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वर्गमूल से \(x\ge 3\) और हर से \(x\ne 5\) चाहिए। परीक्षा में सभी प्रतिबंधों का प्रतिच्छेद लें। / The square root gives \(x\ge 3\) and the denominator gives \(x\ne 5\). In exams take the intersection of all restrictions.
वर्गमूल के लिए \(2x-1\ge 0\) से \(x\ge \frac{1}{2}\) मिलता है। (x=-4) इस अंतराल में नहीं है, इसलिए अलग से हटाने की जरूरत नहीं है। / The square root needs \(2x-1\ge 0\), so \(x\ge \frac{1}{2}\). Since (x=-4) is not in this interval, it need not be removed separately.
वर्गमूल के लिए \(x^2-16\ge 0\), यानी \(x^2\ge 16\)। परीक्षा में \(x^2\ge a^2\) से बाहरी अंतराल मिलते हैं। / The square root needs \(x^2-16\ge 0\), that is \(x^2\ge 16\). In exams \(x^2\ge a^2\) gives the outer intervals.
हर में वर्गमूल है इसलिए \(x^2-25>0\) चाहिए। परीक्षा में हर वाले वर्गमूल के लिए बराबरी शामिल न करें। / The square root is in the denominator, so \(x^2-25>0\) is required. In exams do not include equality for a denominator square root.
मूल हर (x-2-4=(x-2)(x+2)) है, इसलिए \(x\ne -2,2\)। परीक्षा में काटने से पहले मूल हर के शून्य हटाएं। / The original denominator is (x-2-4=(x-2)(x+2)), so \(x\ne -2,2\). In exams remove zeros of the original denominator before cancellation.
हर (x-2+2x-3=(x+3)(x-1)) से (x=-3) और (x=1) हटेंगे। परीक्षा में हर को गुणनखंड करें। / The denominator (x-2+2x-3=(x+3)(x-1)) removes (x=-3) and (x=1). In exams factorize the denominator.
शर्तें \(x-1\ge 0\) और \(7-x\ge 0\) मिलकर \(1\le x\le 7\) देती हैं। परीक्षा में संयुक्त डोमेन के लिए प्रतिच्छेद लें। / The conditions \(x-1\ge 0\) and \(7-x\ge 0\) together give \(1\le x\le 7\). In exams take the intersection for the combined domain.
हर (x-2+6x+10=(x+3)2+1) कभी (0) नहीं होता। परीक्षा में पूर्ण वर्ग बनाकर हर की जांच करें। / The denominator (x-2+6x+10=(x+3)2+1) is never (0). In exams complete the square to test the denominator.
वर्गमूल के लिए \(12-3x\ge 0\) से \(x\le 4\) मिलता है। परीक्षा में ऋणात्मक गुणांक से भाग देने पर असमानता उलटती है। / The square root needs \(12-3x\ge 0\), giving \(x\le 4\). In exams dividing by a negative coefficient reverses the inequality.
वर्गमूल के अंदर ((x-2)(x-6)\ge 0) होना चाहिए। परीक्षा में संकेत तालिका से बाहरी अंतराल चुनें। / The expression inside the square root must satisfy ((x-2)(x-6)\ge 0). In exams use a sign table to choose the outer intervals.
(x-2-6x+11=(x-3)2+2), इसलिए न्यूनतम (2) है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग विधि से रेंज जल्दी मिलती है। / (x-2-6x+11=(x-3)2+2), so the minimum is (2). In exams completing the square gives the range quickly.
क्योंकि ((x+1)2\ge 0), इसलिए (5-(x+1)2\le 5)। परीक्षा में नीचे खुलने वाले परवलय की अधिकतम वैल्यू देखें। / Since ((x+1)2\ge 0), (5-(x+1)2\le 5). In exams check the maximum value of a downward parabola.
\(|x-3|\ge 0\), इसलिए \(|x-3|-2\ge -2\)। परीक्षा में मापांक की न्यूनतम वैल्यू उसके शून्य पर लें। / \(|x-3|\ge 0\), so \(|x-3|-2\ge -2\). In exams take the minimum of modulus where it becomes zero.
(|x+2|) की न्यूनतम वैल्यू (0) है, इसलिए आउटपुट कम से कम (1) होगा। परीक्षा में गुणक (3) न्यूनतम को नहीं बदलता जब मापांक (0) हो। / The minimum value of (|x+2|) is (0), so the output is at least (1). In exams the multiplier (3) does not change the minimum when modulus is (0).
\(\sqrt{x+4}\ge 0\), इसलिए \(\sqrt{x+4}-6\ge -6\)। परीक्षा में बाहर घटाई गई संख्या रेंज को नीचे शिफ्ट करती है। / \(\sqrt{x+4}\ge 0\), so \(\sqrt{x+4}-6\ge -6\). In exams an outside subtraction shifts the range downward.
\(\sqrt{x-1}\ge 0\), इसलिए \(2-\sqrt{x-1}\le 2\) और नीचे अनंत तक जा सकता है। परीक्षा में ऋण चिह्न रेंज की दिशा बदलता है। / \(\sqrt{x-1}\ge 0\), so \(2-\sqrt{x-1}\le 2\) and it can go down without bound. In exams a negative sign reverses the direction of the range.
हर \(x^2+1\) की न्यूनतम वैल्यू (1) है, इसलिए अधिकतम आउटपुट (1) है और (0) नहीं मिलता। परीक्षा में reciprocal में (0) सीमा हो सकता है, वैल्यू नहीं। / The denominator \(x^2+1\) has minimum value (1), so the maximum output is (1) and (0) is not reached. In exams (0) may be a limit, not a value, for reciprocals.
\(\frac{2}{x^2+4}\) की रेंज ( \(0,\frac{1}{2}]\) है, इसलिए (3) जोड़ने पर ( \(3,\frac{7}{2}]\) मिलेगा। परीक्षा में रेंज पर vertical shift लगाएं। / The range of \(\frac{2}{x^2+4}\) is ( \(0,\frac{1}{2}]\), so adding (3) gives ( \(3,\frac{7}{2}]\). In exams apply the vertical shift to the range.
(x-2-4x+1=(x-2)2-3), इसलिए न्यूनतम (-3) है। परीक्षा में (x) के वर्ग को पूर्ण वर्ग में बदलें। / (x-2-4x+1=(x-2)2-3), so the minimum is (-3). In exams convert the quadratic into a perfect square.
((x-4)2\ge 0), इसलिए (8-(x-4)2\le 8)। परीक्षा में अधिकतम तब मिलता है जब वर्ग वाला भाग (0) हो। / ((x-4)2\ge 0), so (8-(x-4)2\le 8). In exams the maximum occurs when the squared part is (0).
अंतराल ([-3,2]) में (0) है, इसलिए न्यूनतम (0) और अधिकतम (9) है। परीक्षा में endpoints और critical point दोनों देखें। / The interval ([-3,2]) contains (0), so the minimum is (0) and the maximum is (9). In exams check both endpoints and the critical point.
([2,5]) पर \(x^2\) बढ़ता है, इसलिए सिरों पर वैल्यू (4) और (25) मिलती हैं। परीक्षा में बंद अंतराल के endpoint शामिल करें। / On ([2,5]), \(x^2\) is increasing, so endpoint values are (4) and (25). In exams include endpoints for a closed interval.
(2x+1) बढ़ता हुआ रेखीय फलन है, इसलिए endpoints (-3) और (7) बनते हैं। परीक्षा में खुले endpoint को खुला ही रखें। / (2x+1) is an increasing linear function, so the endpoints become (-3) and (7). In exams keep an open endpoint open.
फलन घटता है, इसलिए (x=0) पर (2) और (x=4) पर (-10) मिलता है। परीक्षा में घटते फलन में क्रम बदल सकता है। / The function is decreasing, so at (x=0) it gives (2) and at (x=4) it gives (-10). In exams the order may reverse for a decreasing function.
ऋणात्मक अंतराल पर (|x|) वैल्यू को धनात्मक बना देता है। परीक्षा में ([-5,-2]) की मापांक रेंज ([2,5]) होगी। / On a negative interval, (|x|) makes values positive. In exams the modulus range of ([-5,-2]) is ([2,5]).
डोमेन में (x=1) शामिल है, इसलिए न्यूनतम (0) है और अधिकतम endpoint पर (3) है। परीक्षा में मापांक का zero point जरूर देखें। / The domain contains (x=1), so the minimum is (0) and the maximum is (3) at an endpoint. In exams always check the zero point of modulus.
\(\sqrt{x}\) बढ़ता हुआ फलन है, इसलिए सिरों की वैल्यू \(\sqrt{4}=2\) और \(\sqrt{16}=4\) हैं। परीक्षा में monotonicity का उपयोग करें। / \(\sqrt{x}\) is increasing, so endpoint values are \(\sqrt{4}=2\) and \(\sqrt{16}=4\). In exams use monotonicity.
धनात्मक (x) पर \(\frac{1}{x}\) घटता है, इसलिए रेंज \([\frac{1}{4},1]\) है। परीक्षा में घटते reciprocal में endpoint values का क्रम बदलें। / On positive (x), \(\frac{1}{x}\) decreases, so the range is \([\frac{1}{4},1]\). In exams reverse the order of endpoint values for a decreasing reciprocal.
\(\frac{1}{x-2}\) कभी (0) नहीं हो सकता। परीक्षा में horizontal shift से reciprocal की रेंज से हटने वाली वैल्यू (0) ही रहती है। / \(\frac{1}{x-2}\) can never be (0). In exams a horizontal shift keeps (0) excluded from the reciprocal range.
\(\frac{3}{x+1}\) कभी (0) नहीं होता, इसलिए (-4) आउटपुट नहीं मिलेगा। परीक्षा में vertical shift से excluded range value बदलती है। / \(\frac{3}{x+1}\) is never (0), so the output (-4) is not obtained. In exams a vertical shift changes the excluded range value.
डोमेन पर \(0\le 4-x^2\le 4\), इसलिए (0\le f(x)\le 2)। परीक्षा में वर्गमूल की रेंज हमेशा non-negative होती है। / On the domain, \(0\le 4-x^2\le 4\), so (0\le f(x)\le 2). In exams the range of a square root is always non-negative.
अंदर की अधिकतम वैल्यू (25) है और न्यूनतम (0) हो सकता है। इसलिए वर्गमूल की रेंज ([0,5]) है। / The maximum value inside is (25) and the minimum can be (0). Therefore the square root range is ([0,5]).
अंदर (x-2+6x+13=(x+3)2+4) है, इसलिए न्यूनतम (4) और रेंज \([2,\infty\)) है। परीक्षा में पहले अंदर का पूर्ण वर्ग बनाएं। / Inside, (x-2+6x+13=(x+3)2+4), so the minimum is (4) and the range is \([2,\infty\)). In exams complete the square inside first.
\(x^2\ge 0\) से आउटपुट (0) मिल सकता है, पर (1) कभी नहीं मिलता। परीक्षा में \(\frac{x^2}{x^2+1}=1-\frac{1}{x^2+1}\) उपयोगी है। / Since \(x^2\ge 0\), the output can be (0), but it never reaches (1). In exams \(\frac{x^2}{x^2+1}=1-\frac{1}{x^2+1}\) is useful.
\(\frac{x^2+1}{x^2+2}=1-\frac{1}{x^2+2}\) है। न्यूनतम \(\frac{1}{2}\) मिलता है, लेकिन (1) नहीं मिलता। / \(\frac{x^2+1}{x^2+2}=1-\frac{1}{x^2+2}\). The minimum \(\frac{1}{2}\) is obtained, but (1) is not obtained.
हर (|x|+2) की न्यूनतम वैल्यू (2) है और यह अनंत तक बढ़ सकता है। इसलिए आउटपुट (0) से बड़ा और \(\frac{1}{2}\) तक है। / The denominator (|x|+2) has minimum value (2) and can grow without bound. So the output is greater than (0) and up to \(\frac{1}{2}\).
\(\sqrt{x-2}\) के लिए \(x-2\ge 0\) चाहिए, इसलिए सभी वास्तविक (x) नहीं चलेंगे। परीक्षा में वर्गमूल वाले विकल्प पर domain restriction जांचें। / \(\sqrt{x-2}\) needs \(x-2\ge 0\), so all real (x) are not allowed. In exams check the domain restriction in square root options.
\(\frac{1}{x}\) कभी (0) नहीं होता, इसलिए (2) आउटपुट नहीं बनता। परीक्षा में reciprocal के vertical shift को पहचानें। / \(\frac{1}{x}\) is never (0), so the output cannot be (2). In exams identify the vertical shift of a reciprocal.
A. डोमेन \(\mathbb{R}\) और रेंज \([3,\infty\))/Domain \(\mathbb{R}\) and range \([3,\infty\))
Explanation
Simple Explanation
\(x^2+9\ge 9\), इसलिए वर्गमूल कम से कम (3) है और डोमेन सभी वास्तविक है। परीक्षा में अंदर की न्यूनतम वैल्यू देखें। / Since \(x^2+9\ge 9\), the square root is at least (3) and the domain is all real numbers. In exams check the minimum value inside.
A. डोमेन \(\mathbb{R}\setminus{-1,1}\) है/Domain is \(\mathbb{R}\setminus{-1,1}\)
Explanation
Simple Explanation
हर \(x^2-1\) तब (0) होता है जब \(x=\pm 1\)। परीक्षा में rational function में denominator zero values हटाएं। / The denominator \(x^2-1\) becomes (0) when \(x=\pm 1\). In exams remove denominator zero values in rational functions.
\(\sqrt{x+2}=3\) से (x+2=9) और (x=7) मिलता है। परीक्षा में वर्ग करने के बाद domain condition भी सही रखें। / \(\sqrt{x+2}=3\) gives (x+2=9) and (x=7). In exams keep the domain condition valid after squaring.
(|x-4|=6) से (x-4=6) या (x-4=-6) मिलता है। परीक्षा में मापांक समीकरण की दोनों शाखाएं लिखें। / (|x-4|=6) gives (x-4=6) or (x-4=-6). In exams write both branches of a modulus equation.
(f(3)=32-2(3)+5=8) है। परीक्षा में substitution करते समय चिन्हों का ध्यान रखें। / (f(3)=32-2(3)+5=8). In exams be careful with signs while substituting.
(f(4)=\frac{4+2}{4-1}=\frac{6}{3}=2) है। परीक्षा में denominator zero न हो यह भी जांचें। / (f(4)=\frac{4+2}{4-1}=\frac{6}{3}=2). In exams also check that the denominator is not zero.
(f(5)=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4) है। परीक्षा में वर्गमूल की मुख्य धनात्मक वैल्यू लें। / (f(5)=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4). In exams take the principal positive square root.
क्योंकि \(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2-9\ge -9\)। परीक्षा में codomain और actual range में फर्क रखें। / Since \(x^2\ge 0\), \(x^2-9\ge -9\). In exams keep the difference between codomain and actual range clear.
A. रेंज \([4,\infty\)) है और codomain \(\mathbb{R}\) है/Range is \([4,\infty\)) and codomain is \(\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
फलन में दिया गया दूसरा समुच्चय codomain है, जबकि वास्तविक आउटपुट \([4,\infty\)) हैं। परीक्षा में arrow notation से codomain पहचानें। / The second set in the function notation is the codomain, while actual outputs are \([4,\infty\)). In exams identify codomain from arrow notation.
इनपुट पर वैल्यू (f(-2)=2), (f(0)=0), (f(3)=12) हैं। परीक्षा में finite domain में हर input की image निकालें। / The values are (f(-2)=2), (f(0)=0), and (f(3)=12). In exams find the image of every input in a finite domain.
(x=1,2,4,5) पर outputs \(0,1,\sqrt{3},2\) मिलते हैं। परीक्षा में set domain में केवल दिए गए inputs लें। / For (x=1,2,4,5), the outputs are \(0,1,\sqrt{3},2\). In exams use only the given inputs in a set domain.
वर्गमूल के अंदर \(\frac{x-2}{x+1}\ge 0\) और \(x\ne -1\) चाहिए। संकेत तालिका से (\(-\infty,-1\)\cup[2,\infty)) मिलता है। / The expression inside the square root must satisfy \(\frac{x-2}{x+1}\ge 0\) and \(x\ne -1\). A sign table gives (\(-\infty,-1\)\cup[2,\infty)).
