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(A) के सभी तत्व सम हैं, इसलिए (\mathcal{P}(A)) के हर उपसमुच्चय में केवल सम संख्याएँ होंगी। कुल संख्या \(2^5=32\) है। / All elements of (A) are even, so every subset in (\mathcal{P}(A)) contains only even numbers. The total number is \(2^5=32\).
(1) निश्चित है और (2) नहीं लेना है, इसलिए (3,4,5) में से (2) तत्व चुनने होंगे। संख्या \(\binom{3}{2}=3\) है। / (1) is fixed and (2) is excluded, so choose (2) elements from (3,4,5). The count is \(\binom{3}{2}=3\).
ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या \(\binom{6}{2}+\binom{6}{4}=15+15=30\) है। आकार आधारित प्रश्नों में संयोजन लगाएँ। / The number is \(\binom{6}{2}+\binom{6}{4}=15+15=30\). Use combinations for size-based subset questions.
\(A\cap B\) में (6) के गुणज (6,12,18,24) हैं, इसलिए इसमें (4) तत्व हैं। पूरक में (24-4=20) तत्व होंगे। / \(A\cap B\) contains the multiples of (6): (6,12,18,24), so it has (4) elements. The complement has (24-4=20) elements.
(4) से विभाज्य तत्व (4,8,12) हैं। पूरक में (U) के बाकी तत्व आएँगे। / The elements divisible by (4) are (4,8,12). The complement contains the remaining elements of (U).
\({\emptyset,{a}}\), (A) का उपसमुच्चय है। घात समुच्चय में हमेशा मूल समुच्चय के उपसमुच्चय आते हैं। / \({\emptyset,{a}}\) is a subset of (A). A power set always contains subsets of the original set.
A. \({x:x\in \mathbb{Z}, x<-2\) या (x>3})/\({x:x\in \mathbb{Z}, x<-2\) or (x>3})
Explanation
Simple Explanation
पूरक में वे पूर्णांक होंगे जो दिए गए अंतराल के बाहर हैं। सीमा मान (-2) और (3) (A) में हैं इसलिए पूरक में नहीं होंगे। / The complement contains integers outside the given interval. The endpoints (-2) and (3) are in (A), so they are not in the complement.
(\mathcal{P}(A)) स्वयं (256) तत्वों वाला समुच्चय है। इसलिए उसके घात समुच्चय में \(2^{256}\) तत्व होंगे। / (\mathcal{P}(A)) itself is a set with (256) elements. Its power set therefore has \(2^{256}\) elements.
(1) निश्चित है और (6) निषिद्ध है। शेष चार तत्व स्वतंत्र हैं, इसलिए \(2^4=16\) उपसमुच्चय होंगे। / (1) is fixed and (6) is forbidden. The remaining four elements are free, so there are \(2^4=16\) subsets.
कुल उपसमुच्चय \(2^3=8\) हैं। \(\emptyset\) और (A) हटाने पर (6) अरिक्त उचित उपसमुच्चय बचते हैं। / There are \(2^3=8\) total subsets. Removing \(\emptyset\) and (A) leaves (6) non-empty proper subsets.
केवल रिक्त समुच्चय का पूरक पूरा (U) होता है। पूरक वाले प्रश्नों में सार्वत्रिक समुच्चय याद रखें। / Only the empty set has the whole (U) as its complement. Always remember the universal set in complement questions.
विकल्प में (1) और ({1,2}) दोनों (A) के तत्व हैं। ({1,2}) को (A) का तत्व समझें, दो अलग तत्व नहीं। / Both (1) and ({1,2}) in the option are elements of (A). Treat ({1,2}) as one element of (A), not two separate elements.
कम से कम (6) तत्वों का अर्थ (6) या (7) तत्व है। संख्या \(\binom{7}{6}+\binom{7}{7}=8\) है। / At least (6) elements means (6) or (7) elements. The count is \(\binom{7}{6}+\binom{7}{7}=8\).
(0) को निश्चित रखने पर शेष चार तत्वों में से सम संख्या चुननी होगी। संख्या \(\binom{4}{0}+\binom{4}{2}+\binom{4}{4}=8\) है। / After fixing (0), an even number of the remaining four elements must be chosen. The count is \(\binom{4}{0}+\binom{4}{2}+\binom{4}{4}=8\).
(U) में (26) वर्ण हैं और (V) में (5) स्वर हैं। पूरक में (26-5=21) व्यंजन होंगे। / (U) has (26) letters and (V) has (5) vowels. The complement has (26-5=21) consonants.
({a,d}) से असंयुक्त उपसमुच्चय केवल (b,c) से बनेंगे, जो \(2^2=4\) हैं। इसलिए असंयुक्त नहीं होने वाले (16-4=12) हैं। / Subsets disjoint from ({a,d}) are formed only from (b,c), so there are \(2^2=4\). Hence not disjoint subsets are (16-4=12).
कुल उपसमुच्चय (32) हैं। (2) और (3) दोनों न लेने वाले \(2^3=8\) हैं, इसलिए उत्तर (24) है। / There are (32) total subsets. Those containing neither (2) nor (3) are \(2^3=8\), so the answer is (24).
घात समुच्चय बराबर होने पर मूल समुच्चय भी बराबर होते हैं। क्योंकि मूल समुच्चय स्वयं अपने घात समुच्चय का तत्व होता है। / If power sets are equal, the original sets are also equal. This is because each original set is an element of its own power set.
(20) तक पूर्ण वर्ग (1,4,9,16) हैं, इसलिए (|A|=4)। अतः (|A'|=20-4=16)। / The perfect squares up to (20) are (1,4,9,16), so (|A|=4). Thus (|A'|=20-4=16).
(r,s) निश्चित हैं और (v) नहीं लेना है। शेष (t,u) स्वतंत्र हैं, इसलिए \(2^2=4\) उपसमुच्चय होंगे। / (r,s) are fixed and (v) is excluded. The remaining (t,u) are free, so there are \(2^2=4\) subsets.
\(x^2<25\) के लिए (U) में (0,1,2,3,4) आते हैं। इसलिए पूरक ({5,6,7,8,9}) है। / In (U), \(x^2<25\) gives (0,1,2,3,4). Therefore the complement is ({5,6,7,8,9}).
(Y=A) निश्चित है, इसलिए (X), (A) का कोई भी उपसमुच्चय हो सकता है। (X) के \(2^4=16\) विकल्प हैं। / (Y=A) is fixed, so (X) can be any subset of (A). There are \(2^4=16\) choices for (X).
(|\mathcal{P}(B)|=32) और (|\mathcal{P}(A)|=16) है। क्योंकि \(A\subset B\), अंतर में (32-16=16) तत्व होंगे। / (|\mathcal{P}(B)|=32) and (|\mathcal{P}(A)|=16). Since \(A\subset B\), the difference has (32-16=16) elements.
डी मॉर्गन से (A'\cup B'=\(A\cap B\)') होता है। \(A\cap B={2,4}\), इसलिए पूरक में (10-2=8) तत्व हैं। / By De Morgan's law, (A'\cup B'=\(A\cap B\)'). Since \(A\cap B={2,4}\), the complement has (10-2=8) elements.
(A) में दो अलग तत्व हैं: \(\emptyset\) और \({\emptyset}\)। इसलिए (|\mathcal{P}(A)|=22=4)। / (A) has two distinct elements: \(\emptyset\) and \({\emptyset}\). Hence (|\mathcal{P}(A)|=22=4).
A. वे त्रिभुज जो समबाहु नहीं हैं/Triangles that are not equilateral
Explanation
Simple Explanation
पूरक हमेशा सार्वत्रिक समुच्चय के भीतर लिया जाता है। इसलिए (E') सभी ऐसे त्रिभुज हैं जो समबाहु नहीं हैं। / Complement is always taken inside the universal set. So (E') is all triangles that are not equilateral.
कुल उपसमुच्चय \(2^7=128\) हैं और ठीक (5) तत्व वाले \(\binom{7}{5}=21\) हैं। इसलिए उत्तर (128-21=107) है। / Total subsets are \(2^7=128\), and exactly (5)-element subsets are \(\binom{7}{5}=21\). So the answer is (128-21=107).
(2) या (3) से विभाज्य संख्याएँ (15+10-5=20) हैं। इसलिए पूरक में (30-20=10) संख्याएँ हैं। / Numbers divisible by (2) or (3) are (15+10-5=20). Hence the complement has (30-20=10) numbers.
(a,b) में से ठीक एक चुनने के (2) तरीके हैं और (e) निश्चित है। (c,d) स्वतंत्र हैं, इसलिए \(2\times2^2=8\)। / There are (2) ways to choose exactly one of (a,b), and (e) is fixed. (c,d) are free, so \(2\times2^2=8\).
(U) में (11) तत्व हैं और \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) में (5) तत्व हैं। इसलिए (A') में (6) तत्व हैं। / (U) has (11) elements and \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) has (5) elements. So (A') has (6) elements.
ऐसे उपसमुच्चय में (3) होना चाहिए और (4) नहीं होना चाहिए। (1,2) स्वतंत्र हैं, इसलिए \(2^2=4\) उपसमुच्चय हैं। / Such a subset must contain (3) and must not contain (4). (1,2) are free, so there are \(2^2=4\) subsets.
पूरक लेने पर समावेशन की दिशा उलट जाती है। इसलिए \(A\subseteq B\) से \(B'\subseteq A'\) मिलता है। / Inclusion reverses when complements are taken. Thus \(A\subseteq B\) gives \(B'\subseteq A'\).
({3,4}) (A) का एक तत्व है, इसलिए उसका एकल उपसमुच्चय ({{3,4}}) घात समुच्चय में होगा। / ({3,4}) is one element of (A), so its singleton subset ({{3,4}}) is in the power set.
(|A|=5) और (|B|=3), इसलिए \(|A\times B|=15\) है। अतः उसके घात समुच्चय में \(2^{15}\) तत्व होंगे। / (|A|=5) and (|B|=3), so \(|A\times B|=15\). Therefore its power set has \(2^{15}\) elements.
(A) में (U) की विषम संख्याएँ हैं। इसलिए पूरक में (U) की सम संख्याएँ ({2,4,6,8}) होंगी। / (A) contains the odd numbers of (U). Therefore the complement is the even numbers of (U): ({2,4,6,8}).
ऐसे उपसमुच्चय केवल \(\emptyset\) और ({1}) हैं। शर्तों में खाली समुच्चय को भी गिनना न भूलें। / The only such subsets are \(\emptyset\) and ({1}). Do not forget to count the empty set in condition-based questions.
(2) (A) में शामिल है, इसलिए पूरक में (2) नहीं आएगा। \(\mathbb{R}\) में पूरक (\(2,\infty\)) है। / (2) is included in (A), so it is not in the complement. In \(\mathbb{R}\), the complement is (\(2,\infty\)).
(a) को हटाने पर (5) तत्व बचते हैं। उनमें से ठीक (3) चुनने के \(\binom{5}{3}=10\) तरीके हैं। / After excluding (a), (5) elements remain. Choosing exactly (3) of them gives \(\binom{5}{3}=10\) ways.
(A\cap B=\(A'\cup B'\)') है। \(A'\cup B'={1,2,4,7,8}\), इसलिए पूरक ({3,5,6}) है। / (A\cap B=\(A'\cup B'\)'). Since \(A'\cup B'={1,2,4,7,8}\), the complement is ({3,5,6}).
(A) में कम से कम एक विषम संख्या है, इसलिए उपसमुच्चयों के योग सम और विषम बराबर संख्या में होंगे। कुल (32) हैं, अतः सम योग वाले (16) हैं। / Since (A) has at least one odd number, subsets with even and odd sums are equal in number. Total subsets are (32), so even-sum subsets are (16).
(10) के गुणज (10,20,30,40,50) हैं, इसलिए (|A|=5)। (A') में (45) तत्व हैं, अतः (|\mathcal{P}(A')|=2^{45})। / The multiples of (10) are (10,20,30,40,50), so (|A|=5). (A') has (45) elements, hence (|\mathcal{P}(A')|=2^{45}).
({1,2,3}) के उपसमुच्चय में (1) नहीं होना चाहिए। केवल (2,3) से बनने वाले \(2^2=4\) उपसमुच्चय मिलेंगे। / The subset of ({1,2,3}) must not contain (1). Subsets formed only from (2,3) give \(2^2=4\) choices.
A. (U) में (1) और संयुक्त संख्याएँ/(1) and composite numbers in (U)
Explanation
Simple Explanation
(A) में (U) की अभाज्य संख्याएँ हैं। इसलिए पूरक में (1) और संयुक्त संख्याएँ होंगी। / (A) contains the prime numbers of (U). Therefore the complement contains (1) and composite numbers.
(\mathcal{P}(A)) में \(2^3=8\) तत्व हैं। किसी (8)-तत्वीय समुच्चय के घात समुच्चय में (8) एकल उपसमुच्चय होते हैं। / (\mathcal{P}(A)) has \(2^3=8\) elements. The power set of an (8)-element set has (8) singleton subsets.
(A'={e,f,g,h}) और (B'={a,b,g,h}) हैं। केवल एक में आने वाले तत्व (a,b,e,f) हैं, इसलिए (4) तत्व हैं। / (A'={e,f,g,h}) and (B'={a,b,g,h}). Elements in exactly one are (a,b,e,f), so there are (4).
(1,2,3) में से कम से कम दो चुनने के \(\binom{3}{2}+\binom{3}{3}=4\) तरीके हैं। शेष तीन तत्व स्वतंत्र हैं, इसलिए \(4\times2^3=32\) है। / Choosing at least two from (1,2,3) gives \(\binom{3}{2}+\binom{3}{3}=4\) ways. The remaining three elements are free, so the count is \(4\times2^3=32\).
