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पहले प्रत्येक घनमूल के अंदर के गुणनखंडों को देखें: \(\sqrt{192}=\sqrt{64\times3}=8\sqrt{3}\) और \(\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=3\sqrt{3}\)। अतः अन्तर \(8\sqrt{3}-3\sqrt{3}=(8-3)\sqrt{3}=5\sqrt{3}\) है। निकटतम विचलन (\(3\sqrt{3}\)) केवल \(\sqrt{27}\) के बराबर है — यह अंतर नहीं है; कुछ विद्यार्थी घटाने के बजाय गलत तरीके से एक ही पद समझ लेते हैं। परीक्षा-टिप: पहले भीतर के पूर्ण वर्ग निकालें और फिर समान घनमूलों को गुणक के रूप में बाहर निकालकर सरल जोड़/घटाव करें। / Simplify each radical: \(\sqrt{192}=\sqrt{64\times3}=8\sqrt{3}\) and \(\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=3\sqrt{3}\). So the difference is \(8\sqrt{3}-3\sqrt{3}=(8-3)\sqrt{3}=5\sqrt{3}\). The nearest distractor \(3\sqrt{3}\) equals \(\sqrt{27}\), not the difference; a common mistake is to confuse one term with the result. Exam tip: pull out perfect squares first and then combine like surd terms by adding/subtracting their coefficients.
\(\sqrt{125}=\sqrt{25\times5}=5\sqrt{5}\) और \(\sqrt{45}=\sqrt{9\times5}=3\sqrt{5}\)। दोनों समान घनमूलों को जोड़ने पर 5\sqrt{5}+3\sqrt{5}=8\sqrt{5} मिलता है, इसलिए सही उत्तर 8\sqrt{5} है। विकल्प B \(\sqrt{170}\) गलती से \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) को \sqrt{a+b} मानने से आता है, जो गलत है। विकल्प D \(10\sqrt{5}\) गुणांकों को गलत जोड़ने का परिणाम है। विकल्प C \(6\sqrt{10}\) तब होता है जब परिमार्जन या वर्ग गुणन में त्रुटि होती है — यहाँ दोनों पदों का सर्वसाधारण रूप 5\sqrt{5} और 3\sqrt{5} है, न कि \sqrt{10} के रूप में। परीक्षा-सुझाव: परवाहिल (radicand) में पूर्ण वर्ग निकालें और केवल समान घनमूलों को जोड़ें। / Simplify each term: \sqrt{125}=\sqrt{25\times5}=5\sqrt{5} and \sqrt{45}=\sqrt{9\times5}=3\sqrt{5}. Adding like surds gives 5\sqrt{5}+3\sqrt{5}=8\sqrt{5}, so A is correct. Option B \(\sqrt{170}\) reflects the incorrect assumption \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}. Option D \(10\sqrt{5}\) is a mistaken addition of coefficients. Option C \(6\sqrt{10}\) arises from incorrect factorization or mixing radicands. Exam tip: always factor out perfect squares from each radicand first and then combine only like surds.
\(\sqrt{180}=\sqrt{36\times5}=\sqrt{36}\;\sqrt{5}=6\sqrt{5}\). इसलिए सही उत्तर \(6\sqrt{5}\) है। अन्य विकल्प गलत हैं क्योंकि वे बराबर रूप नहीं हैं: \(9\sqrt{2}\) का वर्ग \(81\times2=162\) होता है (\(180\) नहीं), \(5\sqrt{6}\) का वर्ग \(25\times6=150\), और \(3\sqrt{12}=3\sqrt{4\times3}=3\times2\sqrt{3}=6\sqrt{3}\) जो \(6\sqrt{5}\) के बराबर नहीं है। परीक्षात्मक सुझाव: किसी भी घनत्व/वर्गमूल को सरल करते समय सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग (greatest perfect square) बाहर निकालें। / \(\sqrt{180}=\sqrt{36\times5}=\sqrt{36}\,\sqrt{5}=6\sqrt{5}\), so the simplified form is \(6\sqrt{5}\). Why other options are wrong: \(9\sqrt{2}\) squared is \(81\times2=162\) (not 180), \(5\sqrt{6}\) squared is \(25\times6=150\), and \(3\sqrt{12}=3\sqrt{4\times3}=6\sqrt{3}\), which is different from \(6\sqrt{5}\). Exam tip: always factor out the largest perfect square from under the radical to simplify quickly.
\(\sqrt{300}=\sqrt{100\times3}=\sqrt{100}\times\sqrt{3}=10\sqrt{3}\)। इसलिए विकल्प A सही है। अन्य विकल्प गलत हैं क्योंकि वे बराबर नहीं हैं: \(5\sqrt{6}\) का मान \(5\times\sqrt{6}\approx12.25\) है, जो \(\sqrt{300}\approx17.32\) से अलग है; \(3\sqrt{100}=3\times10=30\) है; \(6\sqrt{50}=6\times5\sqrt{2}=30\sqrt{2}\) है जो \(\sqrt{300}\) के बराबर नहीं है। परीक्षा-टिप: किसी भी संख्या का वर्गमूल लेते समय सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग बाहर निकालें (यहाँ 100)। / \(\sqrt{300}=\sqrt{100\times3}=\sqrt{100}\cdot\sqrt{3}=10\sqrt{3}\). Hence option A is correct. The other choices are not equal to \(\sqrt{300}\): \(5\sqrt{6}\approx12.25\) (not 17.32), \(3\sqrt{100}=30\), and \(6\sqrt{50}=6\cdot5\sqrt{2}=30\sqrt{2}\). Exam tip: always extract the largest perfect square factor when simplifying square roots (here 100).
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) और \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) है। परिणाम \(4\sqrt{3}\) है। / \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), and \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\). The result is \(4\sqrt{3}\).
\(a-1=\sqrt{6}\)। क्योंकि 6 एक पूर्ण वर्ग नहीं है, \(\sqrt{6}\) को किसी दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता; अतः यह अपरिमेय संख्या है। विकल्प (B) गलत है क्योंकि परिमेय संख्या वह होती है जिसे \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जा सके — यहाँ संभव नहीं। विकल्प (C) और (D) इसलिए गलत हैं क्योंकि \(\sqrt{6}\) न तो कोई पूर्णांक है न ही शून्य। परीक्षा सुझाव: पहले अभिव्यक्ति को सरल करें और जाँचें कि वर्गमूल किसी पूर्ण वर्ग का है या नहीं; यदि नहीं है तो वह अपरिमेय होगा। / \(a-1=\sqrt{6}\). Since 6 is not a perfect square, \(\sqrt{6}\) cannot be written as a ratio \(p/q\) of integers, so it is irrational. Option B (rational) is incorrect because \(\sqrt{6}\) is not expressible as a fraction of integers; options C (integer) and D (zero) are incorrect because \(\sqrt{6}\) is neither an integer nor zero. Exam tip: simplify the expression first and check whether the square root is of a perfect square — if not, it is irrational.
सही उत्तर \(\sqrt{2}\) है। कारण: \(\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\)। विकल्प C \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) वास्तव में \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) के बराबर है, जो उल्टा (reciprocal) होने के कारण गलत है। विकल्प B और D भी स्पष्ट रूप से गलत हैं। परीक्षा टिप: जड़ों को सरल करने के लिए सदस्य और हर दोनों को \(\sqrt{2}\) से गुणा करके हर से जड़ हटाएँ — अक्सर सीधे गुणन/घटक-दमन से जल्दी उत्तर मिल जाता है। / The correct answer is \(\sqrt{2}\). Reason: \(\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\). Option C, \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), equals \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) and is the reciprocal form, so it is incorrect; options B (1) and D (2) are also not equal to the given expression. Exam tip: multiply numerator and denominator by the square root in the denominator to remove the root and simplify quickly.
\(\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt{5}\) और \(\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt{5}\)। इसलिए \(\sqrt{5}+\sqrt{20}-\sqrt{45}=\sqrt{5}+2\sqrt{5}-3\sqrt{5}=(1+2-3)\sqrt{5}=0\)। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प \(-\sqrt{5}\) है, जो तब गलत होगा यदि गुणांक जोड़ते समय चूककर गलत संकेत लगाया गया हो; वास्तविक जोड़ से गुणांक शून्य आते हैं। परीक्षा-सुझाव: बड़ी जड़ों को गुणनखंडों में विभाजित करके सामान्य \(\sqrt{5}\) को बाहर निकालें और तब गुणांकों को जोड़ें/घटाएँ। / Simplify each radical: \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) and \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\). So \(\sqrt{5}+\sqrt{20}-\sqrt{45}=\sqrt{5}+2\sqrt{5}-3\sqrt{5}=(1+2-3)\sqrt{5}=0\). The closest distractor \(-\sqrt{5}\) would arise only from an arithmetic/sign error when combining coefficients; correct combination gives zero. Exam tip: factor out the common \(\sqrt{5}\) first to add coefficients quickly.
\(\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=3\sqrt{3}\) होता है। इसलिए \(4\sqrt{3}-\sqrt{27}=4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=\sqrt{3}\)। विकल्प A सही है। विकल्प B (1) गलत है क्योंकि \(\sqrt{3}\approx1.732\) है, यह 1 के बराबर नहीं है। विकल्प C में घातांक गलत मिलाए गए हैं (यहाँ जोड़ने के बजाय घटाना करना चाहिए)। परीक्षा-टिप: संहिताबद्ध रूप में रैडिकल्स को पहले सरल करें और केवल 'like terms' (एक ही मूल वाले) को ही आपस में जोड़ें/घटाएं। / Simplify first: \(\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=3\sqrt{3}\). Thus \(4\sqrt{3}-\sqrt{27}=4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=\sqrt{3}\), so option A is correct. Option B (1) is wrong because \(\sqrt{3}\approx1.732\), not 1. Option C (\(3\sqrt{3}\)) is incorrect because it treats the second term as if it should be added or left unsimplified; the correct simplification gives subtraction of like terms. Exam tip: always simplify radicals first and then combine only like surd terms (same radical part).
\(\sqrt{162}=\sqrt{81\times2}=\sqrt{81}\times\sqrt{2}=9\sqrt{2}\). अतः सही उत्तर \(9\sqrt{2}\) है। विकल्प B (\(6\sqrt{3}\)) गलत है क्योंकि \(6\sqrt{3}=\sqrt{36\times3}=\sqrt{108}\), जो \(\sqrt{162}\) से छोटा है। विकल्प C और D भी मानानुसार भिन्न हैं (\(18=\sqrt{324}\), \(18\sqrt{2}\) बहुत बड़ा)। परीक्षा युक्ति: हमेशा अंकों को गुणन के रूप में लिखकर सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग पहले बाहर निकालें। / \(\sqrt{162}=\sqrt{81\times2}=\sqrt{81}\cdot\sqrt{2}=9\sqrt{2}\). Therefore the correct simplified form is \(9\sqrt{2}\). Option B (\(6\sqrt{3}\)) is incorrect because \(6\sqrt{3}=\sqrt{36\times3}=\sqrt{108}\), which is not equal to \(\sqrt{162}\). Options C and D are also numerically different (\(18=\sqrt{324}\), and \(18\sqrt{2}\) is much larger). Exam tip: factor out the largest perfect square from under the root to simplify quickly.
\(\sqrt{32}=\sqrt{16\times2}=4\sqrt{2}\) इसलिए \(y=\sqrt{2}+4\sqrt{2}=5\sqrt{2}\)। ध्यान रखें कि \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) को सीधे \(\sqrt{a+b}\) नहीं लिखा जा सकता — इसलिए \(\sqrt{34}\) गलत है। विकल्प \(4\sqrt{2}\) तब गलत है जब कोई \(\sqrt{2}\) को जोड़ना भूल जाए। परीक्षा के लिए सुझाव: समरूप घनमूल (like radicals) बनाते समय अंदर के भाग को सबसे छोटे पूर्ण वर्ग गुणनखण्डों में बाँटें और तभी जोड़ें। / Since \(\sqrt{32}=\sqrt{16\times2}=4\sqrt{2}\), we get \(y=\sqrt{2}+4\sqrt{2}=5\sqrt{2}\). Note that \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) cannot be combined as \(\sqrt{a+b}\), so \(\sqrt{34}\) is incorrect. The option \(4\sqrt{2}\) would be the result only if the extra \(\sqrt{2}\) were omitted. Exam tip: always factor the radicand into perfect square factors to extract like radicals before adding or subtracting.
\(\sqrt{128}=\sqrt{64\times2}=8\sqrt{2}\) है। सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग निकालना बेहतर तरीका है। / \(\sqrt{128}=\sqrt{64\times2}=8\sqrt{2}\). Taking out the greatest perfect square is the better method.
समाधान: \(\dfrac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\dfrac{45}{5}}=\sqrt{9}=3\). यहाँ गुणन/भाग की जड़ों के नियम \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}\) का प्रयोग किया गया है। विकल्प B (9) एक सामान्य भूल है जहाँ कोई संख्या के अंदर से मूल हटा कर सीधे भाग कर देता है — पर \(9\) और \(\sqrt{9}\) अलग होते हैं; \(\sqrt{9}=3\)। विकल्प C और D तब गलत हैं जब बिन्दु सही तरह से विभाजन कर लिया जाए (C तब गलत होगा जब गलत तरीके से \(\sqrt{9}\) को हटाकर \(\sqrt{5}\) बचा लिया गया हो; D तब गलत होगा जब हरगिज़ हर को नजरअंदाज कर दिया गया हो)। परिक्षा-सुझाव: जड़ों में भाग करते समय अंदर का भेदफल पहले करें और फिर वर्गमूल लें — यानी पहले \(\dfrac{a}{b}\) को सरल करें फिर \(\sqrt{\cdot}\)। / Solution: \(\dfrac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\dfrac{45}{5}}=\sqrt{9}=3\). Use the property \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}\). Option B (9) reflects a common mistake of removing the radical incorrectly and treating the expression as \(45/5=9\) without taking the square root; note that \(9\neq\sqrt{9}\). Options C and D are wrong because they result from incorrect cancellation or ignoring the denominator. Exam tip: when dividing square roots, combine under a single radical first (simplify \(a/b\)) and then take the square root to avoid algebraic errors.
पहले प्रत्येक raíz को सरल करें: \(\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt{2}\) और \(\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt{2}\)। अब समान पद मिलाकर जोड़ें: \(\sqrt{2}+2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=(1+2+3)\sqrt{2}=6\sqrt{2}\)। इसलिए सही उत्तर \(6\sqrt{2}\) है। नज़दीकी विचलन (जैसे \(4\sqrt{2}\)) तब होता है जब \(\sqrt{18}\) को गलत‑तरह \(2\sqrt{2}\) मान लिया जाए; पर वास्तव में \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) है। परीक्षा युक्ति: हर अशुद्ध पर पहले उसका सरल रूप लिखें ताकि समांतर पद आसानी से जोड़ सकें। / Simplify each radical first: \(\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt{2}\) and \(\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt{2}\). Combine like terms: \(\sqrt{2}+2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=(1+2+3)\sqrt{2}=6\sqrt{2}\). Thus the correct answer is \(6\sqrt{2}\). A common wrong choice (e.g. \(4\sqrt{2}\)) comes from mis‑simplifying \(\sqrt{18}\) as \(2\sqrt{2}\); remember \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\). Exam tip: always simplify radicals to the same radicand before adding or subtracting.
पहला कदम घातांक-अंतर्गत पूर्ण वर्ग गुणनखंड निकालना है: \(\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot3}=5\sqrt{3}\) और \(\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=3\sqrt{3}\)। इसलिए अंतर \(5\sqrt{3}-3\sqrt{3}=2\sqrt{3}\) मिलता है। विकल्प B (\(\sqrt{3}\)) अक्सर तब चुना जाता है जब गुणांक ग़लत घटा दिए जाएं; यह केवल \(1\times\sqrt{3}\) है जो सही मान से छोटा है। परीक्षात्मक सुझाव: हर बार भीतर के संख्या को उसके वर्ग गुणनखंडों में विभाजित करें (जैसे 75=25×3) ताकि सरलतम रूप तुरंत मिल सके और दशमलव जाँच के लिए दोनों पक्षों का मान ग्रहण कर लें। / Simplify the radicals by factoring out square factors: \(\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot3}=5\sqrt{3}\) and \(\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=3\sqrt{3}\). Subtracting gives \(5\sqrt{3}-3\sqrt{3}=2\sqrt{3}\), so option A is correct. Option B (\(\sqrt{3}\)) is a common distractor arising from subtracting the radical parts incorrectly (treating coefficients as 1 and 0); it equals \(1\sqrt{3}\), not \(2\sqrt{3}\). Exam tip: always factor numbers under the root into square × non-square, simplify each surd, then combine like surds; if unsure, compare decimal values to check your result quickly.
\(\sqrt{20}=\sqrt{4\times5}=\sqrt{4}\times\sqrt{5}=2\sqrt{5}\)। इस तरह पूर्ण वर्ग गुणनखंड (यहाँ 4) को स्रोत से बाहर निकाला जाता है। विकल्प B वास्तव में सरल नहीं किया गया रूप है (यह वही अभिव्यक्ति है)। विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि वे गुणनखंडों का गलत निकालना दर्शाते हैं (C में 4 का गुणन 2 से दोगुना कर दिया गया है, D में 20 को \(5\times2\) मान कर गलत रूप निकाला गया)। परीक्षा टिप: अंदर से सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग (4, 9, 16, ...) खोजें और उसे बाएँ निकालें। / \(\sqrt{20}=\sqrt{4\times5}=\sqrt{4}\times\sqrt{5}=2\sqrt{5}\). Pull out the largest perfect-square factor (here 4) from under the radical. Option B is not simplified (it’s the original form). Options C and D result from incorrect factor extraction. Exam tip: always factor the radicand and remove the largest perfect square to simplify quickly.
समान घातमूलों (same radicand) वाले पदों को जोड़ते समय केवल उनके गुणांक जोड़े जाते हैं। यहाँ दोनों पद \(\sqrt{3}\) वाले हैं, अतः गुणांक 7 और 2 को जोड़कर \(7+2=9\) मिलता है। इसलिए परिणाम \(9\sqrt{3}\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि वह गुणांकों का गलत योग (7+7) दर्शाता है; विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि वे मूल (radicand) को बदल देते हैं — केवल समान radicand वाले पद ही जोड़े जा सकते हैं। छोटे परीक्षण-सूत्र: केवल तब जोड़ें जब दोनों पदों का radicand एक ही हो। / Like radical terms (same radicand) are combined by adding their coefficients. Both terms have \(\sqrt{3}\), so add coefficients: \(7+2=9\), giving \(9\sqrt{3}\). Option B is incorrect because it shows an incorrect coefficient (14); options C and D are wrong because they change the radicand (\(\sqrt{6}\) or \(\sqrt{30}\)), which cannot result from adding like radicals. Quick exam tip: combine radicals only when the radicands are identical; otherwise simplify each term first.
\(\sqrt{242}=\sqrt{121\times2}=\sqrt{121}\times\sqrt{2}=11\sqrt{2}\)। इसलिए सही उत्तर \(11\sqrt{2}\) है। विकल्प (B) गलत है क्योंकि \(2\sqrt{11}=\sqrt{4\times11}=\sqrt{44}\), जो \(\sqrt{242}\) के बराबर नहीं है। विकल्प (C) गणितीय गलती पर आधारित है — \(\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}\)। विकल्प (D) में गुणांक बढ़ा हुआ है और मान मेल नहीं खाता। परीक्षा युक्ति: अंदर का सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग ढूँढें (यहाँ 121) और वह पूरा भाग वर्गमूल के बाहर निकालें। / \(\sqrt{242}=\sqrt{121\times2}=\sqrt{121}\times\sqrt{2}=11\sqrt{2}\). Thus the simplified form is \(11\sqrt{2}\). Option B is a common mistake: \(2\sqrt{11}=\sqrt{4\times11}=\sqrt{44}\), not \(\sqrt{242}\). Option C wrongly splits a sum under a root (\(\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}\)). Option D has an incorrect factor. Exam tip: always factor out the largest perfect square first (here 121).
\(\sqrt{75}=\sqrt{25\times3}=5\sqrt{3}\)। अतः \(\sqrt{3}+\sqrt{75}=\sqrt{3}+5\sqrt{3}=6\sqrt{3}\)। विकल्प \(\sqrt{78}\) गलत है क्योंकि \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ne\sqrt{a+b}\) सामान्य रूप से नहीं होता। परीक्षा‑टिप: पहले वर्ग-गुणक (perfect square) बाहर निकालें ताकि 'like' radical पदों को जोड़ा जा सके। / Since \(\sqrt{75}=\sqrt{25\times3}=5\sqrt{3}\), we have \(\sqrt{3}+\sqrt{75}=\sqrt{3}+5\sqrt{3}=6\sqrt{3}\). The common wrong idea \(\sqrt{78}\) assumes \(\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}\), which is not true in general. Exam tip: factor out perfect squares first and then add like radical terms.
\(\sqrt{18}=\sqrt{9\times 2}=3\sqrt{2}\) होने से\(\sqrt{2}+\sqrt{18}=\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}\)। विकल्प B, \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) है, जो \(4\sqrt{2}\) के बराबर नहीं है। विकल्प C सिर्फ \(\sqrt{18}\) का सरलीकरण है (\(3\sqrt{2}\)) और विकल्प D मात्रा में छोटा है। परीक्षा-सुझाव: पहले हर रूट को गुणनफल में तोड़कर पूर्ण वर्ग निकालें और तभी समान प्रकार के पद जोड़ें। / Since \(\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}\), we have \(\sqrt{2}+\sqrt{18}=\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}\). Option B, \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), is not equal to \(4\sqrt{2}\). Option C equals only \(\sqrt{18}\) (i.e. \(3\sqrt{2}\)), and option D is too small. Exam tip: always simplify each radical by extracting perfect squares first, then combine like (same-radical) terms.
\(\sqrt{200}=\sqrt{100\times2}=10\sqrt{2}\) है। सबसे बड़े पूर्ण वर्ग को बाहर निकालना अच्छा तरीका है। / \(\sqrt{200}=\sqrt{100\times2}=10\sqrt{2}\). Taking out the greatest perfect square is a good method.
सही उत्तर इसलिए है क्योंकि \(\sqrt{150}=\sqrt{25\times6}=5\sqrt{6}\)। यहाँ 25 एक पूर्ण वर्ग है, इसलिए उसे मूल से बाहर लेकर आ सकते हैं। नज़दीकी भ्रमितकर्ता क्यों गलत है: \(3\sqrt{50}\) गलत है क्योंकि \(3\sqrt{50}=3\times5\sqrt{2}=15\sqrt{2}\), जो \(5\sqrt{6}\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: किसी भी जड़ को सरल करने के लिए अंदर के भाग को सबसे बड़े पूर्ण वर्ग गुणनखंड में विभाजित करें। / Correct because \(\sqrt{150}=\sqrt{25\times6}=5\sqrt{6}\); 25 is the largest perfect square factor and can be taken outside the root. Why the closest distractor is wrong: \(3\sqrt{50}=3\times5\sqrt{2}=15\sqrt{2}\), not equal to \(5\sqrt{6}\). Exam tip: always factor the radicand into the largest perfect square times the remainder to simplify square roots quickly.
घनमूल और वर्गमूल का नियम है कि \(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) जब \(a,b\ge0\) हो। यहाँ \(\sqrt{\frac{49}{64}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{64}}=\frac{7}{8}\)। इसका मान धनात्मक लिया जाता है क्योंकि मुख्य वर्गमूल हमेशा गैर‑ऋणात्मक होता है। नज़दीकी भ्रामक विकल्प \(-\frac{7}{8}\) उसीलिए गलत है क्योंकि वह ऋणात्मक है। अन्य विकल्प जैसे \(\frac{49}{8}\) और \(\frac{7}{64}\) गणना की गलतियों से आते हैं (अर्कों का वर्गमूल न सही ढंग से लेना या भाग स्थानांतरित करना)। परीक्षा टिप: भिन्न के वर्गमूल को अलग‑अलग बलों पर लें और हमेशा मुख्य (positive) वर्गमूल चुनें। / Use the rule \(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) for nonnegative \(a,b\). So \(\sqrt{\frac{49}{64}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{64}}=\frac{7}{8}\). The principal square root is nonnegative, so \(-\frac{7}{8}\) is not valid. The other distractors come from incorrect manipulation (for example taking root only of numerator or misplaced division). Exam tip: simplify perfect squares in numerator and denominator before taking the square root, and remember the principal root is positive.
\(\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\) है क्योंकि \(5=\sqrt{5}\times\sqrt{5}\)। जड़ वाले हर को सरल करना सीखें। / \(\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\) because \(5=\sqrt{5}\times\sqrt{5}\). Learn to simplify denominators with roots.
पहला कदम हर घातमूल को सरल करना है: \(\sqrt{98}=\sqrt{49\times2}=7\sqrt{2}\) और \(\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=5\sqrt{2}\)। अब समान प्रकार के शर्तांक घटाने पर अंतर \(7\sqrt{2}-5\sqrt{2}=2\sqrt{2}\) आता है। विकल्प B (2) गलत है क्योंकि यहाँ \(\sqrt{2}\) का गुणांक नहीं रखा गया है; विकल्प D (\(12\sqrt{2}\)) तब बनता है जब गलती से दोनों गुणांकों को जोड़ दिया जाए। परीक्षा युक्ति: किसी भी घातमूल को पहले पूर्णवर्ग का गुणनखंड निकालकर सरल करें ताकि समान प्रकार के परिभाज्य (like surds) मिल सकें। / Simplify each radical first: \(\sqrt{98}=\sqrt{49\cdot2}=7\sqrt{2}\) and \(\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt{2}\). Subtracting like surds gives \(7\sqrt{2}-5\sqrt{2}=2\sqrt{2}\). Option B (2) is incorrect because the factor \(\sqrt{2}\) must remain; option D (\(12\sqrt{2}\)) would result from wrongly adding the coefficients instead of subtracting. Exam tip: always factor out perfect squares from under the radical to combine surds correctly.
\(\sqrt{63}=\sqrt{9\times7}=3\sqrt{7}\) और \(\sqrt{28}=\sqrt{4\times7}=2\sqrt{7}\)। दोनों समान घनमूल पद हैं, इसलिए गुणांक जोड़कर \(3\sqrt{7}+2\sqrt{7}=5\sqrt{7}\) मिलता है। विकल्प C (\(\sqrt{91}\)) सामान्य गलती है जहाँ विद्यार्थी पदों को जोड़कर अंदर के हिस्से जोड़ देते हैं — ऐसा नहीं किया जा सकता; पहले सरल करें। विकल्प B (\(11\sqrt{7}\)) भी गलत है क्योंकि गुणांकों को गलत तरीके से जोड़ा गया होगा। परीक्षा टिप: अलग-अलग संख्या के गुणक होने पर ही समरूपी पद जोड़े जा सकते हैं — पहले प्रत्येक घनमूल को सरल बनाइए। / \(\sqrt{63}=\sqrt{9\times7}=3\sqrt{7}\) and \(\sqrt{28}=\sqrt{4\times7}=2\sqrt{7}\). These are like surd terms, so add coefficients: \(3\sqrt{7}+2\sqrt{7}=5\sqrt{7}\). Option C (\(\sqrt{91}\)) reflects the common mistake of adding under the radical (\(\sqrt{63+28}\)), which is invalid; you must simplify each radical first. Option B (\(11\sqrt{7}\)) is also incorrect — it results from an incorrect combination of coefficients. Exam tip: always factor each radicand to extract common square factors and then add only like surd terms (same \(\sqrt{\,}\) part).
\(\sqrt{108}=\sqrt{36\times3}=\sqrt{36}\,\sqrt{3}=6\sqrt{3}\). इसलिए सही सरलीकृत रूप \(6\sqrt{3}\) है। विकल्प C (\(3\sqrt{6}\)) और D (\(9\sqrt{2}\)) अलग मान देते हैं — उदाहरण के लिए \(3\sqrt{6}\) को \(6\sqrt{3}\) मानने के लिए \(\sqrt{6}=2\sqrt{3}\) होना चाहिए, जो गलत है। परीक्षा टिप: हमेशा संख्या को सबसे बड़े पूर्ण वर्ग के गुणनखंडों में विभाजित करें और फिर पूर्ण वर्ग की जड़ को बाहर निकालें। / \(\sqrt{108}=\sqrt{36\times3}=\sqrt{36}\cdot\sqrt{3}=6\sqrt{3}\). Hence the correct simplified form is \(6\sqrt{3}\). Distractors like \(3\sqrt{6}\) or \(9\sqrt{2}\) give different numerical values — e.g. \(3\sqrt{6}\) would require \(\sqrt{6}=2\sqrt{3}\) to equal the correct answer, which is false. Exam tip: factor the number into the largest perfect square times a remainder, then take the square root of the perfect square outside the radical.
√72 = √(36×2) = √36 × √2 = 6√2। यहाँ 72 के भीतर सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग 36 है, इसलिए √72 का सरल रूप 6√2 है। विकल्प B (−6√2) केवल साइन में त्रुटि है — मूलघटक मान हमेशा गैर-नकारात्मक फल देता है। विकल्प C (6√3) और D (12√2) गलत हैं क्योंकि उनके वर्ग करने पर 36×3 = 108 तथा 144×2 = 288 मिलते हैं, जो 72 के बराबर नहीं हैं। परीक्षा-सुझाव: किसी भी √ के भीतर सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग ढूँढें और उसे अलग निकालें (यह अक्सर 4, 9, 16, 25, 36,... में से होता है)। / √72 = √(36×2) = √36 × √2 = 6√2. The largest perfect square factor of 72 is 36, so the simplified form is 6√2. Option B (−6√2) only flips the sign — the principal square root is non-negative. Options C (6√3) and D (12√2) are incorrect because squaring them gives 108 and 288 respectively, not 72. Exam tip: always factor the radicand into the largest perfect square times the remainder (4, 9, 16, 25, 36,...), then take the square root of that perfect square out front.
\(\sqrt{80}=\sqrt{16\times5}=\sqrt{16}\,\sqrt{5}=4\sqrt{5}\) इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C (\(2\sqrt{5}\)) और विकल्प B (\(8\sqrt{5}\)) मान में क्रमशः आधा और दोगुना हैं — वे\(\sqrt{80}\) के सही सरलीकरण से मेल नहीं खाते। विकल्प D (\(10\sqrt{2}\)) भी बराबर नहीं है क्योंकि\(10\sqrt{2}\approx14.14\) जबकि\(4\sqrt{5}\approx8.94\)। परीक्षा सुझाव: किसी संख्या के अंदर सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड खोजें (यहाँ 16) और फिर\(\sqrt{a\times b}=\sqrt a\,\sqrt b\) का प्रयोग करें। / \(\sqrt{80}=\sqrt{16\times5}=\sqrt{16}\,\sqrt{5}=4\sqrt{5}\), so option A is correct. Option C (\(2\sqrt{5}\)) is only half of the correct value and option B (\(8\sqrt{5}\)) is twice as large, so both are incorrect. Option D (\(10\sqrt{2}\)) is numerically different (about 14.14) from \(4\sqrt{5}\) (about 8.94). Exam tip: always pull out the largest perfect square factor from under the root (here 16) and use \(\sqrt{a\times b}=\sqrt a\,\sqrt b\).
\(\sqrt{147}=\sqrt{49\times3}=\sqrt{49}\times\sqrt{3}=7\sqrt{3}\) होता है। इसलिए सही उत्तर \(7\sqrt{3}\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(3\sqrt{7}\) तब बनेगा जब संख्या \(9\times7\) हो — यहाँ ऐसा नहीं है। विकल्प C केवल मूल अभिव्यक्ति है, और विकल्प D सही उत्तर का तीन गुना है। परीक्षा-सुझाव: किसी भी समीकर्ण में सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग (यहाँ 49) खोजकर उसे मूल के बाहर निकालें। / \(\sqrt{147}=\sqrt{49\times3}=\sqrt{49}\times\sqrt{3}=7\sqrt{3}\). Thus the simplified form is \(7\sqrt{3}\). Option B is incorrect because \(3\sqrt{7}\) would arise from \(\sqrt{9\times7}\), which is not the factorization here. Option C is just the unsimplified radical and D is three times the correct value. Exam tip: always factor the radicand to find the largest perfect square and take its square root outside the radical (here 49 → 7).
