Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(|x-2|) का न्यूनतम मान (0) है इसलिए (y) का अधिकतम मान (3) है। उल्टा मापांक ग्राफ शीर्ष पर अधिकतम देता है। / The minimum value of (|x-2|) is (0), so the maximum value of (y) is (3). An inverted modulus graph gives its maximum at the vertex.
A. यह (y)-अक्ष के सापेक्ष सममित है/It is symmetric about the (y)-axis
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि (|-x|=|x|) है इसलिए (f(-x)=f(x)) मिलता है। इसलिए ग्राफ (y)-अक्ष के सापेक्ष सममित होता है। / Since (|-x|=|x|), we get (f(-x)=f(x)). Therefore the graph is symmetric about the (y)-axis.
मापांक के अंदर (x+4=0) करने पर (x=-4) मिलता है। तब (y=-2) है इसलिए शीर्ष ((-4,-2)) है। / Set the inside of the modulus (x+4=0), so (x=-4). Then (y=-2), so the vertex is ((-4,-2)).
(\frac{x-2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}) है पर (x=2) निषिद्ध रहता है। इसलिए ग्राफ (y=x+2) जैसा है लेकिन (x=2) पर छिद्र है। / (\frac{x-2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}), but (x=2) remains excluded. So the graph is like (y=x+2) with a hole at (x=2).
\(|x-5|\ge 0\) होता है इसलिए \(y\ge 2\) है। रेंज निकालते समय न्यूनतम मान पहले देखें। / Since \(|x-5|\ge 0\), we get \(y\ge 2\). For range, first check the minimum value.
\(-5\le x\le 1\) पर योग ((x+5)+(1-x)=6) होता है। ऐसे ग्राफ में दोनों शून्य बिंदुओं के बीच भाग क्षैतिज होता है। / On \(-5\le x\le 1\), the sum is ((x+5)+(1-x)=6). In such graphs, the part between the two zero points is horizontal.
मापांक का न्यूनतम मान (0) हो सकता है जब \(x^2-9=0\)। यहां \(x=\pm3\) पर मान (0) मिलता है। / The minimum value of a modulus can be (0) when \(x^2-9=0\). Here \(x=\pm3\) gives value (0).
(-(x-1)2\le 0) होता है इसलिए \(y\le 4\) है। नीचे खुलने वाले परवलय में शीर्ष अधिकतम देता है। / Since (-(x-1)2\le 0), we get \(y\le 4\). A downward parabola gives its maximum at the vertex.
A. यह (y)-अक्ष के समानांतर रेखा है/It is parallel to the (y)-axis
Explanation
Simple Explanation
(x=-7) में (x) स्थिर है और (y) कोई भी हो सकता है। इसलिए यह ऊर्ध्वाधर रेखा है। / In (x=-7), (x) is fixed and (y) can be any value. Hence it is a vertical line.
(y=0) पर सभी बिंदु (x)-अक्ष पर होते हैं। स्थिर शून्य फलन का ग्राफ (x)-अक्ष है। / For (y=0), all points lie on the (x)-axis. The zero constant function has the (x)-axis as its graph.
वर्गमूल का अंदरूनी भाग (x+2=0) पर शुरू होता है। तब (y=5) है इसलिए बिंदु ((-2,5)) है। / The expression inside the square root starts at (x+2=0). Then (y=5), so the point is ((-2,5)).
यह वृत्त \(x^2+y^2=16\) का ऊपरी अर्धभाग है। इसलिए (y) का मान (0) से (4) तक है। / It is the upper semicircle of \(x^2+y^2=16\). Hence (y) ranges from (0) to (4).
हर (x+5) शून्य होने पर फलन अपरिभाषित हो जाता है। इसलिए (x=-5) ऊर्ध्वाधर आसम्टोट है। / The denominator (x+5) makes the function undefined when it is zero. Therefore (x=-5) is the vertical asymptote.
\(\frac{3}{x-2}\) बड़े (|x|) पर (0) के पास जाता है। इसलिए ग्राफ (y=4) के पास जाता है। / The term \(\frac{3}{x-2}\) approaches (0) for large (|x|). Hence the graph approaches (y=4).
अंश और हर की डिग्री समान है इसलिए प्रमुख गुणांकों का अनुपात लें। \(\frac{2}{1}=2\) से आसम्टोट (y=2) है। / The numerator and denominator have equal degree, so take the ratio of leading coefficients. Since \(\frac{2}{1}=2\), the asymptote is (y=2).
\(x^2+4\ge 4\) इसलिए अधिकतम मान \(\frac{1}{4}\) है। ग्राफ (0) के पास जाता है पर (0) नहीं लेता। / Since \(x^2+4\ge 4\), the maximum value is \(\frac{1}{4}\). The graph approaches (0) but never takes (0).
(x+2) ग्राफ को (2) इकाई बाईं ओर और (-1) नीचे ले जाता है। इसलिए ((0,0)) से ((-2,-1)) मिलता है। / The term (x+2) shifts the graph (2) units left and (-1) shifts it down. Hence ((0,0)) becomes ((-2,-1)).
A. (x)-अक्ष में परावर्तन/Reflection in the (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
बाहर का ऋण चिह्न सभी (y)-मानों को विपरीत कर देता है। इसलिए (x)-अक्ष में परावर्तन होता है। / The outside negative sign reverses all (y)-values. Therefore the graph is reflected in the (x)-axis.
A. (y)-अक्ष में परावर्तन/Reflection in the (y)-axis
Explanation
Simple Explanation
(x) की जगह (-x) आने से (y)-अक्ष में परावर्तन होता है। यहां (y=(-x)3=-x-3) भी है। / Replacing (x) by (-x) reflects the graph in the (y)-axis. Here (y=(-x)3=-x-3) also holds.
\(\lfloor x \rfloor\) (x) से कम या बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक देता है। (-2.3) के लिए वह (-3) है। / \(\lfloor x \rfloor\) gives the greatest integer less than or equal to (x). For (-2.3), that integer is (-3).
\(2\le x<3\) पर सबसे बड़ा पूर्णांक (2) ही रहता है। इसलिए ग्राफ इस अंतराल पर क्षैतिज है। / On \(2\le x<3\), the greatest integer remains (2). Hence the graph is horizontal on this interval.
\(\lceil x \rceil\) (x) से बड़ा या बराबर सबसे छोटा पूर्णांक देता है। (4.1) के लिए यह (5) है। / \(\lceil x \rceil\) gives the smallest integer greater than or equal to (x). For (4.1), it is (5).
साइनम ग्राफ अंदर की अभिव्यक्ति शून्य होने पर बदलता है। (2x-8=0) से (x=4) मिलता है। / A signum graph changes when the inside expression is zero. From (2x-8=0), we get (x=4).
जब (x>4) हो तो (x) और (4) में छोटा मान (4) है। इसलिए ग्राफ (y=4) पर स्थिर है। / When (x>4), the smaller value between (x) and (4) is (4). Hence the graph is constant at (y=4).
\(\sqrt{x}=x-2\) में दायां पक्ष \(x\ge 2\) मांगता है। (x=4) रखने पर दोनों मान (2) हैं। / In \(\sqrt{x}=x-2\), the right side requires \(x\ge 2\). At (x=4), both sides are (2).
\(\frac{1}{x}=x\) से \(x^2=1\) मिलता है। इसलिए \(x=\pm1\) और बिंदु ((1,1)), ((-1,-1)) हैं। / From \(\frac{1}{x}=x\), we get \(x^2=1\). Hence \(x=\pm1\) and the points are ((1,1)), ((-1,-1)).
A. (3) इकाई दाईं ओर और (2) इकाई ऊपर/(3) units right and (2) units up
Explanation
Simple Explanation
(x-3) क्षैतिज रूप से (3) इकाई दाईं ओर खिसकाता है। बाहर (+2) ग्राफ को (2) इकाई ऊपर ले जाता है। / The term (x-3) shifts the graph (3) units right horizontally. The outside (+2) moves it (2) units up.
A. (x)-अक्ष में परावर्तन और (4) इकाई ऊपर/Reflection in the (x)-axis and (4) units up
Explanation
Simple Explanation
(-f(x)) (x)-अक्ष में परावर्तन देता है। फिर (+4) ग्राफ को ऊपर खिसकाता है। / (-f(x)) gives reflection in the (x)-axis. Then (+4) shifts the graph upward.
(-x-2=-(x+2)) है। पहले (y)-अक्ष में परावर्तन और फिर क्षैतिज खिसकाव समझना आसान होता है। / (-x-2=-(x+2)). It is easier to read the graph as a reflection in the (y)-axis with a horizontal shift.
A. वे (x)-अक्ष के ऊपर परावर्तित होते हैं/They are reflected above the (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
मापांक बाहर होने से सभी (y)-मान अऋणात्मक हो जाते हैं। इसलिए (x)-अक्ष के नीचे वाला भाग ऊपर परावर्तित होता है। / With modulus outside, all (y)-values become non-negative. Hence the part below the (x)-axis reflects upward.
A. दाईं ओर का भाग (y)-अक्ष में परावर्तित होता है/The right-side part is reflected in the (y)-axis
Explanation
Simple Explanation
(|x|) के कारण (x<0) पर भी (f) में धनात्मक इनपुट जाता है। इसलिए दाईं ओर का ग्राफ बाईं ओर परावर्तित होता है। / Because of (|x|), even for (x<0), the input to (f) is positive. Hence the right-side graph reflects to the left.
