Therefore \(x^4+1\ge 1\), so values less than (1) are not obtained.
Step 3
Exam Tip
For even-power functions, check the minimum value to test onto. चरण 1: \(x^4\ge 0\) होता है। चरण 2: इसलिए \(x^4+1\ge 1\) और (1) से छोटी संख्याएँ नहीं मिलतीं। चरण 3: सम घात वाले फलनों में न्यूनतम मान देखकर आच्छादकता जाँचें।
For every \(y\ge2\), take \(x=\sqrt[6]{y-2}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
An even-power function is onto its correctly shifted codomain. चरण 1: \(x^6\ge0\), इसलिए \(x^6+2\ge2\)। चरण 2: हर \(y\ge2\) के लिए \(x=\sqrt[6]{y-2}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: सम घात फलन अपने सही खिसके हुए सहप्रांत पर आच्छादी होता है।
A. क्योंकि (2) जैसा पूर्णांक नहीं मिलता/Because an integer like (2) is not obtained
Step 1
Concept
\(n^3\) is always a perfect cube.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{Z}\) contains (2), but no integer (n) satisfies \(n^3=2\).
Step 3
Exam Tip
On an integer domain, a power function does not necessarily give all integers. चरण 1: \(n^3\) हमेशा पूर्ण घन होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) में (2) है, लेकिन कोई पूर्णांक (n) ऐसा नहीं कि \(n^3=2\)। चरण 3: पूर्णांक प्रांत में घात फलन सभी पूर्णांक नहीं देता।
For every \(y\ge1\), take \(x=\sqrt[4]{y-1}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
An even-power function can be onto a suitable non-negative codomain. चरण 1: \(x^4\ge0\), इसलिए \(x^4+1\ge1\)। चरण 2: हर \(y\ge1\) के लिए \(x=\sqrt[4]{y-1}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: सम घात वाला फलन सही अऋणात्मक सहप्रांत पर आच्छादी हो सकता है।
For every \(y\ge2\), take \(x=\sqrt[4]{y-2}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
An even-power function can be onto a correctly shifted non-negative codomain. चरण 1: \(x^4+2\) का परास \([2,\infty\)) है। चरण 2: हर \(y\ge2\) के लिए \(x=\sqrt[4]{y-2}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: सम घात फलन सही अऋणात्मक खिसके हुए सहप्रांत पर आच्छादी हो सकता है।
A. क्योंकि (1) जैसा मान नहीं मिलता/Because a value like (1) is not obtained
Step 1
Concept
\(x^4\ge0\), so \(x^4+2\ge2\).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains (1), which is not in the range.
Step 3
Exam Tip
Check the minimum value of even-power functions while testing onto nature. चरण 1: \(x^4\ge0\), इसलिए \(x^4+2\ge2\)। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (1) है, जो परास में नहीं आता। चरण 3: सम घात वाले फलन का न्यूनतम मान देखकर आच्छादीपन जांचें।
For every \(y\ge0\), take \(x=\sqrt[4]{y}\), then \(x^4=y\).
Step 3
Exam Tip
An even-power function can be onto a non-negative codomain. चरण 1: \(x^4\) का परास \([0,\infty\)) है। चरण 2: हर \(y\ge0\) के लिए \(x=\sqrt[4]{y}\) लेने पर \(x^4=y\) मिलता है। चरण 3: सम घात फलन अऋणात्मक सहप्रांत पर आच्छादी हो सकता है।
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
\(x^4\) is always (0) or positive.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative values such as (-1), but they are not in the range.
Step 3
Exam Tip
Even-power functions do not give negative values on real inputs. चरण 1: \(x^4\) हमेशा (0) या धनात्मक होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-1) जैसे ऋणात्मक मान हैं, पर वे परास में नहीं आते। चरण 3: सम घात वाले फलन पूरे \(\mathbb{R}\) पर ऋणात्मक मान नहीं देते।
Simple odd-power functions are onto from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\). चरण 1: हर वास्तविक (y) के लिए \(x=\sqrt[5]{y}\) वास्तविक होता है। चरण 2: इस (x) पर \(x^5=y\) मिलता है। चरण 3: विषम घात वाले सरल फलन \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) पर आच्छादी होते हैं।
On this domain, as (x) increases, \(x^6+1\) increases, so the same value is not obtained at two different (x)-values.
Step 3
Exam Tip
An even-power function can become one-one when the domain is suitably restricted. चरण 1: प्रांत \([0,\infty\)) में ऋणात्मक मान नहीं हैं। चरण 2: इस प्रांत पर (x) बढ़ने से \(x^6+1\) बढ़ता है, इसलिए समान मान दो अलग (x) पर नहीं आता। चरण 3: सम घात फलन उचित प्रांत पर सीमित होने पर एकैकी बन सकता है।
\(a^3=b^3\) gives (a=b), because the cube function preserves order on real numbers.
Step 3
Exam Tip
Simple odd-power functions are often one-one on the whole real domain. चरण 1: (f(a)=f(b)) मानें। चरण 2: \(a^3=b^3\) से (a=b) मिलता है, क्योंकि वास्तविक संख्याओं में घन फलन क्रम बनाए रखता है। चरण 3: विषम घात वाले सरल घात फलन अक्सर पूरे वास्तविक प्रांत पर एकैकी होते हैं।
Even-power functions can give the same power value for opposite inputs.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=2) and (f(-1)=2), while \(1\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
Check even powers carefully on the whole real domain. चरण 1: सम घात वाले फलन में विपरीत आगत समान घात मान दे सकते हैं। चरण 2: (f(1)=2) और (f(-1)=2), जबकि \(1\neq -1\)। चरण 3: सम घात को पूरे वास्तविक प्रांत पर सावधानी से जांचें।
The cube function preserves order on real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
From \(2x_1^3+1=2x_2^3+1\), we get \(x_1^3=x_2^3\), so \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
Simple increasing odd-power functions are often one-one. चरण 1: घन फलन वास्तविक संख्याओं पर क्रम बनाए रखता है। चरण 2: \(2x_1^3+1=2x_2^3+1\) से \(x_1^3=x_2^3\), इसलिए \(x_1=x_2\) मिलता है। चरण 3: विषम घात वाले सरल बढ़ते फलन अक्सर एक-एक होते हैं।
Restricting an even power function to non-negative values makes it one-one. चरण 1: परिभाषा-क्षेत्र में केवल अऋणात्मक मान हैं। चरण 2: \(x\ge 0\) पर \(x^4\) सख्ती से बढ़ता है। चरण 3: क्षेत्र को अऋणात्मक मानों तक सीमित करने से सम घात फलन एकैकी बन जाता है।
In even powers, (x) and (-x) can give the same value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=16) and (f(-2)=16), while \(2\ne -2\).
Step 3
Exam Tip
Even power functions are generally not one-one on the whole real domain. चरण 1: सम घात में (x) और (-x) का मान समान हो सकता है। चरण 2: (f(2)=16) और (f(-2)=16), जबकि \(2\ne -2\)। चरण 3: सम घात वाले फलन पूरे वास्तविक क्षेत्र पर सामान्यतः एकैकी नहीं होते।
To disprove one-one, it is enough to find two different inputs with the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=2) and (f(-1)=2), while \(1\ne -1\).
Step 3
Exam Tip
For even power functions, always check positive and negative inputs. चरण 1: एकैकी न होने के लिए दो अलग आगतों पर समान निर्गत दिखाना पर्याप्त है। चरण 2: (f(1)=2) और (f(-1)=2), जबकि \(1\ne -1\)। चरण 3: सम घात वाले फलनों में धन और ऋण मानों को अवश्य जाँचें।
A. (f(1)=f(-1)) और \(1\neq -1\)/(f(1)=f(-1)) and \(1\neq -1\)
Step 1
Concept
\(x^6\) is an even power, so opposite inputs give equal values.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=2) and (f(-1)=2), while \(1\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
Adding a constant to an even-power function does not make it one-one. चरण 1: \(x^6\) सम घात है, इसलिए विपरीत आगत समान मान देते हैं। चरण 2: (f(1)=2) और (f(-1)=2), जबकि \(1\neq -1\)। चरण 3: सम घात के साथ स्थिर संख्या जोड़ने से एकैकीपन नहीं बनता।
\(x^5\) is an odd-power function and increases on \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
If \(a^5=b^5\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
Basic odd-power functions are generally one-one on real numbers. चरण 1: \(x^5\) विषम घात वाला फलन है और पूरे \(\mathbb{R}\) पर बढ़ता है। चरण 2: \(a^5=b^5\) होने पर (a=b) मिलता है। चरण 3: वास्तविक संख्याओं पर विषम घात वाले मूल रूप सामान्यतः एकैकी होते हैं।
A. (f(1)=f(-1)) और \(1\neq -1\)/(f(1)=f(-1)) and \(1\neq -1\)
Step 1
Concept
In an even-power function, (x) and (-x) give equal values.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1) and (f(-1)=1), while \(1\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
On all real numbers, test opposite inputs for even powers. चरण 1: सम घात वाले फलन में (x) और (-x) का मान बराबर आता है। चरण 2: (f(1)=1) और (f(-1)=1), जबकि \(1\neq -1\)। चरण 3: पूरे \(\mathbb{R}\) पर सम घात देखकर तुरंत विपरीत आगत जांचें।
A. (f(1)=f(-1)) और \(1\neq -1\)/(f(1)=f(-1)) and \(1\neq -1\)
Step 1
Concept
One counterexample is enough.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=5) and (f(-1)=5), but the inputs are different.
Step 3
Exam Tip
In even-power functions, always test (x) and (-x). चरण 1: एक प्रतिवाद पर्याप्त है। चरण 2: (f(1)=5) और (f(-1)=5), पर दोनों आगत अलग हैं। चरण 3: सम घात वाले फलन में (x) और (-x) को जरूर जाँचें।
In an even power, (x) and (-x) have the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=16) and (f(-2)=16).
Step 3
Exam Tip
Even-power functions are generally not one-one on all of \(\mathbb{R}\). चरण 1: सम घात में (x) और (-x) की छवि समान होती है। चरण 2: (f(2)=16) और (f(-2)=16)। चरण 3: सम घात वाले फलन पूरे \(\mathbb{R}\) पर सामान्यतः एकैकी नहीं होते।
The odd power \(x^5\) keeps increasing on real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
If \(a^5=b^5\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
Simple odd-power functions are often one-one on the whole real set. चरण 1: विषम घात \(x^5\) वास्तविक संख्याओं पर बढ़ती रहती है। चरण 2: \(a^5=b^5\) होने पर (a=b) ही होगा। चरण 3: विषम घात वाले सरल फलन अक्सर एकैकी होते हैं जब उनका क्षेत्र पूरा वास्तविक समुच्चय हो।
In this domain, different (x) values give different \(x^6\) values.
Step 3
Exam Tip
An even-power function can be one-one on the non-negative half-domain. चरण 1: \(x\geq0\) पर \(x^6\) बढ़ता है। चरण 2: इस प्रांत में अलग (x) अलग \(x^6\) मान देते हैं। चरण 3: सम घात वाला फलन धनात्मक आधे प्रांत पर एकैकी हो सकता है।
Even-power functions are not one-one on the whole real domain. चरण 1: (1) और (-1) अलग वास्तविक संख्याएँ हैं। चरण 2: (16=(-1)6=1) इसलिए समान मान मिलता है। चरण 3: सम घात वाले फलन पूरे वास्तविक प्रांत पर एकैकी नहीं होते।
Simple odd-power functions are one-one on real numbers. चरण 1: \(x^5\) विषम घात वाला बढ़ता फलन है। चरण 2: यदि \(a^5=b^5\) हो तो (a=b) होता है। चरण 3: सरल विषम घात वाले फलन वास्तविक संख्याओं पर एकैकी होते हैं।
Even-power functions are generally not one-one on the whole real domain. चरण 1: (1) और (-1) अलग वास्तविक संख्याएँ हैं। चरण 2: दोनों पर \(x^4\) का मान (1) आता है। चरण 3: सम घात वाले फलन पूरे वास्तविक प्रांत पर सामान्यतः एकैकी नहीं होते।
A. यह एकैकी है पर आच्छादी नहीं/It is one-one but not onto
Step 1
Concept
Cubes of different integers are different, so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Not every integer is a cube; for example, (2) is not the cube of any integer.
Step 3
Exam Tip
For power functions on integers, examine the range carefully. चरण 1: अलग पूर्णांकों के घन अलग होते हैं इसलिए फलन एकैकी है। चरण 2: सभी पूर्णांक घन नहीं होते जैसे (2) किसी पूर्णांक का घन नहीं है। चरण 3: पूर्णांक प्रांत में घात फलन का परास ध्यान से देखें।
D. यह न एकैकी है न आच्छादक/It is neither one-one nor onto
Step 1
Concept
(f(1)=1) and (f(-1)=1), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Since \(x^4\ge 0\), negative real values are not attained.
Step 3
Exam Tip
For even power functions, check both repeated outputs and restricted range. चरण 1: (f(1)=1) और (f(-1)=1), इसलिए एकैकी नहीं है। चरण 2: \(x^4\ge 0\), इसलिए ऋणात्मक वास्तविक मान नहीं मिलते। चरण 3: सम घात वाले फलनों में अक्सर समान प्रतिबिंब और सीमित परास दोनों बातों पर ध्यान दें।
On integers, \(n^3\) is increasing, so different (n) give different values.
Step 2
Why this answer is correct
(2) is not the cube of any integer, so not every codomain value is reached.
Step 3
Exam Tip
For power functions on integers, check the range carefully. चरण 1: पूर्णांकों पर \(n^3\) बढ़ता है, इसलिए अलग (n) अलग मान देते हैं। चरण 2: (2) किसी पूर्णांक का घन नहीं है, इसलिए सहप्रांत का हर मान नहीं मिलता। चरण 3: पूर्णांक प्रांत में घात फलन का परास अलग से जांचें।
For even-power functions, compare (x) and (-x). चरण 1: किसी भी \(t\neq0\) के लिए (t) और (-t) अलग हैं। चरण 2: लेकिन (a(t)2=a(-t)2), इसलिए दोनों का प्रतिबिंब समान है। चरण 3: सम घात वाले फलनों में (x) और (-x) की तुलना करना उपयोगी रहता है।
Negative real numbers are not obtained as \(x^4\), so it is not onto.
Step 3
Exam Tip
For even powers, check both symmetry and range. चरण 1: (f(1)=f(-1)), इसलिए यह एकैकी नहीं है। चरण 2: ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ \(x^4\) के रूप में नहीं मिलतीं, इसलिए आच्छादी नहीं है। चरण 3: सम घात वाले फलनों में चिह्न और परास दोनों ध्यान से देखें।
