Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यह (-2) और (4) से दूरियों का योग है। दोनों बिंदुओं के बीच न्यूनतम योग (6) रहता है। / It is the sum of distances from (-2) and (4). Between the two points the minimum sum remains (6).
\(\frac{x^2-16}{x+4}=x-4\) है लेकिन (x=-4) डोमेन में नहीं है। इसलिए रेखा जैसे ग्राफ में (x=-4) पर छिद्र बनता है। / \(\frac{x^2-16}{x+4}=x-4\), but (x=-4) is not in the domain. Therefore the line-like graph has a hole at (x=-4).
यह (x) का भिन्नात्मक भाग देता है जो (0) से शुरू होकर (1) से कम रहता है। इसलिए रेंज ([0,1)) है। / It gives the fractional part of (x), which starts at (0) and stays less than (1). Hence the range is ([0,1)).
\(4\le x\le 10\) पर योग ((x-4)+(10-x)=6) है। मापांक दूरी योग में दोनों बिंदुओं के बीच ग्राफ क्षैतिज होता है। / On \(4\le x\le 10\), the sum is ((x-4)+(10-x)=6). In a modulus distance sum the graph is horizontal between the two points.
\(|x+5|\ge 0\) है इसलिए \(2-|x+5|\le 2\) होगा। उल्टा मापांक ग्राफ शीर्ष पर अधिकतम देता है। / Since \(|x+5|\ge 0\), \(2-|x+5|\le 2\). An inverted modulus graph gives a maximum at the vertex.
मापांक का अंदरूनी भाग (x-2=0) पर शून्य होता है। तब (y=1) है इसलिए शीर्ष ((2,1)) है। / The inside of the modulus is zero when (x-2=0). Then (y=1), so the vertex is ((2,1)).
( |2x+6|-4=0 ) से (|2x+6|=4) मिलता है। इसलिए \(2x+6=\pm4\) से (x=-5,-1) है। / From ( |2x+6|-4=0 ), we get (|2x+6|=4). Thus \(2x+6=\pm4\) gives (x=-5,-1).
A. यह (x)-अक्ष के समानांतर है/It is parallel to the (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
(y=-2) में (y) स्थिर है और (x) कोई भी हो सकता है। इसलिए ग्राफ क्षैतिज रेखा है। / In (y=-2), (y) is fixed and (x) can be any value. Hence the graph is a horizontal line.
दोनों रेखाओं की ढाल (2) है लेकिन अवरोध अलग हैं। समान ढाल वाली अलग रेखाएं समांतर होती हैं। / Both lines have slope (2), but different intercepts. Distinct lines with equal slope are parallel.
\(\sqrt{x-1}\ge 0\) है इसलिए \(7-\sqrt{x-1}\le 7\) होता है। मान नीचे की ओर असीमित जा सकते हैं। / Since \(\sqrt{x-1}\ge 0\), \(7-\sqrt{x-1}\le 7\). The values can decrease without bound.
वर्ग करने पर \(y^2=25-x^2\) से \(x^2+y^2=25\) मिलता है। वर्गमूल के कारण केवल ऊपरी भाग आता है। / Squaring gives \(y^2=25-x^2\), so \(x^2+y^2=25\). Because of the square root only the upper part appears.
वर्गमूल के लिए \(x^2-16\ge 0\) चाहिए। इसलिए \(x\le -4\) या \(x\ge 4\) है। / For the square root \(x^2-16\ge 0\) is required. Hence \(x\le -4\) or \(x\ge 4\).
हर (x-6) शून्य होने पर फलन अपरिभाषित होता है। इसलिए (x=6) ऊर्ध्वाधर आसम्टोट है। / The denominator (x-6) makes the function undefined when it is zero. Therefore (x=6) is the vertical asymptote.
\(\frac{4}{x+2}\) बड़े (|x|) पर (0) के पास जाता है। इसलिए ग्राफ (y=-5) के पास जाता है। / The term \(\frac{4}{x+2}\) approaches (0) for large (|x|). Hence the graph approaches (y=-5).
अंश और हर की डिग्री समान है। प्रमुख गुणांकों का अनुपात \(\frac{1}{1}=1\) है। / The numerator and denominator have equal degree. The ratio of leading coefficients is \(\frac{1}{1}=1\).
\(\frac{x^2-9}{x-3}=x+3\) है लेकिन (x=3) निषिद्ध रहता है। इसलिए रेखा जैसे ग्राफ में छिद्र होता है। / \(\frac{x^2-9}{x-3}=x+3\), but (x=3) remains excluded. Therefore the line-like graph has a hole.
यह \(y=\frac{1}{x^2}\) का (1) इकाई बाईं ओर खिसका हुआ ग्राफ है। इसलिए सममिति अक्ष (x=-1) है। / It is the graph of \(y=\frac{1}{x^2}\) shifted (1) unit left. Therefore the axis of symmetry is (x=-1).
\(x^2+9\) का न्यूनतम मान (9) है। इसलिए \(\frac{1}{x^2+9}\) का अधिकतम मान \(\frac{1}{9}\) है। / The minimum value of \(x^2+9\) is (9). Hence the maximum value of \(\frac{1}{x^2+9}\) is \(\frac{1}{9}\).
जब (x) स्वयं पूर्णांक हो तो \(\lfloor x \rfloor=x\) होता है। इसलिए \(\lfloor -4 \rfloor=-4\) है। / When (x) itself is an integer, \(\lfloor x \rfloor=x\). Hence \(\lfloor -4 \rfloor=-4\).
(2.6+0.5=3.1) है और \(\lfloor 3.1 \rfloor=3\)। पहले अंदर का मान निकालें। / (2.6+0.5=3.1), and \(\lfloor 3.1 \rfloor=3\). First calculate the inside value.
\(x\in[1,1.5\)) से \(2x\in[2,3\)) है। इस पूरे अंतराल पर \(\lfloor 2x \rfloor=2\) होता है। / From \(x\in[1,1.5\)), \(2x\in[2,3\)). On this whole interval \(\lfloor 2x \rfloor=2\).
\(\lceil x \rceil\) (x) से बड़ा या बराबर सबसे छोटा पूर्णांक देता है। (-2.2) के लिए वह (-2) है। / \(\lceil x \rceil\) gives the smallest integer greater than or equal to (x). For (-2.2), it is (-2).
(x=7) पर (5-x=-2) ऋणात्मक है। साइनम फलन ऋणात्मक इनपुट पर (-1) देता है। / At (x=7), (5-x=-2), which is negative. The signum function gives (-1) for a negative input.
साइनम फलन (0) तब देता है जब अंदर की अभिव्यक्ति (0) हो। \(x^2-4=0\) से \(x=\pm2\) है। / The signum function gives (0) when the inside expression is (0). From \(x^2-4=0\), \(x=\pm2\).
दोनों नियम (y=x) और (y=3) तब मिलते हैं जब (x=3)। इसलिए कोना ((3,3)) पर है। / The two rules (y=x) and (y=3) meet when (x=3). Hence the corner is at ((3,3)).
A. (4) इकाई बाईं ओर और (3) इकाई नीचे/(4) units left and (3) units down
Explanation
Simple Explanation
(x+4) ग्राफ को (4) इकाई बाईं ओर ले जाता है। बाहर (-3) ग्राफ को (3) इकाई नीचे ले जाता है। / The term (x+4) shifts the graph (4) units left. The outside (-3) shifts it (3) units down.
A. ऊर्ध्वाधर खिंचाव (2) गुना और (1) इकाई नीचे/Vertical stretch by (2) and (1) unit down
Explanation
Simple Explanation
बाहर (2) से गुणा सभी (y)-मानों को दुगुना करता है। फिर (-1) ग्राफ को नीचे ले जाता है। / Multiplication by (2) outside doubles all (y)-values. Then (-1) moves the graph downward.
A. क्षैतिज संपीड़न (3) गुना/Horizontal compression by factor (3)
Explanation
Simple Explanation
अंदर (3x) होने से ग्राफ (y)-अक्ष की ओर सिमटता है। अंदर का गुणक क्षैतिज परिवर्तन देता है। / Having (3x) inside shrinks the graph toward the (y)-axis. An inside multiplier gives a horizontal change.
A. क्षैतिज खिंचाव (2) गुना/Horizontal stretch by factor (2)
Explanation
Simple Explanation
अंदर \(\frac{x}{2}\) होने से वही (f)-मान पाने के लिए (x) दुगुना चाहिए। इसलिए ग्राफ क्षैतिज रूप से खिंचता है। / With \(\frac{x}{2}\) inside, (x) must double to get the same (f)-value. Hence the graph stretches horizontally.
A. (y)-अक्ष में परावर्तन और (2) इकाई ऊपर/Reflection in the (y)-axis and (2) units up
Explanation
Simple Explanation
(f(-x)) (y)-अक्ष में परावर्तन देता है। बाहर (+2) ग्राफ को ऊपर खिसकाता है। / (f(-x)) gives reflection in the (y)-axis. The outside (+2) shifts the graph upward.
A. रेखा (y=2) के नीचे वाला भाग ऊपर/The part below (y=2) upward
Explanation
Simple Explanation
(|f(x)-2|) पहले (f(x)-2) को अऋणात्मक बनाता है। इसलिए (f(x)<2) वाला भाग रेखा (y=2) के सापेक्ष ऊपर मुड़ता है। / (|f(x)-2|) makes (f(x)-2) non-negative. Therefore the part with (f(x)<2) folds upward about the line (y=2).
(|x-1|) में (x=1) से समान दूरी वाले इनपुट समान होते हैं। इसलिए ग्राफ (x=1) के सापेक्ष सममित होता है। / In (|x-1|), inputs at equal distance from (x=1) become equal. Hence the graph is symmetric about (x=1).
