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Only \(1^2,2^2,3^2\) are less than (10), while \(4^2\) is not.
Step 3
Exam Tip
Both sets have the same elements, so they are equal. चरण 1: \(x^2<10\) को प्राकृतिक संख्याओं के लिए जाँचें। चरण 2: \(1^2,2^2,3^2\) ही (10) से छोटे हैं, जबकि \(4^2\) नहीं है। चरण 3: दोनों समुच्चयों में वही तत्व हैं, इसलिए वे समान हैं।
Both values are integers, so both belong to the set.
Step 3
Exam Tip
In square equations, do not ignore the negative value. चरण 1: पूर्णांकों में \(x^2=25\) के लिए (x=5) और (x=-5) मिलते हैं। चरण 2: दोनों मान पूर्णांक हैं, इसलिए दोनों समुच्चय में आएँगे। चरण 3: वर्ग समीकरण में ऋणात्मक मान को अनदेखा न करें।
When both endpoints are included, count the starting and ending values also. चरण 1: दिए गए पूर्णांक (-3,-2,-1,0,1,2,3) हैं। चरण 2: इनकी संख्या (7) है, इसलिए यह सीमित समुच्चय है। चरण 3: जब दोनों सिरों को शामिल किया जाए, तो गिनती में आरंभ और अंत दोनों जोड़ें।
In a set, repeated elements are written only once. चरण 1: \(24=2^3\times3\) लिखा जा सकता है। चरण 2: अभाज्य गुणनखंड केवल (2) और (3) हैं। चरण 3: समुच्चय में दोहराए गए तत्व एक बार ही लिखे जाते हैं।
The natural even numbers less than (10) are (2,4,6,8).
Step 2
Why this answer is correct
(A) and (B) have exactly the same elements, so (A=B).
Step 3
Exam Tip
In equal sets, the order of elements does not matter. चरण 1: (B) में (10) से छोटी प्राकृतिक सम संख्याएँ (2,4,6,8) हैं। चरण 2: (A) और (B) के सभी अवयव समान हैं, इसलिए (A=B)। चरण 3: समान समुच्चय में अवयवों का क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं होता।
Its solution is (x=-1), but (-1) is not a natural number.
Step 3
Exam Tip
If no solution belongs to the given number type, the set is empty. चरण 1: (x-2+2x+1=(x+1)2) है। चरण 2: इसका हल (x=-1) है, पर (-1) प्राकृतिक संख्या नहीं है। चरण 3: दी गई संख्या-श्रेणी में हल न मिले तो समुच्चय रिक्त होता है।
A. (C) और (D) समान समुच्चय हैं/(C) and (D) are equal sets
Step 1
Concept
Repeated elements are not counted separately in a set.
Step 2
Why this answer is correct
The distinct elements of (C) are (1,2,3), and (D) has the same elements.
Step 3
Exam Tip
In exam questions on equality of sets, ignore order and repetition. चरण 1: समुच्चय में दोहराए गए अवयवों को अलग-अलग नहीं गिना जाता। चरण 2: (C) के भिन्न अवयव (1,2,3) हैं और (D) के भी वही अवयव हैं। चरण 3: परीक्षा में समानता जाँचते समय क्रम और दोहराव को अनदेखा करें।
The common factors are (1,2,3,6). चरण 1: (18) के गुणनखंड (1,2,3,6,9,18) हैं। चरण 2: (30) के गुणनखंड (1,2,3,5,6,10,15,30) हैं। चरण 3: दोनों में समान गुणनखंड (1,2,3,6) हैं।
The condition includes (-3) but does not include (2).
Step 2
Why this answer is correct
The elements are (-3,-2,-1,0,1).
Step 3
Exam Tip
Read the equality sign in inequalities carefully. चरण 1: शर्त के अनुसार (-3) शामिल है और (2) शामिल नहीं है। चरण 2: तत्व (-3,-2,-1,0,1) हैं। चरण 3: असमानता में बराबर का चिन्ह ध्यान से देखें।
In the first option, putting (n=1,2,3,4) gives (4,8,12,16).
Step 2
Why this answer is correct
These exactly match the elements of (A).
Step 3
Exam Tip
Convert a rule-based set into a list to check equality. चरण 1: पहले विकल्प में (n=1,2,3,4) रखने पर (4,8,12,16) मिलते हैं। चरण 2: ये सभी (A) के तत्वों से मिलते हैं। चरण 3: नियम वाले समुच्चय को सूची में बदलकर समानता जाँचें।
The condition of being even and prime is very specific.
Step 2
Why this answer is correct
(2) is the only even prime natural number.
Step 3
Exam Tip
Do not include (1) as a prime number. चरण 1: सम अभाज्य संख्या की शर्त बहुत विशेष है। चरण 2: (2) ही एकमात्र सम अभाज्य प्राकृतिक संख्या है। चरण 3: अभाज्य संख्या में (1) को शामिल न करें।
C. \(({x:x\in\mathbb{N},x\) संख्या 12 का गुणनखंड है})/\(({x:x\in\mathbb{N},x\) is a factor of 12})
Step 1
Concept
The number of factors of (12) is limited.
Step 2
Why this answer is correct
It has elements such as (1,2,3,4,6,12), so it is not empty.
Step 3
Exam Tip
Check both conditions: finite and non-empty. चरण 1: (12) के गुणनखंडों की संख्या सीमित है। चरण 2: उनमें (1,2,3,4,6,12) जैसे तत्व आते हैं, इसलिए समुच्चय रिक्त नहीं है। चरण 3: परिमित और रिक्त नहीं दोनों शर्तें साथ जाँचें।
(0), \(\varnothing\), and ({0}) are three different objects.
Step 2
Why this answer is correct
They are written inside the outer braces as three elements.
Step 3
Exam Tip
Carefully distinguish between an element and a set. चरण 1: (0), \(\varnothing\), और ({0}) तीन अलग-अलग वस्तुएँ हैं। चरण 2: बाहरी कोष्ठक के अंदर ये तीन तत्व के रूप में लिखे हैं। चरण 3: तत्व और समुच्चय के बीच का अंतर ध्यान से पहचानें।
Natural numbers divisible by (5) and less than (40) are (5,10,15,20,25,30,35).
Step 2
Why this answer is correct
There are (7) elements.
Step 3
Exam Tip
Always check whether the endpoint is included. चरण 1: (40) से छोटी (5) से विभाज्य प्राकृतिक संख्याएँ (5,10,15,20,25,30,35) हैं। चरण 2: कुल (7) तत्व मिलते हैं। चरण 3: अंतिम सीमा शामिल है या नहीं, यह अवश्य देखें।
Natural multiples of (4) are \(4,8,12,16,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
This list continues without ending.
Step 3
Exam Tip
A set of multiples without an upper limit is infinite. चरण 1: (4) के प्राकृतिक गुणज \(4,8,12,16,\ldots\) हैं। चरण 2: यह सूची आगे बिना अंत के चलती है। चरण 3: बिना ऊपरी सीमा वाले गुणजों का समुच्चय अनंत होता है।
Repeated elements are not counted separately in a set.
Step 2
Why this answer is correct
The actual elements are (1,2,3).
Step 3
Exam Tip
Remove repetition before writing the correct form of a set. चरण 1: समुच्चय में दोहराए गए तत्व अलग से नहीं गिने जाते। चरण 2: वास्तविक तत्व (1,2,3) हैं। चरण 3: दोहराव हटाकर ही समुच्चय का सही रूप लिखें।
Squares of (-1,0,1) are less than (4), but squares of (-2) and (2) equal (4).
Step 3
Exam Tip
Strict inequality does not include equal values. चरण 1: \(x^2<4\) के लिए पूर्णांक मान जाँचें। चरण 2: (-1,0,1) के वर्ग (4) से छोटे हैं, पर (-2) और (2) के वर्ग बराबर (4) हैं। चरण 3: सख्त असमानता में बराबर मान शामिल नहीं होता।
Two-digit even numbers run from \(10,12,14,\ldots,98\).
Step 2
Why this answer is correct
The count is long but it ends.
Step 3
Exam Tip
A large but limited list is still a finite set. चरण 1: दो अंकों की सम संख्याएँ \(10,12,14,\ldots,98\) तक हैं। चरण 2: इनकी गिनती लंबी है, पर समाप्त हो जाती है। चरण 3: बड़ी पर सीमित सूची भी परिमित समुच्चय होती है।
No number can be greater than (7) and less than (7) at the same time.
Step 2
Why this answer is correct
So the given condition is contradictory.
Step 3
Exam Tip
Contradictory conditions give an empty set. चरण 1: कोई संख्या एक साथ (7) से बड़ी और (7) से छोटी नहीं हो सकती। चरण 2: इसलिए दी गई शर्त विरोधी है। चरण 3: विरोधी शर्तें मिलने पर समुच्चय रिक्त होता है।
Because of the natural number condition, only (6) is taken.
Step 3
Exam Tip
Always check the number-set condition before writing the answer. चरण 1: (36) के वर्गमूल (-6) और (6) होते हैं। चरण 2: प्राकृतिक संख्या की शर्त के कारण केवल (6) लिया जाएगा। चरण 3: उत्तर लिखते समय संख्या-समूह की शर्त जरूर देखें।
There are many real numbers greater than (3), such as (4), (4.5), and (10).
Step 2
Why this answer is correct
Their counting cannot be completed.
Step 3
Exam Tip
An interval of real numbers is generally infinite. चरण 1: (3) से बड़ी वास्तविक संख्याएँ बहुत अधिक हैं, जैसे (4), (4.5), (10)। चरण 2: ऐसे मानों की गिनती पूरी नहीं की जा सकती। चरण 3: वास्तविक संख्याओं का खुला भाग सामान्यतः अनंत होता है।
In power-based sets, read the exponent range carefully. चरण 1: \(2^1,2^2,2^3,2^4\) के मान (2,4,8,16) हैं। चरण 2: पहला विकल्प ठीक यही तत्व देता है। चरण 3: घात वाले समुच्चय में घातांक की सीमा ध्यान से पढ़ें।
The real solutions of \(x^2=2\) are \(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
These are not integers.
Step 3
Exam Tip
Since the integer condition is not satisfied, the set is empty. चरण 1: \(x^2=2\) के वास्तविक हल \(\sqrt{2}\) और \(-\sqrt{2}\) हैं। चरण 2: ये पूर्णांक नहीं हैं। चरण 3: पूर्णांक शर्त पूरी न होने से समुच्चय रिक्त है।
In (B), (15) is written twice but counted once in a set.
Step 3
Exam Tip
After removing repetition, the two sets are equal. चरण 1: (15) के गुणनखंड (1,3,5,15) हैं। चरण 2: (B) में (15) दो बार लिखा है, पर समुच्चय में एक बार माना जाएगा। चरण 3: दोहराव हटाने पर दोनों समुच्चय समान हैं।
Odd natural numbers up to (11) are (1,3,5,7,9,11).
Step 2
Why this answer is correct
There are (6) elements.
Step 3
Exam Tip
With \(\leq\), the endpoint is included. चरण 1: (11) तक की विषम प्राकृतिक संख्याएँ (1,3,5,7,9,11) हैं। चरण 2: इनकी संख्या (6) है। चरण 3: \(\leq\) होने पर अंतिम मान भी शामिल होता है।
Prime numbers greater than (20), such as \(23,29,31,\ldots\), keep appearing.
Step 2
Why this answer is correct
The list of prime numbers continues.
Step 3
Exam Tip
Since there is no upper limit here, the set is infinite. चरण 1: (20) से बड़ी अभाज्य संख्याएँ \(23,29,31,\ldots\) मिलती रहती हैं। चरण 2: अभाज्य संख्याओं की सूची आगे चलती रहती है। चरण 3: यहाँ कोई ऊपरी सीमा नहीं है, इसलिए समुच्चय अनंत माना जाएगा।
In \(-1\leq x\leq 3\), both endpoints are included.
Step 2
Why this answer is correct
The integers are (-1,0,1,2,3).
Step 3
Exam Tip
Do not forget (0) while writing roster form. चरण 1: \(-1\leq x\leq 3\) में दोनों सीमाएँ शामिल हैं। चरण 2: बीच के पूर्णांक (-1,0,1,2,3) हैं। चरण 3: सूची रूप लिखते समय शून्य को भूलना नहीं चाहिए।
Multiples of (9) less than (50) are (9,18,27,36,45).
Step 2
Why this answer is correct
There are (5) elements.
Step 3
Exam Tip
Writing multiples in order reduces counting mistakes. चरण 1: (50) से छोटे (9) के गुणज (9,18,27,36,45) हैं। चरण 2: कुल (5) तत्व मिलते हैं। चरण 3: गुणजों को क्रम से लिखने पर गिनती में गलती कम होती है।
In combined conditions, test each element against both requirements. चरण 1: (14) के गुणनखंड (1,2,7,14) हैं। चरण 2: इनमें विषम तत्व (1) और (7) हैं। चरण 3: संयुक्त शर्तों में हर तत्व को दोनों कसौटियों पर जाँचें।
\(B=\{1,2,4,5,10\}\), because (4) is also a factor of (20).
Step 3
Exam Tip
If one extra element is present, the sets are not equal. चरण 1: \(A=\{1,2,5,10\}\) है। चरण 2: \(B=\{1,2,4,5,10\}\) है, क्योंकि (4) भी (20) का गुणनखंड है। चरण 3: एक अतिरिक्त तत्व होने पर समुच्चय समान नहीं रहते।
Numbers divisible by both (13) and (17) are multiples of (221).
Step 2
Why this answer is correct
Such numbers \(221,442,663,\ldots\) continue.
Step 3
Exam Tip
Without an upper limit, a set of multiples is infinite. चरण 1: (13) और (17) दोनों से विभाज्य संख्याएँ (221) के गुणज होंगी। चरण 2: \(221,442,663,\ldots\) ऐसी संख्याएँ चलती रहती हैं। चरण 3: जब गुणजों पर ऊपरी सीमा न हो तो समुच्चय अनंत होता है।
For \(x^2\leq9\), integers range from (-3) to (3).
Step 2
Why this answer is correct
The elements are (-3,-2,-1,0,1,2,3).
Step 3
Exam Tip
With \(\leq\), boundary values are also counted. चरण 1: \(x^2\leq9\) के लिए पूर्णांक (-3) से (3) तक होंगे। चरण 2: तत्व (-3,-2,-1,0,1,2,3) हैं। चरण 3: \(\leq\) होने पर सीमा वाले मान भी गिने जाते हैं।
If no possible element is found after checking all, the set is empty. चरण 1: (21) के गुणनखंड (1,3,7,21) हैं। चरण 2: इनमें कोई भी सम संख्या नहीं है। चरण 3: सभी संभव तत्व जाँचने के बाद कोई न मिले तो समुच्चय रिक्त है।
As the exponent increases, new elements keep appearing.
Step 3
Exam Tip
Such a never-ending list forms an infinite set. चरण 1: (2) की घातें \(2,4,8,16,\ldots\) होती हैं। चरण 2: घातांक बढ़ाते रहने पर नए तत्व मिलते रहते हैं। चरण 3: ऐसी बिना अंत की सूची अनंत समुच्चय बनाती है।
C. रिक्त समुच्चय में कोई तत्व नहीं होता, एक तत्व वाले समुच्चय में ठीक एक तत्व होता है/Empty set has no element, singleton set has exactly one element
Step 1
Concept
An empty set means a set with no element.
Step 2
Why this answer is correct
A singleton set has exactly one element, such as ({0}).
Step 3
Exam Tip
Never treat \(\varnothing\) and ({0}) as equal. चरण 1: रिक्त समुच्चय का अर्थ है बिना तत्व वाला समुच्चय। चरण 2: एक तत्व वाले समुच्चय में ठीक एक तत्व होता है, जैसे ({0})। चरण 3: \(\varnothing\) और ({0}) को कभी समान न मानें।
Factors of (100) include (1,2,4,5,10,20,25,50,100).
Step 2
Why this answer is correct
The factors greater than (25) are (50) and (100), and (25) is not included.
Step 3
Exam Tip
With the strict (>) sign, do not count the boundary. चरण 1: (100) के गुणनखंडों में (1,2,4,5,10,20,25,50,100) आते हैं। चरण 2: (25) से बड़े गुणनखंड (50) और (100) हैं, पर (25) शामिल नहीं है। चरण 3: सख्त (>) चिह्न होने पर सीमा को मत गिनें।
Squares of natural numbers from (1) to (5) are (1,4,9,16,25).
Step 2
Why this answer is correct
The first option gives exactly this list.
Step 3
Exam Tip
Distinguish square and cube rules carefully. चरण 1: (1) से (5) तक प्राकृतिक संख्याओं के वर्ग (1,4,9,16,25) हैं। चरण 2: पहला विकल्प ठीक यही सूची देता है। चरण 3: वर्ग और घन के नियमों को अलग-अलग पहचानें।
A prime number has only (1) and itself as natural factors.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the set has (2) elements. चरण 1: (31) अभाज्य संख्या है। चरण 2: अभाज्य संख्या के प्राकृतिक गुणनखंड केवल (1) और वही संख्या होते हैं। चरण 3: इसलिए समुच्चय में (2) तत्व हैं।
Be careful about the definition before including (0) in natural numbers. चरण 1: (6) से छोटी प्राकृतिक पूर्ण वर्ग संख्याएँ खोजें। चरण 2: \(1=1^2\) और \(4=2^2\) ही उपयुक्त हैं। चरण 3: प्राकृतिक संख्याओं में (0) को शामिल करने से पहले परिभाषा ध्यान रखें।
Such a list cannot be completely counted, so the set is infinite. चरण 1: सम पूर्णांक \(\ldots,-4,-2,0,2,4,\ldots\) होते हैं। चरण 2: ये दोनों दिशाओं में चलते रहते हैं। चरण 3: ऐसी सूची की गिनती समाप्त नहीं होती, इसलिए समुच्चय अनंत है।
The values satisfying \(x^2=49\) can be (-7) and (7).
Step 2
Why this answer is correct
Since (x) is a natural number, only (7) is taken.
Step 3
Exam Tip
Therefore, (A) and (B) are equal. चरण 1: \(x^2=49\) के मान (-7) और (7) हो सकते हैं। चरण 2: (x) प्राकृतिक संख्या है, इसलिए केवल (7) लिया जाएगा। चरण 3: इस कारण (A) और (B) समान हैं।
Do not treat (1) or composite numbers as prime. चरण 1: \(48=2^4\times3\) है। चरण 2: इसके अभाज्य गुणनखंड (2) और (3) हैं। चरण 3: (1) और संयुक्त संख्याओं को अभाज्य मानने की गलती न करें।
Look for natural values greater than (3) and less than (8).
Step 2
Why this answer is correct
Only (4,5,6,7) satisfy the condition.
Step 3
Exam Tip
Strict inequalities exclude (3) and (8). चरण 1: (3) से बड़े और (8) से छोटे प्राकृतिक मान देखें। चरण 2: (4,5,6,7) ही शर्त पूरी करते हैं। चरण 3: सख्त असमानता में (3) और (8) शामिल नहीं होंगे।
Order and repetition do not change equality. चरण 1: दोनों समुच्चयों के वास्तविक तत्व (a,b,c,d) हैं। चरण 2: (B) में (a) दो बार लिखा है, पर गिना एक बार जाएगा। चरण 3: क्रम और दोहराव समानता को नहीं बदलते।
Common multiples of (12) and (18) are multiples of (36).
Step 2
Why this answer is correct
Such multiples less than (100) are (36) and (72).
Step 3
Exam Tip
In common multiple questions, first think of the least common multiple. चरण 1: (12) और (18) दोनों के समान गुणज (36) के गुणज होंगे। चरण 2: (100) से छोटे ऐसे गुणज (36) और (72) हैं। चरण 3: समान गुणजों के प्रश्न में पहले लघुत्तम समान गुणज सोचें।
C. \(({x:x\in\mathbb{N},x\) संख्या 64 का गुणनखंड है})/\(({x:x\in\mathbb{N},x\) is a factor of 64})
Step 1
Concept
(64) is a fixed number.
Step 2
Why this answer is correct
A fixed number has only a limited number of factors.
Step 3
Exam Tip
The other options continue without ending. चरण 1: (64) एक निश्चित संख्या है। चरण 2: किसी निश्चित संख्या के गुणनखंड सीमित होते हैं। चरण 3: बाकी विकल्पों में सूची बिना अंत के आगे बढ़ती है।
Here (x) must be a natural number, and in the usual definition (0) is not a natural number.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the set has no element. चरण 1: समीकरण (x+5=5) से (x=0) मिलता है। चरण 2: यहाँ (x) प्राकृतिक संख्या होना चाहिए, और सामान्य परिभाषा में (0) प्राकृतिक संख्या नहीं है। चरण 3: इसलिए समुच्चय में कोई तत्व नहीं है।
In the first three options, the actual elements are (1,2,4,8).
Step 2
Why this answer is correct
The fourth option has an extra element (16).
Step 3
Exam Tip
One extra element destroys equality. चरण 1: पहले तीन विकल्पों में वास्तविक तत्व (1,2,4,8) ही हैं। चरण 2: चौथे विकल्प में (16) अतिरिक्त तत्व है। चरण 3: एक अतिरिक्त तत्व समानता को समाप्त कर देता है।
A repeated root is counted as one element in a set. चरण 1: (x-2-4x+4=(x-2)2) है। चरण 2: इसका एक ही पूर्णांक हल (x=2) है। चरण 3: दोहराए हुए मूल को समुच्चय में एक तत्व ही माना जाता है।
A. \(x\in\mathbb{N}\) होने से केवल प्राकृतिक संख्याएँ ही ली जाएँगी/Since \(x\in\mathbb{N}\), only natural numbers are allowed
Step 1
Concept
The condition \(x\in\mathbb{N}\) is already given.
Step 2
Why this answer is correct
There is no natural number between (2) and (3), even though real numbers exist there.
Step 3
Exam Tip
Understand the number-type condition first. चरण 1: समुच्चय में \(x\in\mathbb{N}\) की शर्त पहले से दी है। चरण 2: (2) और (3) के बीच कोई प्राकृतिक संख्या नहीं है, भले वास्तविक संख्याएँ हों। चरण 3: संख्या-श्रेणी की शर्त सबसे पहले समझें।
