खुला बिंदु ( -6 ) को हटाता है और बंद बिंदु ( 2 ) को शामिल करता है। परीक्षा में पहले सिरों के खुले या बंद होने को पहचानें। / The open dot excludes ( -6 ), and the closed dot includes ( 2 ). In exams, first identify whether endpoints are open or closed.
खुला बिंदु ( -1 ) को हटाता है और बंद बिंदु ( 9 ) को शामिल करता है। परीक्षा में पहले दोनों सिरों के प्रकार पहचानें। / The open dot excludes ( -1 ), and the closed dot includes ( 9 ). In exams, first identify the type of both endpoints.
B. \( x\le 2 \), ( 2 ) पर बंद बिंदु और बाईं ओर छाया/\( x\le 2 \), closed dot at ( 2 ), shaded left
Explanation
Simple Explanation
( -2 ) से गुणा करने पर चिन्ह पलटता है और \( x\le 2 \) मिलता है। ऋणात्मक से गुणा या भाग करते समय चिन्ह बदलें। / Multiplying by ( -2 ) reverses the sign and gives \( x\le 2 \). Reverse the sign when multiplying or dividing by a negative number.
B. \(5\) पर बंद बिंदु और दाईं ओर छाया/Closed dot at \(5\), shaded right
Explanation
Simple Explanation
असमानता \(4x-11\ge 9\) में दोनों पक्षों में \(11\) जोड़ने पर \(4x\ge 20\) मिलता है। \(4\) से भाग देने पर \(x\ge 5\) प्राप्त होता है। इसलिए \(5\) समाधान में शामिल है, अतः वहाँ बंद बिंदु बनेगा और \(5\) से बड़े मानों के लिए दाईं ओर छाया होगी। विकल्प A में खुला बिंदु \(x>5\) को दर्शाता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: \(\ge\) या \(\le\) के लिए बंद बिंदु तथा \(>\) या \(<\) के लिए खुला बिंदु बनाइए। / Adding \(11\) to both sides of \(4x-11\ge 9\) gives \(4x\ge 20\). Dividing by \(4\) gives \(x\ge 5\). Thus, \(5\) is included in the solution, so the point at \(5\) is closed and the shading extends to the right for values greater than \(5\). Option A represents \(x>5\) because it has an open dot, so it is incorrect. Exam tip: use a closed dot for \(\ge\) or \(\le\), and an open dot for \(>\) or \(<\).
A. \( x\le -3 \), ( -3 ) पर बंद बिंदु और बाईं ओर छाया/\( x\le -3 \), closed at ( -3 ), shaded left
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर \( -4x\ge 12 \), इसलिए \( x\le -3 \) मिलता है। ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह पलटता है। / Solving gives \( -4x\ge 12 \), so \( x\le -3 \). Dividing by a negative number reverses the sign.
दोनों अंतरालों का साझा भाग \( -4<x\le 1 \) है। प्रतिच्छेद में केवल दोनों में आने वाला भाग रखें। / The common part of both intervals is \( -4<x\le 1 \). In an intersection, keep only the part present in both intervals.
( |x+2|>3 ) से ( x+2<-3 ) या ( x+2>3 ) मिलता है। सख्त असमानता में सीमा बिंदु खुले रहते हैं। / ( |x+2|>3 ) gives ( x+2<-3 ) or ( x+2>3 ). Boundary points stay open in a strict inequality.
( -3 ) शामिल है और ( 4 ) शामिल नहीं है। पूर्णांक समाधान में लगातार छाया के बजाय अलग बिंदु चिन्हित करें। / ( -3 ) is included and ( 4 ) is excluded. For integer solutions, mark separate points instead of a continuous shade.
\( \frac{1}{2} \) और \( \frac{11}{2} \) के बीच पूर्णांक ( 1 ) से ( 5 ) तक हैं। पूर्णांक समाधान में केवल अलग-अलग बिंदु चिन्हित करें। / The integers between \( \frac{1}{2} \) and \( \frac{11}{2} \) are from ( 1 ) to ( 5 ). For integer solutions, mark only separate points.
पूरक में ( -1 ) शामिल हो जाता है और ( 7 ) हट जाता है। पूरक लेते समय खुले और बंद सिरे बदल जाते हैं। / In the complement, ( -1 ) becomes included and ( 7 ) is excluded. Open and closed endpoints switch when taking complements.
दिए गए अंतराल में ( 2 ) शामिल है और ( 11 ) शामिल नहीं है। पूरक में ( 2 ) हटेगा और ( 11 ) शामिल होगा। / The given interval includes ( 2 ) and excludes ( 11 ). In the complement, ( 2 ) is removed and ( 11 ) is included.
C. \( x\le -4 \) या ( x>3 )/\( x\le -4 \) or ( x>3 )
Explanation
Simple Explanation
पहला भाग \( x\le -4 \) और दूसरा भाग ( x>3 ) है। अलग-अलग छायांकित भाग सामान्यतः ( या ) से जुड़ते हैं। \(/ The first part is ( x\le -4 ), and the second is ( x>3 ). Separate shaded parts are usually joined by OR.\)
संख्या रेखा पर \(-2\) पर भरा हुआ बिंदु और \(4\) पर खोखला बिंदु है। छायांकित भाग \(-2\) के बाईं ओर तथा \(4\) के दाईं ओर है। यह किस अंतराल-संघ को दर्शाता है?
भरा हुआ बिंदु \(-2\) को समाधान में शामिल करता है, इसलिए वहाँ वर्ग कोष्ठक \(]\) लगेगा। \(4\) पर खोखला बिंदु होने से \(4\) शामिल नहीं है, इसलिए वहाँ गोल कोष्ठक \(()\) लगेगा। चूँकि छायांकन दोनों बाहरी भागों में है, समाधान \(( -\infty,-2]\cup(4,\infty)\) होगा। विकल्प C में \(-2\) और \(4\) के शामिल होने की स्थिति उलट दी गई है। परीक्षा टिप: भरा बिंदु ‘शामिल’ और खोखला बिंदु ‘शामिल नहीं’ दर्शाता है। / A filled point includes \(-2\), so a square bracket is used at \(-2\). A hollow point excludes \(4\), so a parenthesis is used at \(4\). Since the shading is in the two outer rays, the solution is \(( -\infty,-2]\cup(4,\infty)\). Option C reverses the inclusion status of \(-2\) and \(4\). Exam tip: a filled point means included, while a hollow point means excluded.
\([2,\infty)\) में 2 शामिल है, इसलिए 2 लघुत्तम अवयव है। यह दाईं ओर अनन्त तक बढ़ता है, अतः कोई महत्तम अवयव नहीं है। परीक्षा टिप: वर्ग कोष्ठक उस सिरे के शामिल होने को दर्शाता है। / In \([2,\infty)\), 2 is included, so it is the least element. The interval extends indefinitely to the right, so no greatest element exists. Exam tip: a square bracket means that endpoint is included.
D. \( x\le -\frac{8}{3} \) या \( x\ge 4 \)/\( x\le -\frac{8}{3} \) or \( x\ge 4 \)
Explanation
Simple Explanation
\( |3x-2|\ge 10 \) से \( 3x-2\le -10 \) या \( 3x-2\ge 10 \) मिलता है। बराबरी होने से दोनों सीमा बिंदु बंद रहेंगे। / \( |3x-2|\ge 10 \) gives \( 3x-2\le -10 \) or \( 3x-2\ge 10 \). Because equality is included, both boundary points are closed.
\( |x-4|\le 6 \) से \( -6\le x-4\le 6 \) मिलता है। इसलिए दोनों सिरे शामिल होकर ( [-2,10] ) बनते हैं। / \( |x-4|\le 6 \) gives \( -6\le x-4\le 6 \). Hence both endpoints are included and the interval is ( [-2,10] ).
दोनों अंतरालों का साझा भाग \( -3\le x<4 \) है। प्रतिच्छेद में केवल समान छायांकित भाग रखें। / The common part of both intervals is \( -3\le x<4 \). In an intersection, keep only the commonly shaded region.
( |2x+1|>7 ) से ( 2x+1<-7 ) या ( 2x+1>7 ) मिलता है। सख्त चिन्ह के कारण ( -4 ) और ( 3 ) खुले रहेंगे। / ( |2x+1|>7 ) gives ( 2x+1<-7 ) or ( 2x+1>7 ). Because the sign is strict, ( -4 ) and ( 3 ) remain open.
हटाए गए भाग में ( -2 ) शामिल नहीं है पर ( 3 ) शामिल है। इसलिए ( -2 ) बचता है और ( 3 ) हट जाता है। / The removed part excludes ( -2 ) but includes ( 3 ). Therefore ( -2 ) remains and ( 3 ) is removed.
पहली असमानता से ( x<6 ) और दूसरी से \( x\ge -2 \) मिलता है। दोनों शर्तों के लिए साझा भाग ( [-2,6) ) है। / The first inequality gives ( x<6 ), and the second gives \( x\ge -2 \). For both conditions, the common part is ( [-2,6) ).
कोई संख्या एक साथ ( 0 ) से छोटी या बराबर और ( 0 ) से बड़ी नहीं हो सकती। ( और ) में प्रतिच्छेद रिक्त होता है। / No number can be both less than or equal to ( 0 ) and greater than ( 0 ). For AND, the intersection is empty.
\(-3 < x < 4\) में \(x\), \(-3\) और \(4\) के बीच के सभी मान लेता है, लेकिन दोनों सिरों को शामिल नहीं करता। इसलिए संख्या रेखा पर \(-3\) और \(4\) पर खुले वृत्त बनते हैं तथा उनके बीच का भाग छायांकित होता है; यह एक सीमित खुला अंतराल है। विकल्प B में दोनों सिरे शामिल हैं, इसलिए वह बंद अंतराल है। परीक्षा टिप: ‘<’ या ‘>’ के लिए खुला वृत्त और ‘≤’ या ‘≥’ के लिए भरा हुआ वृत्त बनाइए। / In \(-3 < x < 4\), x takes all values between \(-3\) and \(4\), but neither endpoint is included. Hence, the number line has open circles at \(-3\) and \(4\), with the segment between them shaded; this is a bounded open interval. Option B includes both endpoints, so it represents a closed interval. Exam tip: Use an open circle for ‘<’ or ‘>’ and a filled circle for ‘≤’ or ‘≥’.
हल करने पर \( -18\le -3x<-3 \) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देने पर \( 6\ge x>1 \), यानी \( 1<x\le 6 \) होगा। / Solving gives \( -18\le -3x<-3 \). Dividing by a negative gives \( 6\ge x>1 \), that is \( 1<x\le 6 \).
कोई संख्या एक साथ ( 4 ) से बड़ी और ( 4 ) से छोटी या बराबर नहीं हो सकती। ( और ) में प्रतिच्छेद रिक्त है। / No number can be both greater than ( 4 ) and less than or equal to ( 4 ). For AND, the intersection is empty.
दोनों अंतराल मिलकर ( -5 ) सहित पूरी संख्या रेखा को ढकते हैं। संघ में सभी छायांकित भाग शामिल होते हैं। / Together the two intervals cover the entire number line including ( -5 ). A union includes all shaded parts.
B. सिर्फ \(-3\) पर बंद बिंदु/Only a closed dot at \(-3\)
Explanation
Simple Explanation
प्रतिच्छेद में वही मान आते हैं जो दोनों असमानताओं को एक साथ संतुष्ट करें। \(x\le -3\) और \(x\ge -3\) दोनों केवल \(x=-3\) के लिए सत्य हैं। इसलिए संख्या रेखा पर \(-3\) पर बंद बिंदु बनेगा। विकल्प A में \(-3\) से छोटे सभी मान और विकल्प C में \(-3\) से बड़े सभी मान भी शामिल हैं, इसलिए वे प्रतिच्छेद नहीं हैं। परीक्षा टिप: विपरीत दिशा वाली असमानताओं में समान सीमा होने पर उत्तर अक्सर उसी सीमा का एकल बिंदु होता है। / An intersection contains only values that satisfy both inequalities at the same time. Both \(x\le -3\) and \(x\ge -3\) are true only for \(x=-3\). Hence, the number line shows a closed dot at \(-3\). Option A includes values less than \(-3\), and option C includes values greater than \(-3\), so neither represents the intersection. Exam tip: When opposite inequalities have the same boundary value, the intersection is often that single boundary point.
पहला अंतराल ( 5 ) से पहले तक जाता है और दूसरा ( 5 ) को शामिल करता है। मिलकर छाया ( -2 ) से ( 12 ) तक खुले सिरों के साथ बनती है। / The first interval reaches up to before ( 5 ), and the second includes ( 5 ). Together they form shading from ( -2 ) to ( 12 ) with open endpoints.
C. \( \frac{5}{3} \) पर खुला बिंदु और बाईं ओर छाया/Open dot at \( \frac{5}{3} \), shaded left
Explanation
Simple Explanation
गोल कोष्ठक \( \frac{5}{3} \) को हटाता है और \( -\infty \) बाईं दिशा बताता है। अनंत पर कभी बंद बिंदु नहीं लगाया जाता। / The round bracket excludes \( \frac{5}{3} \), and \( -\infty \) indicates the left direction. Infinity never gets a closed endpoint.
B. ( x>7 ), ( 7 ) पर खुला बिंदु और दाईं ओर छाया/( x>7 ), open at ( 7 ), shaded right
Explanation
Simple Explanation
( -5 ) से गुणा करने पर चिन्ह पलटकर ( 9-2x>-5 ) मिलता है। फिर ( -2x>-14 ) से ( x<7 ) मिलता है। / Multiplying by ( -5 ) reverses the sign and gives ( 9-2x>-5 ). Then ( -2x>-14 ) gives ( x<7 ).
A. \( -\frac{7}{4} \) बंद और \( \frac{1}{2} \) खुला/\( -\frac{7}{4} \) closed and \( \frac{1}{2} \) open
Explanation
Simple Explanation
\( \le \) वाला सिरा बंद और ( < ) वाला सिरा खुला होता है। भिन्नों को भी संख्या रेखा पर क्रम से रखें। / The endpoint with \( \le \) is closed and the endpoint with ( < ) is open. Place fractions in order on the number line.
A. \( -\frac{5}{3} \) बंद और \( \frac{4}{3} \) खुला/\( -\frac{5}{3} \) closed and \( \frac{4}{3} \) open
Explanation
Simple Explanation
वर्ग कोष्ठक \( -\frac{5}{3} \) को शामिल करता है और गोल कोष्ठक \( \frac{4}{3} \) को हटाता है। भिन्न सिरों पर भी वही नियम लागू होता है। / The square bracket includes \( -\frac{5}{3} \), and the round bracket excludes \( \frac{4}{3} \). The same rule applies to fractional endpoints.
A. ( x>2 ), ( 2 ) पर खुला बिंदु और दाईं ओर छाया/( x>2 ), open at ( 2 ), shaded right
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर ( -3x<-6 ), इसलिए ( x>2 ) मिलता है। ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिन्ह बदलें। / Solving gives ( -3x<-6 ), so ( x>2 ). Reverse the inequality sign when dividing by a negative number.
हल करने पर \( 6<2x\le 12 \), इसलिए \( 3<x\le 6 \) मिलता है। सख्त सिरा खुला और बराबरी वाला सिरा बंद रखें। / Solving gives \( 6<2x\le 12 \), so \( 3<x\le 6 \). Keep the strict endpoint open and the equality endpoint closed.
दोनों सिरे खुले हैं इसलिए दोनों ओर गोल कोष्ठक लगते हैं। खुले बिंदु सीमा मान को शामिल नहीं करते। / Both endpoints are open, so round brackets are used on both sides. Open dots do not include boundary values.
पहला अंतराल ( 4 ) से पहले रुकता है और दूसरा ( 4 ) के बाद शुरू होता है। इसलिए दोनों में कोई साझा भाग नहीं है। / The first interval stops before ( 4 ), and the second begins after ( 4 ). Therefore, there is no common part.
A. ( x<4 ), ( 4 ) पर खुला बिंदु और बाईं ओर छाया/( x<4 ), open at ( 4 ), shaded left
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर ( 2x-3<5 ), इसलिए ( x<4 ) मिलता है। धनात्मक हर से गुणा करने पर चिन्ह नहीं बदलता। / Solving gives ( 2x-3<5 ), so ( x<4 ). Multiplying by a positive denominator does not change the sign.
B. सिर्फ ( 8 ) पर बंद बिंदु/Only a closed dot at ( 8 )
Explanation
Simple Explanation
परम मान ( 0 ) से छोटा नहीं हो सकता और ( |x-8|=0 ) पर ( x=8 ) मिलता है। इसलिए केवल एक बंद बिंदु बनेगा। / Absolute value cannot be less than ( 0 ), and ( |x-8|=0 ) gives ( x=8 ). So only one closed dot appears.
असमानता के तीनों भागों को धनात्मक संख्या 3 से गुणा करने पर \(-6\le x+5<12\) मिलता है। अब तीनों भागों से 5 घटाने पर \(-11\le x<7\) प्राप्त होता है। अतः \(-11\) शामिल है, इसलिए वहाँ वर्ग कोष्ठक लगेगा, जबकि \(7\) शामिल नहीं है, इसलिए वहाँ गोल कोष्ठक लगेगा: \([-11,7)\)। विकल्प B में दोनों सिरों की शामिल/अशामिल स्थिति उलट गई है। परीक्षा टिप: संयुक्त असमानता में प्रत्येक सीमा-चिह्न \(\le\), \(<\), \(\ge\), \(>\) को अलग-अलग ध्यान से बनाए रखें। / Multiplying all three parts of the inequality by the positive number 3 gives \(-6\le x+5<12\). Subtracting 5 from all three parts gives \(-11\le x<7\). Therefore, \(-11\) is included, so it takes a square bracket, while \(7\) is not included, so it takes a parenthesis: \([-11,7)\). In option B, the inclusion status of both endpoints is reversed. Exam tip: In a compound inequality, track each inequality sign—\(\le\), \(<\), \(\ge\), or \(>\)—separately.
A. पूरी संख्या रेखा पर छाया और ( -6 ) पर खुला छेद/Whole number line shaded with an open hole at ( -6 )
Explanation
Simple Explanation
\( x\ne -6 \) में ( -6 ) छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएं आती हैं। हटाए गए बिंदु को खुले छेद से दिखाएं। / \( x\ne -6 \) includes all real numbers except ( -6 ). Show the removed point by an open hole.
\( 2<x\le 2 \) कोई संख्या संतुष्ट नहीं कर सकती। समान सीमा पर विरोधी शर्त हो तो अंतराल रिक्त होता है। / No number can satisfy \( 2<x\le 2 \). With equal boundaries and conflicting endpoint conditions, the interval is empty.
हल करने पर \( -5\le -2x<5 \) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देने पर \( \frac{5}{2}\ge x>-\frac{5}{2} \), यानी \( -\frac{5}{2}<x\le \frac{5}{2} \) होगा। / Solving gives \( -5\le -2x<5 \). Dividing by a negative gives \( \frac{5}{2}\ge x>-\frac{5}{2} \), that is \( -\frac{5}{2}<x\le \frac{5}{2} \).
पहला भाग ( 0 ) को शामिल करता है और दूसरा भाग ( 0 ) से बड़े मान देता है। दोनों मिलकर पूरी वास्तविक रेखा बनाते हैं। / The first part includes ( 0 ), and the second gives values greater than ( 0 ). Together they form the whole real line.
B. ( 4 ) पर खुला छेद होगा/There will be an open hole at ( 4 )
Explanation
Simple Explanation
दोनों अंतराल ( 4 ) को शामिल नहीं करते। इसलिए ( 4 ) पर खुला छेद और दोनों ओर छाया होगी। / Both intervals exclude ( 4 ). Therefore, there is an open hole at ( 4 ) with shading on both sides.
सरलीकरण से \( 6-3x\le x+10 \), इसलिए \( -4x\le 4 \) और \( x\ge -1 \)। ऋणात्मक गुणांक से भाग देते समय चिन्ह पलटता है। / Simplifying gives \( 6-3x\le x+10 \), so \( -4x\le 4 \) and \( x\ge -1 \). The sign reverses when dividing by a negative coefficient.
बाईं ओर सख्त चिन्ह है इसलिए गोल कोष्ठक और दाईं ओर बराबरी है इसलिए वर्ग कोष्ठक लगेगा। अंतराल में छोटा मान पहले लिखें। / The left side is strict, so use a round bracket, and the right side includes equality, so use a square bracket. Write the smaller value first in interval notation.
दिए गए अंतराल में ( -6 ) शामिल है और ( -2 ) शामिल नहीं है। पूरक में ( -6 ) हटेगा और ( -2 ) शामिल होगा। / The given interval includes ( -6 ) and excludes ( -2 ). In the complement, ( -6 ) is removed and ( -2 ) is included.
B. सिर्फ ( -1 ) पर बंद बिंदु/Only a closed dot at ( -1 )
Explanation
Simple Explanation
दोनों अंतरालों का साझा भाग केवल ( -1 ) है। दोनों में ( -1 ) शामिल है इसलिए बंद बिंदु बनेगा। / The common part of both intervals is only ( -1 ). Since ( -1 ) is included in both, it becomes a closed dot.
C. \( -\frac{2}{3} \) पर खुला बिंदु और दाईं ओर छाया/Open at \( -\frac{2}{3} \), shaded right
Explanation
Simple Explanation
( > ) सीमा मान को शामिल नहीं करता और दाईं ओर बड़े मान होते हैं। भिन्न सीमा के लिए भी यही नियम लागू करें। / The sign ( > ) excludes the boundary, and greater values lie to the right. Apply the same rule for fractional boundaries.
C. \( x\le -1 \), ( -1 ) पर बंद बिंदु और बाईं ओर छाया/\( x\le -1 \), closed at ( -1 ), shaded left
Explanation
Simple Explanation
( -2 ) से गुणा करने पर चिन्ह पलटकर \( 7-x\le -8 \) मिलता है। फिर \( -x\le -15 \) से \( x\ge 15 \) नहीं, सही सरलीकरण से \( x\ge 15 \) होता है। / Multiplying by ( -2 ) reverses the sign and gives \( 7-x\le -8 \). Then \( -x\le -15 \), so \( x\ge 15 \).
