बंद बिंदु ( -8 ) को शामिल करता है और खुला बिंदु ( 1 ) को हटाता है। सिरों के प्रकार से असमानता के चिन्ह तय करें। / The closed dot includes ( -8 ), and the open dot excludes ( 1 ). Decide inequality signs from endpoint types.
B. \( x\le 2 \), ( 2 ) पर बंद बिंदु और बाईं ओर छाया/\( x\le 2 \), closed dot at ( 2 ), shaded left
Explanation
Simple Explanation
ऋणात्मक ( -5 ) से गुणा करने पर चिन्ह पलटता है और \( 3x+4\le 10 \) मिलता है। इसलिए \( x\le 2 \) को बंद बिंदु के साथ दिखाएं। / Multiplying by negative ( -5 ) reverses the sign and gives \( 3x+4\le 10 \). Therefore show \( x\le 2 \) with a closed dot.
A. \(x>-2\): \(-2\) पर खुला बिंदु और दाईं ओर छायांकन/open circle at \(-2\) with shading to the right
Explanation
Simple Explanation
दिया है \(-6x+8<20\)। दोनों पक्षों से 8 घटाने पर \(-6x<12\) मिलता है। अब \(-6\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न पलट जाता है, अतः \(x>-2\)। क्योंकि असमानता कठोर है, इसलिए \(-2\) पर खुला बिंदु बनेगा और \(-2\) से बड़े मानों के लिए दाईं ओर छायांकन होगा। विकल्प C में दाईं दिशा सही है, लेकिन बंद बिंदु \(-2\) को शामिल करता है, जो गलत है। परीक्षा टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य पलटें। / Given \(-6x+8<20\), subtract 8 from both sides to get \(-6x<12\). Dividing by \(-6\) reverses the inequality sign, so \(x>-2\). Since the inequality is strict, \(-2\) is shown with an open circle, and values greater than \(-2\) are shaded to the right. Option C has the correct direction but wrongly includes \(-2\) with a closed circle. Exam tip: always reverse an inequality when multiplying or dividing by a negative number.
पहला भाग ( -1 ) से पहले तक है और दूसरा ( -1 ) को शामिल करके ( 6 ) से पहले तक जाता है। इसलिए मिलकर ( 6 ) से छोटी सभी संख्याएं मिलती हैं। / The first part goes before ( -1 ), and the second includes ( -1 ) and goes before ( 6 ). So together they give all numbers less than ( 6 ).
\( -4\le \frac{x-3}{2}<5 \) के तीनों भागों को धनात्मक संख्या \(2\) से गुणा करने पर \( -8\le x-3<10 \) मिलता है। अब तीनों भागों में \(3\) जोड़ने पर \( -5\le x<13 \) प्राप्त होता है। इसलिए \(-5\) शामिल है और \(13\) शामिल नहीं है, अतः अंतराल \(\boxed{[-5,13)}\) है। विकल्प A में दोनों सिरों का समावेश उलटा है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता के चिह्न नहीं बदलते। / Multiplying all three parts of \( -4\le \frac{x-3}{2}<5 \) by the positive number \(2\) gives \( -8\le x-3<10 \). Adding \(3\) throughout gives \( -5\le x<13 \). Thus, \(-5\) is included while \(13\) is excluded, so the interval is \(\boxed{[-5,13)}\). In option A, the inclusion of the endpoints is reversed. Exam tip: inequality signs do not reverse when multiplying or dividing by a positive number.
पहली असमानता से \( x\ge -4 \) और दूसरी से ( x<4 ) मिलता है। दोनों शर्तों का साझा भाग ( [-4,4) ) है। / The first inequality gives \( x\ge -4 \), and the second gives ( x<4 ). The common part of both conditions is ( [-4,4) ).
पूरक में ( -3 ) शामिल हो जाता है और ( 6 ) हट जाता है। पूरक लेते समय खुले और बंद सिरे बदल जाते हैं। / In the complement, ( -3 ) becomes included and ( 6 ) is excluded. Open and closed endpoints switch in a complement.
असमानता \(|x-6|<9\) का अर्थ है कि \(x\), 6 से 9 इकाई से कम दूरी पर है। अतः \(-9<x-6<9\) होगा। तीनों भागों में 6 जोड़ने पर \(-3<x<15\) मिलता है, इसलिए अंतराल \((-3,15)\) है। विकल्प \([-3,15]\) गलत है क्योंकि strict inequality \(<\) में सिरों \(-3\) और \(15\) को शामिल नहीं किया जाता। परीक्षा टिप: \(<\) या \(>\) के लिए खुले वृत्त और खुले interval brackets का प्रयोग करें। / The inequality \(|x-6|<9\) means that \(x\) is less than 9 units away from 6. Hence, \(-9<x-6<9\). Adding 6 to all three parts gives \(-3<x<15\), so the required interval is \((-3,15)\). Option \([-3,15]\) is incorrect because a strict inequality \(<\) does not include the endpoints \(-3\) and \(15\). Exam tip: Use open circles and open interval brackets for \(<\) or \(>\).
A. \( x\le -3 \) या \( x\ge 8 \)/\( x\le -3 \) or \( x\ge 8 \)
Explanation
Simple Explanation
\( |2x-5|\ge 11 \) से \( 2x-5\le -11 \) या \( 2x-5\ge 11 \) मिलता है। बराबरी होने से सीमा बिंदु बंद रहेंगे। / \( |2x-5|\ge 11 \) gives \( 2x-5\le -11 \) or \( 2x-5\ge 11 \). Since equality is included, boundary points are closed.
दोनों अंतरालों का साझा भाग \( -5\le x\le 2 \) है। प्रतिच्छेद में केवल समान छायांकित भाग रखें। / The common part of both intervals is \( -5\le x\le 2 \). In an intersection, keep only the commonly shaded region.
हटाए गए भाग में ( -1 ) शामिल है पर ( 4 ) शामिल नहीं है। इसलिए ( -1 ) हटेगा और ( 4 ) बच जाएगा। / The removed part includes ( -1 ) but excludes ( 4 ). Therefore ( -1 ) is removed and ( 4 ) remains.
कोई संख्या एक साथ ( 3 ) से बड़ी या बराबर और ( 3 ) से छोटी नहीं हो सकती। ( और ) में प्रतिच्छेद रिक्त होता है। / No number can be both greater than or equal to ( 3 ) and less than ( 3 ). For AND, the intersection is empty.
C. ( -2 ) बंद बिंदु बाईं ओर और ( 10 ) खुला बिंदु दाईं ओर/Closed at ( -2 ) shaded left and open at ( 10 ) shaded right
Explanation
Simple Explanation
\( x\le -2 \) में ( -2 ) बंद है और ( x>10 ) में ( 10 ) खुला है। ( या ) में अलग भागों का संघ बनता है। \(/ In ( x\le -2 ), ( -2 ) is closed, and in ( x>10 ), ( 10 ) is open. OR forms the union of separate parts.\)
पहला भाग ( -9 ) से छोटे मान और दूसरा ( -9 ) सहित बड़े मान देता है। दोनों मिलकर पूरी संख्या रेखा बनाते हैं। / The first part gives values less than ( -9 ), and the second gives ( -9 ) and larger values. Together they form the whole number line.
पहला अंतराल ( 4 ) को शामिल करता है और दूसरा ( 4 ) के बाद शुरू होता है। मिलकर छाया \( 1<x\le 12 \) बनती है। / The first interval includes ( 4 ), and the second begins after ( 4 ). Together they form \( 1<x\le 12 \).
C. ( x>7 ), ( 7 ) पर खुला बिंदु और दाईं ओर छाया/( x>7 ), open at ( 7 ), shaded right
Explanation
Simple Explanation
( -4 ) से गुणा करने पर चिन्ह पलटकर ( 13-3x<-8 ) मिलता है। फिर ( -3x<-21 ) से ( x>7 ) मिलता है। / Multiplying by ( -4 ) reverses the sign and gives ( 13-3x<-8 ). Then ( -3x<-21 ) gives ( x>7 ).
किस विकल्प में उस संख्या-रेखा आलेख का समाधान समुच्चय दिया गया है जिसमें \(-1\) पर खुला वृत्त, \(4\) पर भरा वृत्त है तथा \(-1\) के बाएँ और \(4\) के दाएँ भाग छायांकित हैं?
\(-1\) पर खुला वृत्त दर्शाता है कि \(-1\) समाधान में शामिल नहीं है, इसलिए बायाँ भाग \(( -\infty,-1)\) होगा। \(4\) पर भरा वृत्त बताता है कि \(4\) शामिल है, इसलिए दायाँ भाग \([4,\infty)\) होगा। दोनों छायांकित भाग अलग-अलग किरणें हैं, अतः उन्हें यूनियन \(\cup\) से जोड़ा जाता है। विकल्प B में दोनों सिरों की समावेशन-स्थिति उलट गई है। परीक्षा टिप: खुला वृत्त हमेशा गोल कोष्ठक और भरा वृत्त हमेशा वर्ग कोष्ठक से दर्शाया जाता है। / An open circle at \(-1\) means that \(-1\) is excluded, so the left ray is \(( -\infty,-1)\). A filled circle at \(4\) means that \(4\) is included, so the right ray is \([4,\infty)\). Since the shaded parts are two separate rays, they are joined using union, \(\cup\). Option B reverses the inclusion of both endpoints. Exam tip: use a round bracket for an open circle and a square bracket for a filled circle.
हल करने पर \( 3\le 3x<18 \), इसलिए \( 1\le x<6 \) मिलता है। बाईं सीमा बंद और दाईं सीमा खुली रहेगी। / Solving gives \( 3\le 3x<18 \), so \( 1\le x<6 \). The left endpoint is closed and the right endpoint is open.
पहला अंतराल ( 5 ) से पहले रुकता है और दूसरा ( 5 ) के बाद शुरू होता है। इसलिए दोनों में कोई साझा भाग नहीं है। / The first interval stops before ( 5 ), and the second begins after ( 5 ). Therefore, there is no common part.
A. सिर्फ ( -4 ) पर बंद बिंदु/Only a closed dot at ( -4 )
Explanation
Simple Explanation
परम मान ( 0 ) से छोटा नहीं हो सकता और ( |x+4|=0 ) पर ( x=-4 ) मिलता है। इसलिए केवल एक बंद बिंदु बनेगा। / Absolute value cannot be less than ( 0 ), and ( |x+4|=0 ) gives ( x=-4 ). So only one closed dot appears.
B. पूरी संख्या रेखा पर छाया और ( 2 ) पर खुला छेद/Whole number line shaded with an open hole at ( 2 )
Explanation
Simple Explanation
\( x\ne 2 \) में ( 2 ) छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएं आती हैं। हटाए गए बिंदु को खुले छेद से दिखाएं। / \( x\ne 2 \) includes all real numbers except ( 2 ). Show the removed point by an open hole.
A. 2 पर खुला सिरा, 8 पर बंद सिरा और 5 पर खुला छेद/An open endpoint at 2, a closed endpoint at 8, and an open hole at 5
Explanation
Simple Explanation
अंतराल \((2,8]\) में 2 शामिल नहीं है, इसलिए 2 पर खुला सिरा होगा; 8 शामिल है, इसलिए 8 पर बंद सिरा होगा। \(\setminus\{5\}\) का अर्थ है कि 5 को अंतराल से हटा दिया गया है, इसलिए 5 पर खुला छेद दिखाया जाएगा। अतः विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: कोष्ठक \(()\) खुले सिरे और वर्ग कोष्ठक \([]\) बंद सिरे को दर्शाते हैं। / In the interval \((2,8]\), 2 is excluded, so it has an open endpoint, while 8 is included, so it has a closed endpoint. The notation \(\setminus\{5\}\) removes 5 from the interval, so an open hole must be marked at 5. Therefore, option A is correct. Exam tip: round brackets indicate open endpoints, whereas square brackets indicate closed endpoints.
B. \( x\le -3 \) या ( x>10 )/\( x\le -3 \) or ( x>10 )
Explanation
Simple Explanation
पहली असमानता से \( x\le -3 \) और दूसरी से ( x>10 ) मिलता है। ( या ) में दोनों भागों का संघ लें। \(/ The first inequality gives ( x\le -3 ), and the second gives ( x>10 ). For OR, take the union of both parts.\)
पहली असमानता से ( x>3 ) और दूसरी से \( x\le 7 \) मिलता है। दोनों शर्तों के लिए साझा भाग \( 3<x\le 7 \) है। / The first inequality gives ( x>3 ), and the second gives \( x\le 7 \). For both conditions, the common part is \( 3<x\le 7 \).
A. पूरी संख्या रेखा पर छाया और ( 0 ) पर खुला छेद/Whole number line shaded with an open hole at ( 0 )
Explanation
Simple Explanation
दोनों अंतराल ( 0 ) को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएं देते हैं। बीच का खुला छेद हटे हुए बिंदु को दिखाता है। / The two intervals give all real numbers except ( 0 ). The open hole in the middle shows the removed point.
C. \( x\ge -15 \), ( -15 ) पर बंद बिंदु और दाईं ओर छाया/\( x\ge -15 \), closed at ( -15 ), shaded right
Explanation
Simple Explanation
धनात्मक ( 4 ) से गुणा करने पर \( x+7\ge -8 \) मिलता है। इसलिए \( x\ge -15 \) और बिंदु बंद होगा। / Multiplying by positive ( 4 ) gives \( x+7\ge -8 \). Thus \( x\ge -15 \), and the dot is closed.
दोनों ओर वर्ग कोष्ठक हैं इसलिए दोनों सीमा मान शामिल हैं। शामिल सीमा को बंद बिंदु से दिखाते हैं। / Both sides have square brackets, so both boundary values are included. Included boundaries are shown by closed dots.
पहला अंतराल ( 2 ) को शामिल नहीं करता और दूसरा ( 2 ) से शुरू होता है। इसलिए कोई साझा बिंदु नहीं है। / The first interval does not include ( 2 ), and the second starts at ( 2 ). Therefore, there is no common point.
C. सिर्फ ( 3 ) पर बंद बिंदु/Only a closed dot at ( 3 )
Explanation
Simple Explanation
दोनों अंतरालों में केवल ( 3 ) साझा है और दोनों में ( 3 ) शामिल है। इसलिए एक बंद बिंदु बनेगा। / The only common point in both intervals is ( 3 ), and ( 3 ) is included in both. Therefore, one closed dot appears.
दिए गए संघ का पूरक ( -1 ) से छोटे मान और ( 4 ) से बड़े पर ( 9 ) तक के मान देता है। ( 9 ) बचता है क्योंकि दूसरा भाग ( 9 ) को शामिल नहीं करता। / The complement of the given union gives values less than ( -1 ) and values greater than ( 4 ) up to ( 9 ). The point ( 9 ) remains because the second part excludes ( 9 ).
C. \( x\ge 3 \), ( 3 ) पर बंद बिंदु और दाईं ओर छाया/\( x\ge 3 \), closed at ( 3 ), shaded right
Explanation
Simple Explanation
सरलीकरण से \( 9-6x\le -9 \), इसलिए \( -6x\le -18 \) और \( x\ge 3 \) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देने पर चिन्ह पलटें। / Simplifying gives \( 9-6x\le -9 \), so \( -6x\le -18 \) and \( x\ge 3 \). Reverse the sign when dividing by a negative.
गोल कोष्ठक \( \frac{1}{4} \) को हटाता है और दाईं ओर तीर बड़े मान देता है। इसलिए \( x>\frac{1}{4} \) होगा। / The round bracket excludes \( \frac{1}{4} \), and the rightward arrow gives larger values. Therefore \( x>\frac{1}{4} \).
भरा हुआ वृत्त बताता है कि सीमा-बिंदु हल-समुच्चय में शामिल है; यह \(\le\) या \(\ge\) के लिए बनता है। खुला वृत्त \(<\) या \(>\) में बनता है। परीक्षा में पहले समानता-चिह्न अवश्य देखें। / A filled circle shows that the boundary point belongs to the solution set, so it is used with \(\le\) or \(\ge\). An open circle is used for \(<\) or \(>\). Exam tip: check for equality before drawing the endpoint.
हटाए गए भाग में ( 1 ) शामिल नहीं है लेकिन ( 6 ) शामिल है। इसलिए ( 1 ) तक का बायां भाग बचता है। / The removed part does not include ( 1 ) but includes ( 6 ). Therefore the left part up to ( 1 ) remains.
\( |x-1|\le 3 \) से \( -2\le x\le 4 \) मिलता है। पूर्णांक समाधान में इसी अंतराल के सभी पूर्णांक बिंदु लें। / \( |x-1|\le 3 \) gives \( -2\le x\le 4 \). For integer solutions, take all integer points in this interval.
बंद अंतराल [2,2] में केवल संख्या 2 ही सम्मिलित है, क्योंकि दोनों सिरों का मान 2 है। सम्मिलित मान को संख्या रेखा पर बंद बिंदु से दिखाया जाता है, इसलिए 2 पर बंद बिंदु सही है। खुला बिंदु 2 को सम्मिलित नहीं दर्शाता। परीक्षा-युक्ति: [a,a] हमेशा केवल a का एकल समुच्चय दर्शाता है। / The closed interval [2,2] contains only the number 2 because both endpoints are 2. An included endpoint is represented by a closed dot, so the correct representation is a closed dot at 2. An open dot would indicate that 2 is excluded. Exam tip: [a,a] always represents the singleton set containing only a.
A. ( x>5 ), ( 5 ) पर खुला बिंदु और दाईं ओर छाया/( x>5 ), open at ( 5 ), shaded right
Explanation
Simple Explanation
सरलीकरण से ( 4x+4>2x+14 ), इसलिए ( 2x>10 ) और ( x>5 ) मिलता है। सख्त चिन्ह में बिंदु खुला रहता है। / Simplifying gives ( 4x+4>2x+14 ), so ( 2x>10 ) and ( x>5 ). With a strict sign, the dot remains open.
A. \(-1\) पर भरा बिंदु, 1 पर खुला बिंदु तथा उनके बीच छायांकन/Closed circle at \(-1\), open circle at 1, and shading between them
Explanation
Simple Explanation
असमता को दो भागों में हल करें। \(-2<3-5x\) से \(-5<-5x\) मिलता है; ऋणात्मक संख्या \(-5\) से भाग देने पर असमता का चिह्न पलटता है, इसलिए \(x<1\)। इसी प्रकार \(3-5x\le8\) से \(-5x\le5\), अतः \(x\ge-1\)। दोनों शर्तों को मिलाने पर \(-1\le x<1\) मिलता है। इसलिए \(-1\) शामिल है, जबकि 1 शामिल नहीं है। विकल्प B में दोनों सिरों की शामिल/बहिष्कृत स्थिति उलट दी गई है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमता का चिह्न अवश्य पलटें। / Solve the double inequality in two parts. From \(-2<3-5x\), we get \(-5<-5x\); dividing by the negative number \(-5\) reverses the sign, giving \(x<1\). From \(3-5x\le8\), we get \(-5x\le5\), so \(x\ge-1\). Combining both conditions gives \(-1\le x<1\). Hence, \(-1\) is included but 1 is excluded. Option B reverses the inclusion of the two endpoints. Exam tip: always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
दोनों चिन्ह सख्त ( < ) हैं इसलिए दोनों सीमा मान शामिल नहीं होंगे। सख्त असमानता में खुला बिंदु लगाएं। / Both signs are strict ( < ), so both boundary values are excluded. Use open dots for strict inequalities.
C. \( x\ge \frac{19}{2} \), \( \frac{19}{2} \) पर बंद बिंदु और दाईं ओर छाया/\( x\ge \frac{19}{2} \), closed at \( \frac{19}{2} \), shaded right
Explanation
Simple Explanation
तीन से गुणा करने पर \( 18\le 2x-1 \), इसलिए \( x\ge \frac{19}{2} \) मिलता है। \( \le \) में सीमा बिंदु शामिल होता है। / Multiplying by ( 3 ) gives \( 18\le 2x-1 \), so \( x\ge \frac{19}{2} \). The \( \le \) sign includes the boundary point.
दोनों अंतराल ( 5 ) पर मिलते हैं और ( 5 ) शामिल है। इसलिए लगातार छाया ( [-2,8) ) बनती है। / The two intervals meet at ( 5 ), and ( 5 ) is included. Therefore the continuous shading is ( [-2,8) ).
कोई वास्तविक संख्या एक साथ ( 2 ) से छोटी और ( 8 ) से बड़ी नहीं हो सकती। ( और ) में साझा भाग लेना होता है। / No real number can be less than ( 2 ) and greater than ( 8 ) at the same time. For AND, take the common part.
C. \(x\ge 14\), \(14\) पर बंद बिंदु और दाईं ओर छाया/\(x\ge 14\), closed at \(14\), shaded right
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{x-2}{-3}\le -4\) में दोनों पक्षों को \(-3\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न पलटता है: \(x-2\ge 12\)। अतः \(x\ge 14\) मिलता है। इसलिए \(14\) पर बंद बिंदु होगा और छायांकन दाईं ओर होगा। विकल्प A में चिह्न न पलटने की गलती है। परीक्षा टिप: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय चिह्न अवश्य पलटें। / In \(\frac{x-2}{-3}\le -4\), multiplying both sides by \(-3\) reverses the inequality sign: \(x-2\ge 12\). Hence, \(x\ge 14\). Therefore, the number line has a closed point at \(14\) and shading to the right. Option A incorrectly fails to reverse the inequality sign. Exam tip: always reverse an inequality when multiplying or dividing by a negative number.
C. अनंत कभी भी हल-समुच्चय का सदस्य नहीं होता; इसलिए अनंत तक जाने वाले अंतराल में उसके साथ हमेशा साधारण कोष्ठक लगाया जाता है/Infinity is never a member of a solution set; therefore, an interval extending to infinity always uses a parenthesis at infinity
Explanation
Simple Explanation
\(\infty\) और \(-\infty\) वास्तविक संख्याएँ नहीं हैं, इसलिए इन्हें किसी अंतराल में शामिल नहीं किया जा सकता। अतः \((3,\infty)\) तथा \(( -\infty, 3]\) जैसे अंतरालों में अनंत के साथ हमेशा साधारण कोष्ठक प्रयुक्त होता है। वर्ग कोष्ठक केवल किसी वास्तविक अंतिम बिंदु के शामिल होने को दर्शाता है, इसलिए विकल्प A और B गलत हैं। परीक्षा टिप: अनंत दिखते ही उसके पास हमेशा साधारण कोष्ठक लगाइए। / \(\infty\) and \(-\infty\) are not real numbers, so they cannot be included as members of an interval. Hence, intervals such as \((3,\infty)\) and \(( -\infty, 3]\) always use a parenthesis at infinity. A square bracket is used only when a real endpoint is included, so options A and B are incorrect. Exam tip: whenever infinity appears in interval notation, use a parenthesis next to it.
बाईं ओर छाया छोटे मान दिखाती है और खुला बिंदु बराबरी को हटाता है। इसलिए ( x<-12 ) सही है। / Left shading shows smaller values, and an open dot excludes equality. Therefore ( x<-12 ) is correct.
A. ( x<-8 ), ( -8 ) पर खुला बिंदु और बाईं ओर छाया/( x<-8 ), open at ( -8 ), shaded left
Explanation
Simple Explanation
सरलीकरण से ( -10+2x>4x+6 ), इसलिए ( -16>2x ) और ( x<-8 ) मिलता है। सख्त असमानता में सीमा बिंदु खुला रहता है। / Simplifying gives ( -10+2x>4x+6 ), so ( -16>2x ) and ( x<-8 ). In a strict inequality, the boundary point remains open.
