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क्योंकि (n\(A\times B\)=3\times 2=6) और संबंधों की संख्या \(2^6=64\) होती है। परीक्षा में पहले \(A\times B\) के अवयव गिनें। / Since (n\(A\times B\)=3\times 2=6), the number of relations is \(2^6=64\). In exams, first count the elements of \(A\times B\).
(1+4=5) अभाज्य है इसलिए \((1,4)\in R\) है। ऐसे प्रश्नों में पहले शर्त के अनुसार योग जांचें। / Since (1+4=5) is prime, \((1,4)\in R\). In such questions, first check the sum according to the condition.
(A) पर संबंध \(A\times A\) का उपसमुच्चय होता है और (n\(A\times A\)=16) है। इसलिए कुल संबंध \(2^{16}\) होंगे। / A relation on (A) is a subset of \(A\times A\), and (n\(A\times A\)=16). Therefore total relations are \(2^{16}\).
((3,3)) के लिए \(3^2+3^2=18\) और \(18\leq 10\) असत्य है। परीक्षा में प्रत्येक विकल्प को शर्त में रखकर जांचें। / For ((3,3)), \(3^2+3^2=18\), and \(18\leq 10\) is false. In exams, substitute each option into the condition.
युग्म हैं ((1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4))। ऐसे प्रश्नों में शर्त के अनुसार युग्म व्यवस्थित लिखें। / The pairs are ((1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)). For such questions, list pairs systematically using the condition.
हर \(a\in A\) के लिए \((a,a)\in R\) है इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। सममितता के लिए ((2,1)) भी चाहिए था। / For every \(a\in A\), \((a,a)\in R\), so the relation is reflexive. Symmetry would also require ((2,1)).
हर \((a,b)\in R\) के साथ \((b,a)\in R\) भी है इसलिए यह सममित है। प्रतिवर्ती होने के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) चाहिए। / For every \((a,b)\in R\), \((b,a)\in R\) is also present, so it is symmetric. To be reflexive, it needs ((1,1),(2,2),(3,3)).
क्योंकि ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) भी संबंध में है इसलिए यह सकर्मक स्थिति दिखाता है। परीक्षा में मध्य अवयव मिलाकर जांचें। / Since ((1,2)) and ((2,3)) imply ((1,3)), the relation shows transitivity. In exams, check matching middle elements.
केवल ((a,a)) रूप के युग्म हैं इसलिए यह सर्वसम संबंध है। यह प्रतिवर्ती और सममित दोनों भी है। / Only pairs of the form ((a,a)) are present, so it is the identity relation. It is also reflexive and symmetric.
(4) संख्या (2) को विभाजित नहीं करती इसलिए \((4,2)\notin R\) है। विभाज्यता में पहले अवयव को भाजक मानें। / The number (4) does not divide (2), so \((4,2)\notin R\). In divisibility, treat the first element as the divisor.
परिसर दूसरे अवयवों का समुच्चय होता है और पुनरावृत्ति नहीं लिखी जाती। इसलिए परिसर ({1,3,7}) है। / The range is the set of second components, and repetitions are not written. Therefore the range is ({1,3,7}).
विलोम संबंध में हर क्रमित युग्म के अवयवों का स्थान बदल जाता है। इसलिए ((1,3)) से ((3,1)) बनेगा। / In the inverse relation, the components of each ordered pair are interchanged. Thus ((1,3)) becomes ((3,1)).
(A) के भीतर जिन युग्मों का योग (4) है वे ((1,3),(2,2),(3,1)) हैं। शर्त को दोनों क्रमों पर लागू करें। / The pairs in (A) whose sum is (4) are ((1,3),(2,2),(3,1)). Apply the condition to both orders.
((4,5)) में \(5\notin A\) है इसलिए यह \(A\times A\) का युग्म नहीं है। संबंध बनाते समय दोनों अवयव समुच्चय में होने चाहिए। / In ((4,5)), \(5\notin A\), so it is not a pair of \(A\times A\). While forming a relation, both components must belong to the set.
A. \(A\times B\) का कोई भी उपसमुच्चय/Any subset of \(A\times B\)
Explanation
Simple Explanation
(A) से (B) तक संबंध \(A\times B\) का कोई भी उपसमुच्चय होता है। यह मूल परिभाषा अक्सर सीधे पूछी जाती है। / A relation from (A) to (B) is any subset of \(A\times B\). This basic definition is often asked directly.
कुल संबंध \(2^{5\times 3}=2^{15}\) हैं और रिक्त संबंध हटाने पर \(2^{15}-1\) मिलते हैं। गैर रिक्त के लिए (1) घटाना न भूलें। / Total relations are \(2^{5\times 3}=2^{15}\), and removing the empty relation gives \(2^{15}-1\). For non-empty relations, remember to subtract (1).
\(\varnothing\) में कोई क्रमित युग्म नहीं होता इसलिए यह रिक्त संबंध है। \(A\neq\varnothing\) होने पर यह प्रतिवर्ती नहीं है। / There is no ordered pair in \(\varnothing\), so it is the empty relation. Since \(A\neq\varnothing\), it is not reflexive.
जब संबंध \(A\times A\) के सभी युग्मों को लेता है तो वह सार्वभौम संबंध होता है। इसमें हर संभव क्रमित युग्म होता है। / When a relation contains all pairs of \(A\times A\), it is the universal relation. It contains every possible ordered pair.
((4,2)) में \(4\geq 2\) सत्य है इसलिए यह (R) में है। असमानता में क्रम बदलने से उत्तर बदल सकता है। / In ((4,2)), \(4\geq 2\) is true, so it belongs to (R). In inequalities, changing the order can change the answer.
B. क्योंकि \((3,3)\notin R\)/Because \((3,3)\notin R\)
Explanation
Simple Explanation
किसी संबंध के प्रतिवर्ती होने के लिए समुच्चय के प्रत्येक \(a\) के लिए \((a,a)\in R\) होना आवश्यक है। यहाँ \((1,1)\) और \((2,2)\) तो \(R\) में हैं, लेकिन \((3,3)\) नहीं है; इसलिए संबंध प्रतिवर्ती नहीं है। विकल्प A और C में दिए गए युग्म प्रतिवर्तिता की शर्त नहीं हैं, क्योंकि उनमें दोनों अवयव समान नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: प्रतिवर्तिता जाँचने के लिए केवल \((a,a)\) प्रकार के युग्म देखें। / For a relation to be reflexive, \((a,a)\in R\) must hold for every element \(a\) of the set. Here \((1,1)\) and \((2,2)\) are in \(R\), but \((3,3)\) is missing, so the relation is not reflexive. The pairs in options A and C are not required for reflexivity because their two components are different. Exam tip: To test reflexivity, check only pairs of the form \((a,a)\) for every element of the set.
A. हर युग्म का उल्टा युग्म भी है/The reverse of every pair is also present
Explanation
Simple Explanation
((1,2)) के साथ ((2,1)) है और ((3,3)) अपना उल्टा स्वयं है। इसलिए संबंध सममित है। / The pair ((2,1)) is present with ((1,2)), and ((3,3)) is its own reverse. Therefore the relation is symmetric.
(6) संख्या (3) का गुणज है इसलिए \((6,3)\in R\) है। गुणज और भाजक की दिशा को ध्यान से पढ़ें। / The number (6) is a multiple of (3), so \((6,3)\in R\). Read the direction of multiple and divisor carefully.
युग्म हैं ((1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3))। निरपेक्ष मान में दोनों दिशाएं आती हैं। / The pairs are ((1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)). With absolute value, both directions are included.
(4+4=8) और \(8\leq 5\) असत्य है इसलिए \((4,4)\notin R\)। सीमा वाली शर्त में बराबरी भी जांचें। / Since (4+4=8) and \(8\leq 5\) is false, \((4,4)\notin R\). For boundary conditions, also check equality.
((1,1),(2,2),(3,3)) हैं इसलिए यह प्रतिवर्ती है और ((1,2)) का उल्टा ((2,1)) भी है। इसलिए यह सममित भी है। / It is reflexive because ((1,1),(2,2),(3,3)) are present, and symmetric because the reverse of ((1,2)) is ((2,1)). Hence it satisfies both.
A. क्योंकि \((1,3)\notin R\)/Because \((1,3)\notin R\)
Explanation
Simple Explanation
((1,2)) और ((2,3)) मौजूद हैं तो सकर्मकता के लिए ((1,3)) चाहिए। यह अनुपस्थित है इसलिए सकर्मकता असफल है। / Since ((1,2)) and ((2,3)) are present, transitivity requires ((1,3)). It is missing, so transitivity fails.
A. हाँ क्योंकि यह प्रतिवर्ती सममित और सकर्मक है/Yes because it is reflexive symmetric and transitive
Explanation
Simple Explanation
यह प्रतिवर्ती है और ((1,2),(2,1)) के उल्टे मौजूद हैं। साथ ही आवश्यक सकर्मक युग्म ((1,1),(2,2)) मौजूद हैं। / It is reflexive and the reverses of ((1,2),(2,1)) are present. The required transitive pairs ((1,1),(2,2)) are also present.
प्रतिवर्ती संबंध की यही पहचान है कि हर अवयव स्वयं से संबंधित हो। इस परिभाषा को सीधे याद रखें। / The key feature of a reflexive relation is that every element is related to itself. Remember this definition directly.
A. यदि \((a,b)\in R\Rightarrow (b,a)\in R\)/If \((a,b)\in R\Rightarrow (b,a)\in R\)
Explanation
Simple Explanation
सममितता में हर युग्म का उल्टा युग्म भी संबंध में होना चाहिए। विकल्पों में यही सही शर्त है। / In symmetry, the reverse of every pair must also be in the relation. This is the correct condition among the options.
A. यदि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\Rightarrow (a,c)\in R\)/If \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\Rightarrow (a,c)\in R\)
Explanation
Simple Explanation
सकर्मकता में दो जुड़े युग्मों से पहला और अंतिम अवयव जुड़ना चाहिए। इसलिए ((a,c)) की उपस्थिति जांचें। / In transitivity, two connected pairs must imply a pair between the first and last elements. Therefore check the presence of ((a,c)).
यदि (x+y=5) है तो (y+x=5) भी है इसलिए उल्टा युग्म भी आएगा। अतः संबंध सममित है। / If (x+y=5), then (y+x=5) also holds, so the reverse pair is included. Hence the relation is symmetric.
हर \(x\leq x\) है इसलिए प्रतिवर्ती है और \(x\leq y\leq z\) से \(x\leq z\) मिलता है। यह सामान्यतः सममित नहीं है। / Every \(x\leq x\), so it is reflexive, and \(x\leq y\leq z\) gives \(x\leq z\). It is generally not symmetric.
समुच्चय के सभी अवयव सम हैं इसलिए किसी भी दो अवयवों का अंतर (2) से विभाज्य है। अतः \(R=A\times A\) है। / All elements of the set are even, so the difference of any two elements is divisible by (2). Hence \(R=A\times A\).
\(1\cdot 3=3\) विषम है इसलिए \((1,3)\notin R\) है। गुणनफल सम तभी होगा जब कम से कम एक अवयव सम हो। / Since \(1\cdot 3=3\) is odd, \((1,3)\notin R\). A product is even when at least one component is even.
(|3-5|=2) और \(2\leq 2\) है इसलिए \((3,5)\in R\) है। निरपेक्ष अंतर में सीमा बराबर होने पर भी युग्म शामिल होता है। / Since (|3-5|=2) and \(2\leq 2\), \((3,5)\in R\). In absolute difference, equality with the bound is included.
(A) से (B) तक संबंध सदैव \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। क्रम महत्वपूर्ण है इसलिए \(B\times A\) अलग हो सकता है। / A relation from (A) to (B) is always a subset of \(A\times B\). Order matters, so \(B\times A\) can be different.
पहले अवयवों से प्रांत ({1,2}) और दूसरे अवयवों से परिसर ({2,3}) है। दोहराव हटाकर समुच्चय लिखें। / The first components give the domain ({1,2}), and the second components give the range ({2,3}). Write sets after removing repetitions.
A. क्योंकि यह सममित नहीं है/Because it is not symmetric
Explanation
Simple Explanation
\((1,2)\in R\) है लेकिन \((2,1)\notin R\) है इसलिए यह सममित नहीं है। तुल्यता के लिए प्रतिवर्ती सममित और सकर्मक तीनों चाहिए। / Here \((1,2)\in R\) but \((2,1)\notin R\), so it is not symmetric. Equivalence needs reflexive, symmetric, and transitive properties.
(A) में विषम अवयव (1) और (3) हैं इसलिए इन्हीं से सभी क्रमित युग्म बनेंगे। शर्त में दोनों अवयवों को जांचें। / The odd elements in (A) are (1) and (3), so all ordered pairs are formed from them. Check both components in the condition.
