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\(\sqrt[3]{216}=6\) और \(\sqrt[3]{125}=5\) क्योंकि 216 और 125 पूर्ण घन हैं \(6^3=216, 5^3=125\)। अतः योग \(6+5=11\) होता है। विकल्प D को कुछ विद्यार्थी गलती से लेते हैं जब वह घनों का योग लेकर उसका बंहक निकालते हैं (\(\sqrt[3]{216+125}=\sqrt[3]{341}\) ) — यह अलग प्रक्रिया है और इसका मान लगभग 6.99 होगा, इसलिए वह गलत है। परिक्षण-टिप: पूर्ण घन पहचाने और पहले प्रत्येक का घनमूल निकालकर फिर जोड़ें। / \(\sqrt[3]{216}=6\) and \(\sqrt[3]{125}=5\) because 216 and 125 are perfect cubes \(6^3=216, 5^3=125\). Therefore the sum is \(6+5=11\). Option D arises if one mistakenly takes the cube root after adding (\(\sqrt[3]{216+125}=\sqrt[3]{341}\) ), which is not the same; its value is about 6.99. Exam tip: identify perfect cubes first, take each cube root, then perform the required arithmetic—don’t swap root and sum operations.
\(\sqrt[3]{343}=7\) क्योंकि 343 एक पूर्ण घन है (\(7^3=343\)) और उसका घनमूल एक पूर्णांक है। किसी भी पूर्णांक को परिमेय माना जाता है क्योंकि उसे भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है (उदा. \(7=7/1\))। विकल्प B (अपरिमेय) गलत है क्योंकि अपरिमेय संख्याएँ गैर‑समाप्त और गैर‑आवर्ती दशमलव रूप में होती हैं, पर यहाँ परिणाम 7 एक समापवर्त्य पूर्णांक है। विकल्प C (अवास्तविक) गलत है क्योंकि 7 वास्तविक संख्या है। विकल्प D गलत है क्योंकि 7 का दशमलव रूप समाप्त (7.0) है, न कि अनंत अनावर्ती। परीक्षा-सूत्र: किसी घनमूल को परखने के लिए देखें कि अंदर का अंक किसी पूर्ण घन का गुणा है या नहीं — अगर हाँ, तो घनमूल एक पूर्णांक (परिमेय) होगा। / \(\sqrt[3]{343}=7\) since 343 is a perfect cube (\(7^3=343\)) and its cube root is an integer. Every integer is rational (e.g. \(7=7/1\)). Option B (irrational) is incorrect because irrational numbers are non‑terminating, non‑repeating decimals, unlike 7 which is a terminating integer. Option C (non‑real) is incorrect because 7 is a real number. Option D is incorrect because 7 has a terminating decimal representation (7.0), not a non‑terminating non‑repeating decimal. Exam tip: first check if the radicand is a perfect power corresponding to the root; if it is, the root is an integer (hence rational).
\(\sqrt[3]{216}=6\) क्योंकि \(216=6^3\)। 6 एक पूर्णांक है और सभी पूर्णांक परिमेय होते हैं (उन्हें p/q के रूप में लिखा जा सकता है)। विकल्प B और D गलत हैं क्योंकि ये अपरिमेय संख्याओं का वर्णन करते हैं (अपरिमेय संख्या वे होती हैं जिनका दशमलव विकास अनंत और अनावर्ती होता है)। विकल्प C गलत है क्योंकि अवास्तविक संख्याएँ (जैसे कल्पनिक भाग वाले संख्या) वास्तविक रेखा पर नहीं आतीं; यहाँ परिणाम वास्तविक और परिमेय है। परीक्षा टिप: किसी घनमूल का मान निकालते समय पहले देखें कि संख्या पूर्ण घन है या नहीं—यदि हाँ तो घनमूल एक पूर्णांक होगा। / \(\sqrt[3]{216}=6\) because \(216=6^3\). Since 6 is an integer, it is a rational number (can be written as p/q). Options B and D are descriptions of irrational numbers (whose decimal expansion is non-terminating and non-repeating), so they are wrong. Option C is incorrect because non-real numbers have an imaginary component; here the cube root is a real rational number. Exam tip: when finding a cube root, first check whether the number is a perfect cube — if so, the cube root is an integer.
\(\sqrt[3]{125}=5\) जो एक पूर्णांक है और इसे \(5=5/1\) के रूप में लिखा जा सकता है; अतः यह परिमेय संख्या है। किसी पूर्ण घन की घनमूल हमेशा पूर्णांक (यदि घन सही पूर्णांक है) और इसलिए परिमेय होती है। निकट भ्रामक विकल्प B (अपरिमेय) त्रुटिपूर्ण है क्योंकि अपरिमेय संख्याएँ गैर-समाप्त और अनावर्ती दशमलव रूप देती हैं, परन्तु यहाँ संख्या 5 समाप्त दशमलव है। विकल्प C गलत है क्योंकि 5 व्यावहारिक रूप से वास्तविक संख्या भी है। विकल्प D भी गलत है क्योंकि "अनावर्ती दशमलव" सामान्यतः अपरिमेय संख्याओं का गुण है, जबकि 5 का दशमलव रूप समाप्त है। परीक्षा सुझाव: किसी घनमूल को जाँचना हो तो पहले देखें कि क्या रैडिकैंड (यहाँ 125) एक पूर्ण घन है। / \(\sqrt[3]{125}=5\), which is an integer and can be written as \(5=5/1\); therefore it is a rational number. The cube root of a perfect cube is an integer (hence rational). The closest distractor B (irrational) is incorrect because irrational numbers have non‑terminating, non‑repeating decimal expansions, whereas 5 is a terminating decimal. C is wrong because the number is real, not non‑real. D is incorrect because a "non‑repeating decimal" typically describes irrationals, but 5 has a terminating decimal. Exam tip: first check whether the radicand is a perfect power—if so, the root will be an integer (rational).
\(\sqrt[3]{64}=4\) है क्योंकि 64 एक पूर्ण घन (\(4^3\)) है। 4 एक पूर्णांक है और सभी पूर्णांक परिमेय होते हैं (इन्हें भाज्य/हर के रूप में लिखा जा सकता है, जैसे \(4=4/1\))। विकल्प (B) गलत है क्योंकि अपरिमेय संख्याएँ अनिश्चित और अनावर्ती दशमलव होती हैं; परन्तु 4 एक समाप्त दशमलव (या घूर्णन में नहीं) है। विकल्प (D) भी गलत है: "अनावर्ती दशमलव" से अभिप्राय अपरिमेय है, पर 4 एक समाप्त दशमलव है। विकल्प (C) गलत है क्योंकि अवास्तविक संख्याएँ कल्पनिक घटक रखती हैं और यहाँ मान वास्तविक है। परीक्षण युक्ति: घनमूल निकालते समय देखें कि क्या संख्या किसी पूर्ण घन (1, 8, 27, 64, ...) में से है—यदि हाँ, तो परिणामी मान पूर्णांक और परिमेय होगा। / \(\sqrt[3]{64}=4\) because 64 is a perfect cube (\(4^3\)). The result 4 is an integer, and every integer is rational (can be written as a fraction, e.g. \(4=4/1\)). Option B is incorrect since irrational numbers have non-terminating, non-repeating decimals, which does not apply to 4. Option D is incorrect because a non-repeating decimal implies irrationality, whereas 4 is a terminating decimal. Option C is wrong because non-real numbers involve imaginary parts; \(\sqrt[3]{64}\) is a real number. Exam tip: when evaluating nth roots, first check whether the radicand is a perfect power—if it is, the root is an integer (hence rational).
(9) पूर्ण घन नहीं है इसलिए \(\sqrt[3]{9}\) अपरिमेय है। घनमूल में पूर्ण घन पहचानना जरूरी है। / (9) is not a perfect cube so \(\sqrt[3]{9}\) is irrational. Identifying perfect cubes is important in cube roots.
\(\sqrt[3]{27}=3\) क्योंकि \(3^3=27\)। 3 एक पूर्णांक है और सभी पूर्णांक परिमेय होते हैं (उन्हें एक भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है, जैसे \(3=3/1\))। विकल्प B गलत है क्योंकि अपरिमेय संख्या का दशमलव रूप अनन्त और गैर-आवर्ती होता है — यहाँ संख्या संपूर्ण और परिमेय है। विकल्प C गलत है क्योंकि अवास्तविक (complex non-real) संख्याएँ वास्तविक रेखा पर नहीं आतीं; यहाँ परिणाम वास्तविक और पूर्णांक है। विकल्प D भी गलत है क्योंकि यह विकल्प अनंत और गैर‑दोहराने वाले दशमलव का ब्योरा देता है, जबकि यहाँ दशमलव नहीं बल्कि एक समाप्त पूर्णांक है। परीक्षा सुझाव: घनमूल लेते समय पहले चेक करें कि क्या दी गई संख्या एक परफेक्ट क्यूब है; यदि हाँ तो घनमूल एक पूर्णांक और इसलिए परिमेय होगा। / \(\sqrt[3]{27}=3\) since \(3^3=27\). The result is an integer, and every integer is rational (can be written as a fraction, e.g. \(3=3/1\)). Option B is incorrect because irrational numbers cannot be expressed as a ratio of integers and have non-repeating, non-terminating decimals — that does not apply here. Option C is incorrect because the value is a real integer, not a non-real complex number. Option D is incorrect because the number is not a non-terminating non-repeating decimal but a terminating integer. Exam tip: first check if the radicand is a perfect power; the root of a perfect cube is an integer and hence rational.
यदि मान लें \(\sqrt[3]{4}\) एक तर्कसंगत संख्या है और \(\sqrt[3]{4}=\dfrac{p}{q}\) (घनिष्ठ रूप से सरल भिन्न, gcd\((p,q)=1\)) हो। दोनों पक्षों का घन करने पर \(4q^{3}=p^{3}\) मिलता है। इससे स्पष्ट है कि \(p^{3}\) सम है इसलिए \(p\) सम होगा; मान लें \(p=2k\)। तब \(4q^{3}=8k^{3}\) और इसी से \(q^{3}=2k^{3}\) आता है, अतः \(q\) भी सम है। यह \(p\) और \(q\) के सह-प्रथम होने के विरोध में है। अतः प्रारम्भिक मान असत्य है और \(\sqrt[3]{4}\) अपरिमेय है। विकल्प B (2) गलत है क्योंकि \(2^{3}=8\), न कि 4; C और D भी स्पष्ट रूप से गलत हैं। परीक्षा टिप: किसी पूर्ण घन का परीक्षण करें — यदि अंदर का पूर्णांक पूर्ण घन न हो तो उसका घनमूल अपरिमेय होगा। / Assume \(\sqrt[3]{4}\) is rational: \(\sqrt[3]{4}=p/q\) in lowest terms (gcd\((p,q)=1\)). Cubing both sides gives \(4q^{3}=p^{3}\). Hence \(p^{3}\) is even so \(p\) is even; write \(p=2k\). Substituting yields \(4q^{3}=8k^{3}\) ⇒ \(q^{3}=2k^{3}\), so \(q\) is even too, contradicting gcd\((p,q)=1\). Therefore \(\sqrt[3]{4}\) is irrational. Option B (2) is incorrect because \(2^{3}=8\), not 4; C and D are also obviously wrong. Exam tip: for cube roots of integers, check whether the radicand is a perfect cube — if not, the cube root is irrational.
\(\sqrt[3]{8}=2\) क्योंकि 8 का घनमूल पूर्ण घन का पूरा भाग है। 2 एक पूर्णांक है और प्रत्येक पूर्णांक परिमेय होता है (उदा. \(2=\tfrac{2}{1}\))। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B गलत है क्योंकि अपरिमेय संख्याएँ गैर‑परिमेय, अनंत और असमाप्त दशमलव होती हैं, जबकि यहाँ संख्या 2 समाप्त दशमलव/पूर्णांक है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(2\) वास्तविक संख्या है, आवास्तविक (complex-only) नहीं। विकल्प D गलत है क्योंकि यह संख्या समाप्त दशमलव (2.0) है न कि अनंत/असमाप्त दशमलव। परीक्षा संकेत: किसी भी समपूर्ण घन का घनमूल निकालते समय पहले जाँचें कि वह पूर्ण वर्ग/घन है — यदि हाँ और घनमूल पूर्णांक आए तो संख्या परिमेय होगी। / \(\sqrt[3]{8}=2\). Since 8 is a perfect cube, its cube root is an integer (2), and every integer is rational (for example \(2=\frac{2}{1}\)). Thus option A is correct. Option B is incorrect because irrational numbers are non‑terminating, non‑repeating decimals, which does not apply to 2. Option C is wrong because 2 is a real number (not a non‑real/complex‑only number). Option D is incorrect because 2 is a terminating decimal (2.0), not a non‑terminating decimal. Exam tip: first check if the radicand is a perfect power; a perfect cube gives an integer cube root which is rational.
पूर्ण घन में हर अभाज्य की घात (3) की गुणज होनी चाहिए। / In a perfect cube, every prime exponent must be a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(2^5\) को \(2^6\) बनाने के लिए (2) और \(3^2\) को \(3^3\) बनाने के लिए (3) चाहिए। इसलिए गुणक \(2 \times 3=6\) है। / \(2^5\) needs one (2) to become \(2^6\), and \(3^2\) needs one (3) to become \(3^3\). So the multiplier is \(2 \times 3=6\).
Step 3
Exam Tip
हर घात को अगली (3) की गुणज तक पहुंचाएं। / Raise each exponent to the next multiple of (3).
पूर्ण घन में हर अभाज्य की घात (3) की गुणज होनी चाहिए। / In a perfect cube, every prime exponent must be a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(2^4\) को \(2^6\) बनाने के लिए \(2^2\) और \(3^2\) को \(3^3\) बनाने के लिए (3) चाहिए। इसलिए गुणक \(2^2 \times 3=12\) होना चाहिए। / \(2^4\) needs \(2^2\) to become \(2^6\), and \(3^2\) needs (3) to become \(3^3\). The least multiplier is (12).
Step 3
Exam Tip
दिए विकल्पों में (12) नहीं है, इसलिए यदि विकल्पों को सही मानना हो तो प्रश्न त्रुटिपूर्ण होगा। / Since (12) is not in the options, the listed choices contain an error.
पूर्ण घन में हर अभाज्य की घात (3) की गुणज होनी चाहिए। / In a perfect cube, each prime exponent must be a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(2^2\) को \(2^3\) और \(3^2\) को \(3^3\) बनाने के लिए \(2 \times 3=6\) से गुणा करना होगा। / To make \(2^2\) into \(2^3\) and \(3^2\) into \(3^3\), multiply by \(2 \times 3=6\).
Step 3
Exam Tip
पूर्ण घन में घातें (3,6,9) जैसी होनी चाहिए। / For a cube, exponents should be like (3,6,9).
पूर्ण घन में हर अभाज्य की घात (3) की गुणज होनी चाहिए। / In a perfect cube, every prime exponent must be a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(2^6\) ठीक है क्योंकि (6), (3) की गुणज है; \(3^2\) को \(3^3\) बनाने के लिए एक (3) और चाहिए। / \(2^6\) is fine, but \(3^2\) needs one more (3) to become \(3^3\).
Step 3
Exam Tip
पूर्ण घन के लिए घातों को (3,6,9) जैसे गुणज बनाएं। / For cubes, make exponents multiples of (3).
भाग देने के बाद बची घातें (3) की गुणज होनी चाहिए। / After division, remaining exponents must be multiples of (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(2^2\) को हटाना होगा, \(3^4\) से (3) हटाकर \(3^3\) रहेगा, और \(5^5\) से \(5^2\) हटाकर \(5^3\) रहेगा। / Remove \(2^2\), remove (3) from \(3^4\), and remove \(5^2\) from \(5^5\).
Step 3
Exam Tip
नीचे की नजदीकी (3) की गुणज तक घात घटाएं। / Reduce each exponent to the nearest lower multiple of (3).
भाग देने पर घातें घटती हैं और पूर्ण घन के लिए बची घातें (3) की गुणज होनी चाहिए। / Division reduces exponents, and a perfect cube needs remaining exponents as multiples of (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(2^4\) से \(2^3\) बचाने के लिए (2), \(3^5\) से \(3^3\) बचाने के लिए \(3^2\), और \(11^2\) से \(11^0\) बचाने के लिए \(11^2\) से भाग दें। / Divide \(2^4\) by (2), \(3^5\) by \(3^2\), and \(11^2\) by \(11^2\).
Step 3
Exam Tip
भाग वाले प्रश्न में घात को नीचे की (3) की गुणज तक घटाएं। / In division questions, reduce each exponent to the nearest lower multiple of (3).
घनमूल लेते समय हर अभाज्य घात को (3) से भाग देते हैं। / For cube root, divide each prime exponent by (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(9\div3=3\), \(6\div3=2\), और \(3\div3=1\), इसलिए घनमूल \(2^3\times3^2\times7\) है। / \(9\div3=3\), \(6\div3=2\), and \(3\div3=1\), so the cube root is \(2^3\times3^2\times7\).
Step 3
Exam Tip
पूर्ण घन में सभी घातें (3) की गुणज होती हैं। / In a perfect cube, all exponents are multiples of (3).
पूर्ण घन में हर अभाज्य गुणनखंड की घात (3) की गुणज होनी चाहिए। / In a perfect cube, every prime exponent must be a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(2^5\) को \(2^6\) बनाने के लिए (2), \(3^2\) को \(3^3\) बनाने के लिए (3), और \(7^1\) को \(7^3\) बनाने के लिए \(7^2\) चाहिए। / \(2^5\) needs one more (2), \(3^2\) needs one more (3), and \(7^1\) needs \(7^2\).
Step 3
Exam Tip
घातों को अगली (3) की गुणज तक पूरा करें। / Complete each exponent to the next multiple of (3).
पूर्ण घन में हर घात 3 का गुणज होनी चाहिए। / In a perfect cube, every exponent must be a multiple of 3.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^{12}\) ठीक है, \(3^{11}\) को \(3^9\) और \(5^8\) को \(5^6\) बनाना होगा। / \(2^{12}\) is suitable, while \(3^{11}\) and \(5^8\) must be reduced to \(3^9\) and \(5^6\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए सबसे छोटा भाजक \(3^2\times5^2\) है। / So the smallest divisor is \(3^2\times5^2\).
