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(A') में (U) के वे अवयव होते हैं जो (A) में नहीं होते। पूरक निकालते समय हमेशा (U) को आधार मानें। / (A') contains the elements of (U) that are not in (A). Always take (U) as the base while finding complement.
सूत्र (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)) से (36+28-12=52) मिलता है। साझा भाग को एक बार घटाएं। / Using (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)), we get (36+28-12=52). Subtract the common part once.
\(A\cup B\) में दोनों वृत्तों का पूरा भाग आता है। जो भाग छूटता है वह दोनों से बाहर यानी (\(A\cup B\)') है। / \(A\cup B\) includes the whole of both circles. The part left is outside both, that is (\(A\cup B\)').
जो क्षेत्र न A में है न B में है वह \((A\cup B)'\) है। सार्वभौमिक सेट में कुल अवयव \(n(U)=92\) हैं और \(A\cup B\) में \(67\) अवयव हैं। इसलिए
\(n((A\cup B)')=n(U)-n(A\cup B)=92-67=25\).
नज़दीकी विक्षेपक (67) गलत है क्योंकि वह यूनियन का मान है, न कि यूनियन के बहिष्कृत क्षेत्र का। परीक्षा सुझाव: किसी भी बार आपसे "neither...nor" पूछा जाए तो उसे \((A\cup B)'\) के रूप में लिखें और कुल से यूनियन घटा दें। / The region neither in A nor in B is \((A\cup B)'\). The universal set has \(n(U)=92\) elements and \(A\cup B\) has 67 elements. Hence
\(n((A\cup B)')=n(U)-n(A\cup B)=92-67=25\).
The closest distractor 67 is incorrect because it gives the size of \(A\cup B\), not its complement. Exam tip: translate "neither...nor" to \((A\cup B)'\) and subtract from the universal total.
बीच का साझा भाग \(A\cap B\) कहलाता है। प्रतिच्छेद में केवल दोनों में आने वाले अवयव होते हैं। / The middle common part is called \(A\cap B\). Intersection contains only elements common to both sets.
यह सेट-डिफरेंस की समस्या है: केवल A वाले तत्व खोजने के लिए A से B के सामान्य तत्व हटा दें। A और B के सामान्य तत्व 5 और 7 हैं, उन्हें निकालने पर बचता है {1,3,9}। विकल्प B ({5,7}) A∩B है — यह केवल A नहीं है; विकल्प C और D क्रमशः केवल B का तत्व और A∪B हैं, इसलिए गलत हैं। परीक्षा टिप: केवल A के लिए हमेशा A−B लें यानी A में से B के सभी तत्व हटाएँ। / This is a set-difference question: to get elements only in A remove the common elements of B from A. The common elements are 5 and 7; removing them leaves {1,3,9}. Option B ({5,7}) is A∩B (the intersection), not A−B; option C is an element only of B, and option D is A∪B (the union). Exam tip: compute A−B directly — cross out elements that appear in B from A.
"केवल \(A\)" का अर्थ है तत्व \(A\) में हों और \(B\) में न हों। इसे सेट के रूप में \(A\cap B'\) लिखा जाता है (यह वही क्षेत्र है जो केवल A के अंतर्गत है और B के बाहर है)। विकल्प A (\(A\cap B\)) गलत है क्योंकि वह केवल उन तत्वों को दर्शाता है जो दोनों सेट \(A\) और \(B\) में हैं। विकल्प C (\(A'\cap B\)) और विकल्प D (\(A\cup B'\)) भी गलत हैं — C तो बिल्कुल बाहर के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है और D में \(B'\) के कारण A के बाहर के भी कई तत्व शामिल हो जाते हैं। परीक्षा-टिप: याद रखें कि \(A\setminus B= A\cap B'\)। / "Only \(A\)" means elements that are in \(A\) but not in \(B\). In set notation this is \(A\cap B'\), which represents the part of A outside B. Option A (\(A\cap B\)) is wrong because it denotes elements common to both A and B. Option C (\(A'\cap B\)) refers to elements outside A and inside B, and option D (\(A\cup B'\)) includes many elements outside A (because of \(B'\)), so both are incorrect. Exam tip: use \(A\setminus B= A\cap B'\) to convert "A but not B" statements into set notation.
केवल \(A\) के अवयव कुल \(A\) में से संयुक्त भाग \(A\cap B\) घटाकर मिलते हैं: केवल \(A)=n(A)-n(A\cap B)=44-18=26\). विकल्प 18 केवल साझा भाग है, जो "केवल A" नहीं है; विकल्प 44 पूरी सेट A का आकार है जिसमें साझा भाग भी शामिल है। परिक्षा सुझाव: एक सरल वेन-आरेख बनाकर पहले संयुक्त क्षेत्र पर अंक लगाएँ और फिर उसे कुल A से घटाएँ। / Elements only in A = n(A) − n(A∩B) = 44 − 18 = 26. So only A has 26 elements. Option 18 is the intersection (shared part), not "only A"; option 44 is the total size of A including the shared part; 62 is impossible here. Exam tip: draw a Venn diagram, label n(A) and n(A∩B), then subtract the intersection from A to get the "only A" region.
'केवल \(B\)' का अर्थ है वह भाग जो \(B\) में है पर \(A\) में नहीं है। इसे सेट-समिकरण में लिखने का मानक रूप \(A' \cap B\) है (यह वही है जो \(B - A\) भी दर्शाता है)। इसलिए विकल्प C सही है।
नज़दीकी चुनौतियाँ: विकल्प A (\(A - B\)) केवल \(A\) का वह भाग दर्शाता है जो \(B\) में नहीं है — यह 'केवल A' है, इसलिए गलत। विकल्प B (\(A \cap B\)) दोनों सेटों का साझा भाग है, न कि केवल \(B\)। विकल्प D (\(A \cup B\)) दोनों में से किसी में भी आने वाले तत्व हैं, जो भी बढ़ा-चढ़ाकर दिखाता है।
परीक्षा टिप: वेंन आरेख पर छायांकन करके देखें — 'केवल B' वह हिस्सा है जो B के अंदर है और A के ओवरलैप के बाहर। इससे तुरंत \(A' \cap B\) पहचान में आ जाता है। / 'Only B' means elements are in \(B\) and not in \(A\). The standard set expression for this is \(A' \cap B\), which is equivalent to \(B - A\). Hence option C is correct.
Why other options are wrong: Option A (\(A - B\)) represents elements only in \(A\), not in \(B\). Option B (\(A \cap B\)) is the common part of both sets, not 'only B'. Option D (\(A \cup B\)) includes elements of either set, so it is too large.
Exam tip: Shade the Venn diagram — the region inside \(B\) but outside \(A\) clearly shows \(A' \cap B\).
पहले \(A\cup B=\{a,c,d,e,f\}\) मिलता है क्योंकि दोनों सेटों के सारे तत्व मिलाकर यह समूह बनता है। अब इसका पूरक \((A\cup B)'\) यूनिवर्सल सेट \(U\) के उन तत्वों का समूह होगा जो \(A\cup B\) में नहीं हैं, यानी \{b,h\}। विकल्प C गलती से \(c\) को निकालकर बची हुई सूची दिखाता है जबकि \(c\) वास्तव में \(A\cup B\) में है; विकल्प B और D भी स्पष्टतः गलत हैं (B में \(c\) जो यूनियन में है, D पूरा यूनिवर्सल दिखाता)। परीक्षा टिप: पहले यूनियन साफ़ लिखें, फिर यूनिवर्सल से घटाएँ। / First compute the union: \(A\cup B=\{a,c,d,e,f\}\). The complement \((A\cup B)'\) consists of elements of the universal set \(U\) not in the union, so it is \{b,h\}. Option C shows elements of the union except \(c\) (a common mistake), option B incorrectly picks \(c\) which belongs to the union, and option D is the entire universal set, not a complement. Exam tip: write the union explicitly, then subtract those elements from \(U\).
समुच्चयों के लिए समावेशन-अποहार नियम है: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)। यहाँ \(n(A\cup B)=31+22-9=44\)। विकल्प (B) — 53 — तब आना चाहिए यदि दोनो समुच्चय का कोई साझा भाग न हो (यानी \(n(A\cap B)=0\)) इसलिए गलत है। परीक्षा सुझाव: प्रश्न देखते ही छोटा वेन चित्र बनाकर साझा भाग अलग दिखाएँ और सूत्र लागू करें। / Use the inclusion–exclusion formula: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). So \(n(A\cup B)=31+22-9=44\). Option B (53) would be the sum 31+22 and would be correct only if the intersection were zero, so it is incorrect. Exam tip: sketch a two-circle Venn diagram to identify the overlap and apply the formula to avoid double counting.
संघ में केवल (A), साझा भाग और केवल (B) आते हैं। इसलिए साझा भाग (81-29-34=18) है। / The union contains only (A), the common part, and only (B). Therefore the common part is (81-29-34=18).
सूत्र है \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). इसे \(n(A\cap B)\) के लिए व्यवस्थित करने पर \(n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)\)। इसलिए \(n(A\cap B)=28+19-39=8\)। विकल्प C (11) गलत है — यह किसी गलत गणना या संघ की मान में त्रुटि करने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: संघ-इंटरसेक्शन का सूत्र रट्टा रखें और सीधे दिए गए मानों को सूत्र में लगाएँ। / Use the identity \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). Rearranging gives \(n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)\). Substituting: \(28+19-39=8\). Choice C (11) is a result of a miscalculation or using an incorrect union value. Exam tip: memorize the union formula and plug values carefully to avoid arithmetic mistakes.
पूरक का मूल विचार: किसी उपसमूह A का पूरक A' यूनिवर्स U के वे तत्त्व हैं जो A में नहीं हैं। इसलिए तत्त्वों की संख्या के लिए \(n(A')=n(U)-n(A)\)। यहाँ \(n(A')=72-29=43\)। विकल्प 29 गलत है क्योंकि वह \(n(A)\) है (A के तत्त्व), न कि A' का मान। परीक्षा सुझाव: पूरक के लिए हमेशा सूत्र \(n(A')=n(U)-n(A)\) याद रखें और पहले यूनिवर्स व उपसमूह की संख्याएँ सत्यापित करें। / Core concept: the complement A' contains elements of the universal set U that are not in A, so sizes satisfy \(n(A')=n(U)-n(A)\). Thus \(n(A')=72-29=43\). Option 29 is incorrect because it gives \(n(A)\), not the complement. Exam tip: Memorize and apply \(n(A')=n(U)-n(A)\) and check which number refers to U and which to A before subtraction.
न (A) न (B) की संख्या (85-56=29) है। यह दोनों वृत्तों के बाहर लेकिन (U) के अंदर का क्षेत्र है। / The number in neither (A) nor (B) is (85-56=29). It is outside both circles but inside (U).
केवल \(A\) के अवयव वे होते हैं जो \(A\) में हैं पर \(B\) में नहीं। इसका मान \(n(A)-n(A\cap B)\) है। यहाँ \(35-12=23\)। विकल्प (12) केवल साझा भाग है, न कि केवल \(A\)। विकल्प (35) पूरा \(A\) है जिसमें साझा भाग भी शामिल है। परीक्षा टिप: प्रश्न पर छोटा Venn-आकृति बनाकर प्रत्येक क्षेत्र के लिए दी गयी संख्याएँ लिख लें। / Elements only in A are those in A but not in B, so compute \(n(A)-n(A\cap B)\). Here \(35-12=23\). Option 12 is just the intersection, not the ‘only A’ part; 35 is the total of A including the intersection; 47 is impossible given the totals. Exam tip: draw a small Venn diagram and subtract the intersection from the total of A to avoid errors.
कोर विचार: किसी सेट \(B\) के केवल (only) क्षेत्र में आने वाले अवयवों की संख्या वह है जो \(B\) में हैं पर \(A\) और \(B\) के साझा (intersection) भाग में नहीं हैं। इसे निकालने का सूत्र: केवल \(B\)=\(n(B)-n(A\cap B)\)। यहाँ \(n(B)=41\) और \(n(A\cap B)=17\) होने पर केवल \(B\)=\(41-17=24\)। सबसे निकटवर्ती ग़लत विकल्पों का कारण: 17 (विकल्प A) केवल सम्मिलित भाग की संख्या है, न कि केवल \(B\) का; 41 (विकल्प C) पूरे \(B\) की कुल संख्या है जिसमें साझा भाग भी शामिल है; 58 (विकल्प D) अर्थहीन जोड़ है। परीक्षा सुझाव: हल करने से पहले छोटा वенн-चित्र बनाकर तीन क्षेत्र (केवल A, केवल B, A∩B) ले लें और उनकी संख्याएँ लिखें। / Core idea: Elements only in B are those in B but not in A, so only-B = \(n(B)-n(A\cap B)\). With \(n(B)=41\) and \(n(A\cap B)=17\), only-B = \(41-17=24\), so option 24 is correct. Why other options are wrong: 17 is the intersection count (not only B); 41 is the total in B including the overlap; 58 is an incorrect sum. Exam tip: sketch a two-circle Venn diagram and label total B and the overlap, then subtract overlap from B to get the only-B region.
संघ में तीनों क्षेत्र आते हैं, इसलिए (18+7+14=39)। वेन आरेख में हर क्षेत्र को एक बार जोड़ें। / The union includes all three regions, so (18+7+14=39). In a Venn diagram, add each region once.
समुह A के तत्व दो भागों में आते हैं: केवल A में आने वाले तत्व (A−B) और दोनों में साझा होने वाले तत्व \(A\cap B\)। अतः कुल तत्वों की संख्या \(n(A)=n(A-B)+n(A\cap B)=16+11=27\)। विकल्प B (16) केवल उन तत्वों की संख्या है जो सिर्फ A में हैं और इसलिए पूरा A नहीं दर्शाता — यही कारण है कि वह गलत है। परीक्षा‑टिप: पहले "केवल A" और "साझा" भाग अलग‑अलग गिनें और फिर जोड़ें। / Elements of set A split into two parts: those only in A, i.e. \(A-B\), and those in the common part \(A\cap B\). Therefore \(n(A)=n(A-B)+n(A\cap B)=16+11=27\). Option B (16) counts only the elements exclusive to A, not the shared ones, so it is incorrect. Exam tip: always separate exclusive and common regions in a Venn diagram, then add their counts.
समूह B को दो असंगत भागों में बाँटा जा सकता है: वह भाग जो केवल B में है (B−A) और वह साझा भाग \(A\cap B\)। इसलिए फार्मूला है: \(n(B)=n(B-A)+n(A\cap B)\)। यहाँ \(n(B)=21+13=34\) इसलिए सही उत्तर 34 है। निकटभ्रम (option B = 21) गलत है क्योंकि यह केवल \(B-A\) की गिनती है और साझा भाग को नहीं जोड़ता। अन्य विकल्प (8, 273) भी अर्थपूर्ण रूप से मेल नहीं खाते। परीक्षा सुझाव: किसी भी सेट की कुल संख्या पूछे जाने पर उसे असंगत (disjoint) हिस्सों में बाँट कर जोड़ें — यही तेज और सुरक्षित तरीका है। / Set B splits into two disjoint parts: the elements only in B (B−A) and the common part \(A\cap B\). Hence the identity is \(n(B)=n(B-A)+n(A\cap B)\). Here \(n(B)=21+13=34\), so 34 is correct. The closest distractor 21 is incorrect because it counts only \(B-A\) and omits the common elements. Options 8 and 273 are not consistent with the given data. Exam tip: always partition a set into disjoint regions (only-in, common, only-in-other) before adding counts.
यदि \(n(U)=94\), केवल \(A\) में 26 सदस्य, \(A\cap B\) में 15 सदस्य, और केवल \(B\) में 31 सदस्य हों, तो यूनिवर्स के बाहर (A और B के बाहर) कितने सदस्य हैं?
A और B के भीतर ज्ञात सदस्य हैं: केवल A (26) + A∩B (15) + केवल B (31) = 26+15+31 = 72. कुल यूनिवर्स में 94 सदस्य हैं, अतः बाहर के सदस्य = 94−72 = 22. यहाँ निकटतम विकर्षक 72 है, जो A∪B का योग है (यूनिवर्स से घटाने से पहले के अंदर के सदस्य), इसलिए वह बाहर की संख्या नहीं है। परीक्षात्मक सुझाव: पहले अनुकूलित क्षेत्रों का कुल जोड़ निकालें और उसे \(n(U)\) से घटाएँ। / Elements inside A or B are: only A (26) + A∩B (15) + only B (31) = 26+15+31 = 72. Since the universal set has 94 elements, the outside (neither A nor B) = 94−72 = 22. The closest distractor 72 is just the count of A∪B, not the outside region. Exam tip: sum all disjoint regions inside the Venn diagram first, then subtract from \(n(U)\).
दो-वृत्त Venn आरेख में कुल तत्व 4 क्षेत्रों का योग होते हैं: केवल A, केवल B, A∩B (साझा भाग) और दोनों के बाहर (neither)। इसलिए साझे भाग की संख्या निकालने के लिए ज्ञात क्षेत्रों को कुल से घटाएँ: \(n(A\cap B)=76-(18+20+23)=76-61=15\)। विकल्प B (43) केवल "केवल A" और "केवल B" का योग है (20+23) और इसमें साझा भाग व बाहरी भाग शामिल नहीं है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: दो-वृत्त प्रश्नों में तुरंत एक छोटा Venn आरेख बनाइए और चारों क्षेत्रों का योग कुल के बराबर होता है। / In a two-set Venn diagram the universal set splits into four regions: only A, only B, A∩B (the intersection), and neither. So compute the intersection by subtracting the known three regions from the total: \(n(A\cap B)=76-(18+20+23)=76-61=15\). Option B (43) is just 20+23 (only A plus only B) and omits the intersection and the outside region, so it is incorrect. Exam tip: draw the Venn diagram and equate the sum of the four regions to the total to avoid sign/errors.
संघ में केवल (A), साझा भाग और केवल (B) आते हैं। इसलिए साझा भाग (63-24-27=12) है। / The union contains only (A), the common part, and only (B). Therefore, the common part is (63-24-27=12).
छोटा सिद्धांत: किसी दो समूहों का परस्पर छेदक (intersection) वे तत्व होते हैं जो दोनों समूहों में एक साथ मौजूद हों। यहाँ \(A\) और \(B\) में सामान्य तत्व केवल \(3\) और \(5\) हैं, इसलिए \(A\cap B=\{3,5\}\)। विकल्प B (\(\{2,7,11\}\)) में केवल उन तत्वों का उल्लेख है जो केवल \(A\) में हैं (यानी \(A\setminus B\)) — इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: इंटरसेक्शन खोजने के लिए दोनों सेटों को पारस्परिक रूप से देखें और केवल वही तत्व लिखें जो दोनों में मौजूद हों। / Core idea: the intersection of two sets consists of elements present in both sets. Here the common elements of \(A\) and \(B\) are 3 and 5, so \(A\cap B=\{3,5\}\). Option B (\(\{2,7,11\}\)) lists elements that are only in \(A\) (i.e. \(A\setminus B\)), so it is incorrect. Exam tip: scan each element of one set and check if it also appears in the other; list only those that appear in both.
“केवल A” का अर्थ है A B यानी A में मौजूद वे तत्व जो B में नहीं हैं। A = {4,6,8,10} और B = {6,10,12} में सामान्य तत्व 6 और 10 हैं, इन्हें हटा देने पर केवल A में {4,8} बचता है। विकल्प B ({6,10}) A ∩ B (संयुक्त तत्व) है और इसलिए गलत है; विकल्प C केवल B का खास तत्व है; विकल्प D पूरी समेकित संख्या集合 है और प्रश्न से मेल नहीं खाती। परीक्षा-टिप: ऐसे प्रश्नों में शीघ्रता से A - B निकालें या एक छोटा वेन्न आरेख बनाएं। / “Only A” means A \ B, the elements that are in A but not in B. With A = {4,6,8,10} and B = {6,10,12}, the common elements 6 and 10 are removed, leaving {4,8} as A \ B. Option B ({6,10}) is the intersection A ∩ B and therefore incorrect; option C ({12}) is an element only of B; option D is the union of the sets and not asked for. Exam tip: compute A - B directly or sketch a small Venn diagram to avoid sign errors.
"केवल B" का अर्थ है B में होने वाले पर A में न होने वाले तत्व — यानी हम निकालते हैं \(B - A\)। B में {q,r,s,t} हैं और A में {p,q,r} हैं। सामान्य तत्व {q,r} हैं, इसलिए केवल B में बचे हुए तत्व {s,t} होंगे। विकल्प B ({q,r}) गलत है क्योंकि वे दोनों A और B दोनों में आते हैं; विकल्प A और D भी सही नहीं हैं। परीक्षा टिप: केवल B खोजने के लिए Venn आरेख बनाकर मध्य भाग (A∩B) हटाएँ या सीधे \(B - A\) निकालें। / "Only B" means elements in B that are not in A, i.e. compute \(B - A\). B = {q,r,s,t} and A = {p,q,r}, so the common elements are {q,r} and the remaining elements in B are {s,t}. Thus {s,t} is correct. Option B ({q,r}) is incorrect because those elements lie in A∩B, not only in B; A and D are also incorrect. Exam tip: draw a two-set Venn diagram or compute \(B - A\) directly to avoid mistakes.
पहला चरण संघ निकालना है: \(A\cup B=\{a,b,c,e,g\}\). अब यूनिवर्स सेट U में से इस संघ के तत्वों को निकाल दें तो पूरक बचता है: \((A\cup B)'=U-(A\cup B)=\{d\}\). विकल्प B संघ (पूरक नहीं) दिखाता, इसलिए गलत है। परिक्षा टिप: पहले हमेशा \(A\cup B\) लिखकर फिर यूनीवर्स से घटाव करें या छोटा वेन आरेख बनाएं। / First find the union: \(A\cup B=\{a,b,c,e,g\}\). The complement relative to U is the elements of U not in that union, so \((A\cup B)'=U-(A\cup B)=\{d\}\). Option B lists the union itself (not the complement), so it is incorrect. Exam tip: compute the union first then subtract from U, or draw a quick Venn diagram to avoid missing elements.
संघ (union) में दोनों समुच्चयों के सभी अलग‑अलग सदस्य सम्मिलित होते हैं। यहाँ \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(B=\{3,4,5,6\}\) हैं; दोनों को मिलाने पर अलग‑अलग सदस्य \(\{1,2,3,4,5,6\}\) बनते हैं, इसलिए उत्तर D सही है। विकल्प A केवल साझा सदस्य \(\{3,4\}\) दिखाता है — यह वास्तव में \(A\cap B\) (intersection) है, न कि संघ। परीक्षा सुझाव: किसी भी संघ या सम्मिलन में तत्वों को लिखते समय एक ही तत्व को केवल एक बार ही लिखें। / The union of two sets contains all distinct elements from both sets. Here \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(B=\{3,4,5,6\}\); combining them gives the distinct elements \(\{1,2,3,4,5,6\}\), so option D is correct. Option A lists only the common elements \(\{3,4\}\), which is the intersection \(A\cap B\), not the union. Exam tip: when forming a union, list each element once and check for duplicates between sets.
कम से कम एक विषय पढ़ने वाले (34+27-11=50) हैं। दोनों पढ़ने वालों को दो बार नहीं गिनना चाहिए। / Those who study at least one subject are (34+27-11=50). Students studying both should not be counted twice.
एक सर्वे में 90 व्यक्तियों को शामिल किया गया। उनमें से 46 लोग रेडियो सुनते हैं, 38 लोग पॉडकास्ट सुनते हैं, और 16 लोग दोनों सुनते हैं। कितने लोग किसी भी तरह नहीं सुनते?
यह समस्या समावेशन-अपवर्जन (inclusion–exclusion) सिद्धांत पर आधारित है। कम से कम एक सुनने वालों की संख्या
\( |R\cup P|=|R|+|P|-|R\cap P|=46+38-16=68\) है। कुल 90 में से जो कम से कम एक सुनते हैं 68 हैं, इसलिए कोई भी नहीं सुनने वाले = \(90-68=22\)। निकटतम ग़लत विकल्प 68 है — वह वास्तव में "कम से कम एक" सुनने वालों की संख्या है, पर प्रश्न ने "किसी भी तरह नहीं" पूछ रखा है। परीक्षा सुझाव: प्रश्न जल्दी हल करने के लिए एक साधारण Venn आरेख बनाकर समावेशन-अपवर्जन सूत्र लिखें। / This uses the inclusion–exclusion principle. Number who listen to at least one is
\(|R\cup P|=|R|+|P|-|R\cap P|=46+38-16=68\). Out of 90 people, those who listen to neither = \(90-68=22\). The closest distractor 68 is the count for "at least one", not "neither", so it is incorrect for this question. Exam tip: draw a quick Venn diagram and apply the formula \(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\) to avoid double counting.
केवल आम पसंद करने वाले (32-9=23) हैं। कुल आम पसंद करने वालों से दोनों पसंद करने वालों को घटाएं। / Those who like only mango are (32-9=23). Subtract those who like both from total mango lovers.
किसी क्लब में 74 सदस्य हैं। उनमें से 29 सदस्य गायन में हैं, 33 सदस्य चित्रकला में हैं और 12 सदस्य दोनों गतिविधियों में हैं। केवल चित्रकला में कितने सदस्य हैं?
केवल चित्रकला में वह सदस्य आते हैं जो कुल चित्रकला वाले (33) में से दोनों गतिविधियों वाले (12) नहीं हैं। इसलिए केवल चित्रकला = \(33-12=21\)। विकल्प C (33) गलत है क्योंकि इसमें दोनों का हिस्सा भी शामिल है; विकल्प A (12) केवल दोनों का साझा भाग है, और विकल्प D (50) किसी गलत जोड़-घट के परिणाम जैसा है। परीक्षा संकेत: वेंन-डायग्राम या inclusion–exclusion का सरल नियम याद रखें — किसी एक सेट के सिर्फ सदस्य = कुल सेट − सामान्य भाग। / Members only in painting are the painting total minus those in both: only painting = \(33-12=21\). Option C (33) is wrong because it still counts those in both; option A (12) gives only the intersection, not the painting-only count; option D (50) arises from an incorrect addition. Exam tip: use a Venn diagram or the inclusion–exclusion idea — subtract the overlap from the set total to get the 'only' members.
एक परीक्षा में (100) विद्यार्थियों में (62) ने गणित पास किया, (49) ने विज्ञान पास किया, और (35) ने दोनों पास किए। केवल विज्ञान पास करने वाले कितने हैं?
केवल विज्ञान पास करने वाले (49-35=14) हैं। विषय के कुल से दोनों पास करने वालों को घटाएं। / Those who passed only Science are (49-35=14). Subtract those who passed both from the total of that subject.
कम से कम एक जगह जाने वाले (70+52-30=92) हैं। वेन आरेख में साझा भाग को एक बार घटाते हैं। / Those who visited at least one place are (70+52-30=92). In a Venn diagram, subtract the common part once.
कोर विचार: यदि दो समुच्चय असंबंधित (disjoint) हैं यानी \(A\cap B=\varnothing\), तो उनका यूनियन का तत्वों की संख्या सीधे जोड़कर मिलती है: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)\). यहाँ \(n(A\cup B)=24+37=61\), इसलिए सही उत्तर 61 है। निकटतम भ्रामक विकल्प 37 और 24 इसलिए गलत हैं क्योंकि वे केवल एक-एक समुच्चय के आकार हैं, यूनियन का कुल नहीं। विकल्प 13 भी गलत है (कोई उपयुक्त गणितीय सम्बन्ध नहीं देता)। परीक्षा संकेत: पहले हमेशा जाँच लें कि क्या \(A\cap B=\varnothing\) सत्य है — तभी आप सीधे जोड़ सकते हैं। / Core idea: For disjoint sets (\(A\cap B=\varnothing\)), the number of elements in the union is the sum of the sizes: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)\). Thus \(n(A\cup B)=24+37=61\), so 61 is correct. The distractors 24 and 37 are sizes of individual sets, not the union; 13 is not supported by the given data. Exam tip: always verify disjointness (\(A\cap B=\varnothing\)) before applying the sum rule.
यदि \(A\subseteq B\) है तो हर तत्व जो A में है वह B में भी होगा, अतः \(A\cup B=B\) होगा। सामान्य सूत्र \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\) से, क्योंकि \(A\cap B=A\) और \(n(A)=18\), प्राप्त होता है \(18+46-18=46\)। इसलिए सही उत्तर 46 है। विकल्प B (28) गलत है — यह वास्तव में \(n(B)-n(A)=46-18=28\), यानी सेट \(B\setminus A\) का पदार्थ है, न कि संघ का। परीक्षा-टिप: यदि बताया गया हो कि किसी सेट का subset है, तो उसके संघ की गणना करते समय संघ सीधे बड़े सेट के बराबर माना जा सकता है; अन्यथा हमेशा सूत्र का उपयोग करें। / If \(A\subseteq B\), every element of A is in B, so \(A\cup B=B\). Using the formula \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\) and noting \(A\cap B=A\) with \(n(A)=18\), we get \(18+46-18=46\). Thus the correct answer is 46. Option B (28) is incorrect — 28 equals \(n(B)-n(A)=46-18\), which is the size of \(B\setminus A\), not the union. Exam tip: when one set is a subset of the other, the union equals the larger set; otherwise apply the inclusion–exclusion formula carefully.
यदि \(A\subseteq B\) है तो प्रत्येक तत्व जो \(A\) में है वह \(B\) में भी होगा, अतः \(A\cap B=A\) होगा। इसलिए \(n(A\cap B)=n(A)=15\)। विकल्प C (52) गलत है क्योंकि वह \(B\) का सभाग है, न कि समावेशी छेद। विकल्प B (37) संभव भ्रम है (52−15=37) पर वह अंतर का मान है न कि प्रतिच्छेद। विकल्प D (67) असंभव है क्योंकि किसी भाग का प्रभुता कुल समुच्चय \(B\) से अधिक नहीं हो सकती। परीक्षा-tip: यदि \(A\subseteq B\) हो तो हमेशा \(A\cap B=A\) और \(A\cup B=B\)। / If \(A\subseteq B\), every element of \(A\) is in \(B\), so \(A\cap B=A\). Therefore \(n(A\cap B)=n(A)=15\). Option C (52) is incorrect because it gives \(n(B)\), not the intersection. Option B (37) might come from subtracting (52−15) but that gives a difference, not the intersection. Option D (67) is impossible as a subset cannot have more elements than the superset. Exam tip: remember that if \(A\subseteq B\) then \(A\cap B=A\) and \(A\cup B=B\).
परिभाषा के अनुसार \(A- B=\{x\mid x\in A\;\text{और}\;x\notin B\\}=A\cap B^{c}\). यदि \(A=B\), तो \(A\cap B^{c}=A\cap A^{c}=\varnothing\)। इसलिए A − B शून्य संच (\(\varnothing\)) के बराबर होगा। सबसे निकट भ्रामक विकल्प A गलत है क्योंकि केवल तभी A−B=A होगा जब B शून्य संच हो; विकल्प B गलत है क्योंकि A−B सदैव A का उपसमुच्चय होता है न कि B; विकल्प D (U) गलत है क्योंकि अंतर व्यापक संच U तभी बन सकता है जब A=U और B=\(\varnothing\)। परीक्षा-टिप: अंतर के लिए पहचान लागू करें — \(A-B=A\cap B^{c}\)। / By definition \(A-B=\{x\mid x\in A\;\text{and}\;x\notin B\}=A\cap B^{c}\). If \(A=B\), then \(A\cap B^{c}=A\cap A^{c}=\varnothing\). Hence A−B equals the empty set \(\varnothing\). Closest distractor A is incorrect because A−B would equal A only if B were empty; B is incorrect because A−B is a subset of A, not generally equal to B; D (U) is wrong unless A=U and B=\(\varnothing\). Exam tip: Use the identity \(A-B=A\cap B^{c}\) or test with element membership to decide set differences quickly.
यदि \(A\cap B = A\) तो इसका अर्थ है कि प्रत्येक तत्व जो \(A\) में है वह \(B\) में भी है; अतः \(A\subseteq B\)। विकल्प B (\(B\subseteq A\)) गलत है क्योंकि उससे यह आवश्यक नहीं होता कि \(B\) के सभी तत्व \(A\) में हों। विकल्प C (\(A\cap B=\varnothing\)) तभी सही हो सकता है जब \(A=\varnothing\) हो — सामान्य कथन से यह लागू नहीं होता। विकल्प D (\(A'=B\)) भी नहीं निकाला जा सकता क्योंकि दिया गया सम्बन्ध समूचे \(B\) को \(A\) के पूरक के रूप में निर्दिष्ट्र नहीं करता। परिक्षा‑टिप: किसी भी प्रश्न में यदि \(X\cap Y=X\) दिया हो तो तुरंत लिखें \(X\subseteq Y\)। / \(A\cap B = A\) means every element of \(A\) is also in \(B\); therefore \(A\subseteq B\). Option B (\(B\subseteq A\)) is incorrect because that would require every element of \(B\) to lie in \(A\), which is not implied. Option C (\(A\cap B=\varnothing\)) holds only in the special case \(A=\varnothing\), so it is not generally true. Option D (\(A' = B\)) is not implied by the given equality. Exam tip: the identity \(X\cap Y = X\) is equivalent to the subset relation \(X\subseteq Y\).
\(A\cup B=A\) का अर्थ है (B) के सभी अवयव (A) में पहले से हैं। इसलिए \(B\subseteq A\) सही है। / \(A\cup B=A\) means all elements of (B) are already in (A). Therefore, \(B\subseteq A\) is correct.
C. तीनों वृत्तों के साझा भाग में/In the common part of all three circles
Explanation
Simple Explanation
\(A\cap B\cap C\) तीनों समुच्चयों का साझा भाग है। तीन वृत्तों में यह बीच का सामान्य क्षेत्र होता है। / \(A\cap B\cap C\) is the common part of all three sets. In three circles, it is the central common region.
तीन समुच्चयों के सूत्र से (12+14+10-5-3-4+2=26)। जोड़ी प्रतिच्छेद घटाकर तीनों का साझा भाग जोड़ें। / By the three-set formula, (12+14+10-5-3-4+2=26). Subtract pairwise intersections and add the common part of all three.
सूत्र से (16+18+9-6-2-3+1=33) मिलता है। तीन समुच्चयों में अंतिम साझा भाग जोड़ना न भूलें। / The formula gives (16+18+9-6-2-3+1=33). In three sets, do not forget to add the final common part.
केवल A के तत्त्व वे हैं जो A में हैं पर A\cap B में नहीं — इसलिए केवल A = \(n(A)-n(A\cap B)=24-6=18\)। इसी प्रकार केवल B = \(n(B)-n(A\cap B)=20-6=14\)। इसलिए दोनों का योग = \(18+14=32\)। विकल्प C (38) गलती से कुल अलग तत्त्वों (union) का मान है \(n(A)+n(B)-n(A\cap B)=24+20-6=38\), जो कि इंटरसेक्शन को केवल एक बार गिनता है; पर प्रश्न सिर्फ "केवल" वाले हिस्से पूछ रहा है। परीक्षा-सुझाव: "केवल" का मतलब हमेशा इंटरसेक्शन निकालना होता है — प्रत्येक सेट से \(n(A\cap B)\) घटाएँ। / Elements only in A are those in A but not in A\cap B: only A = \(n(A)-n(A\cap B)=24-6=18\). Only B = \(n(B)-n(A\cap B)=20-6=14\). Combined = \(18+14=32\). Option C (38) corresponds to the union \(n(A)+n(B)-n(A\cap B)=38\), which counts intersection once and is not the same as "only" regions. Exam tip: "only" means exclude the intersection — subtract \(n(A\cap B)\) from each set before adding.
कुल सेट A को दो भागों में बाँटा जा सकता है: केवल A \(A\setminus B\) और A\cap B। अतः \(n(A)=n(A\cap B)+n(A\setminus B)\)। दिया है \(n(A)=45\) और \(n(A\setminus B)=19\)। इसलिए \(n(A\cap B)=45-19=26\)। विकल्प (19) गलत है क्योंकि वह केवल A का भाग है न कि साझा भाग; (38) B का कुल आकार है, और (64) दोनों का योग है जो अर्थहीन है। परीक्षा टिप: किसी सेट के कुल अवयवों को केवल-भाग और साझा-भाग में विभाजित कर के शीघ्रता से शेष पाएं। / Set A is partitioned into the elements only in A and the elements in A\cap B. So \(n(A)=n(A\cap B)+n(A\setminus B)\). Given \(n(A)=45\) and \(n(A\setminus B)=19\), we get \(n(A\cap B)=45-19=26\). Option 19 is the "only A" count, not the intersection; 38 is the size of B; 64 is the (incorrect) sum. Exam tip: Split A into "only A" and "A\cap B" to compute the intersection quickly.
कुल \(B\) के तत्व \(n(B)=50\) हैं। इनमें से केवल \(B\) वाले (यानी \(A\) में नहीं आने वाले) 28 दिए हैं। इसलिए जो बचते हैं वे संयुक्त (common) भाग यानी \(A\cap B\) के तत्व हैं: \(n(A\cap B)=50-28=22\). निकटवर्ती भ्रामक विकल्पों में \(28\) गलत है क्योंकि वह केवल-\(B\) की संख्या है न कि परस्पर मिलन; \(11\) तब आएगा यदि गलती से \(n(A)\) से केवल-\(B\) घटाया जाए (39-28), जो यहाँ तर्कसंगत नहीं है। परीक्षा टिप: एक साधारण वेन्न आरेख बनाकर "केवल B" और "A∩B" क्षेत्र चिन्हित कर लें — यह अक्सर ग़लत घटाव रोकेगा। / Total elements in \(B\) are \(n(B)=50\). Out of these, 28 are only in \(B\) (not in \(A\)). The remainder must lie in the intersection, so \(n(A\cap B)=50-28=22\). The option 28 is the count of only-\(B\), not the intersection; 11 would result from incorrectly doing \(39-28\). Exam tip: draw a simple Venn diagram and label "only B" and "A∩B" to avoid subtraction mistakes.
\(A\cap B\) के सभी अवयव A में अवश्य होते हैं क्योंकि प्रत्येक तत्व जो दोनों समुच्चयों में है, वह A का भी तत्व होगा। इसलिए \(A\cap B\)\subseteq A हमेशा सत्य है। विकल्प B सामान्यतः गलत है क्योंकि A\cup B सामान्यतः A\cap B के बराबर या उससे बड़ा होता है, न कि छोटा; इसलिए union को intersection का उपसमुच्चय मानना गलत है। विकल्प C तभी सत्य होगा जब विशेष स्थितियाँ हों (जैसे A=B या दोनों रिक्त), पर सामान्यतः A−B और B−A अलग होते हैं। विकल्प D भी सामान्यतः गलत है क्योंकि A=A' तभी संभव है जब यूनिवर्सल सेट विशेष हो (बहुत असामान्य केस)। परीक्षा टिप: वेन आरेख में intersection वाले क्षेत्र को हमेशा दोनों समुच्चयों का उपसमुच्चय समझें — यह तुरंत लिख दें। / Every element of \(A\cap B\) belongs to A because intersection contains only those elements common to both sets; hence \(A\cap B\)\subseteq A is always true. Option B is generally false because A\cup B is typically equal to or larger than A\cap B, not a subset of it. Option C is not generally true — A−B and B−A are usually different unless special conditions (e.g. A=B) hold. Option D is also not generally true since A=A' (complement) occurs only in exceptional cases depending on the universal set. Exam tip: In Venn-diagram questions remember that the intersection region is always a subset of each original set — use subset/superset relations first to eliminate wrong choices.
पहला कदम संघ का मान निकालना है: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=58+47-20=85\). यूनिवर्स में से उस संघ के तत्वों को घटाने से पूरक मिलती है: \(n((A\cup B)')=n(U)-n(A\cup B)=110-85=25\). विकल्प B (85) केवल \(A\cup B\) का आकार है, पर प्रश्न पूरक मांगता है, इसलिए B गलत है। C (90) और D (105) गलत हैं क्योंकि वे गणना में त्रुटि दर्शाते हैं (उदाहरण: 105 = 58+47 बिना अन्तराल घटाए)। परीक्षा-सुझाव: पहले हमेशा \(A\cup B\) का मान ढूँढें फिर यूनिवर्स से घटाएँ ताकि पूरक ठीक मिले। / Compute the union first: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=58+47-20=85\). The complement has size equal to the universe minus the union: \(n((A\cup B)')=n(U)-n(A\cup B)=110-85=25\). Option B (85) is the size of \(A\cup B\), not its complement. Options C (90) and D (105) arise from incorrect arithmetic (e.g. 105 = 58+47 without subtracting the intersection). Exam tip: always find \(n(A\cup B)\) using the inclusion–exclusion formula, then subtract from \(n(U)\) to get the complement.
\((A\cap B)'\) का अर्थ है यूनिवर्सल सेट \(U\) में से \(A\cap B\) के सभी तत्वों को हटा कर बचे हुए तत्व। इसलिए गणना है \(n((A\cap B)')=n(U)-n(A\cap B)=96-34=62\)। विकल्प (A) यानी 34 केवल साझा भाग की संख्या है, (C) 96 पूरा यूनिवर्सल सेट है न कि कॉम्प्लीमेंट, और (D) 130 असंभव है क्योंकि यह \(U\) की कुल संख्या से अधिक है। परीक्षा युक्ति: किसी कॉम्प्लीमेंट का अर्थ हमेशा उस यूनिवर्सल सेट के सापेक्ष होता है—पहले यह स्पष्ट कर लें। / \((A\cap B)'\) consists of all elements of the universal set \(U\) except those in \(A\cap B\). So \(n((A\cap B)')=n(U)-n(A\cap B)=96-34=62\). Option A (34) is just the size of the intersection, C (96) is the size of the whole universe, and D (130) is impossible because it exceeds \(n(U)\). Exam tip: always subtract the intersection from the universal set when finding the complement relative to \(U\).
समूहों का संघ-इकाई सूत्र है \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)। दिया गया है \(69=n(A\cup B)=42+n(B)-18\)। इसे हल करने पर \(n(B)=69-42+18=45\) मिलता है। विकल्प A (27) तब आता है जब कोई \(n(A\cap B)\) को भूलकर सिर्फ \(69-42\) कर दे। विकल्प C और D स्पष्ट रूप से गलत हैं क्योंकि वे सूत्र का गलत उपयोग दर्शाते हैं। परीक्षा टिप: संघ के सूत्र को याद रखें और अज्ञात को अलग करते समय अंक सही चिन्हों के साथ जोड़ें/घटाएँ। / Use the union formula \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). Substitute the given values: \(69=42+n(B)-18\). Solving gives \(n(B)=69-42+18=45\). Option A (27) is a common mistake from doing \(69-42\) and forgetting to add back the intersection. Options C and D result from incorrect application of the formula. Exam tip: always write the union formula first and then isolate the unknown, taking care with the signs for the intersection term.
