Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(8x-2-14x+3=(4x-1)(2x-3)), इसलिए मूल \(\frac{1}{4}\) और \(\frac{3}{2}\) हैं। परीक्षा में रैखिक गुणनखंडों को अलग-अलग शून्य रखें। / (8x-2-14x+3=(4x-1)(2x-3)), so the roots are \(\frac{1}{4}\) and \(\frac{3}{2}\). In exams, set each linear factor equal to zero.
(15x-2+16x+4=(3x+2)(5x+2)), इसलिए मूल \(-\frac{2}{3}\) और \(-\frac{2}{5}\) हैं। परीक्षा में भिन्न मूलों को सरल रूप में लिखें। / (15x-2+16x+4=(3x+2)(5x+2)), so the roots are \(-\frac{2}{3}\) and \(-\frac{2}{5}\). In exams, write fractional roots in simplest form.
समान मूलों के लिए (D=0), इसलिए (4(k-1)2-4\(k^2-4\)=0) से (-2k+5=0) मिलता है। परीक्षा में पैरामीटर वाले प्रश्नों में (D) को सावधानी से फैलाएं। / For equal roots, (D=0), so (4(k-1)2-4\(k^2-4\)=0) gives (-2k+5=0). In exams, expand (D) carefully in parameter questions.
मूलों का योग (4) है और \(\frac{p+2}{3}=4\), इसलिए (p=10) है। परीक्षा में मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) से निकालें। / The sum of roots is (4), and \(\frac{p+2}{3}=4\), so (p=10). In exams, find the sum of roots using \(-\frac{b}{a}\).
(5x-2-18x+9=(5x-3)(x-3)), इसलिए मूल \(\frac{3}{5}\) और (3) हैं। परीक्षा में गुणनखंड विधि से उत्तर जल्दी जांचें। / (5x-2-18x+9=(5x-3)(x-3)), so the roots are \(\frac{3}{5}\) and (3). In exams, verify the answer quickly by factorisation.
समान वास्तविक मूलों के लिए (D=0), इसलिए (196-4m=0) से (m=49) है। परीक्षा में समान मूल का मतलब (D=0) होता है। / For real and equal roots, (D=0), so (196-4m=0) gives (m=49). In exams, equal roots mean (D=0).
मूलों का योग (9) है, इसलिए दूसरा मूल (9-4=5) होगा। परीक्षा में एक मूल दिया हो तो योग का प्रयोग करें। / The sum of roots is (9), so the other root is (9-4=5). In exams, use the sum when one root is given.
दूसरा मूल (5) है, इसलिए \(q=4\times5=20\) होगा। परीक्षा में (c) मूलों के गुणनफल के बराबर होता है जब (a=1)। / The other root is (5), so \(q=4\times5=20\). In exams, (c) equals the product of roots when (a=1).
यह समीकरण ((x-m)(x-n)=0) के बराबर है, इसलिए मूल (m) और (n) हैं। परीक्षा में प्रतीकात्मक गुणनखंडों पर भी वही नियम लागू होता है। / The equation is equivalent to ((x-m)(x-n)=0), so the roots are (m) and (n). In exams, the same rule applies to symbolic factors.
यह ((x-p)2-q-2=0) है, इसलिए \(x-p=\pm q\) और \(x=p\pm q\) हैं। परीक्षा में वर्गों के अंतर को पहचानें। / It is ((x-p)2-q-2=0), so \(x-p=\pm q\) and \(x=p\pm q\). In exams, recognize the difference of squares.
पूरे समीकरण को (9) से भाग देने पर (x-2-(r+s)x+rs=0) मिलता है। परीक्षा में पहले सामान्य गुणक हटाने से हल आसान होता है। / Dividing the whole equation by (9) gives (x-2-(r+s)x+rs=0). In exams, removing the common factor first makes solving easier.
(D=(-6)2-4(1)(2)=28), इसलिए \(x=\frac{6\pm2\sqrt{7}}{2}=3\pm\sqrt{7}\) है। परीक्षा में वर्गमूल को सरल करें। / (D=(-6)2-4(1)(2)=28), so \(x=\frac{6\pm2\sqrt{7}}{2}=3\pm\sqrt{7}\). In exams, simplify the square root.
मूलों का योग \(-\frac{p}{4}\) है, इसलिए \(-\frac{p}{4}=-6\) से (p=24) है। परीक्षा में योग का सूत्र \(-\frac{b}{a}\) याद रखें। / The sum of roots is \(-\frac{p}{4}\), so \(-\frac{p}{4}=-6\) gives (p=24). In exams, remember the sum formula \(-\frac{b}{a}\).
मूलों का गुणनफल \(\frac{p}{5}\) है, इसलिए \(\frac{p}{5}=\frac{2}{5}\) से (p=2) है। परीक्षा में गुणनफल का सूत्र \(\frac{c}{a}\) लगाएं। / The product of roots is \(\frac{p}{5}\), so \(\frac{p}{5}=\frac{2}{5}\) gives (p=2). In exams, use the product formula \(\frac{c}{a}\).
\(\alpha+\beta=13\) और \(\alpha\beta=40\), इसलिए (\alpha-2+\beta-2=132-2(40)=89) है। परीक्षा में (\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) याद रखें। / \(\alpha+\beta=13\) and \(\alpha\beta=40\), so (\alpha-2+\beta-2=132-2(40)=89). In exams, remember (\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta).
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{9}{20}\) होता है। परीक्षा में reciprocal वाले प्रश्न में पहले योग और गुणनफल लिखें। / \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{9}{20}\). In exams, first write sum and product in reciprocal questions.
मूलों का योग \(-\frac{b}{a}=-\frac{-11}{3}=\frac{11}{3}\) है। परीक्षा में (b) का चिन्ह ध्यान से रखें। / The sum of roots is \(-\frac{b}{a}=-\frac{-11}{3}=\frac{11}{3}\). In exams, keep the sign of (b) carefully.
मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}=\frac{6}{3}=2\) है। परीक्षा में गुणनफल के लिए \(\frac{c}{a}\) का प्रयोग करें। / The product of roots is \(\frac{c}{a}=\frac{6}{3}=2\). In exams, use \(\frac{c}{a}\) for the product.
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=\left\(\frac{11}{3}\right\)2-8=\frac{49}{9}) है। परीक्षा में अंतर का वर्ग इस पहचान से निकालें। / (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=\left\(\frac{11}{3}\right\)2-8=\frac{49}{9}). In exams, use this identity for the square of difference.
वास्तविक मूल नहीं होने के लिए (D<0), इसलिए (64-4n<0) और (n>16) है। परीक्षा में (D<0) को वास्तविक मूल नहीं से जोड़ें। / For no real roots, (D<0), so (64-4n<0) and (n>16). In exams, connect (D<0) with no real roots.
दो अलग वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए (64-4n>0) और (n<16) है। परीक्षा में (D>0) को अलग वास्तविक मूल से जोड़ें। / For two distinct real roots, (D>0), so (64-4n>0) and (n<16). In exams, connect (D>0) with distinct real roots.
((3x+1)(x-2)=0), इसलिए \(x=-\frac{1}{3}\) और (2) हैं। परीक्षा में संकेत बदलकर मूल लिखें। / ((3x+1)(x-2)=0), so \(x=-\frac{1}{3}\) and (2). In exams, change signs while writing roots.
\(x^2+6x=-2\) में (9) जोड़ने पर ((x+3)2=7) मिलता है। परीक्षा में दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ें। / Adding (9) to \(x^2+6x=-2\) gives ((x+3)2=7). In exams, add the same number to both sides.
((x+3)2=7), इसलिए \(x=-3\pm\sqrt{7}\) है। परीक्षा में \(\pm\) के दोनों मान लिखें। / Since ((x+3)2=7), \(x=-3\pm\sqrt{7}\). In exams, write both values using \(\pm\).
(\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), जहां \(\alpha+\beta=4\) और \(\alpha\beta=-12\), इसलिए मान (-48) है। परीक्षा में अभिव्यक्ति को पहले factor करें। / (\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), where \(\alpha+\beta=4\) and \(\alpha\beta=-12\), so the value is (-48). In exams, factor the expression first.
मूलों को (-r) और (-2r) मानें, तो \(2r^2=16\) से \(r=2\sqrt{2}\) और \(p=3r=6\sqrt{2}\) है। परीक्षा में दोनों मूलों के चिन्ह ध्यान से रखें। / Let the roots be (-r) and (-2r), then \(2r^2=16\) gives \(r=2\sqrt{2}\), and \(p=3r=6\sqrt{2}\). In exams, keep signs of both roots carefully.
यहां (D=(-5)2-4(1)(2)=17), इसलिए मूलों का अंतर \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}=\sqrt{17}\) है। परीक्षा में मूलों का अंतर सीधे (D) से मिल सकता है। / Here (D=(-5)2-4(1)(2)=17), so the difference of roots is \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}=\sqrt{17}\). In exams, the difference of roots can be found directly from (D).
यहां (D=(-6)2-4(3)(7)=-48<0), इसलिए वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में (D<0) का अर्थ वास्तविक मूल नहीं है। / Here (D=(-6)2-4(3)(7)=-48<0), so there are no real roots. In exams, (D<0) means no real roots.
(3x-2-6x+7=3(x-1)2+4), इसलिए यह वास्तविक (x) के लिए शून्य नहीं हो सकता। परीक्षा में पूर्ण वर्ग रूप से भी वास्तविक मूलों की प्रकृति दिखती है। / (3x-2-6x+7=3(x-1)2+4), so it cannot be zero for real (x). In exams, completed square form also shows the nature of real roots.
मूल (2,6) हैं, इसलिए नए मूल (4,8) होंगे और समीकरण ((x-4)(x-8)=0) है। परीक्षा में नए मूल बनाकर नया समीकरण लिखें। / The roots are (2,6), so new roots are (4,8), and the equation is ((x-4)(x-8)=0). In exams, form the new roots and then the new equation.
\(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), जहां \(\alpha+\beta=10\) और \(\alpha\beta=21\), इसलिए मान \(\frac{100-42}{21}=\frac{58}{21}\) है। परीक्षा में अभिव्यक्ति को योग और गुणनफल में बदलें। / \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), where \(\alpha+\beta=10\) and \(\alpha\beta=21\), so the value is \(\frac{100-42}{21}=\frac{58}{21}\). In exams, convert expressions into sum and product.
समान मूलों के लिए (D=0), इसलिए (100-100k=0) और (k=1) है। परीक्षा में (a=k) को ठीक से रखें। / For equal roots, (D=0), so (100-100k=0) and (k=1). In exams, keep (a=k) correctly.
(D=4(k+3)2-4k-2=0) से ((k+3)2=k-2), इसलिए (6k+9=0) और \(k=-\frac{3}{2}\) है। परीक्षा में वर्ग फैलाते समय सावधानी रखें। / (D=4(k+3)2-4k-2=0) gives ((k+3)2=k-2), so (6k+9=0) and \(k=-\frac{3}{2}\). In exams, expand squares carefully.
यहां (D=(-10)2-4(1)(11)=56), इसलिए \(x=\frac{10\pm2\sqrt{14}}{2}=5\pm\sqrt{14}\) है। परीक्षा में (D) को सही सरल करें। / Here (D=(-10)2-4(1)(11)=56), so \(x=\frac{10\pm2\sqrt{14}}{2}=5\pm\sqrt{14}\). In exams, simplify (D) correctly.
