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\(A\cup B\) में दोनों समुच्चयों के सभी अलग-अलग अवयव आते हैं। दोहराए गए अवयवों को केवल एक बार लिखें। / \(A\cup B\) contains all distinct elements of both sets. Write repeated elements only once.
\(A\cup B\)=\{1,2,3,4,5,6,8,10\} है, जिसमें कुल 8 अद्वितीय अवयव हैं। ध्यान रखें कि साझा अवयव \(2\) और \(4\) को दो बार नहीं गिनते, इसलिए कुल संख्या 10 नहीं बनती। विकल्प B (7) अक्सर तब होता है जब किसी एक तत्व (उदाहरण के लिए 10) को भूल लिया जाए। परीक्षा टिप: संघ निकालते समय दोनों सेटों के सभी अलग-अलग अवयवों की सूची बनाकर दुहराव हटा दें। / The union is \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,8,10\}\), which contains 8 distinct elements. Do not count common elements (here 2 and 4) more than once; that is why the count is 8 rather than 10. Option B (7) would result from omitting one element (for example 10). Exam tip: write out all unique elements from both sets to find the union and then count them.
सेट अंतर A − B का अर्थ है वे तत्व जो A में हैं पर B में नहीं। A में से B के तत्व 2 और 4 को हटा देने पर बचे हुए तत्व {1,3,5} होते हैं। विकल्प A गलत है क्योंकि वह B के तत्व दिखा रहा है, विकल्प C गलत है क्योंकि उसने B के तत्व नहीं हटाए गए और विकल्प D गलत है क्योंकि अंतर खाली सेट नहीं है। परिक्षा टिप: A−B निकालने के लिए A के हर तत्व पर जांचें कि क्या वह B में है — अगर नहीं है तो उसे जोड़ें। / The set difference A − B consists of elements that are in A but not in B. Removing B's elements 2 and 4 from A = {1,2,3,4,5} leaves {1,3,5}, so option B is correct. Option A lists B itself, option C leaves A unchanged (didn't remove B), and option D (empty set) is wrong because some elements remain. Exam tip: To find A−B, cross out from A every element that appears in B; the leftovers form A−B.
(A-B) में (A) के वे अवयव आते हैं जो (B) में नहीं हैं। अंतर निकालते समय पहले (B) के समान अवयव हटाएं। / (A-B) contains elements of (A) that are not in (B). While finding difference, remove the common elements from (A).
\(A\cap B\) में केवल वे अवयव आते हैं जो दोनों में समान हों। समान अवयव पहचानना सबसे पहला कदम है। / \(A\cap B\) contains only elements common to both sets. First identify the common elements carefully.
\(A\cup B\) में दोनों समुच्चयों के सभी अलग-अलग अवयव आते हैं। परीक्षा में दोहराए गए अवयव एक बार ही लिखें। / \(A\cup B\) contains all distinct elements of both sets. In exams, write repeated elements only once.
एक सर्वे में 90 व्यक्तियों को शामिल किया गया। उनमें से 46 लोग रेडियो सुनते हैं, 38 लोग पॉडकास्ट सुनते हैं, और 16 लोग दोनों सुनते हैं। कितने लोग किसी भी तरह नहीं सुनते?
यह समस्या समावेशन-अपवर्जन (inclusion–exclusion) सिद्धांत पर आधारित है। कम से कम एक सुनने वालों की संख्या
\( |R\cup P|=|R|+|P|-|R\cap P|=46+38-16=68\) है। कुल 90 में से जो कम से कम एक सुनते हैं 68 हैं, इसलिए कोई भी नहीं सुनने वाले = \(90-68=22\)। निकटतम ग़लत विकल्प 68 है — वह वास्तव में "कम से कम एक" सुनने वालों की संख्या है, पर प्रश्न ने "किसी भी तरह नहीं" पूछ रखा है। परीक्षा सुझाव: प्रश्न जल्दी हल करने के लिए एक साधारण Venn आरेख बनाकर समावेशन-अपवर्जन सूत्र लिखें। / This uses the inclusion–exclusion principle. Number who listen to at least one is
\(|R\cup P|=|R|+|P|-|R\cap P|=46+38-16=68\). Out of 90 people, those who listen to neither = \(90-68=22\). The closest distractor 68 is the count for "at least one", not "neither", so it is incorrect for this question. Exam tip: draw a quick Venn diagram and apply the formula \(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\) to avoid double counting.
"केवल B" का अर्थ है B में होने वाले पर A में न होने वाले तत्व — यानी हम निकालते हैं \(B - A\)। B में {q,r,s,t} हैं और A में {p,q,r} हैं। सामान्य तत्व {q,r} हैं, इसलिए केवल B में बचे हुए तत्व {s,t} होंगे। विकल्प B ({q,r}) गलत है क्योंकि वे दोनों A और B दोनों में आते हैं; विकल्प A और D भी सही नहीं हैं। परीक्षा टिप: केवल B खोजने के लिए Venn आरेख बनाकर मध्य भाग (A∩B) हटाएँ या सीधे \(B - A\) निकालें। / "Only B" means elements in B that are not in A, i.e. compute \(B - A\). B = {q,r,s,t} and A = {p,q,r}, so the common elements are {q,r} and the remaining elements in B are {s,t}. Thus {s,t} is correct. Option B ({q,r}) is incorrect because those elements lie in A∩B, not only in B; A and D are also incorrect. Exam tip: draw a two-set Venn diagram or compute \(B - A\) directly to avoid mistakes.
कटाव (intersection) का अर्थ उन तत्वों का समुच्चय है जो दोनों समुच्चयों में साझा हैं। \(A\) में \(1,2,3,4,5\) हैं और \(B\) में \(3,5,7\) हैं; सामान्य तत्व केवल \(3\) और \(5\) हैं, इसलिए \(A\cap B=\{3,5\}\)। विकल्प A (\(\{1,2,4\}\)) केवल \(A\) के अलग-अलग तत्व हैं, वे \(B\) में नहीं हैं; विकल्प C (\(\{7\}\)) केवल \(B\) का अनन्य तत्व है; विकल्प D पूरा योग (union) है, न कि कटाव। परीक्षा टिप: दोनों सेटों के तत्व एक-एक करके लिखकर सामान्य तत्वों की पहचान करें या छोटा वेन आरेख बनाएं। / Intersection means the elements common to both sets. \(A\) contains \(1,2,3,4,5\) and \(B\) contains \(3,5,7\); the common elements are only \(3\) and \(5\), so \(A\cap B=\{3,5\}\). Option A (\(\{1,2,4\}\)) lists elements only in \(A\), not common to \(B\); option C (\(\{7\}\)) is only in \(B\); option D is the union of the two sets, not the intersection. Exam tip: list members of both sets side by side or draw a small Venn diagram to spot common elements quickly.
A का पूरक (A') वह सेट है जिसमें वे सभी सदस्य आते हैं जो यूनिवर्सल सेट U में तो हैं पर A में नहीं। गणना: U
= {नीला, हरा, पीला, गुलाबी}, A = {हरा, गुलाबी} ⇒ A' = U
A = {नीला, पीला}. इसलिए सही उत्तर {नीला, पीला} है। पास का भ्रम (option D) इसलिए गलत है क्योंकि उसमें पीला सही है पर गुलाबी A का सदस्य है — अतः वह पूरा पूरक नहीं है। परिक्षा सलाह: U को लिखकर A के सदस्यों पर रेखा खींच दें; जो बचे वे A' होंगे। / The complement A' consists of elements that are in the universal set U but not in A. Here U = {blue, green, yellow, pink} and A = {green, pink}, so A' = U \ A = {blue, yellow}. Thus option B is correct. The closest distractor (option D) is wrong because it mixes one correct element (yellow) with pink, which belongs to A, so it is not the full complement. Exam tip: list U, cross out elements of A, and the remaining elements form A'.
परिशिष्ट की परिभाषा के अनुसार \(A'=U\setminus A\) होता है। यदि \(A=U\) है तो \(U\setminus A=\varnothing\) अर्थात् रिक्त समुच्चय मिलता है, जिसमें कोई तत्व नहीं होते। इसलिए \(A'\) में तत्वों की संख्या 0 है। विकल्प C (4) गलत है क्योंकि वह \(|U|\) यानी मूल समुच्चय के तत्वों की संख्या है, पर परिशिष्ट में वे नहीं आते। परीक्षा टिप: परिशिष्ट निकालने के लिए हमेशा लिखें \(A'=U\setminus A\) और देखा कि क्या कुछ तत्व बचते हैं। / By definition the complement is \(A'=U\setminus A\). If \(A=U\), then \(U\setminus A=\varnothing\), the empty set, which has no elements. Therefore the number of elements in \(A'\) is 0. Option C (4) is incorrect because 4 is \(|U|\), the size of the universal set, not the size of the complement. Exam tip: write the complement as \(U\setminus A\) on paper to check whether any elements remain outside \(A\).
पूरक की परिभाषा है \(A'=U\setminus A\)। इसलिए \(A=U\setminus A'\)। यहाँ \(A=\{1,2,3,4\}\setminus\{1,4\}=\{2,3\}\)। विकल्प \(\{1,4\}\) पूरक ही है इसलिए वह गलत विकल्प है। परीक्षा सुझाव: पूरक निकालते समय सीधे सार्वत्रिक सेट से पूरक के तत्व घटा दें या एक छोटा वेन्न आरेख बनाकर चेक कर लें। / By definition the complement is \(A'=U\setminus A\), so \(A=U\setminus A'\). Thus \(A=\{1,2,3,4\}\setminus\{1,4\}=\{2,3\}\). The option \(\{1,4\}\) is the complement, not \(A\). Exam tip: compute complements by subtracting elements of \(A'\) from \(U\) or draw a simple Venn diagram to avoid errors.
\(A'\) (A का पूरक) वे तत्व हैं जो \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं। यहाँ \(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) और \(A=\{3,6,9\}\), अतः \(A'=\{1,2,4,5,7,8\}\). इसलिए 8 \(A'\) में है। विकल्प 6 और 9 \(A\) के सदस्य हैं इसलिए वे \(A'\) में नहीं होंगे। परीक्षा टिप: किसी भी तत्व को चुनने से पहले जाँच लें कि वह \(U\) में है और \(A\) में नहीं। / The complement \(A'\) consists of elements that are in \(U\) but not in \(A\). With \(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) and \(A=\{3,6,9\}\), we get \(A'=\{1,2,4,5,7,8\}\). Thus 8 is in \(A'\). Options 6 and 9 are in A, so they cannot be in A'. Exam tip: Always verify the chosen element is present in U and absent from A before answering.
पूरक की परिभाषा: A' = U \ A, अर्थात् U के वे तत्व जो A में नहीं हैं। यहाँ U = {लाल, नीला, हरा} और A = {लाल} है, अतः A' = {नीला, हरा}। विकल्प C ({हरा}) अधूरा है — केवल एक तत्व दे रहा है। विकल्प A ({लाल}) A स्वयं है, पूरक नहीं। विकल्प D \(\emptyset\) तब ही सही होगा जब A = U, पर यहाँ ऐसा नहीं है। परीक्षा सुझाव: A' निकालने के लिए सीधे U में से A के तत्व हटा दें; जो बचे वही A' होगा। / Definition: A' = U \ A, the elements of U that are not in A. With U = {red, blue, green} and A = {red}, A' = {blue, green}. Option C ({green}) is incomplete (misses blue). Option A ({red}) is A itself, not its complement. Option D \(\emptyset\) would be correct only if A = U, which is not the case here. Exam tip: compute A' by subtracting A from U element-wise: U \ A = remaining elements.
30 का अभाज्य गुणनखंड है \(30=2\times3\times5\)। इसलिए 30 के अभाज्य भाजक केवल \(2,3,5\) हैं और इस प्रकार सेट \(A\) का सदस्य exactly \(\{2,3,5\}\) है। अतः \(A= B\)। विकल्प (C) और (B) गलत हैं क्योंकि वे यह मानते हैं कि एक सेट दूसरे से अलग तत्व रखता है; यहाँ ऐसा नहीं है। विकल्प (D) में \(1\) और \(30\) शामिल हैं जो अभाज्य नहीं हैं, इसलिए वह भी गलत है। परीक्षा-सुझाव: किसी भी प्रश्न में तुरंत संख्या का अभाज्य गुणनखण्ड लिखें (यहाँ \(30=2\times3\times5\)) ताकि अभाज्य भाजक सीधे मिल जाएँ। / Factorize 30: \(30=2\times3\times5\). Hence the prime divisors of 30 are exactly \(2,3,5\), so \(A=\{2,3,5\}=B\). Options (B) and (C) are wrong because they assert a proper subset relation (extra or missing elements), which is not the case here. Option (D) incorrectly includes 1 and 30, neither of which are prime divisors. Exam tip: quickly write the prime factorization (e.g. \(30=2\times3\times5\)) to identify prime divisors without error.
बायाँ सिरा गोल है, इसलिए (-5) शामिल नहीं है। / The left endpoint is round, so (-5) is not included.
Step 2
Why this answer is correct
दायाँ सिरा वर्ग है, इसलिए (2) शामिल है और असमानता \(-5<x\le 2\) बनेगी। / The right endpoint is square, so (2) is included and the inequality is \(-5<x\le 2\).
Step 3
Exam Tip
कोष्ठक देखकर ही बराबरी का चिन्ह तय करें। / Decide equality signs by reading the brackets.
किसी समुच्चय का हर अवयव उसी समुच्चय में अवश्य होता है। / Every element of a set is certainly in the same set.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (A) अपने ही भीतर पूरी तरह शामिल है और \(A \subseteq A\) सही है। / Therefore (A) is completely contained in itself and \(A \subseteq A\) is correct.
Step 3
Exam Tip
हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है, इसे याद रखें। / Remember that every set is a subset of itself.
रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता। / The empty set has no element.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ऐसा कोई अवयव नहीं मिलता जो (A) में न हो, अतः \(\varnothing \subseteq A\) माना जाता है। / So there is no element that can fail to belong to (A), hence \(\varnothing \subseteq A\).
Step 3
Exam Tip
यह नियम उपसमुच्चय के प्रश्नों में बहुत उपयोगी है। / This rule is very useful in subset questions.
