).
Step 3
Exam Tip
In a not-condition, first identify what must be removed. चरण 1: (1) से (10) तक की प्राकृतिक संख्याएँ लें। चरण 2: (10) के गुणनखंड (1,2,5,10) हटाने पर (3,4,6,7,8,9) बचते हैं। चरण 3: नहीं वाली शर्त में पहले हटाए जाने वाले सदस्य पहचानें।
From \(2x-1\leq 7\), we get \(2x\leq 8\), so \(x\leq 4\).
Step 2
Why this answer is correct
\(I=\{1,2,3,4\}\), so it is a finite set.
Step 3
Exam Tip
Countable elements that end form a finite set. चरण 1: \(2x-1\leq 7\) से \(2x\leq 8\) और \(x\leq 4\) मिलता है। चरण 2: \(I=\{1,2,3,4\}\) है, इसलिए यह सीमित समुच्चय है। चरण 3: गिने जा सकने वाले और समाप्त होने वाले सदस्य सीमित समुच्चय बनाते हैं।
(0,15,30,45) are divisible by (15) and less than (60).
Step 3
Exam Tip
When whole numbers are given, check (0) carefully. चरण 1: पूर्ण संख्याओं में (0) शामिल होता है। चरण 2: (0,15,30,45) सभी (15) से विभाज्य और (60) से कम हैं। चरण 3: पूर्ण संख्या दी हो तो (0) को जाँचना जरूरी है।
Together with (x>2), the elements are (3,4,5,6,7).
Step 3
Exam Tip
Convert the language into inequalities and take the common part. चरण 1: (7) से बड़ा नहीं का अर्थ \(x\leq 7\) है। चरण 2: साथ में (x>2) होने से (3,4,5,6,7) मिलते हैं। चरण 3: भाषा को असमानता में बदलकर दोनों शर्तों का साझा भाग लें।
C. यह दो सदस्य वाला सीमित समुच्चय है/It is a finite set with two elements
Step 1
Concept
(17) is a prime number.
Step 2
Why this answer is correct
Its natural factors are only (1) and (17).
Step 3
Exam Tip
The factor set of a prime number has two elements. चरण 1: (17) एक अभाज्य संख्या है। चरण 2: उसके प्राकृतिक गुणनखंड केवल (1) और (17) हैं। चरण 3: अभाज्य संख्या के गुणनखंडों का समुच्चय दो सदस्य वाला होता है।
The integer solutions of \(x^2=1\) are (x=-1) and (x=1).
Step 2
Why this answer is correct
Both squares are (1), so both are elements.
Step 3
Exam Tip
For square conditions in integers, check the negative solution. चरण 1: \(x^2=1\) के पूर्णांक हल (x=-1) और (x=1) हैं। चरण 2: दोनों का वर्ग (1) होता है, इसलिए दोनों सदस्य हैं। चरण 3: पूर्णांक में वर्ग की शर्त हो तो ऋणात्मक हल जाँचें।
A number divisible by both (4) and (5) must be a multiple of (20).
Step 2
Why this answer is correct
There is no positive multiple of (20) less than (20).
Step 3
Exam Tip
Connect divisible by both with the least common multiple. चरण 1: (4) और (5) दोनों से विभाज्य संख्या (20) की गुणज होगी। चरण 2: (20) से छोटी कोई धनात्मक (20) की गुणज संख्या नहीं है। चरण 3: दोनों से विभाज्य वाली शर्त को लघुत्तम समापवर्त्य से जोड़कर समझें।
Equal lower and upper limits often form a singleton set. चरण 1: \(8\leq x\leq 8\) का अर्थ है (x) केवल (8) हो सकता है। चरण 2: (8) प्राकृतिक संख्या है, इसलिए समुच्चय \(P=\{8\}\) है। चरण 3: समान सीमा होने पर अक्सर एकल समुच्चय बनता है।
Among natural numbers less than (40), find numbers ending in (7).
Step 2
Why this answer is correct
They are (7,17,27,37).
Step 3
Exam Tip
Listing numbers in order helps avoid mistakes in last-digit conditions. चरण 1: (40) से छोटी प्राकृतिक संख्याओं में अंतिम अंक (7) खोजें। चरण 2: ऐसी संख्याएँ (7,17,27,37) हैं। चरण 3: अंतिम अंक वाली शर्त में क्रम से संख्याएँ लिखना गलती कम करता है।
Whole numbers less than (4) are (0,1,2,3), and (6) is added separately.
Step 3
Exam Tip
With an or-condition, combine the elements from both parts. चरण 1: (W) में (0) शामिल है। चरण 2: (4) से कम पूर्ण संख्याएँ (0,1,2,3) हैं और (6) अलग से जोड़ा जाएगा। चरण 3: या वाली शर्त में दोनों भागों के सदस्य मिलाकर लिखें।
(12) is a new element, so the set has (1,2,3,6,9,12,18).
Step 3
Exam Tip
Count after checking whether the added element already exists. चरण 1: (18) के गुणनखंड (1,2,3,6,9,18) हैं। चरण 2: (12) इनसे अलग नया सदस्य है, इसलिए कुल सदस्य (1,2,3,6,9,12,18) हैं। चरण 3: नया सदस्य पहले से मौजूद है या नहीं, यह जाँचकर गिनें।
The odd integers up to (0) in this range are (-7,-5,-3,-1).
Step 3
Exam Tip
(0) is even, so it is not in the odd set. चरण 1: (-8<x) होने से (-8) शामिल नहीं है। चरण 2: (0) तक के अंदर विषम पूर्णांक (-7,-5,-3,-1) हैं। चरण 3: (0) सम है, इसलिए विषम समुच्चय में नहीं आएगा।
Together with \(x\leq 13\), the elements are (9,10,11,12,13).
Step 3
Exam Tip
Converting the sentence into inequalities is the most useful method here. चरण 1: (9) से छोटा नहीं का अर्थ \(x\geq 9\) है। चरण 2: \(x\leq 13\) के साथ सदस्य (9,10,11,12,13) होंगे। चरण 3: वाक्य को असमानता में बदलना ऐसे प्रश्नों में सबसे उपयोगी तरीका है।
Natural perfect squares less than (36) are (1,4,9,16,25).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(x\neq 4\), remove (4).
Step 3
Exam Tip
Apply the exclusion condition after listing the basic set. चरण 1: (36) से कम प्राकृतिक पूर्ण वर्ग (1,4,9,16,25) हैं। चरण 2: \(x\neq 4\) होने से (4) हट जाएगा। चरण 3: निषेध शर्त को सूची बनाने के बाद लागू करें।
Factors of (72) include (1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72).
Step 2
Why this answer is correct
The two-digit elements are (12,18,24,36,72).
Step 3
Exam Tip
While applying the two-digit condition, remove one-digit elements such as (9). चरण 1: (72) के गुणनखंडों में (1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72) आते हैं। चरण 2: इनमें दो अंकों वाले सदस्य (12,18,24,36,72) हैं। चरण 3: दो अंकों की शर्त लगाते समय (9) जैसे एक अंकीय सदस्य हटाएँ।
In integers, the solutions of \(x^2=16\) are (-4) and (4).
Step 2
Why this answer is correct
Thus \(X=\{-4,4\}\), which is equal to (Y).
Step 3
Exam Tip
Remember both signed solutions in square equations. चरण 1: पूर्णांकों में \(x^2=16\) के हल (-4) और (4) हैं। चरण 2: इसलिए \(X=\{-4,4\}\), जो (Y) के बराबर है। चरण 3: वर्ग समीकरण में दोनों चिह्न वाले हलों को याद रखें।
The numbers divisible by (3) among them are (3,6,9).
Step 3
Exam Tip
Apply both one-digit and divisibility conditions together. चरण 1: प्राकृतिक एक अंकीय संख्याएँ (1) से (9) तक होती हैं। चरण 2: इनमें (3) से विभाज्य संख्याएँ (3,6,9) हैं। चरण 3: एक अंकीय और विभाज्यता दोनों शर्तें साथ में लगाएँ।
