Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
हर \(x\in A\) के लिए (y=5-x) unique और (A) में है। equation relation को function बनाने के लिए uniqueness check करें। / For every \(x\in A\), (y=5-x) is unique and lies in (A). For an equation relation, check uniqueness to decide function status.
absolute value में (|-1|=1), (|0|=0), (|1|=1), (|2|=2)। ordered pair में first coordinate input ही रहता है। / For absolute value, (|-1|=1), (|0|=0), (|1|=1), and (|2|=2). In an ordered pair, the first coordinate remains the input.
\(y^2=x\) में (x=4) पर (y=2) और (y=-2) दोनों मिलते हैं। एक (x) की दो (y) values function नहीं बनातीं। / In \(y^2=x\), for (x=4), both (y=2) and (y=-2) are possible. Two (y)-values for one (x) do not define a function.
यहां (|A|=2) और (|B|=3), इसलिए functions \(=3^2=9\)। counting में base codomain size और exponent domain size रखें। / Here (|A|=2) and (|B|=3), so functions \(=3^2=9\). In counting, keep codomain size as base and domain size as exponent.
domain के हर (m) element के लिए codomain में (n) choices हैं, इसलिए कुल \(n^m\) फलन हैं। exponent हमेशा domain size पर होता है। / Each of the (m) domain elements has (n) choices in the codomain, so total functions are \(n^m\). The exponent is always the domain size.
किसी फलन का परिसर उन सभी वास्तविक मानों का समुच्चय होता है जो फलन के द्वारा प्राप्त होते हैं, अर्थात क्रमित युग्मों के दूसरे घटक। यहाँ \(1\mapsto a\), \(2\mapsto b\) और \(3\mapsto b\), इसलिए परिसर \(\{a,b\}\) है। \(\{a,b,c,d\}\) सहपरिसर (codomain) है, लेकिन \(c\) और \(d\) वास्तव में प्राप्त नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: range निकालने के लिए सभी युग्मों के दूसरे घटक लिखकर दोहराए गए मान को केवल एक बार रखें। / The range of a function is the set of all actual output values, כלומר the second components of its ordered pairs. Here, \(1\mapsto a\), \(2\mapsto b\), and \(3\mapsto b\), so the range is \(\{a,b\}\). The set \(\{a,b,c,d\}\) is the codomain, but \(c\) and \(d\) are not attained by the function. Exam tip: To find the range, collect the second components of all ordered pairs and list repeated values only once.
outputs (5,0,-3,-4,-3) हैं, इसलिए distinct values ({-4,-3,0,5}) range हैं। set में repeated values नहीं लिखते। / The outputs are (5,0,-3,-4,-3), so distinct values ({-4,-3,0,5}) form the range. Repeated values are not written in a set.
A. हर \(a\in A\) के लिए \(f(a)\in B\) unique होता है/For every \(a\in A\), \(f(a)\in B\) is unique
Explanation
Simple Explanation
function में हर domain element की unique image codomain में होती है। यह जरूरी नहीं कि पूरा codomain range बन जाए। / In a function, every domain element has a unique image in the codomain. The whole codomain need not become the range.
domain first coordinates का set है और यहां \(A=\{1,2,3\}\) है। ordered pairs और domain को अलग-अलग पहचानें। / The domain is the set of first coordinates, and here \(A=\{1,2,3\}\). Distinguish ordered pairs from the domain.
A. यह constant function है/It is a constant function
Explanation
Simple Explanation
हर input की image (2) है, इसलिए यह constant function है। एक ही output बार-बार आना function को invalid नहीं बनाता। / Every input has image (2), so it is a constant function. Repeated output does not make a function invalid.
किसी भी फलन में ordered pairs की संख्या domain के elements की संख्या के बराबर होती है। यहां (|A|=3), इसलिए pairs (3) हैं। / In any function, the number of ordered pairs equals the number of elements in the domain. Here (|A|=3), so there are (3) pairs.
(x=1,2,3) के लिए pairs ((1,1),(2,4),(3,9)) मिलते हैं। rule relation में domain values को systematically substitute करें। / For (x=1,2,3), pairs are ((1,1),(2,4),(3,9)). In rule-based relations, substitute domain values systematically.
A. हर \(a\in A\) के लिए ठीक एक \(b\in B\) हो ताकि \((a,b)\in R\)/For every \(a\in A\), there is exactly one \(b\in B\) such that \((a,b)\in R\)
Explanation
Simple Explanation
फलन की शर्त domain elements पर लगती है, codomain elements पर नहीं। definition questions में exactly one शब्द सबसे जरूरी है। / The condition for a function is on domain elements, not codomain elements. In definition questions, the words exactly one are most important.
(f(4)=1), इसलिए ((4,0)) relation में नहीं है। ordered pair जांचते समय first coordinate को rule में रखकर image निकालें। / (f(4)=1), so ((4,0)) is not in the relation. To test an ordered pair, put the first coordinate into the rule.
A. (x=3) के लिए (y=0,1,2) possible हैं/For (x=3), (y=0,1,2) are possible
Explanation
Simple Explanation
(x=3) की कई images हैं, इसलिए uniqueness टूटती है। inequality वाले relations में एक input पर possible outputs गिनें। / For (x=3), there are many images, so uniqueness fails. In inequality relations, count possible outputs for one input.
A. \(4\in A\) की कोई image नहीं है/\(4\in A\) has no image
Explanation
Simple Explanation
(A) के हर element की image होनी चाहिए, लेकिन (4) missing है। codomain का कोई unused element होना function को गलत नहीं बनाता। / Every element of (A) must have an image, but (4) is missing. An unused element of the codomain does not make a function invalid.
A. हर \(a\in A\) से (B) के ठीक एक element तक arrow है/Every \(a\in A\) has exactly one arrow to an element of (B)
Explanation
Simple Explanation
फलन में domain के प्रत्येक element से ठीक एक arrow निकलना चाहिए। diagram में arrows की direction और count दोनों देखें। / In a function, exactly one arrow must start from each domain element. In diagrams, check both arrow direction and arrow count.
(x=0,1,2,3) रखने पर outputs (1,3,5,7) मिलते हैं। range हमेशा actual images का set होता है, पूरा codomain जरूरी नहीं। / Putting (x=0,1,2,3) gives outputs (1,3,5,7). The range is the set of actual images, not necessarily the whole codomain.
हर ordered pair में (y=2x+1) satisfies करता है। दिए गए pairs से rule पहचानते समय सभी pairs पर rule जांचें। / Every ordered pair satisfies (y=2x+1). While identifying a rule from pairs, test the rule on all pairs.
यहां \(2\in A\) की दो images (q) और (r) हैं। फलन में एक input की दो अलग outputs नहीं हो सकतीं। / Here \(2\in A\) has two images (q) and (r). In a function, one input cannot have two different outputs.
एक input की ठीक एक output होना जरूरी है; अलग inputs की same output हो सकती है। common mistake: same image को function rule का violation न मानें। / A function needs exactly one output for each input; different inputs may have the same output. Common mistake: do not treat same image as a violation of function rule.
(A) के हर (4) element के लिए (B) में (2) choices हैं, इसलिए कुल \(2^4=16\) फलन हैं। सूत्र याद रखें: (A) से (B) तक फलन \(=|B|^{|A|}\)। / Each of the (4) elements of (A) has (2) choices in (B), so total functions are \(2^4=16\). Remember the formula: functions from (A) to (B) \(=|B|^{|A|}\).
हर \(x\in A\) की ठीक एक छवि (B) में है। परीक्षा में पहले domain के हर element की उपस्थिति और uniqueness जांचें। / Every \(x\in A\) has exactly one image in (B). In exams, first check presence and uniqueness for each domain element.
खाली संबंध में कोई ordered pair नहीं होता। याद रखें \(R=\varnothing\) भी एक वैध संबंध है। / An empty relation has no ordered pair. Remember that \(R=\varnothing\) is also a valid relation.
परिभाषा के अनुसार किसी समुच्चय A का पूरक \(A^{c}\) वह समुच्चय है जो सार्वभौमिक समुच्चय \(U\) में से A के तत्वों को हटाकर मिलता है, अर्थात् \(A^{c}=U\setminus A\). इसलिए स्पष्ट है कि \(A^{c}\) हमेशा \(U\) का ही एक उपसमुच्चय होगा, यानी \(A^{c}\subseteq U\) हमेशा सत्य है. अन्य विकल्प गलत क्यों: (B) यदि \(U\subseteq A^{c}\) हो तो तब ही संभव है जब \(A^{c}=U\) अर्थात् \(A=\varnothing\) — पर यह सभी A के लिए सही नहीं है. (C) \(A^{c}=A\) सामान्यतः असंभव है, यह केवल विशेष (और व्यावहारिक रूप से दुर्लभ) स्थितियों में ही हो सकता है (उदाहरण: यदि \(U=\varnothing\)). (D) \(A^{c}=\varnothing\) तभी होगा जब \(A=U\), जो हर A के लिए सत्य नहीं है. परीक्षा-टिप: हमेशा ध्यान रखें कि पूरक को परिभाषित करने में सार्वभौमिक समुच्चय \(U\) का प्रयोग होता है, इसलिए पूरक से शुरू करते समय उसे \(U\setminus A\) के रूप में लिखें। / By definition the complement of A is the set of all elements of the universal set U that are not in A, i.e. \(A^{c}=U\setminus A\). Hence \(A^{c}\) is always a subset of U, so \(A^{c}\subseteq U\) is always true. Why the other options fail: (B) \(U\subseteq A^{c}\) would force \(A^{c}=U\) (and thus \(A=\varnothing\)), which need not hold for every A. (C) \(A^{c}=A\) is not generally true — it only happens in degenerate cases (for example when \(U=\varnothing\)). (D) \(A^{c}=\varnothing\) means \(A=U\), again not true for every set. Exam tip: always express complement as \(U\setminus A\) to check subset relations quickly.
पूरक सेट से सदस्यता पर ध्यान दें। \(A^c=\{2,3\}\) है क्योंकि यूनिवर्सल सेट \(U\) में से \(A\) के तत्व निकालने पर बचे तत्व 2 और 3 हैं। इसलिए \(2\in A^c\) सत्य है। विकल्प (B) गलत है क्योंकि \(1\in A\) है, अतः \(1\notin A^c\)। प्रयोगिक परीक्षा-सुझाव: हमेशा पहले पूरक सेट लिखिए और फिर किसी तत्व की सदस्यता की जाँच कीजिए। / Use the definition of complement. Removing elements of \(A\) from the universal set \(U\) gives \(A^c=\{2,3\}\), so \(2\in A^c\) is true. Option B is wrong because \(1\in A\), hence \(1\notin A^c\). Quick exam tip: first list the complement explicitly, then check membership of the given element.
पहला समीकरण \(x^2-7x+12=0\) को गुणनखण्डों में लिखें: \((x-3)(x-4)=0\) अतः \(A=\{3,4\}\). दूसरा समीकरण \(x^2-9x+20=0\) देता है \((x-4)(x-5)=0\) अतः \(B=\{4,5\}\). संघ में दोनों सेटों के सभी अद्वितीय तत्व शामिल होते हैं, इसलिए \(A\cup B=\{3,4,5\}\). विकल्प (B) \(\{3,4\}\) निकट है परन्तु इसमें 5 गायब है; इसीलिए वह गलत है। परीक्षा-सुझाव: द्विघात समीकरण को तुरंत गुणनखण्ड में लिखकर उसके शून्य (roots) लिखें और फिर सेट-योजनों पर लागू करें। / Factor the quadratics: \(x^2-7x+12=(x-3)(x-4)\) so \(A=\{3,4\}\). And \(x^2-9x+20=(x-4)(x-5)\) so \(B=\{4,5\}\). The union contains all distinct elements from both sets, giving \(A\cup B=\{3,4,5\}\). Option (B) \(\{3,4\}\) is close but misses 5, so it is incorrect. Exam tip: quickly factor to get roots, list distinct roots, then apply union/intersection rules.
पहला कदम है \(B\cup C\) निकालना: \(B\cup C=\{2,3,4,6,7\}\). अब इसका \(A=\{1,2,3,4,5\}\) के साथ समापवर्त्य (intersection) लिया जाता है: सामान्य तत्व वे हैं जो दोनों में मौजूद हों, अर्थात् \(\{2,3,4\}\). विकल्प D (\(\{2,3,4,6,7\}\)) वास्तविक में \(B\cup C\) है, जो intersection नहीं है; विकल्प B (\(\{1,5\}\)) दरअसल \(A\setminus(B\cup C)\) जैसा है। परीक्षा टिप: पहले संघ (union) निकालें फिर वही सेट लेकर समापवर्त्य (intersection) करें — क्रम याद रखें। / Compute \(B\cup C\) first: \(B\cup C=\{2,3,4,6,7\}\). Now intersect with \(A=\{1,2,3,4,5\}\); the common elements are \(\{2,3,4\}\). Option D is the union \(B\cup C\), not the intersection; option B corresponds to elements of \(A\) not in \(B\cup C\). Exam tip: perform the union inside the parentheses first, then take the intersection with \(A\) to avoid order mistakes.
(A-B) में (A) के वे अवयव रहते हैं जो (B) में नहीं हैं। अंतर में हमेशा पहले समुच्चय से शुरुआत करें। / (A-B) keeps elements of (A) that are not in (B). Always start from the first set in difference.
\(A\cap B\) में केवल वे अवयव आते हैं जो दोनों समुच्चयों में हों। सामान्य अवयवों को ध्यान से पहचानें। / \(A\cap B\) contains only elements present in both sets. Identify common elements carefully.
