Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
The (4) diagonal pairs are compulsory and ((1,2)) is forbidden. The remaining (11) pairs are free, so the count is \(2^{11}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(2^{11}\). The (4) diagonal pairs are compulsory and ((1,2)) is forbidden. The remaining (11) pairs are free, so the count is \(2^{11}\).
Step 3
Exam Tip
(4) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं और ((1,2)) निषिद्ध है। शेष (11) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{11}\) है।
Reflexivity makes all (5) diagonal pairs compulsory. Each off-diagonal unordered pair has (3) choices, so the count is \(3^{10}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(3^{10}\). Reflexivity makes all (5) diagonal pairs compulsory. Each off-diagonal unordered pair has (3) choices, so the count is \(3^{10}\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिवर्तीता से सभी (5) विकर्ण युग्म अनिवार्य हो जाते हैं। हर अविकर्ण जोड़े के लिए (3) विकल्प हैं, इसलिए संख्या \(3^{10}\) है।
A. प्रतिवर्ती और संक्रामी पर प्रतिसममित नहीं/Reflexive and transitive but not antisymmetric
Step 1
Concept
\(a^2\leq a^2\) gives reflexivity and the inequality gives transitivity. But ((-1,1)) and ((1,-1)) are both true while \(-1\neq1\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. प्रतिवर्ती और संक्रामी पर प्रतिसममित नहीं / Reflexive and transitive but not antisymmetric. \(a^2\leq a^2\) gives reflexivity and the inequality gives transitivity. But ((-1,1)) and ((1,-1)) are both true while \(-1\neq1\).
Step 3
Exam Tip
\(a^2\leq a^2\) से प्रतिवर्तीता और असमानता से संक्रामिता मिलती है। पर ((-1,1)) और ((1,-1)) दोनों सत्य हैं जबकि \(-1\neq1\)।
\(a-a=0\in\mathbb{Q}\), and rational numbers are closed under negatives and addition. Hence it is reflexive, symmetric and transitive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. समतुल्यता संबंध / Equivalence relation. \(a-a=0\in\mathbb{Q}\), and rational numbers are closed under negatives and addition. Hence it is reflexive, symmetric and transitive.
Step 3
Exam Tip
\(a-a=0\in\mathbb{Q}\) है और परिमेय संख्याएं ऋण तथा योग में बंद रहती हैं। इसलिए यह प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी है।
A. सममित पर न प्रतिवर्ती न संक्रामी/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
If (a-b) is irrational, then (b-a) is also irrational. But (a-a=0) is not irrational and the sum of irrational differences can be rational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सममित पर न प्रतिवर्ती न संक्रामी / Symmetric but neither reflexive nor transitive. If (a-b) is irrational, then (b-a) is also irrational. But (a-a=0) is not irrational and the sum of irrational differences can be rational.
Step 3
Exam Tip
यदि (a-b) अपरिमेय है तो (b-a) भी अपरिमेय है। लेकिन (a-a=0) अपरिमेय नहीं और अपरिमेय अंतरों का योग परिमेय हो सकता है।
Each element divides itself and is equal to itself. Divisibility together with \(\leq\) gives reflexive, antisymmetric and transitive properties.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. आंशिक क्रम संबंध / Partial order relation. Each element divides itself and is equal to itself. Divisibility together with \(\leq\) gives reflexive, antisymmetric and transitive properties.
Step 3
Exam Tip
हर अवयव स्वयं को विभाजित करता है और स्वयं के बराबर है। विभाज्यता तथा \(\leq\) मिलकर प्रतिवर्ती, प्रतिसममित और संक्रामी गुण देते हैं।
A. प्रतिवर्ती और सममित पर संक्रामी नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
For every (a>1), (\gcd(a,a)>1), and (\gcd(a,b)=\gcd(b,a)). But (2R6) and (6R3) are true while (2R3) is false.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. प्रतिवर्ती और सममित पर संक्रामी नहीं / Reflexive and symmetric but not transitive. For every (a>1), (\gcd(a,a)>1), and (\gcd(a,b)=\gcd(b,a)). But (2R6) and (6R3) are true while (2R3) is false.
Step 3
Exam Tip
हर (a>1) के लिए (\gcd(a,a)>1) है और (\gcd(a,b)=\gcd(b,a))। पर (2R6) और (6R3) सत्य हैं जबकि (2R3) असत्य है।
(11) is odd and (a-b) being even means the same parity. Hence ([11]) is the class of all odd integers.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सभी विषम पूर्णांक / All odd integers. (11) is odd and (a-b) being even means the same parity. Hence ([11]) is the class of all odd integers.
Step 3
Exam Tip
(11) विषम है और (a-b) सम होने का अर्थ समान सम-विषमता है। इसलिए ([11]) सभी विषम पूर्णांकों का वर्ग है।
Every line is parallel to itself and parallelism is symmetric. Lines parallel to the same direction also give transitivity.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. समतुल्यता संबंध / Equivalence relation. Every line is parallel to itself and parallelism is symmetric. Lines parallel to the same direction also give transitivity.
Step 3
Exam Tip
हर रेखा अपने समानांतर है और समानांतरता सममित होती है। एक ही दिशा की समानांतर रेखाओं से संक्रामिता भी मिलती है।
A. सममित पर न प्रतिवर्ती न संक्रामी/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
If \(l\perp m\), then \(m\perp l\), so symmetry holds. No line is perpendicular to itself and perpendicularity is not transitive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सममित पर न प्रतिवर्ती न संक्रामी / Symmetric but neither reflexive nor transitive. If \(l\perp m\), then \(m\perp l\), so symmetry holds. No line is perpendicular to itself and perpendicularity is not transitive.
Step 3
Exam Tip
यदि \(l\perp m\), तो \(m\perp l\), इसलिए सममिति है। कोई रेखा स्वयं पर लंब नहीं होती और लंबता संक्रामी नहीं होती।
Every triangle is similar to itself. Similarity is also symmetric and transitive, so it is an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. समतुल्यता संबंध / Equivalence relation. Every triangle is similar to itself. Similarity is also symmetric and transitive, so it is an equivalence relation.
Step 3
Exam Tip
हर त्रिभुज स्वयं से समरूप है। समरूपता सममित और संक्रामी भी होती है, इसलिए यह समतुल्यता संबंध है।
Every student has the same birth month as himself or herself. Having the same birth month is also symmetric and transitive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. समतुल्यता संबंध / Equivalence relation. Every student has the same birth month as himself or herself. Having the same birth month is also symmetric and transitive.
Step 3
Exam Tip
हर विद्यार्थी का जन्म महीना अपने जैसा ही है। समान जन्म महीना सममित और संक्रामी भी होता है।
All diagonal entries of the matrix are (1) and the matrix is symmetric. The pair ({1,3}) forms a complete class, so transitivity also holds.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. समतुल्यता संबंध / Equivalence relation. All diagonal entries of the matrix are (1) and the matrix is symmetric. The pair ({1,3}) forms a complete class, so transitivity also holds.
Step 3
Exam Tip
मैट्रिक्स में सभी विकर्ण प्रविष्टियां (1) हैं और मैट्रिक्स सममित है। युग्म ({1,3}) का पूरा वर्ग बनता है, इसलिए संक्रामिता भी सही है।
A. प्रतिवर्ती और प्रतिसममित पर संक्रामी नहीं/Reflexive and antisymmetric but not transitive
Step 1
Concept
All diagonal entries are (1) and no opposite off-diagonal pair occurs together. But ((1,2)) and ((2,3)) are present while ((1,3)) is absent.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. प्रतिवर्ती और प्रतिसममित पर संक्रामी नहीं / Reflexive and antisymmetric but not transitive. All diagonal entries are (1) and no opposite off-diagonal pair occurs together. But ((1,2)) and ((2,3)) are present while ((1,3)) is absent.
Step 3
Exam Tip
सभी विकर्ण प्रविष्टियां (1) हैं और कोई विपरीत अविकर्ण जोड़ा साथ नहीं है। पर ((1,2)) और ((2,3)) हैं जबकि ((1,3)) नहीं है।
In the chain \(1\to2\to3\to4\), all forward reachable pairs are needed. Hence ((1,3),(2,4),(1,4)) are added.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((1,3),(2,4),(1,4)). In the chain \(1\to2\to3\to4\), all forward reachable pairs are needed. Hence ((1,3),(2,4),(1,4)) are added.
Step 3
Exam Tip
श्रृंखला \(1\to2\to3\to4\) में आगे पहुंचने वाले युग्म चाहिए। इसलिए ((1,3),(2,4),(1,4)) जुड़ेंगे।
A. पहचान जैसा समतुल्यता संबंध/Identity-like equivalence relation
Step 1
Concept
For positive integers, \(a\mid b\) and \(b\mid a\) imply (a=b). Hence it behaves like the identity relation and is reflexive, symmetric and transitive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पहचान जैसा समतुल्यता संबंध / Identity-like equivalence relation. For positive integers, \(a\mid b\) and \(b\mid a\) imply (a=b). Hence it behaves like the identity relation and is reflexive, symmetric and transitive.
Step 3
Exam Tip
धनात्मक पूर्णांकों में \(a\mid b\) और \(b\mid a\) से (a=b) मिलता है। इसलिए यह पहचान संबंध जैसा प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी है।
\(\frac{a}{b}>0\) means (a) and (b) have the same sign. Having the same sign is reflexive, symmetric and transitive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. समतुल्यता संबंध / Equivalence relation. \(\frac{a}{b}>0\) means (a) and (b) have the same sign. Having the same sign is reflexive, symmetric and transitive.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{a}{b}>0\) का अर्थ है कि (a) और (b) का चिह्न समान है। समान चिह्न होना प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी है।
A. धनात्मक और ऋणात्मक वास्तविक संख्याएं/Positive and negative real numbers
Step 1
Concept
(ab>0) happens when both numbers have the same sign. Hence the two classes are positive and negative real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. धनात्मक और ऋणात्मक वास्तविक संख्याएं / Positive and negative real numbers. (ab>0) happens when both numbers have the same sign. Hence the two classes are positive and negative real numbers.
Step 3
Exam Tip
(ab>0) तब होता है जब दोनों संख्याओं के चिह्न समान हों। इसलिए दो वर्ग धनात्मक और ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के बनते हैं।
A. प्रतिवर्ती और सममित पर संक्रामी नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
\(|a-a|=0\leq2\) and (|a-b|=|b-a|). But (0R2) and (2R4) are true while (0R4) is false.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. प्रतिवर्ती और सममित पर संक्रामी नहीं / Reflexive and symmetric but not transitive. \(|a-a|=0\leq2\) and (|a-b|=|b-a|). But (0R2) and (2R4) are true while (0R4) is false.
Step 3
Exam Tip
\(|a-a|=0\leq2\) और (|a-b|=|b-a|)। पर (0R2) और (2R4) सत्य हैं जबकि (0R4) असत्य है।
A. सममित पर न प्रतिवर्ती न संक्रामी/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
From (a+b=0), we also get (b+a=0). But (aRa) needs (2a=0), and transitivity does not hold in general.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सममित पर न प्रतिवर्ती न संक्रामी / Symmetric but neither reflexive nor transitive. From (a+b=0), we also get (b+a=0). But (aRa) needs (2a=0), and transitivity does not hold in general.
Step 3
Exam Tip
(a+b=0) से (b+a=0) भी मिलता है। पर (aRa) के लिए (2a=0) चाहिए और संक्रामिता भी सामान्यतः नहीं मिलती।
For real numbers, \(a^3=b^3\) implies (a=b). Hence it is an equivalence relation like the identity relation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. समतुल्यता संबंध / Equivalence relation. For real numbers, \(a^3=b^3\) implies (a=b). Hence it is an equivalence relation like the identity relation.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक संख्याओं में \(a^3=b^3\) से (a=b) मिलता है। इसलिए यह पहचान संबंध की तरह समतुल्यता संबंध है।
If a relation is both symmetric and antisymmetric, no off-diagonal pair can occur. Only the (5) diagonal pairs are free, so the count is \(2^5\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2^5\). If a relation is both symmetric and antisymmetric, no off-diagonal pair can occur. Only the (5) diagonal pairs are free, so the count is \(2^5\).
Step 3
Exam Tip
सममित और प्रतिसममित दोनों होने पर कोई अविकर्ण युग्म नहीं आ सकता। केवल (5) विकर्ण युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^5\) है।
Reflexivity makes all diagonal pairs compulsory. Symmetry and antisymmetry together forbid off-diagonal pairs, so only the identity relation is possible.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (1). Reflexivity makes all diagonal pairs compulsory. Symmetry and antisymmetry together forbid off-diagonal pairs, so only the identity relation is possible.
Step 3
Exam Tip
प्रतिवर्तीता सभी विकर्ण युग्म अनिवार्य करती है। सममिति और प्रतिसममिति साथ होने से कोई अविकर्ण युग्म नहीं रह सकता, इसलिए केवल पहचान संबंध संभव है।
\(R=R^{-1}\) means that with every ((a,b)), the pair ((b,a)) is also in the relation. This is exactly the definition of symmetry.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सममिति / Symmetry. \(R=R^{-1}\) means that with every ((a,b)), the pair ((b,a)) is also in the relation. This is exactly the definition of symmetry.
Step 3
Exam Tip
\(R=R^{-1}\) का अर्थ है कि हर ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी संबंध में है। यही सममिति की परिभाषा है।
In the inverse relation, the positions in each ordered pair are interchanged. Thus ((1,2),(2,4),(3,1)) become ((2,1),(4,2),(1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ({(2,1),(4,2),(1,3)}). In the inverse relation, the positions in each ordered pair are interchanged. Thus ((1,2),(2,4),(3,1)) become ((2,1),(4,2),(1,3)).
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम संबंध में हर क्रमित युग्म के स्थान बदलते हैं। इसलिए ((1,2),(2,4),(3,1)) से ((2,1),(4,2),(1,3)) मिलते हैं।
A. क्योंकि यह संक्रामी नहीं है/Because it is not transitive
Step 1
Concept
((2,1)) and ((1,3)) are present, but ((2,3)) is absent. Hence transitivity fails.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि यह संक्रामी नहीं है / Because it is not transitive. ((2,1)) and ((1,3)) are present, but ((2,3)) is absent. Hence transitivity fails.
Step 3
Exam Tip
((2,1)) और ((1,3)) हैं, पर ((2,3)) नहीं है। इसलिए संक्रामिता टूटती है।
Every set is a subset of itself. The subset relation is also antisymmetric and transitive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. आंशिक क्रम संबंध / Partial order relation. Every set is a subset of itself. The subset relation is also antisymmetric and transitive.
Step 3
Exam Tip
हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय है। उपसमुच्चय संबंध प्रतिसममित और संक्रामी भी होता है।
A. सममित पर न प्रतिवर्ती न संक्रामी/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
\(A\cap B=B\cap A\), so the relation is symmetric. But \({1}\cap{1}\neq\varnothing\), and transitivity does not hold in general.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सममित पर न प्रतिवर्ती न संक्रामी / Symmetric but neither reflexive nor transitive. \(A\cap B=B\cap A\), so the relation is symmetric. But \({1}\cap{1}\neq\varnothing\), and transitivity does not hold in general.
Step 3
Exam Tip
\(A\cap B=B\cap A\), इसलिए संबंध सममित है। पर \({1}\cap{1}\neq\varnothing\) और संक्रामिता भी सामान्यतः नहीं मिलती।
Every set has the same size as itself. Having equal size is also symmetric and transitive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. समतुल्यता संबंध / Equivalence relation. Every set has the same size as itself. Having equal size is also symmetric and transitive.
Step 3
Exam Tip
हर समुच्चय का आकार अपने बराबर होता है। बराबर आकार होना सममित और संक्रामी भी है।
\([\sqrt{2}]\) contains all (x) such that \(x-\sqrt{2}\in\mathbb{Q}\). Hence \(x=\sqrt{2}+q\) where \(q\in\mathbb{Q}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \({\sqrt{2}+q:q\in\mathbb{Q}}\). \([\sqrt{2}]\) contains all (x) such that \(x-\sqrt{2}\in\mathbb{Q}\). Hence \(x=\sqrt{2}+q\) where \(q\in\mathbb{Q}\).
Step 3
Exam Tip
\([\sqrt{2}]\) में वे सभी (x) हैं जिनके लिए \(x-\sqrt{2}\in\mathbb{Q}\)। इसलिए \(x=\sqrt{2}+q\) जहां \(q\in\mathbb{Q}\)।
