Level 14 • 49/50 questions • 40 seconds per question.
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What does the whole rectangle show in a Venn diagram?
A. सार्वत्रिक समुच्चय (U)Universal set (U)
पूरा आयत सार्वत्रिक समुच्चय (U) को दिखाता है। वेन आरेख में सभी वृत्त (U) के अंदर बनते हैं। / The whole rectangle shows the universal set (U). In a Venn diagram, all circles are drawn inside (U).
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A. (36)
सूत्र (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)) से (26+18-8=36) मिलता है। साझा भाग को एक बार घटाना जरूरी है। / Using (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)), we get (26+18-8=36). The common part must be subtracted once.
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The common region between two circles is the region of what?
B. \(A\cap B\)
साझा भाग \(A\cap B\) कहलाता है। प्रतिच्छेद में वही अवयव आते हैं जो दोनों समुच्चयों में हों। / The common region is called \(A\cap B\). Intersection contains elements that are in both sets.
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A. (17)
न (A) न (B) वाला क्षेत्र (\(A\cup B\)') है, इसलिए संख्या (58-41=17) होगी। यह दोनों वृत्तों के बाहर लेकिन (U) के अंदर का भाग है। / The region neither in (A) nor in (B) is (\(A\cup B\)'), so the number is (58-41=17). It is outside both circles but inside (U).
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In a Venn diagram, how is the region outside both circles but inside (U) written?
C. (\(A\cup B\)')
दोनों वृत्तों के बाहर का भाग (\(A\cup B\)') होता है। इसे न (A) न (B) वाला क्षेत्र भी कहते हैं। / The region outside both circles is (\(A\cup B\)'). It is also called the neither (A) nor (B) region.
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If \(A\subseteq B\), inside which region will (A) lie in a Venn diagram?
A. (B) के अंदरInside (B)
\(A\subseteq B\) का अर्थ है कि (A) का हर अवयव (B) में है। इसलिए (A) का वृत्त (B) के अंदर होगा। / \(A\subseteq B\) means every element of (A) is in (B). So the circle of (A) will lie inside (B).
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If (A) and (B) have no common element, how will they appear in a Venn diagram?
B. अलग-अलग वृत्तों के रूप मेंAs separate circles
कोई साझा अवयव न होने पर \(A\cap B=\varnothing\) होता है। इसलिए उनके वृत्त अलग-अलग बनते हैं। / When there is no common element, \(A\cap B=\varnothing\). Therefore, their circles are drawn separately.
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If \(n(A)=14\), \(n(B)=10\), and \(n(A\cap B)=3\), what is \(n(A\cup B)\)?
B. 21
कुल सदस्यों की संख्या के लिए संघ का सूत्र है \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)। यहाँ \(n(A\cup B)=14+10-3=21\)। विकल्प C (24) तब प्राप्त होता यदि आप ओवरलैप (साझा भाग) को भूलकर सिर्फ जोड़ दें — यह गलत है क्योंकि साझा तत्वों को एक बार घटाना आवश्यक है। परीक्षा सुझाव: एक सरल वेन आरेख बनाकर साझा भाग को छाँटें; इससे जोड़ते/घटाते समय त्रुटि कम होगी। / Use the union formula \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). So \(n(A\cup B)=14+10-3=21\). Option C (24) would be the result of forgetting to subtract the overlap (i.e., just adding 14 and 10), which double-counts the common elements. Exam tip: draw a Venn diagram and label the overlap first — that helps avoid double counting when computing unions.
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If \(n(A)=19\), \(n(B)=13\), and \(n(A\cup B)=25\), what is \(n(A\cap B)\)?
B. 7
समुच्चयों के कार्डिनेलिटी के लिए सूत्र \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\) है। इसे पुनर्व्यवस्थित कर के \(n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)\) मिलता है। यहाँ \(19+13-25=7\)। इसलिए उत्तर 7 है। विकल्प (5) तब गलत होगा जब संघ की मान को गलत तरीके से घटाया गया हो; विकल्प (12) तब आता है जब संघ को जोड़ दिया जाए बजाय घटाने के। परीक्षात्मक सुझाव: हमेशा Venn आरेख के साथ सूत्र याद रखें और यह जाँचें कि प्रतिच्छेद नकारात्मक न हो। / Use the identity \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). Rearranging gives \(n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)\). Substituting values: \(19+13-25=7\), so the intersection has 7 elements. Option 5 is wrong because it comes from an incorrect subtraction; option 12 is wrong because it would result from adding the union instead of subtracting. Exam tip: draw a simple two-circle Venn diagram and apply the formula; ensure the intersection count is non‑negative and not greater than either set size.
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If \(n(U)=38\) and \(n(A)=16\), what is \(n(A')\)?
B. 22
सही उत्तर इसलिए: पूरक का क्रमफल दिया जाता है \(n(A')=n(U)-n(A)\)। यहाँ \(n(A')=38-16=22\)। अन्य विकल्प क्यों गलत हैं: 16 केवल सेट A का तत्व-गण है, 38 सम्पूर्ण समूह U की संख्या है, और 54 गलत है (यह जोड़ने पर आता है)। परीक्षात्मक सुझाव: पूरक निकालते समय हमेशा \(n(U)-n(A)\) फार्मूला याद रखें और पहले दोनों मान सही प्रकार से पहचान लें। / Why this is correct: The number in the complement is given by \(n(A')=n(U)-n(A)\). So \(n(A')=38-16=22\). Why other options are wrong: 16 is the size of A, not its complement; 38 is the size of the universal set U; 54 is incorrect (would result from adding). Exam tip: Always apply \(n(A')=n(U)-n(A)\) and verify you are subtracting from the universal set count.
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If \(n(A)=23\) and \(n(A\cap B)=9\), how many elements are only in \(A\)?
B. 14
केवल \(A\) के अवयवों की संख्या निकालने के लिए \(A\) के कुल अवयवों में से \(A\cap B\) के अवयव घटाएँ। अतः केवल \(A\)=\(n(A)-n(A\cap B)=23-9=14\)। विकल्प (23) गलत है क्योंकि वह \(A\) के सभी अवयव हैं जिनमें साझा हिस्सा भी शामिल है; विकल्प (9) केवल साझा भाग है, न कि केवल \(A\)। परीक्षा-सूत्र: वेंन आरेख बनाकर कुल से साझा भाग घटाने से जल्दी हल करें। / Elements only in A = total in A minus those in the intersection, so only A = \(n(A)-n(A\cap B)=23-9=14\). Option 23 is wrong because it is the total in A including the shared part; option 9 is just the intersection. Exam tip: draw a Venn diagram and subtract the intersection from the set's total to get the exclusive part.
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If \(n(B)=27\) and \(n(A\cap B)=11\), how many elements are only in B?
B. 16
केवल B में उपस्थित अवयवों की संख्या निकालने का सिद्धांत सरल है: B के कुल अवयवों में से A∩B (अर्थात् जो दोनों में साझा हैं) घटाएँ। इसलिए केवल B = \(n(B)-n(A\cap B)=27-11=16\)। विकल्प C (27) गलत है क्योंकि इसमें A∩B भी सम्मिलित हैं; विकल्प A (11) गलत है क्योंकि वह केवल दोनों सेटों में साझा भाग की गिनती है; विकल्प D (38) असंभव है क्योंकि यह B के कुल 27 से अधिक है। परीक्षा-सुझाव: प्रश्न पढ़कर तुरंत Venn आरेख पर B और मध्यभाग (A∩B) चिह्नित करें और मध्य भाग घटाएँ। / The number only in B is found by subtracting the intersection from the total in B: only B = \(n(B)-n(A\cap B)=27-11=16\). Option C (27) is incorrect because it includes the intersection as well; option A (11) is just the intersection (elements in both A and B); option D (38) is impossible since it exceeds the total elements in B. Exam tip: sketch a two-set Venn diagram and subtract the overlap from B to get the 'only B' region quickly.
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If only (A) has (12), \(A\cap B\) has (5), and only (B) has (8) elements, what is (n\(A\cup B\))?
C. (25)
संघ में तीनों क्षेत्र आते हैं, इसलिए (12+5+8=25)। वेन आरेख में हर अलग क्षेत्र को एक बार जोड़ें। / The union contains all three regions, so (12+5+8=25). Add each separate region once in a Venn diagram.
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If (n(U)=52) and (n\(A\cup B\)=37), how many elements are in neither (A) nor (B)?
A. (15)
न (A) न (B) की संख्या (52-37=15) है। यह (U) के अंदर दोनों वृत्तों के बाहर का भाग है। / The number in neither (A) nor (B) is (52-37=15). It is the part inside (U) but outside both circles.
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In a Venn diagram, which region represents \((A - B)\)?
A. केवल A का वह भाग जो B में नहीं हैOnly the part of A that is not in B
\((A - B)\) का परिभाषा है: \(\{x\in A : x\notin B\}\)। इसलिए यह A के उन अवयवों का वह भाग है जो B में नहीं आते — यानी A का केवल बाहरी हिस्सा (intersection के बाहर)। विकल्प C (\((A\cap B)\)) गलत है क्योंकि वह केवल दोनों सेटों में सामान्य अवयव दिखाता है, जबकि \((A - B)\) में वे शामिल नहीं हैं। परीक्षा टिप: वेन आरेख पर A का बायाँ/बाहरी भाग देखना सीखें — वही \((A - B)\) है। / By definition \((A - B)=\{x\in A : x\notin B\}\). So it is the part of A consisting of elements not in B — the portion of A outside the intersection. Option C (\((A\cap B)\)) is incorrect because it denotes the common part of A and B, which is excluded from \((A - B)\). Exam tip: on a Venn diagram, mark A then remove the overlapping area with B — the remaining part of A is \((A - B)\).
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In a Venn diagram, which region does \(B - A\) represent?
B. केवल (B)Only (B)
\(B - A\) का अर्थ है वे सभी तत्त्व जो सेट \(B\) में हैं पर सेट \(A\) में नहीं हैं — अर्थात् \(B\) का वह भाग जो \(A\) के साथ ओवरलैप नहीं करता। इसलिए सही विकल्प केवल (B) वाला क्षेत्र है। सबसे घनिष्ठ विकर्षक \(A\cap B\) गलती से उस साझा भाग को दर्शाता है जो दोनों में आता है, जबकि \(B - A\) में वह शामिल नहीं होता। परिक्षा टिप: त्वरित रूप से वेन आरेख पर \(B\) को शेड करें और फिर \(A\) के ओवरलैप को मिटा दें — बचा हुआ भाग ही \(B - A\) है। / \(B - A\) means the elements that belong to set \(B\) but not to set \(A\); i.e. the part of \(B\) excluding the overlap with \(A\). Hence the correct region is Only (B). The closest distractor, \(A\cap B\), represents the common part of both sets and so is incorrect for a set-difference. Exam tip: Shade \(B\) and remove the intersection with \(A\); the remaining shaded area is \(B - A\).
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In a Venn diagram, which region does \(A\cap B'\) represent?
A. केवल \(A\) (\(A\) में और \(B\) में नहीं)Only \(A\) (in \(A\) and not in \(B\))
\(A\cap B'\) का अर्थ है "\(A\) में होना और \(B\) में न होना"। वेन आरेख में यह वह हिस्सा है जो \(A\) पर आता है लेकिन \(A\) और \(B\) के ओवरलैप (छेद) को छोड़कर। विकल्प C (दोनों \(A\) और \(B\)) गलत है क्योंकि वह केवल ओवरलैप क्षेत्र \(A\cap B\) को दर्शाता है, जबकि \(A\cap B'\) ओवरलैप को बाहर करता है। परीक्षा टिप: पहले \(A\) को शेड करें, फिर \(B\) के साथ ओवरलैप हटाकर बची हुई हिस्सा ही \(A\cap B'\) है। / \(A\cap B'\) means elements that are in \(A\) and not in \(B\). On a Venn diagram it is the part of \(A\) excluding the overlap with \(B\). Option C (both \(A\) and \(B\)) is wrong because it denotes the intersection \(A\cap B\), i.e. the overlap, whereas \(A\cap B'\) explicitly excludes that overlap. Exam tip: shade \(A\) then erase the region inside \(B\); the remainder is \(A\cap B'\).
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According to De Morgan's law, (\(A\cup B\)') is equal to what?
A. \(A'\cap B'\)
डी मॉर्गन नियम से (\(A\cup B\)'=A'\cap B')। दोनों के बाहर वाले क्षेत्र को समझने में यह नियम मदद करता है। / By De Morgan's law, (\(A\cup B\)'=A'\cap B'). This rule helps in understanding the outside-both region.
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According to De Morgan's law, (\(A\cap B\)') is equal to what?
A. \(A'\cup B'\)
डी मॉर्गन नियम से (\(A\cap B\)'=A'\cup B')। साझा भाग को छोड़कर बाकी क्षेत्र इस पूरक में आते हैं। / By De Morgan's law, (\(A\cap B\)'=A'\cup B'). All regions except the common part are included in this complement.
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If \(A=\{1,2,3,4,5\}\) and \(B=\{3,5,7\}\), what is \(A\cap B\)?
B. \(\{3,5\}\)
कटाव (intersection) का अर्थ उन तत्वों का समुच्चय है जो दोनों समुच्चयों में साझा हैं। \(A\) में \(1,2,3,4,5\) हैं और \(B\) में \(3,5,7\) हैं; सामान्य तत्व केवल \(3\) और \(5\) हैं, इसलिए \(A\cap B=\{3,5\}\)। विकल्प A (\(\{1,2,4\}\)) केवल \(A\) के अलग-अलग तत्व हैं, वे \(B\) में नहीं हैं; विकल्प C (\(\{7\}\)) केवल \(B\) का अनन्य तत्व है; विकल्प D पूरा योग (union) है, न कि कटाव। परीक्षा टिप: दोनों सेटों के तत्व एक-एक करके लिखकर सामान्य तत्वों की पहचान करें या छोटा वेन आरेख बनाएं। / Intersection means the elements common to both sets. \(A\) contains \(1,2,3,4,5\) and \(B\) contains \(3,5,7\); the common elements are only \(3\) and \(5\), so \(A\cap B=\{3,5\}\). Option A (\(\{1,2,4\}\)) lists elements only in \(A\), not common to \(B\); option C (\(\{7\}\)) is only in \(B\); option D is the union of the two sets, not the intersection. Exam tip: list members of both sets side by side or draw a small Venn diagram to spot common elements quickly.
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If A = {2,4,6,8} and B = {1,2,8,9}, which elements belong only to A (that is, A \ B)?
A. {4,6}
"केवल A" का अर्थ है A \\ B — अर्थात् A में वे तत्व जो B में नहीं हैं। A और B का साझा भाग (intersection) {2,8} है, इसलिए उन्हें A से निकालने पर बचते हैं {4,6}। विकल्प B ({2,8}) केवल साझा तत्व हैं इसलिए गलत है; विकल्प C ({1,9}) केवल B के तत्व हैं; विकल्प D पूरा A है जबकि हमें A से B घटाना है। परीक्षा टिप: जल्दी पता करने के लिए वेंन आरेख में A के केवल बाएँ भाग को देखें या सीधे समुच्चयों का अंतर लें। / "Only A" means A \ B — the elements in A that are not in B. The common elements of A and B are {2,8}, so removing them from A leaves {4,6}. Option B ({2,8}) lists the intersection (not only A), option C ({1,9}) are elements only of B, and option D is the whole set A (not A \ B). Exam tip: Use a simple Venn diagram or compute the set difference A\B by removing common elements.
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If A = {a, c, e} and B = {b, c, d, e}, which elements belong only to B (i.e., in B but not in A)?
C. {b, d}
"केवल B" का अर्थ है B − A (या B में वे तत्व जो A में नहीं हैं)। B में {b, c, d, e} हैं; A के सामान्य तत्व c और e को निकालने पर केवल {b, d} बचते हैं। विकल्प A ({c, e}) गलती से B∩A यानी साझा तत्व दिखाता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा सुझाव: किसी भी समय "only B" माँगा जाए, सीधे B − A निकालें। / "Only B" means B − A (elements in B that are not in A). B contains {b, c, d, e}; removing the common elements c and e (which are in A) leaves {b, d}. Option A ({c, e}) corresponds to the intersection B∩A, not the only-B part, so it is incorrect. Exam tip: For "only B" questions compute B − A quickly by removing common elements.
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If \(U=\{1,2,3,4,5,6\}\) and \(A=\{1,4,6\}\), what is \(A'\) (the complement of A in U)?
B. \(\{2,3,5\}\)
पूर्ण पूरक का अर्थ है यूनिवर्सल सेट \(U\) के वे तत्त्व जो सेट \(A\) में नहीं हैं, यानी \(A'=U\setminus A\)। यहाँ \(U\) से \(A\) के तत्त्व \(1,4,6\) हटा दें तो शेष \(2,3,5\) बचते हैं। अतः \(A'=\{2,3,5\}\)। विकल्प A गलत है क्योंकि वह \(A\) स्वयं है, विकल्प C गलत है क्योंकि वह पूरा यूनिवर्सल सेट है, और विकल्प D गलत है क्योंकि पूरक खाली सेट तभी होगा जब \(A=U\) होता। परीक्षा टिप: हमेशा \(U\) के तत्त्व में से \(A\) के तत्त्व काटकर शेष लिखें। / The complement of A means the elements of the universal set U that are not in A, i.e. \(A'=U\setminus A\). Removing \(1,4,6\) (elements of A) from U leaves \(2,3,5\). Therefore \(A'=\{2,3,5\}\). Option A is wrong because it is A itself, option C is wrong because it is the whole universal set U, and option D is wrong because the empty set would be the complement only if A=U. Exam tip: to find a complement, cross out A's elements from U and list what remains.
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If U = {a, b, c, d, e, f}, A = {a, b, d}, and B = {b, c, d}, what is \((A\cup B)'\)?
A. \(\{e,f\}\)
पहले संघ निकालें: \(A\cup B = \{a,b,c,d\}\). यूनिवर्स सेट U में से उन तत्वों को लें जो इस संघ में नहीं हैं: अर्थात् \((A\cup B)' = U - (A\cup B) = \{e,f\}\). विकल्प B (\{a,c\}) सबसे भ्रामक है क्योंकि उसमें ऐसे तत्व हैं जो संघ में हैं; पूरक में केवल उन तत्वों को होना चाहिए जो संघ में नहीं हैं। परीक्षा‑टिप: रणनीति—पहले \(A\cup B\) लिखें, फिर U के संदर्भ में उसके पूरक के तत्व चुनें। / Compute the union first: \(A\cup B = \{a,b,c,d\}\). The complement relative to U consists of elements of U not in that union, so \((A\cup B)' = U\setminus(A\cup B) = \{e,f\}\). Distractor B (\{a,c\}) is tempting but incorrect because it contains elements that belong to the union; complements must contain only elements outside the union. Exam tip: always find the union, then list elements of U not in that union to get the complement.
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If \(n(A - B)=10\) and \(n(A\cap B)=7\), what is \(n(A)\)?
C. 17
समुच्चय (A) में उन तत्वों का योग आता है जो केवल A में हैं और जो A तथा B के सामान्य भाग में हैं। दिए गए अनुसार केवल A के क्षेत्र का आकार \(n(A - B)=10\) और साझा भाग का आकार \(n(A\cap B)=7\)। अतः \(n(A)=n(A - B)+n(A\cap B)=10+7=17\)। विकल्प (B) = 10 केवल \(A - B\) की गिनती है और साझा भाग को छोड़ देता है, इसलिए गलत है। विकल्प (A) और (D) व्यर्थ हैं (3 अमान्य गणना, 70 असंगत बड़ा मान)। परीक्षा-सुझाव: छोटा Venn आरेख बनाएं और हमेशा लिखें \(n(A)=n(A - B)+n(A\cap B)\)। / Set A consists of elements only in A plus those in the common part with B. Here \(n(A - B)=10\) and \(n(A\cap B)=7\), so \(n(A)=n(A - B)+n(A\cap B)=10+7=17\). Option B (10) counts only \(A - B\) and omits the intersection, so it is incorrect. Options A and D are implausible (3 is a wrong arithmetic result, 70 is inconsistent). Exam tip: draw a simple two-circle Venn diagram and use \(n(A)=n(A - B)+n(A\cap B)\) to avoid mistakes.
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If \(n(B - A)=13\) and \(n(A \cap B)=6\), what is \(n(B)\)?
C. 19
समुच्चय B के तत्व दो परस्पर-विषम भागों में विभाजित होते हैं: केवल B में होने वाले तत्व (\(B-A\)) और A तथा B दोनों में आने वाले तत्व (\(A\cap B\))। इसलिए कुल सदस्यता जोड़कर मिलेगी: \(n(B)=n(B-A)+n(A\cap B)=13+6=19\)। विकल्प 13 केवल \(B-A\) की संख्या है और पारस्परिक भाग \(A\cap B\) को छोड़ देता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-सुझाव: वेंस आरेख पर परस्पर-विषम क्षेत्रों की पहचान कर उनकी संख्या जोड़ें — साझा और केवल-एक-समुच्चय के हिस्सों को अलग रखें। / Elements of set B split into two disjoint parts: those only in B (\(B-A\)) and those in both A and B (\(A\cap B\)). Thus add their cardinalities: \(n(B)=n(B-A)+n(A\cap B)=13+6=19\). Option 13 counts only \(B-A\) and omits the intersection, so it is incorrect. Exam tip: mark disjoint regions on a Venn diagram and sum their counts to find the total for a set.
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A. 14
\(A\cup B\) के भीतर आने वाले हिस्से हैं: केवल \(A\)=18, केवल \(B\)=20 और साझा भाग \(A\cap B\)=12। इसलिए \(A\cup B\) में कुल तत्त्व = \(18+12+20=50\)। कुल यूनिवर्स सेट \(n(U)=64\) है, अतः बाहर के तत्त्व = \(64-50=14\)। निकटतम भ्रामक विकल्प 50 इसलिए गलत है क्योंकि वह वास्तव में \(A\cup B\) के भीतर के तत्त्वों की संख्या है न कि बाहर की। परीक्षात्मक टिप: पहले \(A\cup B\) का मान निकालें \(केवल A + केवल B + A\cap B\) और फिर उसे \(n(U)\) से घटाएँ। / The regions inside \(A\cup B\) are: only A = 18, only B = 20, and the intersection \(A\cap B\) = 12. So size of \(A\cup B\) = \(18+12+20=50\). Since \(n(U)=64\), the outside (complement) has \(64-50=14\) elements. The closest distractor 50 is incorrect because it counts the elements inside the union, not outside. Exam tip: compute the union total first and subtract from \(n(U)\) to get the complement count.
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A. 22
सार्वभौमिक सेट \(U\) के तत्व चार भागों में बंटते हैं: दोनों के बाहर, केवल A, केवल B, और A∩B। यदि \(x=n(A\cap B)\) मान लें, तो कुल योग होगा \(80=15+25+18+x\)। इससे \(x=80-15-25-18=22\)। विकल्प 37 गलत है क्योंकि वह किसी भाग को गलत तरीके से जोड़ने या घटाने से आता है—उदाहरण के लिए यदि किसी ने ओवरलैप के बजाय पूरी तरह के किसी क्षेत्र को दोगुना ग़लत रूप से जोड़ा हो। परीक्षा संकेत: एक दो-वृत्त वाला वेन आरेख बनाएं, चार क्षेत्रों को लेबल करें और उनके योग को \(n(U)\) के बराबर रखें। / The universal set \(U\) is partitioned into four regions: outside both sets, only A, only B, and A∩B. Let \(x=n(A\cap B)\). Then the total is \(80=15+25+18+x\), so \(x=80-15-25-18=22\). Option 37 is incorrect because it results from an incorrect combination or miscounting of these regions (for example, treating an exclusive region as including the overlap). Exam tip: draw a two-circle Venn diagram, label the four regions, then set their sum equal to \(n(U)\) to solve for the unknown region.
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If (n\(A\cup B\)=44), only (A) is (16), and only (B) is (19), what is (n\(A\cap B\))?
A. (9)
संघ में केवल (A), साझा भाग और केवल (B) आते हैं। इसलिए साझा भाग (44-16-19=9) है। / The union contains only (A), the common part, and only (B). Therefore, the common part is (44-16-19=9).
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A. 35
दो सेटों के लिए संघ का नियम उपयोग करें: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)। यहाँ \(24+18-7=35\) इसलिए कम से कम एक विषय पसंद करने वाले विद्यार्थियों की संख्या 35 है. विकल्प B (42) केवल 24 और 18 को जोड़कर दोनों को दोबारा गिनता है; विकल्प C (49) गलत है क्योंकि उसमें इंटरसेक्शन को जोड़ा गया है न कि घटाया गया; विकल्प D (7) केवल उन विद्यार्थियों को गिनता है जो दोनों विषय पसंद करते हैं। परीक्षा टिप: छोटे वेन-आरेख बनाकर पहले केवल एक-विशेष हिस्से की संख्या भरें और फिर संघ का सूत्र लगाकर परिणाम को कुल विद्यार्थियों से मिलान करें। / Apply the union formula for two sets: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). Thus \(24+18-7=35\), so 35 students like at least one subject. Option B (42) is just 24+18 and double-counts the students who like both; option C (49) is wrong because it adds the intersection instead of subtracting it; option D (7) counts only those who like both subjects. Exam tip: draw a small Venn diagram, place the intersection first, then fill the exclusive parts and use the union formula; always check the answer does not exceed the class size.
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B. 12
इस प्रकार के प्रश्नों में 'कम से कम एक' उपयोग करने वालों की संख्या inclusion–exclusion सिद्धांत से निकाली जाती है: \(28+20-10=38\). यह 38 वे लोग हैं जो मोबाइल या कंप्यूटर या दोनों का उपयोग करते हैं। इसलिए जिन लोगों ने कोई भी उपकरण नहीं प्रयोग किया, उनकी संख्या कुल में से यह घटाकर है: \(50-38=12\). विकल्प C (38) गलत है क्योंकि वह 'कम से कम एक' करने वालों की संख्या है, न कि 'कोई नहीं'। विकल्प A (10) केवल दोनों उपयोग करने वालों की संख्या है, और विकल्प D (40) गलत तर्क (जैसे केवल 10 घटाने से) का परिणाम है. परीक्षा युक्ति: एक सरल वенн आरेख बनाकर पहले "केवल मोबाइल", "केवल कंप्यूटर" और "दोनों" हिस्से भरें — इससे त्रुटियाँ कम होती हैं। / Use the inclusion–exclusion idea: number using at least one = 28 + 20 − 10 = 38 (mobile or computer or both). So neither = total − at least one = 50 − 38 = 12. Option C (38) is the count of those using at least one, not those using neither. Option A (10) is only the number using both. Option D (40) comes from incorrect subtraction (e.g. 50 − 10) and is therefore wrong. Exam tip: draw a two-set Venn diagram and fill "only mobile", "only computer" and "both" to avoid sign mistakes.
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In a group of 36 people, 17 drink tea, 15 drink milk, and 6 drink both. How many drink only tea?
B. 11
केंद्रित सिद्धांत: केवल चाय पीने वाले = कुल चाय पीने वाले − दोनों पीने वाले। इसलिए केवल चाय = \(17-6=11\)। विकल्प 15 गलत है क्योंकि वह दूध पीने वालों की कुल संख्या है, और 6 केवल दोनों पीने वालों की संख्या है। परीक्षा-सुझाव: त्वरित गणना के लिए छोटे वेंस आरेख या समीकरण \(n(A\text{ only})=n(A)-n(A\cap B)\) लिख लें। / Core idea: only-tea = total tea − both. Thus only tea = \(17-6=11\). Option 15 is incorrect because it denotes total milk drinkers, not only tea drinkers; 6 is the overlap. Exam tip: draw a two-circle Venn diagram or use the formula \(n(A\text{ only})=n(A)-n(A\cap B)\) to avoid mistakes.
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B. 14
केवल तैराकी करने वाले विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात करने के लिए तैराकी में कुल विद्यार्थियों से दोनों गतिविधियों में भाग लेने वालों (सामान्य भाग) को घटाएँ: 22−8 = 14। विकल्प A (8) केवल समागम (दोनों) है, जो केवल‑तैराकी नहीं हो सकता। विकल्प C (22) में दोनों गतिविधियों वाले भी शामिल हैं; विकल्प D (44) तार्किक रूप से गलत है (यह किसी भी उपयुक्त वर्गीकरण से मेल नहीं खाता)। परीक्षा‑टिप: दो वृत वाले वेन् आरेख बनाकर सीधे प्रत्येक क्षेत्र पर लेबल लगा लें। / To find students only in swimming subtract the intersection (students in both) from the total swimming students: 22−8 = 14. Option A (8) is just the intersection, not 'only swimming'. Option C (22) includes those who are in both activities. Option D (44) is not consistent with any correct counting in this scenario. Exam tip: draw a two‑circle Venn diagram and label the three regions (only A, only B, both) to avoid errors.
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If \(A\cap B=\varnothing\), \(n(A)=15\), and \(n(B)=18\), what is \(n(A\cup B)\)?
D. 33
समुच्चयों के योग के लिए सूत्र है \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)। चूँकि \(A\cap B=\varnothing\) है, इसलिए \(n(A\cap B)=0\)। अतः \(n(A\cup B)=15+18-0=33\)। विकल्प B और C केवल व्यक्तिगत समुच्चयों का आकार देते हैं, इसलिए वे गलत हैं; विकल्प A कोई तार्किक गणना नहीं दर्शाता। परीक्षा सुझाव: पहले हमेशा यूनियन का सामान्य सूत्र लिखें और इंटरसेक्शन की संख्या की जाँच करें। / Use the union formula \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). Since \(A\cap B=\varnothing\), \(n(A\cap B)=0\). Therefore \(n(A\cup B)=15+18-0=33\). Options B and C are the sizes of the individual sets (not the union) so they are incorrect; option A is not a valid result here. Exam tip: write the formula first and check whether the sets are disjoint (intersection zero).
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If \(A\subseteq B\), \(n(A)=9\), and \(n(B)=26\), what is \(n(A\cup B)\)?
C. 26
यदि \(A\subseteq B\) है तो हर तत्व जो \(A\) में है वह \(B\) में भी होगा, अतः \(A\cup B=B\)। इसलिए \(n(A\cup B)=n(B)=26\). नजदीकी भ्रामक विकल्प \(35\) गलत है क्योंकि वह \(n(A)+n(B)=9+26\) का योग है — पर आदर्श सूत्र \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\) है; यहाँ \(A\cap B=A\) होने पर ही घटाना जरूरी है और परिणाम \(26\) रहता है। परीक्षा सुझाव: जब दिया हो कि \(A\subseteq B\), तुरंत समझें कि \(A\cup B=B\)। / If \(A\subseteq B\), every element of \(A\) is already in \(B\), so \(A\cup B=B\). Hence \(n(A\cup B)=n(B)=26\). The tempting option 35 is wrong because it is just \(n(A)+n(B)=9+26\); the correct union formula is \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\), and here \(A\cap B=A\) so subtracting gives \(26\). Exam tip: whenever you see \(A\subseteq B\), immediately conclude \(A\cup B=B\) to save time.
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If \(A\subseteq B\), \(n(A)=12\), and \(n(B)=31\), what is \(n(A\cap B)\)?
A. 12
यदि \(A\subseteq B\) है तो हर तत्व जो A में है वह B में भी होगा, अतः \(A\cap B=A\)। इसलिए \(n(A\cap B)=n(A)=12\)। निकटतम विक्षेपक \(31\) है — यह \(n(B)\) है, पर \(A\cap B\) कभी भी \(n(A)\) से बड़ा नहीं हो सकता। \(19\) उस गलत धारणा का परिणाम हो सकता है कि कोई \(n(B)-n(A)\) करके intersection मान ले रहा है; \(43\) दोनों सेटों के cardinals का जोड़ है और गलत है। परीक्षा टिप: जब \(A\subseteq B\) हो तो तुरंत मान लें \(A\cap B=A\) और cardinalities बराबर होंगे। / If \(A\subseteq B\), every element of A is in B, so \(A\cap B=A\). Therefore \(n(A\cap B)=n(A)=12\). The closest distractor is 31 — that is \(n(B)\), but the intersection cannot exceed \(n(A)\). 19 might arise from wrongly computing \(n(B)-n(A)\), and 43 is the sum \(12+31\), both incorrect. Exam tip: for a subset relation use \(A\cap B=A\) immediately to get the cardinality.
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In a Venn diagram of three sets, how is the most central common region written?
B. \(A\cap B\cap C\)
बीच का सामान्य क्षेत्र तीनों में साझा होता है, इसलिए \(A\cap B\cap C\) है। तीन समुच्चयों में सबसे पहले केंद्र को पहचानें। / The central common region is shared by all three, so it is \(A\cap B\cap C\). In three-set diagrams, identify the center first.
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A. (16)
तीन समुच्चयों के सूत्र से (8+7+6-2-1-3+1=16)। जोड़ी वाले प्रतिच्छेद घटाकर तीनों का साझा भाग जोड़ें। / By the three-set formula, (8+7+6-2-1-3+1=16). Subtract pairwise intersections and add the common part of all three.
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If \(n(A)=11\), \(n(B)=9\), and \(n(A\cap B)=4\), what is the total number of only A and only B?
B. 12
“केवल A” का अर्थ है A में वे तत्व जो B में नहीं हैं, अतः केवल A = \(n(A)-n(A\cap B)=11-4=7\)। इसी तरह केवल B = \(n(B)-n(A\cap B)=9-4=5\)। इसलिए केवल A और केवल B का कुल = \(7+5=12\)। सबसे नज़दीकी विचलन 16 है, जो कि \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=11+9-4=16\) है — यह मात्रा समुच्चय के ऐसे सभी तत्वों को गिनती है जिसमें समापवर्तक (intersection) भी शामिल है, जबकि प्रश्न केवल अलग-अलग (exclusive) क्षेत्रों का योग पूछ रहा है। परीक्षा टिप: एक सरल वैन्न आरेख बनाकर A, B और उनका परस्पर मिलने वाला भाग अलग-अलग लिखें; फिर सीधे एक्सक्लूसिव क्षेत्रों को जोड़ें। / “Only A” means elements in A but not in B, so only A = \(n(A)-n(A\cap B)=11-4=7\). Similarly only B = \(n(B)-n(A\cap B)=9-4=5\). Therefore total only A + only B = \(7+5=12\). The closest distractor 16 equals \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=11+9-4=16\), which counts the intersection as well; the question asks for exclusive regions only. Exam tip: draw a Venn diagram, label the three regions (only A, only B, intersection) and compute the exclusive region sizes directly.
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A. 7
A के कुल तत्व \(n(A)=20\) में से जो केवल A में हैं वे \(A\setminus B=13\) हैं। इसलिए साझा भाग (intersection) होगा \(n(A\cap B)=n(A)-n(A\setminus B)=20-13=7\)। विकल्प C (13) गलत है क्योंकि वह केवल A में मौजूद तत्वों की संख्या है, न कि दोनों में साझा तत्वों की। परीक्षा सुझाव: Venn आरेख बनाकर प्रत्येक क्षेत्र को नाम दे दें और सूत्र \(n(A)=n(A\setminus B)+n(A\cap B)\) याद रखें। / Out of the total \(n(A)=20\) elements of A, the elements only in A are \(A\setminus B=13\). Hence the intersection is \(n(A\cap B)=n(A)-n(A\setminus B)=20-13=7\). Option C (13) is incorrect because it counts elements exclusive to A, not the common ones. Exam tip: draw a Venn diagram, label the regions and use \(n(A)=n(A\setminus B)+n(A\cap B)\) to avoid sign errors.
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B. 9
B के कुल \(30\) अवयवों में से \(21\) केवल B में हैं (A में नहीं)। अतः जो अवयव दोनों में हैं वे बचे हुए होंगे: \(n(A\cap B)=30-21=9\). विकल्प A (7) गलत है क्योंकि वह \(n(A)-21\) निकालने पर मिलता, जो इस प्रश्न में अर्थहीन है — "केवल B" का अर्थ B का अनन्य भाग है, न कि A का। विकल्प C (21) केवल B के अनन्य अवयव हैं, पर वह साझा भाग नहीं हैं; विकल्प D (30) पूरा B है, न कि केवल साझा भाग। परीक्षा टिप: "only B" का अर्थ समझें — यह B के वे सदस्य हैं जो A में नहीं हैं; साझा भाग निकालने के लिए B का कुल घटाएँ। / Out of the total \(30\) elements of B, \(21\) are only in B (not in A). Therefore the elements common to A and B are the remainder: \(n(A\cap B)=30-21=9\). Option A (7) is wrong because it corresponds to subtracting 21 from \(n(A)\) (\(28-21\)), which misinterprets "only B"; option C (21) gives the only‑B elements (not the intersection); option D (30) is the whole set B, not the common part. Exam tip: carefully parse phrases like "only B" or "only A" — they denote exclusive elements of that set and are used to find the intersection by subtraction from the set's total.
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A. असंबद्धDisjoint
यदि \(n(A\cap B)=0\) है तो इसका अर्थ है कि \(A\) और \(B\) के कोई साझा अवयव नहीं हैं — उनकी परस्पर छेड़छाड़ शून्य है। इसलिए वेन आरेख में ये दो अलग-अलग (अल्गाव) वृत्त होंगे जिनका कोई पारस्परिक भाग नहीं होगा, अर्थात् असंबद्ध सेट।\nक्यों अन्य विकल्प गलत हैं: "समान" तभी हो सकता है जब दोनों सेटों के सभी अवयव एक जैसे हों — पर यहाँ \(n(A)\neq n(B)\) है। "उपसमुच्चय" होने पर छोटा सेट बड़े में पूरी तरह शामिल होता और उनके साझा अवयव ग़ैर-शून्य होते (कम से कम जितना छोटा सेट का आकार)। "पूरक" किसी सार्वभौमिक सेट के सापेक्ष परिभाषित होता है और इसे इस जानकारी से नहीं निकाला जा सकता।\nपरीक्षा टिप: पहले तुरंत \(n(A\cap B)\) देखें — यदि यह 0 है तो सेट असंबद्ध हैं। / Because \(n(A\cap B)=0\) there are no common elements between \(A\) and \(B\); their intersection is empty. In a Venn diagram they appear as two non-overlapping circles, so they are disjoint.\nWhy other choices are wrong: "Equal" would require the same elements (and here \(n(A)\neq n(B)\)). "Subset" would imply all elements of one lie inside the other so the intersection would equal the smaller set (non-zero here). "Complement" is defined with respect to a universal set and cannot be concluded from the given counts.\nExam tip: Check the intersection first—if \(n(A\cap B)=0\), answer "disjoint" immediately.
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If \(A = B\), then in a Venn diagram, \(A \cap B\) is equal to what?
A. \(A\)
यदि \(A = B\), तो दोनों सेट एक ही हैं। इसलिए \(A \cap B = A \cap A = A\)। विकल्प \(\varnothing\) तभी सही होगा जब सेट दोनों आपस में असंगत (disjoint) हों — यहाँ ऐसा नहीं है। \(U\) केवल तब सही होगा जब \(A = U\) अर्थात सेट यूनिवर्सल सेट के बराबर हो, जो सामान्यतः सत्य नहीं माना जा सकता। \(A'\) सेट \(A\) का पूरक है और \(A\) के बराबर नहीं होता। परीक्षा-टिप्स: पहचानें कि समान सेटों का परस्पर छेदन वही सेट देता है: \(X\cap X = X\)। / If \(A = B\), the two sets are identical, so \(A \cap B = A \cap A = A\). The choice \(\varnothing\) would be true only if the sets were disjoint, which is not the case here. \(U\) (the universal set) would be the intersection only if \(A = U\), which is not generally assumed. \(A'\) is the complement of \(A\) and is not equal to \(A\). Exam tip: remember the identity law \(X\cap X = X\) and \(X\cup X = X\) for quick answers.
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If \(A = B\), then in a Venn diagram, what is \(A \cup B\) equal to?
A. \(A\)
यदि \(A = B\), तो दोनों समुच्चय समान हैं। संघ का गुण (idempotent law) कहता है कि \(A \cup A = A\)। इसलिए \(A \cup B = A\) होगा। विकल्प (C) \(A'\) और (D) \(U\setminus A\) दोनों A का पूर्णपूरक दर्शाते हैं और केवल तभी बराबर होते यदि विशेष परिस्थितियाँ (जैसे \(A=\varnothing\) या \(A=U\)) हों — सामान्यतः वे गलत हैं। विकल्प (B) खाली समुच्चय है, जो तब ही सही होगा जब \(A\) खाली हो, पर सामान्य मान के लिए यह गलत है. परीक्षा-सूत्र: समान समुच्चयों का संघ वही समुच्चय ही होता है (याद रखें: \(A\cup A=A\)). / If \(A = B\), the two sets are identical. The idempotent law of union gives \(A \cup A = A\), so \(A \cup B = A\). Option C (\(A'\)) and D (\(U\setminus A\)) denote the complement of A and are not equal to A in general (only in special cases). Option B (\(\varnothing\)) would be true only if \(A\) itself were empty. Exam tip: use set identities on Venn diagrams — identical sets union to themselves, i.e. \(A\cup A=A\).
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In a Venn diagram, \(A\cup A'\) is equal to which set?
C. \(U\)
कोई भी तत्व \(x\in U\) के लिए या तो \(x\in A\) होगा या \(x\notin A\) होगा (यही \(A'\) की परिभाषा है)। यदि \(x\in A\) तो \(x\in A\cup A'\) और यदि \(x\notin A\) तो \(x\in A'\) इसलिए फिर भी \(x\in A\cup A'\)। अतः हर \(x\in U\) भी \(x\in A\cup A'\) होगा, यानी \(U\subseteq A\cup A'\)। दूसरी ओर \(A\cup A'\) का कोई भी तत्व स्वाभाविक रूप से \(U\) में है, इसलिए \(A\cup A'=U\)। विकल्प \(A\) नजदीकी भ्रामक है क्योंकि \(A\) केवल उन तत्वों का समूह है जो खुद सेट \(A\) में हैं, पर \(A\cup A'\) में \(A\) के बाहर के तत्व भी आते हैं। परीक्षा टिप: तत्व-आधारित तर्क (element-wise proof) या वेन आरेख में शेडिंग से यह पहचानना तेज होता है। / For any element \(x\in U\) either \(x\in A\) or \(x\notin A\) (the latter means \(x\in A'\)). If \(x\in A\) then \(x\in A\cup A'\); if \(x\notin A\) then \(x\in A'\) so again \(x\in A\cup A'\). Thus every element of \(U\) belongs to \(A\cup A'\), so \(U\subseteq A\cup A'\). The reverse inclusion is obvious, hence \(A\cup A'=U\). Option \(A\) is a common distractor: \(A\) may be a proper subset of \(U\), so it cannot equal the union with its complement. Exam tip: use an element-wise argument or shade the Venn diagram to verify quickly.
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In a Venn diagram, what is \(A\cap A'\) equal to?
C. \(\varnothing\)
यदि \(A'\) को A का पूरक माना जाए तो \(A'\) में वे ही तत्व होते हैं जो A में नहीं हैं। कोई भी तत्व एक ही समय पर किसी सेट और उसके पूरक दोनों में नहीं हो सकता। इसलिए \(A\cap A' = \varnothing\)। सबसे नज़दीकी भ्रम पैदा करने वाला विकल्प \(A'\) है, पर वह A का पूरक है न कि दोनों का इंटरसेक्शन। परीक्षा-सुझाव: सेट और उसके पूरक का इंटरसेक्शन हमेशा शून्य समुच्चय होता है — यह सूत्र याद रखें। / By definition, \(A'\) (the complement of A) contains exactly those elements not in A. No element can belong to both A and its complement simultaneously, so \(A\cap A' = \(\varnothing\)\). The closest distractor is \(A'\), but that denotes all elements outside A, not the intersection of A and its complement. Exam tip: remember that a set intersected with its complement is always the empty set.
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If \(n(U)=100\), \(n(A)=45\), \(n(B)=40\), and \(n(A\cap B)=15\), what is \(n((A\cup B)')\)?
A. 30
समुच्चय के गुणों के अनुसार \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)। यहाँ \(n(A\cup B)=45+40-15=70\)। किसी समुच्चय का अतिरिक्त (complement) लेने पर कुल से उसे घटाते हैं: \(n((A\cup B)')=n(U)-n(A\cup B)=100-70=30\)। विकल्प C (70) केवल \(A\cup B\) की संख्या है, यह अतिरिक्त नहीं है; विकल्प B (40) शायद केवल \(B\) की संख्या है — यह भी गलत तर्क है। परीक्षा संकेत: पहले हमेशा \(n(A\cup B)\) का मान निकालें फिर अतिरिक्त के लिए \(n(U)-n( \, )\) का उपयोग करें। / By the union formula, \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). Thus \(n(A\cup B)=45+40-15=70\). The complement count is total minus this: \(n((A\cup B)')=n(U)-n(A\cup B)=100-70=30\). Option C (70) gives the size of \(A\cup B\), not its complement; option B (40) is just \(n(B)\) and is not the complement. Exam tip: compute \(n(A\cup B)\) first, then subtract from \(n(U)\) for complements.
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If (n(U)=90) and (n\(A\cap B\)=25), what is (n(\(A\cap B\)'))?
B. (65)
(\(A\cap B\)') में साझा भाग को छोड़कर (U) के बाकी अवयव आते हैं। इसलिए संख्या (90-25=65) है। / (\(A\cap B\)') contains all elements of (U) except the common part. Therefore, the number is (90-25=65).
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If \(n(A)=32\), \(n(A\cup B)=48\), and \(n(A\cap B)=10\), what is \(n(B)\)?
B. 26
समुच्चयों के संघ और छेदन के संबंध का सूत्र है \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)। इसमें दिए गए मान रखें: \(48=32+n(B)-10\)। इसका सरलीकरण करने पर \(48=22+n(B)\) इसलिए \(n(B)=26\)। नज़दीकी भ्रामक विकल्प \(38\) तब बनता है जब कोई केवल \(n(A\cup B)-n(A\cap B)=48-10\) कर ले — यह गलत है क्योंकि उस विधि में \(n(A)\) को शामिल करना भूल जाता है। परिक्षा-टिप: Venn आरेख बनाकर और फार्मूला \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\) को फिर से लिखकर अज्ञात को अलग करें। / Use the union formula for two sets: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). Substitute the given values: \(48=32+n(B)-10\). Simplifying gives \(48=22+n(B)\), so \(n(B)=26\). The common wrong result 38 comes from doing \(48-10\) only, which omits \(n(A)\). Exam tip: draw a Venn diagram and algebraically rearrange the union formula to solve for the unknown cardinality.
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