C. \(C={x:x\) एक प्राकृतिक संख्या है और (x<1})/\(C={x:x\) is a natural number and (x<1})
Step 1
Concept
Natural numbers usually start from (1).
Step 2
Why this answer is correct
No natural number is less than (1) so the set has no element.
Step 3
Exam Tip
In exams first check whether any element satisfies the condition. चरण 1: प्राकृतिक संख्याएँ सामान्यतः (1) से शुरू होती हैं। चरण 2: (x<1) होने पर कोई प्राकृतिक संख्या नहीं मिलती इसलिए यह रिक्त समुच्चय है। चरण 3: परीक्षा में पहले देखिए कि शर्त पूरी करने वाला कोई तत्व सच में है या नहीं।
(15) is not prime because it is divisible by (3) and (5) so no element satisfies the condition.
Step 3
Exam Tip
To identify an empty set always check whether an element really satisfies the condition. चरण 1: (14) और (16) के बीच केवल (15) आता है। चरण 2: (15) अभाज्य नहीं है क्योंकि यह (3) और (5) से विभाज्य है इसलिए कोई तत्व नहीं मिलता। चरण 3: रिक्त समुच्चय पहचानने के लिए शर्त पूरी करने वाला तत्व सच में खोजें।
If the number of elements is fixed then the set is finite. चरण 1: इस समुच्चय में तत्वों को गिना जा सकता है। चरण 2: इसमें कुल (4) तत्व हैं इसलिए यह परिमित समुच्चय है। चरण 3: यदि तत्वों की संख्या निश्चित हो तो उसे परिमित मानिए।
For natural numbers satisfying \(x^2<20\), the values are (1,2,3,4) because \(5^2=25\).
Step 2
Why this answer is correct
The elements of (B) are exactly the same as the elements of (A) so the sets are equal.
Step 3
Exam Tip
To check equality convert set-builder form into roster form. चरण 1: प्राकृतिक संख्याओं में \(x^2<20\) के लिए (1,2,3,4) मान मिलते हैं क्योंकि \(5^2=25\) हो जाता है। चरण 2: (B) के तत्व ठीक (A) जैसे हैं इसलिए दोनों समान समुच्चय हैं। चरण 3: समानता जाँचते समय वर्णन रूप को सूची रूप में बदलना आसान रहता है।
Changing the order does not change a set so (A=B).
Step 3
Exam Tip
In sets ignore order and compare elements. चरण 1: समान समुच्चयों में वही सभी तत्व होते हैं। चरण 2: क्रम बदलने से समुच्चय नहीं बदलता इसलिए (A=B) है। चरण 3: समुच्चय में क्रम को महत्व न दें केवल तत्व देखें।
The dots \( \ldots \) show that the list continues.
Step 2
Why this answer is correct
Natural numbers do not end so the set is infinite.
Step 3
Exam Tip
A never-ending collection is an infinite set. चरण 1: बिंदु \( \ldots \) दिखाते हैं कि गिनती आगे चलती रहती है। चरण 2: प्राकृतिक संख्याओं का अंत नहीं है इसलिए यह अपरिमित समुच्चय है। चरण 3: अनंत तक चलने वाले तत्वों को अपरिमित पहचानिए।
So the set has no element and its number of elements is (0).
Step 3
Exam Tip
When a question says between do not include endpoints unless stated. चरण 1: (5) और (6) के बीच कोई पूर्णांक नहीं आता। चरण 2: इसलिए समुच्चय में कोई तत्व नहीं है और तत्वों की संख्या (0) है। चरण 3: बीच में लिखा हो तो किनारों को शामिल मानने की जल्दी न करें।
\(B=\{0\}\) contains one element (0) so it is not empty.
Step 3
Exam Tip
Always distinguish ({0}) from \(\varnothing\). चरण 1: एकल समुच्चय में केवल एक तत्व होता है। चरण 2: \(B=\{0\}\) में (0) एक तत्व है इसलिए यह रिक्त नहीं है। चरण 3: ({0}) और \(\varnothing\) को अलग पहचानना बहुत जरूरी है।
Both sets have the same distinct elements (a,b,c) so (A=B).
Step 3
Exam Tip
Do not count repeated entries as new elements. चरण 1: समुच्चय में दोहराए गए तत्व को एक ही बार गिना जाता है। चरण 2: दोनों समुच्चयों के अलग-अलग तत्व (a,b,c) ही हैं इसलिए (A=B) है। चरण 3: दोहराव देखकर तत्वों की संख्या गलत न गिनें।
Positive even numbers less than (10) are (2,4,6,8).
Step 2
Why this answer is correct
These can be counted so the set is finite.
Step 3
Exam Tip
A set with a fixed boundary is often finite. चरण 1: (10) से छोटी धनात्मक सम संख्याएँ (2,4,6,8) हैं। चरण 2: इनके तत्व गिने जा सकते हैं इसलिए समुच्चय परिमित है। चरण 3: सीमा दी हो तो अक्सर समुच्चय परिमित होता है।
(0) is a number but having no element is different.
Step 3
Exam Tip
Never confuse \(\varnothing\) with ({0}). चरण 1: रिक्त समुच्चय का अर्थ है ऐसा समुच्चय जिसमें कोई तत्व न हो। चरण 2: (0) एक संख्या है जबकि कोई तत्व न होना अलग बात है। चरण 3: \(\varnothing\) को ({0}) से कभी न मिलाएँ।
The positive condition leaves only (2) so \(A=\{2\}\).
Step 3
Exam Tip
Always apply the condition after solving the equation. चरण 1: \(x^2=4\) के हल (2) और (-2) हैं। चरण 2: धनात्मक शर्त से केवल (2) बचता है इसलिए \(A=\{2\}\) है। चरण 3: समीकरण के बाद दी गई शर्त को जरूर लगाएँ।
A. हाँ क्योंकि दोनों में वही स्वर हैं/Yes because both contain the same vowels
Step 1
Concept
To check equality compare the elements of both sets.
Step 2
Why this answer is correct
(A) contains the same five vowels listed in (B) so they are equal.
Step 3
Exam Tip
Description form and roster form can represent the same set. चरण 1: समानता के लिए दोनों समुच्चयों के तत्वों की तुलना करें। चरण 2: (A) में वही पाँच स्वर हैं जो (B) में लिखे हैं इसलिए दोनों समान हैं। चरण 3: वर्णन रूप और सूची रूप एक ही समुच्चय दिखा सकते हैं।
Do not count (1) as a prime number. चरण 1: (12) से छोटी अभाज्य संख्याएँ (2,3,5,7,11) हैं। चरण 2: कुल (5) तत्व हैं इसलिए उत्तर (5) है। चरण 3: (1) को अभाज्य न मानें।
C. \(C={x:x\) (3) से छोटी प्राकृतिक संख्या है(})/\(C={x:x\) is a natural number less than (3})
Step 1
Concept
Natural numbers less than (3) are (1) and (2).
Step 2
Why this answer is correct
So (C) has elements and is not empty.
Step 3
Exam Tip
For each option try to find at least one example satisfying the condition. चरण 1: (3) से छोटी प्राकृतिक संख्याएँ (1) और (2) हैं। चरण 2: इसलिए (C) में तत्व हैं और यह रिक्त नहीं है। चरण 3: हर विकल्प में शर्त पूरी करने वाला उदाहरण खोजें।
Even one extra element breaks equality. चरण 1: समान समुच्चयों में हर तत्व बिल्कुल समान होना चाहिए। चरण 2: (7) केवल (B) में है इसलिए (A) और (B) समान नहीं हैं। चरण 3: एक अतिरिक्त तत्व भी समानता को तोड़ देता है।
Positive multiples of (5) less than (20) are (5,10,15).
Step 2
Why this answer is correct
(20) is not included because the condition says less than (20).
Step 3
Exam Tip
Note the difference between less than and less than or equal to. चरण 1: (20) से छोटी धनात्मक (5) की गुणज संख्याएँ (5,10,15) हैं। चरण 2: (20) शामिल नहीं होगा क्योंकि शर्त (20) से छोटी है। चरण 3: छोटी और छोटी या बराबर में अंतर ध्यान रखें।
B. \(A=\{p,q\}\) और \(B=\{q,p\}\)/\(A=\{p,q\}\) and \(B=\{q,p\}\)
Step 1
Concept
Equal sets have the same elements even if the order changes.
Step 2
Why this answer is correct
Both sets contain (p) and (q) so they are equal.
Step 3
Exam Tip
Do not treat a change of order as inequality. चरण 1: समान समुच्चयों में तत्व समान होते हैं चाहे क्रम बदला हो। चरण 2: (p) और (q) दोनों समुच्चयों में हैं इसलिए वे समान हैं। चरण 3: क्रम बदलने को असमानता का कारण न मानें।
When dots show continuation check for an infinite set. चरण 1: सम प्राकृतिक संख्याएँ \(2,4,6,8,\ldots\) हैं। चरण 2: यह सूची कभी समाप्त नहीं होती इसलिए समुच्चय अपरिमित है। चरण 3: बिंदुओं से जारी क्रम दिखे तो अपरिमित होने की संभावना जाँचें।
In strict inequalities endpoints are not included. चरण 1: (2) और (3) के बीच कोई पूर्णांक नहीं है। चरण 2: कोई तत्व न मिलने पर समुच्चय रिक्त होता है। चरण 3: खुली असमानता में किनारे शामिल नहीं होते।
In \(A={\varnothing}\) the empty set itself is placed as one element.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore it has one element and is not empty.
Step 3
Exam Tip
Remember the difference between \(\varnothing\) and \({\varnothing}\). चरण 1: \(A={\varnothing}\) में रिक्त समुच्चय स्वयं एक तत्व के रूप में रखा गया है। चरण 2: इसलिए इसमें एक तत्व है और यह रिक्त समुच्चय नहीं है। चरण 3: \(\varnothing\) और \({\varnothing}\) में अंतर याद रखें।
Check both the equation and the extra condition together. चरण 1: \(x^2=9\) के हल (3) और (-3) हैं। चरण 2: इनमें से कोई भी सम संख्या नहीं है इसलिए कोई तत्व नहीं बचता। चरण 3: समीकरण और अतिरिक्त शर्त दोनों को साथ में जाँचें।
Fixed real-life collections are usually finite sets. चरण 1: सप्ताह में (7) दिन होते हैं। चरण 2: (7) एक निश्चित संख्या है इसलिए यह परिमित समुच्चय है। चरण 3: दैनिक जीवन के निश्चित समूहों को परिमित समुच्चय के उदाहरण मान सकते हैं।
Convert set-builder form to roster form for easy comparison. चरण 1: (10) से छोटी अभाज्य संख्याएँ (2,3,5,7) हैं। चरण 2: यही सभी तत्व (A) में हैं इसलिए (A=B) है। चरण 3: वर्णन रूप को सूची रूप में बदलकर तुलना करना आसान होता है।
Natural numbers are usually taken to start from (1).
Step 2
Why this answer is correct
One-digit natural numbers are (1) to (9).
Step 3
Exam Tip
Be careful before including (0) when natural numbers are mentioned. चरण 1: प्राकृतिक संख्याएँ (1) से शुरू मानी जाती हैं। चरण 2: एक अंक वाली प्राकृतिक संख्याएँ (1) से (9) तक हैं। चरण 3: प्रश्न में प्राकृतिक संख्या हो तो (0) को शामिल करने से पहले सावधान रहें।
Natural numbers greater than (7) are \(8,9,10,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
This sequence does not end so (A) is infinite.
Step 3
Exam Tip
If there is only a lower bound and no upper bound check for infinity. चरण 1: (7) से बड़ी प्राकृतिक संख्याएँ \(8,9,10,\ldots\) हैं। चरण 2: यह क्रम समाप्त नहीं होता इसलिए (A) अपरिमित है। चरण 3: केवल निचली सीमा हो और ऊपर सीमा न हो तो अपरिमितता जाँचें।
B. यह एकल और परिमित समुच्चय है/It is a singleton and finite set
Step 1
Concept
\(A=\{0\}\) contains one element (0).
Step 2
Why this answer is correct
Having exactly one element makes it singleton and finite.
Step 3
Exam Tip
Treat zero as an element and emptiness as no element. चरण 1: \(A=\{0\}\) में (0) एक तत्व है। चरण 2: केवल एक तत्व होने से यह एकल और परिमित समुच्चय है। चरण 3: शून्य को तत्व और खालीपन को अलग समझें।
Repeated elements are not counted separately in a set.
Step 2
Why this answer is correct
The distinct elements are (1,2,3) so (n(A)=3).
Step 3
Exam Tip
Remove repetitions before finding the number of elements. चरण 1: समुच्चय में दोहराए गए तत्व अलग से नहीं गिने जाते। चरण 2: अलग तत्व (1,2,3) हैं इसलिए (n(A)=3)। चरण 3: तत्वों की संख्या निकालते समय पहले दोहराव हटाएँ।
These are (5) fixed elements so the set is finite.
Step 3
Exam Tip
When both start and end are given count the elements. चरण 1: (1) से (5) तक संख्याएँ (1,2,3,4,5) हैं। चरण 2: ये (5) निश्चित तत्व हैं इसलिए समुच्चय परिमित है। चरण 3: आरंभ और अंत दोनों दिए हों तो संख्या गिन लें।
The empty set is denoted by \(\varnothing\) or ({}).
Step 2
Why this answer is correct
(0) is a number and ({0}) has one element.
Step 3
Exam Tip
Remember the symbol because such direct questions are common in exams. चरण 1: रिक्त समुच्चय को \(\varnothing\) या ({}) से दिखाया जाता है। चरण 2: (0) एक संख्या है और ({0}) में एक तत्व है। चरण 3: प्रतीक याद रखें क्योंकि ऐसे प्रश्न सीधे परीक्षा में पूछे जाते हैं।
The number of elements is fixed so the set is finite.
Step 3
Exam Tip
Fixed calendar-based collections are easy examples of finite sets. चरण 1: एक वर्ष में महीनों की संख्या (12) होती है। चरण 2: तत्वों की संख्या निश्चित है इसलिए यह परिमित समुच्चय है। चरण 3: कैलेंडर जैसे निश्चित समूहों में परिमितता जल्दी पहचानी जा सकती है।
Convert algebraic form into roster form to check equality. चरण 1: (x=1,2,3) रखने पर \(x^2\) के मान (1,4,9) मिलते हैं। चरण 2: ये (A) के सभी तत्वों के समान हैं इसलिए (A=B)। चरण 3: बीजगणितीय रूप को सूची में बदलकर समानता जाँचें।
C. ({x:x) एक प्राकृतिक संख्या है और (x<0})/({x:x) is a natural number and (x<0})
Step 1
Concept
\(\varnothing\) has no element.
Step 2
Why this answer is correct
No natural number is less than (0) so option (C) has no element.
Step 3
Exam Tip
To identify emptiness try to find an example satisfying the condition. चरण 1: \(\varnothing\) में कोई तत्व नहीं होता। चरण 2: कोई प्राकृतिक संख्या (0) से छोटी नहीं होती इसलिए विकल्प (C) में कोई तत्व नहीं है। चरण 3: रिक्तता पहचानने के लिए शर्त का उदाहरण खोजें।
Positive multiples of (3) less than (15) are (3,6,9,12).
Step 2
Why this answer is correct
There are (4) elements.
Step 3
Exam Tip
Include the boundary number only if the condition allows it. चरण 1: (15) से छोटी धनात्मक (3) की गुणज संख्याएँ (3,6,9,12) हैं। चरण 2: कुल (4) तत्व हैं। चरण 3: सीमा में दी गई संख्या को तभी शामिल करें जब शर्त अनुमति दे।
B. उनमें बिल्कुल वही तत्व होते हैं/They contain exactly the same elements
Step 1
Concept
Equality of sets is based on equality of elements.
Step 2
Why this answer is correct
Order or writing style may change but the elements must be the same.
Step 3
Exam Tip
In definition-based questions focus on the key words. चरण 1: समान समुच्चय का आधार तत्वों की समानता है। चरण 2: क्रम या लिखने का तरीका बदल सकता है पर तत्व वही होने चाहिए। चरण 3: परिभाषा आधारित प्रश्नों में मुख्य शब्दों पर ध्यान दें।
Remember the special role of (2) among prime numbers. चरण 1: (2) ही एकमात्र सम अभाज्य संख्या है। चरण 2: इसलिए \(A=\{2\}\) और यह एकल समुच्चय है। चरण 3: अभाज्य संख्याओं में (2) की विशेष भूमिका याद रखें।
Natural numbers greater than (50) are \(51,52,53,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
The sequence continues forever so the number of elements is infinite.
Step 3
Exam Tip
If only a starting point is given and no end is given the list may be infinite. चरण 1: (50) से बड़ी प्राकृतिक संख्याएँ \(51,52,53,\ldots\) हैं। चरण 2: यह क्रम आगे चलता रहता है इसलिए तत्व अपरिमित हैं। चरण 3: केवल आरंभ दिया हो और अंत न दिया हो तो अनंत सूची बन सकती है।
Option (C) has an extra element (4) so it is not equal to (A).
Step 3
Exam Tip
Repetition and order do not change equality but an extra element does. चरण 1: पहले हर विकल्प के अलग तत्व देखें। चरण 2: विकल्प (C) में (4) अतिरिक्त तत्व है इसलिए वह (A) के समान नहीं है। चरण 3: दोहराव और क्रम समानता को नहीं बदलते पर अतिरिक्त तत्व बदल देता है।
If natural numbers start from (1), then (0) is not natural so there is no element.
Step 3
Exam Tip
Check the number-system condition before finalizing the set. चरण 1: (x+1=1) से (x=0) मिलता है। चरण 2: प्राकृतिक संख्या (1) से शुरू मानी जाए तो (0) प्राकृतिक नहीं है इसलिए कोई तत्व नहीं है। चरण 3: उत्तर लिखने से पहले संख्या-समूह की शर्त जाँचें।
(0) is a fixed number so the empty set is considered finite.
Step 3
Exam Tip
Do not mistake the empty set for an infinite set. चरण 1: रिक्त समुच्चय में (0) तत्व होते हैं। चरण 2: (0) एक निश्चित संख्या है इसलिए रिक्त समुच्चय परिमित माना जाता है। चरण 3: रिक्त समुच्चय को अपरिमित समझने की गलती न करें।
The positive numbers that divide (6) exactly are (1,2,3,6).
Step 2
Why this answer is correct
Hence \(A=\{1,2,3,6\}\).
Step 3
Exam Tip
Include (1) and the number itself when listing divisors. चरण 1: (6) को पूरा भाग देने वाली धनात्मक संख्याएँ (1,2,3,6) हैं। चरण 2: इसलिए \(A=\{1,2,3,6\}\) है। चरण 3: भाजक में (1) और संख्या स्वयं को भी शामिल करें।
C. (10) से छोटी प्राकृतिक संख्याएँ/Natural numbers less than (10)
Step 1
Concept
Natural numbers less than (10) are limited from (1) to (9).
Step 2
Why this answer is correct
They have only (9) elements so this set is not infinite.
Step 3
Exam Tip
Use boundaries to distinguish finite and infinite sets. चरण 1: (10) से छोटी प्राकृतिक संख्याएँ (1) से (9) तक सीमित हैं। चरण 2: इनके केवल (9) तत्व हैं इसलिए यह अपरिमित नहीं है। चरण 3: सीमा देखकर परिमित और अपरिमित में अंतर करें।
This matches the list in (A) exactly so the sets are equal.
Step 3
Exam Tip
To check equality write the list formed by the condition. चरण 1: (8) से छोटी धनात्मक सम संख्याएँ (2,4,6) हैं। चरण 2: यह (A) की सूची से पूरी तरह मिलती है इसलिए दोनों समान हैं। चरण 3: समानता जाँचने के लिए शर्त से बनी सूची लिखें।
A triangle with four sides is impossible so the set has no element.
Step 3
Exam Tip
Basic geometry definitions can help identify an empty set. चरण 1: त्रिभुज की ठीक (3) भुजाएँ होती हैं। चरण 2: चार भुजाओं वाला त्रिभुज संभव नहीं है इसलिए कोई तत्व नहीं है। चरण 3: ज्यामिति की मूल परिभाषा से रिक्त समुच्चय पहचाना जा सकता है।
Only (1) is a perfect square among them so \(A=\{1\}\).
Step 3
Exam Tip
(4) is not included because the condition says less than (4). चरण 1: (4) से छोटी प्राकृतिक संख्याएँ (1,2,3) हैं। चरण 2: इनमें पूर्ण वर्ग केवल (1) है इसलिए \(A=\{1\}\)। चरण 3: सीमा में (4) नहीं आएगा क्योंकि शर्त (4) से छोटी है।
Count only distinct elements when finding cardinality. चरण 1: (n(A)) समुच्चय के तत्वों की संख्या बताता है। चरण 2: \(A=\{5,7\}\) में दो तत्व हैं इसलिए (n(A)=2)। चरण 3: तत्वों की संख्या गिनते समय केवल अलग तत्व गिनें।
In the weekly order Monday comes immediately after Sunday.
Step 2
Why this answer is correct
No day comes between them so the set is empty.
Step 3
Exam Tip
In order-based questions check the between condition carefully. चरण 1: सप्ताह के क्रम में रविवार के तुरंत बाद सोमवार आता है। चरण 2: इनके बीच कोई दिन नहीं आता इसलिए समुच्चय रिक्त है। चरण 3: क्रम आधारित प्रश्नों में बीच की स्थिति ध्यान से जाँचें।
Odd natural numbers from (1) to (10) are (1,3,5,7,9).
Step 2
Why this answer is correct
So the roster form is \(A=\{1,3,5,7,9\}\).
Step 3
Exam Tip
Do not include a number outside the given range. चरण 1: (1) से (10) तक विषम प्राकृतिक संख्याएँ (1,3,5,7,9) हैं। चरण 2: इसलिए सूची रूप \(A=\{1,3,5,7,9\}\) होगा। चरण 3: दी गई सीमा से बाहर की संख्या शामिल न करें।
Writing (a) twice in a set does not create a new element.
Step 2
Why this answer is correct
Both have the distinct elements (a) and (b) so they are equal.
Step 3
Exam Tip
Remove repetitions before comparing sets. चरण 1: समुच्चय में (a) को दो बार लिखने से नया तत्व नहीं बनता। चरण 2: दोनों में अलग-अलग तत्व (a) और (b) हैं इसलिए वे समान हैं। चरण 3: दोहराव को हटाकर तुलना करें।
Natural numbers less than (100) are from (1) to (99).
Step 2
Why this answer is correct
The total number of elements is fixed so the set is finite.
Step 3
Exam Tip
When an upper bound is given the list has an end. चरण 1: (100) से छोटी प्राकृतिक संख्याएँ (1) से (99) तक हैं। चरण 2: कुल तत्वों की संख्या निश्चित है इसलिए यह परिमित समुच्चय है। चरण 3: ऊपर की सीमा दी हो तो सूची अंत तक पहुँचती है।
