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दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है, इसलिए रेखाएं संपाती हैं। संपाती रेखाएं संगत और आश्रित युग्म देती हैं। / The second equation is (2) times the first, so the lines are coincident. Coincident lines give a consistent and dependent pair.
A. खाली स्थान दृश्य आराम देता है और गहरा आकार दृश्य भार देता है/Empty space gives visual rest and dark shape gives visual weight
Explanation
Simple Explanation
संतुलन केवल समानता नहीं बल्कि दृश्य भार से बनता है। परीक्षा में asymmetry में weight relation देखें। / Balance is created by visual weight not only sameness. Exam tip: observe weight relation in asymmetry.
A. तीव्र रंग छोटे आकार का दृश्य भार बढ़ा सकता है/Intense colour can increase visual weight of small shape
Explanation
Simple Explanation
रंग तीव्रता दृश्य भार को प्रभावित करती है। परीक्षा में balance में size के साथ intensity देखें। / Colour intensity affects visual weight. Exam tip: observe intensity along with size in balance.
अलग तत्वों का दृश्य भार संतुलित हो तो असममित संतुलन बनता है। परीक्षा में अलग लेकिन संतुलित याद रखें। / When different elements balance visual weight it creates asymmetrical balance. Exam tip: remember different but balanced.
क्षेत्रफल वृद्धि ((x+12)2-x-2=2448) है। इससे (24x+144=2448), इसलिए (x=96) है। / The area increase is ((x+12)2-x-2=2448). This gives (24x+144=2448), so (x=96).
क्षेत्रफल वृद्धि ((x+10)2-x-2=1700) है। इससे (20x+100=1700), इसलिए (x=80) है। / The area increase is ((x+10)2-x-2=1700). This gives (20x+100=1700), so (x=80).
क्षेत्रफल वृद्धि ((x+8)2-x-2=1216) है। इससे (16x+64=1216), इसलिए (x=72) है। / The area increase is ((x+8)2-x-2=1216). This gives (16x+64=1216), so (x=72).
क्षेत्रफल \(x^2\) है और दिया है \(x^2=10x+21\)। इसलिए \(x^2-10x-21=0\) सही है। / The area is \(x^2\), and it is given that \(x^2=10x+21\). Therefore \(x^2-10x-21=0\) is correct.
क्षेत्रफल \(x^2\) है और दिया है \(x^2=8x+15\)। इसलिए \(x^2-8x-15=0\) सही है। / The area is \(x^2\), and it is given that \(x^2=8x+15\). Therefore \(x^2-8x-15=0\) is correct.
क्षेत्रफल \(x^2\) है और दिया है \(x^2=6x+7\)। इसलिए \(x^2-6x-7=0\) सही है। / The area is \(x^2\) and it is given that \(x^2=6x+7\). Therefore \(x^2-6x-7=0\) is correct.
A. ऑक्सिन छाया वाली ओर अधिक वृद्धि कराता है जिससे तना प्रकाश की ओर मुड़ता है/Auxin causes more growth on the shaded side so the stem bends towards light
Step 1
Concept
एक ओर से प्रकाश आने पर ऑक्सिन का वितरण बदलता है। / When light comes from one side auxin distribution changes.
Step 2
Why this answer is correct
छाया वाली ओर कोशिकाएं अधिक लंबी होती हैं। / Cells on the shaded side elongate more.
Step 3
Exam Tip
असमान वृद्धि से तना प्रकाश की ओर मुड़ता है। / Unequal growth makes the stem bend towards light.
पहला समीकरण दूसरे का (15) गुना है। इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं और युग्म आश्रित है। / The first equation is (15) times the second. Therefore, both are the same line and the pair is dependent.
पहला समीकरण दूसरे का (12) गुना है। इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं और युग्म आश्रित है। / The first equation is (12) times the second. Therefore, both are the same line and the pair is dependent.
पहला समीकरण दूसरे का (6) गुना है। इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं और युग्म आश्रित है। / The first equation is (6) times the second. Therefore, both are the same line and the pair is dependent.
पहला समीकरण दूसरे का (8) गुना है। इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं और युग्म आश्रित है। / The first equation is (8) times the second. Therefore, both are the same line and the pair is dependent.
पहला समीकरण दूसरे का (8) गुना है। इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं और युग्म आश्रित है। / The first equation is (8) times the second. Therefore both are the same line and the pair is dependent.
तीनों अनुपात बराबर हों तो दोनों समीकरण एक ही रेखा दर्शाते हैं। ऐसा युग्म संगत और आश्रित होता है। / If all three ratios are equal both equations represent the same line. Such a pair is consistent and dependent.
पहला समीकरण दूसरे का (7) गुना है। इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं और युग्म आश्रित है। / The first equation is (7) times the second. Therefore, both are the same line and the pair is dependent.
समान ढाल और समान अवरोध का मतलब दोनों रेखाएं एक ही हैं। इसलिए युग्म संगत और आश्रित होता है। / Same slope and same intercept mean both lines are identical. Therefore, the pair is consistent and dependent.
तीनों अनुपात बराबर होने पर दोनों समीकरण एक ही रेखा बनाते हैं। इसलिए युग्म संगत और आश्रित होता है। / When all three ratios are equal, both equations form the same line. Therefore, the pair is consistent and dependent.
पहला समीकरण दूसरे का (6) गुना है। इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं और युग्म आश्रित है। / The first equation is (6) times the second. Therefore, both are the same line and the pair is dependent.
समान ढाल और समान अवरोध का मतलब दोनों रेखाएं एक ही हैं। इसलिए युग्म संगत और आश्रित है। / Same slope and same intercept mean both lines are the same. Therefore, the pair is consistent and dependent.
पहले दो अनुपात बराबर हैं, इसलिए असंगत होने के लिए स्थिर पद का अनुपात अलग होना चाहिए। अतः \(m \ne 14\)। / The first two ratios are equal, so for inconsistency the constant ratio must differ. Hence \(m \ne 14\).
तीनों अनुपात बराबर होने पर दोनों समीकरण एक ही रेखा देते हैं। इसे संगत और आश्रित युग्म कहते हैं। / When all three ratios are equal both equations give the same line. This is called a consistent and dependent pair.
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है, इसलिए दोनों रेखाएं संपाती हैं। ऐसे युग्म में अनंत हल होते हैं। / The second equation is (3) times the first, so both lines are coincident. Such a pair has infinitely many solutions.
A. जब कम से कम एक हल हो/When there is at least one solution
Explanation
Simple Explanation
संगत युग्म में कम से कम एक सामान्य हल होता है। यह एक हल या अनंत हल दोनों हो सकता है। / A consistent pair has at least one common solution. It may have one solution or infinitely many solutions.
यहां (4/8=1/2) लेकिन ((-3)/(-5)) अलग है, इसलिए कोई हल नहीं। यह असंगत युग्म है। / Here (4/8=1/2) but ((-3)/(-5)) is different, so there is no solution. This is an inconsistent pair.
जोड़ने पर (6x=48), इसलिए (x=8)। पहले समीकरण में रखने पर (16-7y=5), इसलिए \(y=\frac{11}{7}\)। / Adding gives (6x=48), so (x=8). Substituting in the first equation gives (16-7y=5), so \(y=\frac{11}{7}\).
जोड़ने पर (12x=36), इसलिए (x=3)। फिर (4x+7y=1) से \(y=-\frac{11}{7}\) मिलता है। / Adding gives (12x=36), so (x=3). Then (4x+7y=1) gives \(y=-\frac{11}{7}\).
दोनों समीकरण जोड़ने पर (11x=55), इसलिए (x=5)। दूसरे समीकरण से \(y=\frac{33}{5}\)। / Adding both equations gives (11x=55), so (x=5). The second equation gives \(y=\frac{33}{5}\).
दोनों समीकरण जोड़ने पर (9x=45), इसलिए (x=5)। दूसरे समीकरण से \(y=\frac{13}{3}\) मिलता है। / Adding both equations gives (9x=45), so (x=5). The second equation gives \(y=\frac{13}{3}\).
दूसरे समीकरण से (y=3x-10) रखें। पहले में रखने पर (11x=61), इसलिए \(x=\frac{61}{11},\ y=\frac{73}{11}\)। / Use (y=3x-10) from the second equation. Substitution gives (11x=61), so \(x=\frac{61}{11},\ y=\frac{73}{11}\).
(3+y=8), इसलिए (y=5) और हल ( (3,5) ) है। क्रम हमेशा ( (x,y) ) में लिखें। / (3+y=8), so (y=5) and the solution is ( (3,5) ). Always write the order as ( (x,y) ).
((-1,6)) रखने पर (2x+y=4) और (x-y=-7) दोनों सही हैं। प्रतिच्छेद बिंदु दोनों रेखाओं पर होना चाहिए। / Substituting ((-1,6)) makes (2x+y=4) and (x-y=-7) both true. The intersection point must lie on both lines.
((2,-5)) रखने पर (3x+y=1) और (x-y=7) दोनों सही हैं। प्रतिच्छेद बिंदु दोनों रेखाओं पर होना चाहिए। / Substituting ((2,-5)) makes (3x+y=1) and (x-y=7) both true. The intersection point must lie on both lines.
C. रेखाएं समांतर अलग-अलग होती हैं/The lines are distinct and parallel
Explanation
Simple Explanation
असंगत युग्म में कोई साझी बिंदु नहीं होता, इसलिए रेखाएं समांतर अलग-अलग होती हैं। यह कोई समाधान नहीं वाली स्थिति है। / An inconsistent pair has no common point, so the lines are distinct and parallel. This is the no-solution case.
((1,4)) रखने पर (3x+y=7) और (x+2y=9) दोनों सही हैं। प्रतिच्छेद बिंदु दोनों रेखाओं पर होना चाहिए। / Substituting ((1,4)) makes (3x+y=7) and (x+2y=9) true. The intersection point must lie on both lines.
A. (5x+2y=9) और (10x+4y=25)/(5x+2y=9) and (10x+4y=25)
Explanation
Simple Explanation
पहले समीकरण को (2) से गुणा करने पर (10x+4y=18), जबकि दूसरा (10x+4y=25) है। इसलिए रेखाएँ समांतर हैं और कोई हल नहीं है। / Multiplying the first equation by (2) gives (10x+4y=18), while the second is (10x+4y=25). Hence the lines are parallel and have no solution.
पहले समीकरण को (2) से गुणा करने पर (2x-2y=6), जबकि दूसरा (2x-2y=10) है। इसलिए रेखाएँ समांतर हैं और कोई हल नहीं है। / Multiplying the first equation by (2) gives (2x-2y=6), while the second is (2x-2y=10). Hence the lines are parallel and have no solution.
( (5,1) ) पर (5+1=6) और (5-1=4)। हल जाँचने के लिए दिए बिंदु को दोनों समीकरणों में रखें। / At ( (5,1) ), (5+1=6) and (5-1=4). To check a solution substitute the point in both equations.
एक ही रेखा के अनंत सामान्य बिंदु होते हैं। इसलिए युग्म संगत और आश्रित होता है। / The same line has infinitely many common points. Therefore, the pair is consistent and dependent.
सामान्य बिंदु न होने का अर्थ है कोई हल नहीं। ऐसा समीकरण युग्म असंगत कहलाता है। / No common point means no solution. Such a pair of equations is called inconsistent.
बॉर्डर के बाद भुजा (x+10) होगी। ((x+10)2=900) से (x+10=30) और (x=20) मिलता है। / After the border, the side becomes (x+10). From ((x+10)2=900), (x+10=30), so (x=20).
छोटा पक्ष (x) हो तो (\frac{1}{2}x(x+5)=84)। इससे \(x^2+5x-168=0\) और (x=12) है। / Let the shorter side be (x). Then (\frac{1}{2}x(x+5)=84). This gives \(x^2+5x-168=0\), so (x=12).
मूल भुजा (x) हो तो ((x+4)2-x-2=96)। इससे (8x+16=96) और (x=10) मिलता है। / If the original side is (x), then ((x+4)2-x-2=96). Thus (8x+16=96), giving (x=10).
वर्ग की भुजा (x) हो, तो शेष क्षेत्रफल (x(x-3)=70)। इससे \(x^2-3x-70=0\), इसलिए (x=10)। / Let the square side be (x), then the remaining area is (x(x-3)=70). This gives \(x^2-3x-70=0\), so (x=10).
छोटी भुजा (x) हो, तो (x-2+(x+5)2=252)। इससे \(x^2+5x-300=0\), इसलिए (x=15)। / Let the shorter side be (x), then (x-2+(x+5)2=252). This gives \(x^2+5x-300=0\), so (x=15).
यदि छोटी भुजा (x) है, तो दूसरी (x+14) होगी। (x-2+(x+14)2=342) से (x=16) मिलता है। / If the smaller side is (x), the other side is (x+14). From (x-2+(x+14)2=342), (x=16).
तीनों सारणिक शून्य होने पर समीकरण आश्रित हो सकते हैं। कक्षा (10) में इसे अनंत हल की स्थिति से जोड़कर देखें। / When all three determinants are zero, the equations may be dependent. In Class (10), link this with infinitely many solutions.
C. युग्म का अद्वितीय हल है/The pair has a unique solution
Explanation
Simple Explanation
सारणिक शून्य नहीं होने पर रेखाएँ एक बिंदु पर कटती हैं। इसलिए अद्वितीय हल होता है। / When the determinant is non-zero, the lines intersect at one point. Hence there is a unique solution.
समान ढाल और समान अवरोध का अर्थ एक ही रेखा है। इसलिए ऐसे युग्म में अनंत हल होते हैं। / Same slope and same intercept mean the same line. Therefore, such a pair has infinitely many solutions.
तीनों अनुपात समान होने पर रेखाएँ संपाती होती हैं। इसलिए अनंत हल मिलते हैं। / When all three ratios are equal, the lines are coincident. Therefore, infinitely many solutions occur.
अद्वितीय हल तब मिलता है जब रेखाएँ एक बिंदु पर कटती हैं। इसका अनुपात रूप \(\frac{a_1}{a_2}\neq\frac{b_1}{b_2}\) है। / A unique solution occurs when the lines intersect at one point. Its ratio form is \(\frac{a_1}{a_2}\neq\frac{b_1}{b_2}\).
यहाँ \(\frac{10}{20}\neq\frac{3}{9}\) है। इसलिए रेखाएँ एक बिंदु पर मिलती हैं। / Here \(\frac{10}{20}\neq\frac{3}{9}\). Therefore, the lines meet at one point.
गुणांक अनुपात समान है पर स्थिर पद का अनुपात अलग है। इसलिए रेखाएँ समांतर हैं और युग्म असंगत है। / Coefficient ratios are equal but the constant ratio is different. Hence the lines are parallel and the pair is inconsistent.
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{k}{6}\neq\frac{5}{15}\) होना चाहिए। इसलिए \(k\neq2\) सही है। / For a unique solution, \(\frac{k}{6}\neq\frac{5}{15}\) must hold. Therefore, \(k\neq2\) is correct.
अलग ढाल वाली रेखाएँ केवल एक बिंदु पर मिलती हैं। इसलिए युग्म संगत और स्वतंत्र होता है। / Lines with different slopes meet at exactly one point. Hence the pair is consistent and independent.
गुणांक अनुपात अलग होने पर रेखाएँ एक बिंदु पर कटती हैं। इसलिए अद्वितीय हल मिलता है। / When coefficient ratios are different, the lines intersect at one point. Therefore, a unique solution is obtained.
यह स्थिति अलग-अलग समांतर रेखाएँ बनाती है। इसलिए युग्म असंगत होता है। / This condition forms distinct parallel lines. Therefore, the pair is inconsistent.
C. \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\)
Explanation
Simple Explanation
कोई हल नहीं तब होता है जब रेखाएँ समांतर और अलग हों। इसका अनुपात रूप \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\) है। / No solution occurs when lines are parallel and distinct. Its ratio form is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\).
गुणांक अनुपात समान है लेकिन स्थिर पद का अनुपात समान नहीं है। परीक्षा में इसे समांतर अलग रेखाओं का संकेत मानें। / The coefficient ratio is equal but the constant ratio is not equal. In exams, treat this as distinct parallel lines.
गुणांक अनुपात \(\frac{1}{4}\) है। कोई हल नहीं के लिए \(\frac{t}{20}\neq\frac{1}{4}\), इसलिए \(t\neq5\)। / The coefficient ratio is \(\frac{1}{4}\). For no solution, \(\frac{t}{20}\neq\frac{1}{4}\), so \(t\neq5\).
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{p+2}{6}\neq\frac{5}{10}\) होना चाहिए। इसलिए \(p\neq1\) सही शर्त है। / For a unique solution, \(\frac{p+2}{6}\neq\frac{5}{10}\). Hence \(p\neq1\) is correct.
कोई हल नहीं के लिए गुणांकों के अनुपात समान और स्थिर पद का अनुपात अलग होना चाहिए। (k=4) पर यही स्थिति बनती है। / For no solution, coefficient ratios are equal but the constant ratio is different. At (k=4), this condition holds.
अद्वितीय हल के लिए गुणांकों के अनुपात बराबर नहीं होने चाहिए। यहाँ \(k\neq2\) परीक्षा में सीधे अनुपात से जाँचें। / For a unique solution, coefficient ratios must not be equal. Here \(k\neq2\); check ratios directly in exams.
यहां \(18/9 \ne 7/4\), इसलिए रेखाएं कटती हैं। अतः युग्म संगत और स्वतंत्र है। / Here \(18/9 \ne 7/4\), so the lines intersect. Hence, the pair is consistent and independent.
यहां (26/2=39/3) लेकिन (117/10) अलग है। इसलिए यह असंगत युग्म है। / Here (26/2=39/3) but (117/10) is different. Therefore, this is an inconsistent pair.
पहले दो अनुपात बराबर हैं। असंगत होने के लिए स्थिर पद का अनुपात अलग होना चाहिए। / The first two ratios are equal. For inconsistency, the constant ratio must be different.
यहां \(16/8 \ne 7/4\) इसलिए रेखाएं कटती हैं। अतः युग्म संगत और स्वतंत्र है। / Here \(16/8 \ne 7/4\) so the lines intersect. Hence, the pair is consistent and independent.
पहले दो अनुपात बराबर हैं। असंगत होने के लिए स्थिर पद का अनुपात अलग होना चाहिए इसलिए \(m \ne 50\)। / The first two ratios are equal. For inconsistency, the constant ratio must be different so \(m \ne 50\).
यहां \(14/7 \ne 5/3\), इसलिए रेखाएं कटती हैं। अतः युग्म संगत और स्वतंत्र है। / Here \(14/7 \ne 5/3\), so the lines intersect. Hence, the pair is consistent and independent.
पहले दो अनुपात अलग हों तो रेखाएं एक बिंदु पर कटती हैं। इसलिए युग्म संगत और स्वतंत्र होता है। / If the first two ratios are different, the lines intersect at one point. Therefore, the pair is consistent and independent.
पहले दो अनुपात बराबर हैं, इसलिए असंगत होने के लिए स्थिर पद का अनुपात अलग होना चाहिए। अतः \(m \ne 75\) सही है। / The first two ratios are equal, so the constant ratio must be different for inconsistency. Hence, \(m \ne 75\) is correct.
यहां \(11/4 \ne 7/3\), इसलिए रेखाएं एक बिंदु पर कटती हैं। अतः युग्म संगत और स्वतंत्र है। / Here \(11/4 \ne 7/3\), so the lines intersect at one point. Hence, the pair is consistent and independent.
यहां \(13/6 \ne 4/2\), इसलिए रेखाएं कटती हैं। अतः युग्म संगत और स्वतंत्र है। / Here \(13/6 \ne 4/2\), so the lines intersect. Hence, the pair is consistent and independent.
तीनों अनुपात बराबर हों तो दोनों समीकरण एक ही रेखा बनाते हैं। इसलिए युग्म संगत और आश्रित होता है। / If all three ratios are equal, both equations form the same line. Therefore, the pair is consistent and dependent.
पहले दो अनुपात बराबर हैं, इसलिए असंगत होने के लिए स्थिर पद का अनुपात अलग होना चाहिए। अतः \(m \ne 34\) होगा। / The first two ratios are equal, so the constant ratio must be different for inconsistency. Hence, \(m \ne 34\).
यहां \(13/6 \ne 4/2\) इसलिए रेखाएं कटती हैं। अतः युग्म संगत और स्वतंत्र है। / Here \(13/6 \ne 4/2\) so the lines intersect. Hence the pair is consistent and independent.
