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A. प्रथम और तृतीय चतुर्थांश/First and third quadrants
Explanation
Simple Explanation
फलन \(f(x)=x\) का ग्राफ \(y=x\) है। जब \(x>0\), तब \(y>0\), इसलिए बिंदु प्रथम चतुर्थांश में होते हैं; और जब \(x<0\), तब \(y<0\), इसलिए बिंदु तृतीय चतुर्थांश में होते हैं। इसीलिए सही उत्तर प्रथम और तृतीय चतुर्थांश है। विकल्प B में \(x\) और \(y\) के चिह्न विपरीत माने गए हैं, जो \(y=x\) के लिए गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(y=x\) की रेखा मूलबिंदु से होकर गुजरती है और धनात्मक तथा ऋणात्मक दोनों समान निर्देशांक वाले बिंदुओं को जोड़ती है। / The graph of \(f(x)=x\) is the line \(y=x\). When \(x>0\), \(y>0\), so the points lie in the first quadrant; when \(x<0\), \(y<0\), so the points lie in the third quadrant. Therefore, the correct answer is the first and third quadrants. Option B incorrectly assumes that \(x\) and \(y\) have opposite signs, which applies to a line such as \(y=-x\), not to \(y=x\). Exam tip: The graph of \(y=x\) passes through the origin and has equal-sign coordinates away from the origin.
साइनम फलन में ऋणात्मक (x) के लिए मान (-1) होता है। परीक्षा में (x<0), (x=0), (x>0) तीन स्थितियां अलग रखें। / In the signum function, the value is (-1) for negative (x). In exams, keep the three cases (x<0), (x=0), and (x>0) separate.
(f(-x)=f(x)) इसलिए ग्राफ (y)-अक्ष के प्रति सममित है। परीक्षा में सम फलन पहचानने के लिए (f(-x)) जांचें। / Since (f(-x)=f(x)), the graph is symmetric about the (y)-axis. In exams, check (f(-x)) to identify an even function.
\(\lfloor 2.7\rfloor=2\) क्योंकि यह (2.7) से छोटा या बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक है। परीक्षा में दशमलव को निकटतम पूर्णांक नहीं, नीचे वाले पूर्णांक में बदलें। / \(\lfloor 2.7\rfloor=2\) because it is the greatest integer less than or equal to (2.7). In exams, do not round; move down to the greatest integer.
\(x^3\) विषम फलन है क्योंकि (f(-x)=-f(x))। परीक्षा में मूल बिंदु सममिति के लिए विषम फलन देखें। / \(x^3\) is an odd function because (f(-x)=-f(x)). In exams, origin symmetry usually indicates an odd function.
हर \(x\in[1,2\)) के लिए \(\lfloor x\rfloor=1\) होता है। परीक्षा में इस ग्राफ को सीढ़ीनुमा ग्राफ के रूप में याद रखें। / For every \(x\in[1,2\)), \(\lfloor x\rfloor=1\). In exams, remember this graph as a step graph.
(|x|) हमेशा (0) या उससे बड़ा होता है और (x=0) पर (0) मिलता है। परीक्षा में मापांक ग्राफ का शीर्ष याद रखें। / (|x|) is always (0) or greater and equals (0) at (x=0). In exams, remember the vertex of the modulus graph.
वास्तविक \(\sqrt{x}\) के लिए \(x\ge 0\) होना चाहिए। परीक्षा में वर्गमूल के अंदर की राशि को अनऋणात्मक रखें। / For real \(\sqrt{x}\), we need \(x\ge 0\). In exams, keep the expression inside a square root non-negative.
फलन \(f(x)=\frac{1}{x}\) में \(x=0\) रखने पर फलन अपरिभाषित हो जाता है, इसलिए ग्राफ पर \(x=0\) का कोई बिंदु नहीं होता। अतः \(x=0\) इसकी ऊर्ध्वाधर आसमाटी है और ग्राफ इसे नहीं काटता। जाँच के लिए, \(y=x\) के साथ \(\frac{1}{x}=x\) से \(x=\pm1\) मिलता है, इसलिए वह रेखा ग्राफ को काटती है। परीक्षा-युक्ति: \(y=\frac{1}{x}\) के लिए \(x=0\) और \(y=0\) आसमाटी होती हैं। / For \(f(x)=\frac{1}{x}\), the value at \(x=0\) is undefined, so the graph has no point on the line \(x=0\). Thus, \(x=0\) is the vertical asymptote and the graph does not intersect it. For comparison, with \(y=x\), the equation \(\frac{1}{x}=x\) gives \(x=\pm1\), so that line does intersect the graph. Exam tip: For \(y=\frac{1}{x}\), the asymptotes are \(x=0\) and \(y=0\).
A. x-अक्ष के समानांतर रेखा/Line parallel to the x-axis
Explanation
Simple Explanation
स्थिर फलन \(f(x)=3\) में प्रत्येक \(x\) के लिए \(y=3\) होता है। इसलिए इसके ग्राफ के सभी बिंदु \((x,3)\) होते हैं और यह \(x\)-अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज रेखा बनाता है। विकल्प B गलत है, क्योंकि y-अक्ष के समानांतर रेखा में \(x\) स्थिर रहता है। परीक्षा-युक्ति: \(y=c\) का ग्राफ हमेशा x-अक्ष के समानांतर होता है। / For the constant function \(f(x)=3\), the value of \(y\) is \(3\) for every \(x\). Thus, all points have the form \((x,3)\), forming a horizontal line parallel to the x-axis. Option B is incorrect because a line parallel to the y-axis has a fixed \(x\)-coordinate. Exam tip: the graph of \(y=c\), where \(c\) is constant, is always parallel to the x-axis.
(y=|x|) का सबसे छोटा मान (0) है जो (x=0) पर मिलता है। परीक्षा में इसका ग्राफ (V)-आकार का याद रखें। / The least value of (y=|x|) is (0) at (x=0). In exams, remember its (V)-shaped graph.
मूल परवलय \(y=x^2\) का शीर्ष \((0,0)\) होता है। फलन में \(+2\) जुड़ने से पूरा ग्राफ 2 इकाई ऊपर खिसकता है, इसलिए नया शीर्ष \((0,2)\) है। विकल्प C में 2 को x-निर्देशांक माना गया है, जो गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(y=(x-h)^2+k\) में शीर्ष \((h,k)\) होता है। / The basic parabola \(y=x^2\) has its vertex at \((0,0)\). Adding \(+2\) shifts the entire graph 2 units upward, so the new vertex is \((0,2)\). Option C incorrectly treats 2 as the x-coordinate. Exam tip: for \(y=(x-h)^2+k\), the vertex is \((h,k)\).
((x-3)) का अर्थ ग्राफ को दाईं ओर (3) इकाई खिसकाना है। परीक्षा में (x-a) को दाईं ओर विस्थापन समझें। / ((x-3)) means shifting the graph (3) units to the right. In exams, read (x-a) as a right shift.
(|x+2|=0) तब होता है जब (x=-2)। परीक्षा में मापांक के अंदर को (0) रखकर शीर्ष निकालें। / (|x+2|=0) when (x=-2). In exams, set the inside of the modulus equal to (0) to find the vertex.
\(\sqrt{x-4}\) में सबसे छोटा (x=4) है और तब (y=0) है। परीक्षा में वर्गमूल ग्राफ की शुरुआत अंदर की राशि (0) से करें। / For \(\sqrt{x-4}\), the smallest (x) is (4) and then (y=0). In exams, start a square-root graph by making the inside expression (0).
हर (x-2) को (0) करने पर (x=2) मिलता है। परीक्षा में हर को (0) रखकर लंबवत आसमापी निकालें। / Setting the denominator (x-2) equal to (0) gives (x=2). In exams, set the denominator to (0) for a vertical asymptote.
\(\frac{1}{x}\) का क्षैतिज आसमापी (y=0) है और (+1) से वह (y=1) हो जाता है। परीक्षा में ऊर्ध्व विस्थापन आसमापी पर भी लागू करें। / The horizontal asymptote of \(\frac{1}{x}\) is (y=0), and (+1) shifts it to (y=1). In exams, apply vertical shifts to asymptotes too.
\(y=\frac{1}{x}\) में (x) और (y) का चिह्न समान होता है। परीक्षा में पारस्परिक फलन की शाखाएं चतुर्थांश (1) और (3) में याद रखें। / In \(y=\frac{1}{x}\), (x) and (y) have the same sign. In exams, remember that the reciprocal graph lies in quadrants (1) and (3).
\(y=x^2\) में \(y\ge 0\) होता है और ग्राफ (y)-अक्ष के दोनों ओर होता है। परीक्षा में परवलय को (U)-आकार से पहचानें। / For \(y=x^2\), \(y\ge 0\) and the graph lies on both sides of the (y)-axis. In exams, identify the parabola by its (U)-shape.
C. पूरे ( \(-\infty,\infty\) ) पर/on all ( \(-\infty,\infty\) )
Explanation
Simple Explanation
\(x^3\) का ग्राफ बाएं से दाएं लगातार ऊपर जाता है। परीक्षा में \(x^3\) को पूरे वास्तविक प्रांत में बढ़ता हुआ याद रखें। / The graph of \(x^3\) rises continuously from left to right. In exams, remember \(x^3\) is increasing on the whole real domain.
(|x|) का ग्राफ (x=0) तक नीचे आता है और फिर ऊपर जाता है। परीक्षा में (V)-ग्राफ का बायां भाग घटता हुआ देखें। / The graph of (|x|) decreases up to (x=0) and then increases. In exams, see the left arm of the (V)-graph as decreasing.
A. ( (-2,0) ) और ( (2,0) )/( (-2,0) ) and ( (2,0) )
Explanation
Simple Explanation
(x)-अक्ष पर (y=0) रखकर \(x^2-4=0\) मिलता है। परीक्षा में अवरोधों के लिए संबंधित निर्देशांक (0) रखें। / On the (x)-axis, set (y=0), giving \(x^2-4=0\). In exams, set the related coordinate to (0) for intercepts.
\(x^2+1\) हमेशा (1) या उससे बड़ा है इसलिए (y=0) नहीं हो सकता। परीक्षा में न्यूनतम मान से (x)-अवरोध जांचें। / \(x^2+1\) is always at least (1), so (y=0) is impossible. In exams, use the minimum value to check (x)-intercepts.
बिंदु \((3,-3)\) के लिए \(x=3\) और \(y=-3\) हैं, इसलिए \(y=-x\) सत्य है। विकल्प A में \(x=3\) होने पर \(y=-3\) होना चाहिए, न कि \(3\); इसलिए वह गलत है। परीक्षा में किसी बिंदु की जाँच के लिए उसके \(x\) और \(y\) मानों को सीधे समीकरण में रखें; इस रेखा पर प्रत्येक बिंदु के लिए \(x+y=0\) होता है। / For the point \((3,-3)\), \(x=3\) and \(y=-3\), so it satisfies \(y=-x\). In option A, when \(x=3\), the value of \(y\) should be \(-3\), not \(3\), so it is incorrect. As an exam tip, substitute the coordinates directly into the equation; every point on this line satisfies \(x+y=0\).
(2x) की ढाल (2) है जो (x) की ढाल (1) से अधिक है। परीक्षा में रैखिक फलन में (x) के गुणांक को ढाल मानें। / The slope of (2x) is (2), greater than the slope (1) of (x). In exams, treat the coefficient of (x) as the slope in a linear function.
(-|x|) हमेशा (0) या उससे कम होता है और (x=0) पर (0) मिलता है। परीक्षा में नीचे खुले (V)-ग्राफ का शीर्ष अधिकतम होता है। / (-|x|) is always (0) or less and equals (0) at (x=0). In exams, the vertex of a downward (V)-graph is the maximum.
\(y=\sqrt{x}\) में \(x\ge 0\) और \(y\ge 0\) होता है। परीक्षा में वर्गमूल ग्राफ को पहले चतुर्थांश से जोड़ें। / For \(y=\sqrt{x}\), \(x\ge 0\) and \(y\ge 0\). In exams, associate the square-root graph with the first quadrant.
समानता \(x^2=\sqrt{x}\) के लिए (x=0) और (x=1) सही हैं। परीक्षा में संभावित सरल बिंदुओं को पहले जांचें। / For \(x^2=\sqrt{x}\), (x=0) and (x=1) work. In exams, test simple possible points first.
(y)-अक्ष पर (x=0) होता है और (f(0)=5) केवल (x+5) में है। परीक्षा में (y)-अवरोध के लिए (x=0) रखें। / On the (y)-axis, (x=0), and only (x+5) gives (f(0)=5). In exams, set (x=0) for the (y)-intercept.
(|x-1|) का न्यूनतम (0) है इसलिए कुल न्यूनतम (2) है। परीक्षा में मापांक वाले भाग का न्यूनतम (0) मानें। / The minimum of (|x-1|) is (0), so the total minimum is (2). In exams, take the minimum of a modulus part as (0).
((x+1)2) ग्राफ को (1) इकाई बाईं ओर और (-3) नीचे ले जाता है। परीक्षा में (y=(x-h)2+k) का शीर्ष ((h,k)) लें। / ((x+1)2) shifts the graph (1) unit left and (-3) downward. In exams, for (y=(x-h)2+k), use vertex ((h,k)).
\(x^2\) सम फलन है क्योंकि (f(-x)=f(x))। परीक्षा में (y)-अक्ष सममिति के लिए सम फलन पहचानें। / \(x^2\) is an even function because (f(-x)=f(x)). In exams, identify even functions for (y)-axis symmetry.
\(x^3\) विषम फलन है इसलिए इसका ग्राफ मूल बिंदु के प्रति सममित है। परीक्षा में (f(-x)=-f(x)) जांचें। / \(x^3\) is an odd function, so its graph is symmetric about the origin. In exams, check (f(-x)=-f(x)).
\(\frac{1}{x^2}\) हमेशा धनात्मक होता है और \(x\ne 0\) होता है। परीक्षा में \(x^2\) हर में हो तो (y) धनात्मक याद रखें। / \(\frac{1}{x^2}\) is always positive and \(x\ne 0\). In exams, when \(x^2\) is in the denominator, remember (y) is positive.
(y=(-3)2=9) इसलिए बिंदु ((-3,9)) ग्राफ पर है। परीक्षा में वर्ग का मान हमेशा अनऋणात्मक रखें। / (y=(-3)2=9), so ((-3,9)) lies on the graph. In exams, remember a square is always non-negative.
\(\sqrt{16}=4\) इसलिए बिंदु ((16,4)) ग्राफ पर है। परीक्षा में पूर्ण वर्गों के वर्गमूल याद रखें। / \(\sqrt{16}=4\), so ((16,4)) lies on the graph. In exams, remember square roots of perfect squares.
दिए गए ग्राफ पर \(y=5\) रखने पर \(|x|=5\) प्राप्त होता है। किसी संख्या का परिमाण 5 होने पर वह संख्या \(5\) या \(-5\) हो सकती है; इसलिए सही विकल्प C है। केवल \(5\) लेना विकल्प A की सामान्य गलती है, क्योंकि ऋणात्मक मान भी समान परिमाण देता है। परीक्षा-युक्ति: \(|x|=a\), जहाँ \(a>0\), में हमेशा \(x=\pm a\) लिखें। / For the given graph, setting \(y=5\) gives \(|x|=5\). A number with absolute value 5 can be either \(5\) or \(-5\), so option C is correct. Choosing only \(5\) ignores the negative value, which is the error in option A. Exam tip: for \(|x|=a\) with \(a>0\), write \(x=\pm a\).
दिए गए फलन में \(y=25\) रखने पर \(x^2=25\) मिलता है। इसलिए \(x=5\) या \(x=-5\), अर्थात दोनों मान संभव हैं। केवल 5 या केवल −5 लेना गलत है क्योंकि धनात्मक और ऋणात्मक दोनों संख्याओं का वर्ग 25 होता है। परीक्षा में \(x^2=a\) होने पर, जहाँ \(a>0\), \(x=\pm\sqrt{a}\) लिखना न भूलें। / Substituting \(y=25\) in the function gives \(x^2=25\). Hence, \(x=5\) or \(x=-5\), so both values are possible. Choosing only 5 or only −5 is incorrect because both a positive and a negative number can have the square 25. In exams, remember that for \(x^2=a\) with \(a>0\), \(x=\pm\sqrt{a}\).
\(y=\frac{1}{4}\) सीधे (x=4) रखने से मिलता है। परीक्षा में पारस्परिक फलन में (x) को हर में रखें। / \(y=\frac{1}{4}\) is obtained by substituting (x=4). In exams, put (x) in the denominator for a reciprocal function.
\(x^3\) हर वास्तविक (y)-मान ले सकता है। परीक्षा में घन फलन का परिसर पूरे वास्तविक संख्याओं का सेट मानें। / \(x^3\) can take every real (y)-value. In exams, take the range of the cubic function as all real numbers.
(y=|x|) का शीर्ष ((0,0)) है और (-3) से नीचे खिसकता है। परीक्षा में ऊर्ध्व विस्थापन सीधे (y)-निर्देशांक में जोड़ें। / The vertex of (y=|x|) is ((0,0)), and (-3) shifts it downward. In exams, add vertical shifts directly to the (y)-coordinate.
\(y=\frac{1}{x}\) अक्षों के पास जाता है लेकिन उन्हें आसमापी की तरह नहीं काटता। परीक्षा में पारस्परिक ग्राफ के दोनों आसमापी याद रखें। / The graph \(y=\frac{1}{x}\) approaches the axes as asymptotes. In exams, remember both asymptotes of the reciprocal graph.
ऊर्ध्व खिंचाव में पूरे फलन को (2) से गुणा करते हैं। परीक्षा में बाहरी गुणक को ऊर्ध्व खिंचाव मानें। / For vertical stretching, multiply the whole function by (2). In exams, treat an outside multiplier as vertical scaling.
वर्गमूल के लिए \(x\ge 0\) और हमेशा \(\sqrt{x}\ge 0\) होता है। इसलिए \(y=\sqrt{x}+3\ge 3\), अतः परिसर \([3,\infty)\) है। विकल्प A केवल \(y=\sqrt{x}\) का परिसर है और उसमें 3 का ऊर्ध्व विस्थापन नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा-युक्ति: फलन में स्थिरांक जोड़ने पर ग्राफ और परिसर उतनी ही मात्रा में ऊपर या नीचे खिसकते हैं। / For the square-root function, \(x\ge 0\) and \(\sqrt{x}\ge 0\). Hence \(y=\sqrt{x}+3\ge 3\), so the range is \([3,\infty)\). Option A is the range of \(y=\sqrt{x}\) before the upward shift by 3. Exam tip: adding a constant to a function shifts its graph and its range vertically by that constant.
ऋणात्मक गुणांक के कारण परवलय नीचे खुलता है और शीर्ष का (y)-मान (4) अधिकतम है। परीक्षा में नीचे खुलने वाले परवलय में शीर्ष अधिकतम होता है। / Because the coefficient is negative, the parabola opens downward and the vertex (y)-value (4) is maximum. In exams, the vertex is maximum for a downward parabola.
\(y=x^3\) ऋणात्मक (x) पर ऋणात्मक और धनात्मक (x) पर धनात्मक होता है। परीक्षा में घन ग्राफ को (x)-अक्ष पार करते हुए याद रखें। / \(y=x^3\) is negative for negative (x) and positive for positive (x). In exams, remember the cubic graph crosses the (x)-axis.
(x)-अक्ष के लिए (|x+1|-2=0) से (|x+1|=2) मिलता है। परीक्षा में मापांक को खोलकर दोनों स्थितियां हल करें। / For the (x)-axis, (|x+1|-2=0) gives (|x+1|=2). In exams, open the modulus into both cases.
\(\sqrt{x+5}\) के लिए \(x+5\ge 0\) इसलिए \(x\ge -5\)। परीक्षा में वर्गमूल के अंदर की राशि को (0) या उससे बड़ा रखें। / For \(\sqrt{x+5}\), \(x+5\ge 0\), so \(x\ge -5\). In exams, keep the expression inside the square root at least (0).
स्थिर फलन में (y) हमेशा (2) रहता है। परीक्षा में स्थिर रेखा का परिसर केवल उसी (y)-मान का सेट होता है। / In a constant function, (y) is always (2). In exams, the range of a constant line is the set containing only that (y)-value.
B. यह (y)-अक्ष के प्रति सममित है/it is symmetric about the (y)-axis
Explanation
Simple Explanation
\(y=x^2\) का प्रांत सभी वास्तविक संख्याएं है और ग्राफ (y)-अक्ष के प्रति सममित है। परीक्षा में परवलय के प्रांत और परिसर अलग-अलग याद रखें। / The domain of \(y=x^2\) is all real numbers and its graph is symmetric about the (y)-axis. In exams, remember the domain and range of a parabola separately.
