To identify a closed interval, look for square brackets on both sides. चरण 1: बंद अंतराल में दोनों अंतिम संख्याएँ शामिल होती हैं। चरण 2: ([1,6]) में (1) और (6) दोनों शामिल हैं। चरण 3: बंद अंतराल पहचानने के लिए दोनों ओर वर्ग कोष्ठक देखें।
The left endpoint is round, so (-5) is not included.
Step 2
Why this answer is correct
The right endpoint is square, so (2) is included and the inequality is \(-5<x\le 2\).
Step 3
Exam Tip
Decide equality signs by reading the brackets. चरण 1: बायाँ सिरा गोल है, इसलिए (-5) शामिल नहीं है। चरण 2: दायाँ सिरा वर्ग है, इसलिए (2) शामिल है और असमानता \(-5<x\le 2\) बनेगी। चरण 3: कोष्ठक देखकर ही बराबरी का चिन्ह तय करें।
A. (4) शामिल है और (10) शामिल नहीं है/(4) is included and (10) is not included
Step 1
Concept
A square bracket includes the endpoint and a round bracket excludes it.
Step 2
Why this answer is correct
In ([4,10)), (4) is included but (10) is not.
Step 3
Exam Tip
For half-open intervals, check both endpoints separately. चरण 1: वर्ग कोष्ठक वाला सिरा शामिल होता है और गोल कोष्ठक वाला सिरा शामिल नहीं होता। चरण 2: ([4,10)) में (4) शामिल है पर (10) शामिल नहीं है। चरण 3: आधे खुले अंतराल में दोनों सिरों को अलग-अलग देखें।
Therefore \(3\le x\le 9\) is the correct inequality.
Step 3
Exam Tip
When you see square brackets, include equality signs. चरण 1: ([3,9]) में दोनों सिरे शामिल हैं। चरण 2: इसलिए (x) के लिए \(3\le x\le 9\) सही असमानता है। चरण 3: वर्ग कोष्ठक दिखे तो बराबरी का चिन्ह लगाना न भूलें।
In (2<x<7), equality is not included at either end.
Step 2
Why this answer is correct
So both endpoints use round brackets and the interval is ((2,7)).
Step 3
Exam Tip
Use open ends for strict inequalities. चरण 1: (2<x<7) में दोनों सिरों पर बराबरी शामिल नहीं है। चरण 2: इसलिए दोनों सिरों पर गोल कोष्ठक लगेंगे और अंतराल ((2,7)) होगा। चरण 3: सख्त असमानता के लिए खुला सिरा लिखें।
Use \(2^n\) to find (n(P(A))). चरण 1: घात समुच्चय (P(A)) में सभी उपसमुच्चय रखे जाते हैं। चरण 2: जब (n(A)=5), तब (n(P(A))=25=32)। चरण 3: (n(P(A))) निकालते समय \(2^n\) का प्रयोग करें।
(P(A)) contains all subsets of (A) as its elements.
Step 2
Why this answer is correct
({1}) is a subset of (A), so it is an element of (P(A)).
Step 3
Exam Tip
Always distinguish between (1) and ({1}). चरण 1: (P(A)) में (A) के सभी उपसमुच्चय अवयव बनते हैं। चरण 2: ({1}), (A) का उपसमुच्चय है, इसलिए यह (P(A)) का अवयव है। चरण 3: (1) और ({1}) में अंतर अवश्य पहचानें।
A proper subset does not include the whole set, so (8-1=7).
Step 3
Exam Tip
For proper subsets, remove only the full set. चरण 1: (3) अवयवों वाले समुच्चय के कुल उपसमुच्चय \(2^3=8\) होंगे। चरण 2: उचित उपसमुच्चय में पूरा समुच्चय शामिल नहीं होता, इसलिए (8-1=7)। चरण 3: उचित उपसमुच्चय में केवल पूर्ण समुच्चय को हटाना होता है।
While counting, include the empty set and the whole set too. चरण 1: (n) अवयवों वाले समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या \(2^n\) होती है। चरण 2: यहाँ (n=4), इसलिए \(2^4=16\)। चरण 3: संख्या गिनते समय रिक्त समुच्चय और पूरा समुच्चय भी शामिल करें।
Every element of a set is certainly in the same set.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore (A) is completely contained in itself and \(A \subseteq A\) is correct.
Step 3
Exam Tip
Remember that every set is a subset of itself. चरण 1: किसी समुच्चय का हर अवयव उसी समुच्चय में अवश्य होता है। चरण 2: इसलिए (A) अपने ही भीतर पूरी तरह शामिल है और \(A \subseteq A\) सही है। चरण 3: हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है, इसे याद रखें।
So there is no element that can fail to belong to (A), hence \(\varnothing \subseteq A\).
Step 3
Exam Tip
This rule is very useful in subset questions. चरण 1: रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता। चरण 2: इसलिए ऐसा कोई अवयव नहीं मिलता जो (A) में न हो, अतः \(\varnothing \subseteq A\) माना जाता है। चरण 3: यह नियम उपसमुच्चय के प्रश्नों में बहुत उपयोगी है।
A. (7) समुच्चय (B) में नहीं है/(7) is not in set (B)
Step 1
Concept
\(A\subseteq B\) holds only when every element of (A) is in (B).
Step 2
Why this answer is correct
(7) is in (A) but not in (B), so the relation is false.
Step 3
Exam Tip
Even one missing element breaks the subset relation. चरण 1: \(A\subseteq B\) तभी होगा जब (A) का हर अवयव (B) में हो। चरण 2: (7) (A) में है पर (B) में नहीं है, इसलिए संबंध गलत है। चरण 3: एक भी छूटा अवयव उपसमुच्चय संबंध को गलत कर देता है।
In a subset, every element of the first set must be in the second set.
Step 2
Why this answer is correct
(2,4,6) are all present in (B), so \(A \subseteq B\) is correct.
Step 3
Exam Tip
In exams, check each element one by one. चरण 1: उपसमुच्चय में पहले समुच्चय का हर अवयव दूसरे समुच्चय में होना चाहिए। चरण 2: (2,4,6) सभी (B) में हैं, इसलिए \(A \subseteq B\) सही है। चरण 3: परीक्षा में हर अवयव को अलग-अलग मिलाकर देखें।
It is important to distinguish between an element and a subset.
Step 2
Why this answer is correct
(1) is directly an element of (A), so \(1\in A\) is true.
Step 3
Exam Tip
Before writing a single number as a subset, it must be written as a set. चरण 1: किसी अवयव और उपसमुच्चय में अंतर समझना जरूरी है। चरण 2: (1) सीधे (A) का अवयव है, इसलिए \(1\in A\) सही है। चरण 3: अकेली संख्या को उपसमुच्चय लिखने से पहले उसे समुच्चय रूप में लिखना पड़ता है।
In a subset, every element of the first set must be in the second set.
Step 2
Why this answer is correct
All elements (2,4,6) of (A) are present in (B).
Step 3
Exam Tip
In exams, check each element of the smaller set carefully. चरण 1: उपसमुच्चय में पहले समुच्चय का हर अवयव दूसरे समुच्चय में होना चाहिए। चरण 2: (A) के सभी अवयव (2,4,6), (B) में उपस्थित हैं। चरण 3: परीक्षा में पहले छोटे समुच्चय के सभी अवयव मिलाकर जाँचें।
(A=[0,2]) contains all real numbers from (0) to (2), including the endpoints.
Step 2
Why this answer is correct
(B=(0,2)) contains only the numbers between (0) and (2), so every element of (B) is in (A).
Step 3
Exam Tip
For intervals with the same endpoints, check endpoint inclusion before deciding the subset relation. चरण 1: (A=[0,2]) में (0) और (2) सहित बीच की सभी वास्तविक संख्याएँ आती हैं। चरण 2: (B=(0,2)) में केवल (0) और (2) के बीच की संख्याएँ आती हैं, इसलिए (B) का हर अवयव (A) में है। चरण 3: समान सिरों वाले खुले और बंद अंतराल में सिरों को देखकर उपसमुच्चय तय करें।
The set ({0,1}) contains (0), so the whole set cannot be a subset of ((0,3)).
Step 3
Exam Tip
In open interval questions, spot endpoint values quickly. चरण 1: ((0,3)) में (0) शामिल नहीं है। चरण 2: ({0,1}) में (0) है, इसलिए यह पूरा समुच्चय ((0,3)) का उपसमुच्चय नहीं हो सकता। चरण 3: खुले अंतराल के सिरों को विकल्पों में तुरंत पहचानें।
The interval ([0,3]) contains numbers from (0) to (3), including both endpoints.
Step 2
Why this answer is correct
Every element of ({0,1,2,3}) lies in this interval.
Step 3
Exam Tip
Check every number against the interval before choosing a subset. चरण 1: ([0,3]) में (0) से (3) तक की संख्याएँ दोनों सिरों सहित आती हैं। चरण 2: ({0,1,2,3}) के सभी अवयव इसी अंतराल में हैं। चरण 3: उपसमुच्चय चुनते समय हर संख्या को अंतराल में जाँचें।
A. \(A\subseteq B\) और \(A\in B\) दोनों/Both \(A\subseteq B\) and \(A\in B\)
Step 1
Concept
Both (1) and (2) are in (B), so \(A\subseteq B\).
Step 2
Why this answer is correct
({1,2}) is also an element of (B), so \(A\in B\).
Step 3
Exam Tip
In such questions, check subset and element relations separately. चरण 1: (1) और (2), दोनों (B) में हैं, इसलिए \(A\subseteq B\)। चरण 2: ({1,2}) भी (B) का एक अवयव है, इसलिए \(A\in B\)। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में उपसमुच्चय और अवयव दोनों अलग-अलग जाँचें।
Keep the difference between an element and a set clear. चरण 1: \( \in \) चिन्ह अवयव होने को दिखाता है। चरण 2: \(a\in A\) का अर्थ है (a) समुच्चय (A) में मौजूद है। चरण 3: एक अवयव और एक समुच्चय में अंतर रखें।
A. (A) का हर अवयव (B) में है/Every element of (A) is in (B)
Step 1
Concept
\(A\subseteq B\) means all elements of (A) are in (B).
Step 2
Why this answer is correct
This is different from \(A\in B\).
Step 3
Exam Tip
Use the symbol to decide whether the statement is about an element or a subset. चरण 1: \(A\subseteq B\) का अर्थ है (A) के सभी अवयव (B) में हों। चरण 2: यह \(A\in B\) से अलग है। चरण 3: चिन्ह देखकर तय करें कि बात अवयव की है या उपसमुच्चय की।
The interval ((0,1)) contains all real numbers between (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
There are infinitely many real numbers between them.
Step 3
Exam Tip
Intervals usually contain infinitely many elements. चरण 1: ((0,1)) में (0) और (1) के बीच सभी वास्तविक संख्याएँ आती हैं। चरण 2: इनके बीच अनंत वास्तविक संख्याएँ हैं। चरण 3: अंतराल सामान्यतः अनंत अवयव रखते हैं।
