Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(x)-अक्ष पर (y=0) होता है इसलिए (2x-5=0) से \(x=\frac{5}{2}\) मिलता है। ग्राफ में प्रतिच्छेद के लिए दूसरे निर्देशांक को शून्य रखें। / On the (x)-axis (y=0) so (2x-5=0) gives \(x=\frac{5}{2}\). For an intercept set the other coordinate equal to zero.
\(-3\le x\le 1\) पर योग ((x+3)+(1-x)=4) स्थिर रहता है। ऐसे मापांक योग में दोनों बिंदुओं के बीच ग्राफ क्षैतिज हो सकता है। / On \(-3\le x\le 1\), the sum ((x+3)+(1-x)=4) is constant. In such modulus sums the graph can be horizontal between the two points.
( |x-3| ) न्यूनतम (0) तब होता है जब (x=3)। मापांक ग्राफ का शीर्ष अंदर वाले भाग को शून्य करने से मिलता है। / ( |x-3| ) is minimum (0) when (x=3). For a modulus graph set the inside expression equal to zero.
वर्गमूल के लिए \(x^2-9\ge 0\) चाहिए। इससे \(x\le -3\) या \(x\ge 3\) मिलता है। / For the square root \(x^2-9\ge 0\) is required. This gives \(x\le -3\) or \(x\ge 3\).
आसम्टोट हर को शून्य करने से मिलते हैं। \(x^2-4=0\) से (x=-2,2) मिलते हैं। / Asymptotes are found by making the denominator zero. From \(x^2-4=0\), we get (x=-2,2).
गुणांक (-3) ऋणात्मक है इसलिए परवलय नीचे खुलता है। शीर्ष पर (y=4) अधिकतम मान है। / The coefficient (-3) is negative so the parabola opens downward. At the vertex (y=4) is the maximum value.
A. मूल बिंदु के सापेक्ष सममिति/Symmetry about the origin
Explanation
Simple Explanation
(f(-x)=\frac{-x}{x-2+1}=-f(x)) है। इसलिए यह विषम फलन है और ग्राफ मूल बिंदु के सापेक्ष सममित है। / (f(-x)=\frac{-x}{x-2+1}=-f(x)). Therefore it is an odd function and its graph is symmetric about the origin.
मापांक का अंदरूनी भाग (x+2=0) पर शून्य होता है। तब (y=5) है इसलिए शीर्ष ((-2,5)) है। / The inside part of the modulus is zero at (x+2=0). Then (y=5), so the vertex is ((-2,5)).
हर (x-4) शून्य होने पर फलन अपरिभाषित होता है। इसलिए ऊर्ध्वाधर आसम्टोट (x=4) है। / The denominator (x-4) makes the function undefined when it is zero. So the vertical asymptote is (x=4).
\(x\ge 0\) पर (|x|=x) रखकर (x=3-x) से \(x=\frac{3}{2}\) मिलता है। इसलिए प्रतिच्छेद (\left\(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right\)) है। / For \(x\ge 0\), put (|x|=x), so (x=3-x) gives \(x=\frac{3}{2}\). Hence the intersection is (\left\(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right\)).
\(\frac{2}{x+1}\) का मान बड़े (|x|) पर (0) के पास जाता है। इसलिए ग्राफ (y=-3) के पास जाता है। / The term \(\frac{2}{x+1}\) approaches (0) for large (|x|). Hence the graph approaches (y=-3).
महत्तम पूर्णांक फलन (x) से कम या बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक देता है। इसलिए \(\lfloor 2.7 \rfloor=2\)। / The greatest integer function gives the largest integer less than or equal to (x). Hence \(\lfloor 2.7 \rfloor=2\).
महत्तम पूर्णांक फलन हर पूर्णांक पर अचानक बदलता है। इसलिए (x=3) पर छलांग मिलती है। / The greatest integer function changes suddenly at every integer. Therefore a jump occurs at (x=3).
साइनम ग्राफ अंदर की अभिव्यक्ति शून्य होने पर बदलता है। (x-2=0) से (x=2) मिलता है। / A signum graph changes when the inside expression becomes zero. From (x-2=0), we get (x=2).
A. यह मूल बिंदु के सापेक्ष सममित है/It is symmetric about the origin
Explanation
Simple Explanation
\(y=x^3\) विषम फलन है क्योंकि (f(-x)=-f(x))। विषम फलन का ग्राफ मूल बिंदु के सापेक्ष सममित होता है। / \(y=x^3\) is an odd function because (f(-x)=-f(x)). The graph of an odd function is symmetric about the origin.
पूर्ण वर्ग बनाने पर (y=(x-3)2+2) मिलता है। इसलिए शीर्ष (\left\(3,2\right\)) है। / Completing the square gives (y=(x-3)2+2). Therefore the vertex is (\left\(3,2\right\)).
A. यह (x)-अक्ष के समानांतर रेखा है/It is a line parallel to the (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
(y) का मान हर (x) के लिए (5) है। स्थिर फलन का ग्राफ क्षैतिज रेखा होता है। / The value of (y) is (5) for every (x). The graph of a constant function is a horizontal line.
जब (x>-1) हो तो (x) और (-1) में छोटा मान (-1) है। इसलिए ग्राफ (y=-1) है। / When (x>-1), the smaller value between (x) and (-1) is (-1). Hence the graph is (y=-1).
परवलय नीचे खुलता है और शीर्ष पर (y=9) है। इसलिए रेंज ( \(-\infty,9] \) है। / The parabola opens downward and its vertex has (y=9). Hence the range is ( \(-\infty,9] \).
A. यह (y)-अक्ष के सापेक्ष सममित है/It is symmetric about the (y)-axis
Explanation
Simple Explanation
(f(-x)=(-x)4=x-4=f(x)) है। इसलिए यह सम फलन है और (y)-अक्ष के सापेक्ष सममित है। / (f(-x)=(-x)4=x-4=f(x)). Therefore it is an even function and is symmetric about the (y)-axis.
A. यह (y)-अक्ष के सापेक्ष सममित है/It is symmetric about the (y)-axis
Explanation
Simple Explanation
(f(-x)=\frac{1}{(-x)2}=\frac{1}{x-2}) है। इसलिए ग्राफ (y)-अक्ष के सापेक्ष सममित है। / (f(-x)=\frac{1}{(-x)2}=\frac{1}{x-2}). Hence the graph is symmetric about the (y)-axis.
A. यह मूल बिंदु के सापेक्ष सममित है/It is symmetric about the origin
Explanation
Simple Explanation
(f(-x)=-\frac{1}{x}=-f(x)) है। इसलिए यह विषम फलन है और मूल बिंदु के सापेक्ष सममित है। / (f(-x)=-\frac{1}{x}=-f(x)). Therefore it is an odd function and symmetric about the origin.
A. (5) इकाई दाईं ओर खिसकाकर/By shifting (5) units right
Explanation
Simple Explanation
(x) की जगह (x-5) आने पर ग्राफ दाईं ओर (5) इकाई खिसकता है। क्षैतिज खिसकाव में संकेत उल्टा पढ़ें। / Replacing (x) by (x-5) shifts the graph (5) units right. In horizontal shift read the sign oppositely.
फलन के बाहर (+6) जुड़ने से सभी (y)-मान (6) बढ़ते हैं। इसलिए ग्राफ ऊपर जाता है। / Adding (+6) outside the function increases every (y)-value by (6). Hence the graph moves up.
A. (x)-अक्ष में परावर्तन/Reflection in the (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
फलन के बाहर ऋण चिह्न सभी (y)-मानों को ऋणात्मक कर देता है। इसलिए (x)-अक्ष में परावर्तन होता है। / A negative sign outside the function makes every (y)-value negative. So it is a reflection in the (x)-axis.
A. ऊर्ध्वाधर खिंचाव (2) गुना/Vertical stretch by factor (2)
Explanation
Simple Explanation
बाहर (2) से गुणा होने पर सभी (y)-मान दुगुने होते हैं। इसलिए ऊर्ध्वाधर खिंचाव होता है। / Multiplying outside by (2) doubles all (y)-values. So it is a vertical stretch.
A. क्षैतिज संपीड़न (2) गुना/Horizontal compression by factor (2)
Explanation
Simple Explanation
अंदर (2x) होने से ग्राफ (y)-अक्ष की ओर सिमटता है। यह क्षैतिज संपीड़न है। / Having (2x) inside makes the graph shrink toward the (y)-axis. This is horizontal compression.
A. (1) इकाई नीचे खिसकाकर/By shifting (1) unit down
Explanation
Simple Explanation
फलन के बाहर (-1) सभी (y)-मानों को (1) घटाता है। इसलिए ग्राफ नीचे खिसकता है। / The outside (-1) decreases every (y)-value by (1). Hence the graph shifts down.
A. (2) इकाई दाईं ओर खिसकाकर/By shifting (2) units right
Explanation
Simple Explanation
(x) की जगह (x-2) आने से ग्राफ दाईं ओर (2) इकाई जाता है। घन फलन में भी यही नियम लागू होता है। / Replacing (x) by (x-2) moves the graph (2) units right. The same rule applies to the cubic function.
(|x|>0) जब \(x\ne 0\) होता है और \(\frac{1}{|x|}\) हमेशा धनात्मक है। यह (0) को कभी नहीं लेता। / (|x|>0) when \(x\ne 0\), and \(\frac{1}{|x|}\) is always positive. It never becomes (0).
\(0\le x\le 4\) पर योग (x+(4-x)=4) स्थिर है। इसलिए ग्राफ क्षैतिज रहता है। / For \(0\le x\le 4\), the sum is (x+(4-x)=4), which is constant. Hence the graph is horizontal.
