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तीनों सारणिक शून्य होने पर समीकरण आश्रित हो सकते हैं। कक्षा (10) में इसे अनंत हल की स्थिति से जोड़कर देखें। / When all three determinants are zero, the equations may be dependent. In Class (10), link this with infinitely many solutions.
गुणांक अनुपात अलग होने पर रेखाएँ एक बिंदु पर कटती हैं। इसलिए अद्वितीय हल मिलता है। / When coefficient ratios are different, the lines intersect at one point. Therefore, a unique solution is obtained.
A. जब (a_1/a_2=b_1 / b_2=c_1 / c_2) हो / When \(a_1 / c_2\)
Explanation
Simple Explanation
तीनों अनुपात बराबर हों तो दोनों समीकरण समान रेखा दर्शाते हैं। यही संगत और आश्रित युग्म है। / If all three ratios are equal both equations represent the same line. This is a consistent and dependent pair.
C. जब (a_1/a_2 \ne b_1 / b_2) हो / When \(a_1 / b_2\)
Explanation
Simple Explanation
संगत और स्वतंत्र युग्म में एक अद्वितीय हल होता है। इसके लिए (a) और (b) के अनुपात अलग होने चाहिए। / A consistent and independent pair has one unique solution. For this the ratios of (a) and (b) must be different.
A. जब कम से कम एक हल हो/When there is at least one solution
Explanation
Simple Explanation
संगत युग्म में कम से कम एक सामान्य हल होता है। यह एक हल या अनंत हल दोनों हो सकता है। / A consistent pair has at least one common solution. It may have one solution or infinitely many solutions.
असंगत युग्म का कोई सामान्य हल नहीं होता। ग्राफ में यह समानांतर रेखाओं से दिखता है। / An inconsistent pair has no common solution. In a graph, it appears as parallel lines.
जब गुणांकों के अनुपात अलग होते हैं, रेखाएं एक बिंदु पर मिलती हैं। परीक्षा में पहले (a) और (b) के अनुपात जांचें। / When coefficient ratios are different, the lines meet at one point. In exams, check the ratios of (a) and (b) first.
A. दिल्ली क्षेत्र में तुर्क शक्ति का मार्ग खुला/It opened the way for Turkish power in Delhi region
Explanation
Simple Explanation
तराइन के दूसरे युद्ध के बाद उत्तर भारत में तुर्क शक्ति मजबूत हुई। परीक्षा में (1192) ईस्वी को निर्णायक मोड़ मानें। / After the Second Battle of Tarain Turkish power became stronger in North India. For exams, treat (1192) CE as a turning point.
किसी भी वास्तविक संख्या को (0) से गुणा करने पर (0) मिलता है। (0) परिमेय संख्या है। / Multiplying any real number by (0) gives (0). (0) is a rational number.
पहले गुणनफल में अंदर की संख्याएँ गुणा करें। / First multiply the numbers inside the roots.
Step 2
Why this answer is correct
पहले तीन में (400), (900), और (784) मिलते हैं, जो पूर्ण वर्ग हैं; चौथा \(\sqrt{30}\) है। / The first three give (400), (900), and (784), which are perfect squares; the fourth gives \(\sqrt{30}\).
Step 3
Exam Tip
गुणन के बाद बनी संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं, यह जरूर जांचें। / After multiplication, check whether the resulting number is a perfect square.
पहले गुणनफल में अंदर की संख्याएँ गुणा करें। / First multiply the numbers inside the roots.
Step 2
Why this answer is correct
पहले तीन में (144), (324), और (900) मिलते हैं, जो पूर्ण वर्ग हैं; चौथा \(\sqrt{22}\) है। / The first three give (144), (324), and (900), which are perfect squares; the fourth gives \(\sqrt{22}\).
Step 3
Exam Tip
गुणन के बाद बनी संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं, यह जरूर जांचें। / After multiplication, check whether the resulting number is a perfect square.
पहले सभी गुणनफल सरल करें। / First simplify all products.
Step 2
Why this answer is correct
पहले तीन में अंदर की संख्याएँ (144), (36), और (81) बनती हैं, जो पूर्ण वर्ग हैं; चौथा \(\sqrt{10}\) है। / The first three produce inside numbers (144), (36), and (81), which are perfect squares; the fourth gives \(\sqrt{10}\).
Step 3
Exam Tip
गुणन के बाद बनी अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं, यह जांचें। / After multiplication, check whether the inside number is a perfect square.
A. बिखराव और विदेशी प्रभाव, विचार कूटनीति जन अभियान, इटली का राज्य/Fragmentation and foreign influence, ideas diplomacy popular campaign, Kingdom of Italy
Step 1
Concept
इटली कई राज्यों और विदेशी प्रभावों में बंटा था। / Italy was divided into many states and foreign influences.
Step 2
Why this answer is correct
मैजिनी के विचार, कावूर की कूटनीति और गैरीबाल्डी के अभियान जुड़े। / Mazzini's ideas, Cavour's diplomacy, and Garibaldi's campaigns came together.
Step 3
Exam Tip
परिणामस्वरूप इटली का एकीकृत राज्य बना। / As a result, a united Kingdom of Italy was formed.
A. बिखराव और विदेशी प्रभाव, कूटनीति तथा जन अभियान, इटली का राज्य/Fragmentation and foreign influence, diplomacy and popular campaigns, Kingdom of Italy
Step 1
Concept
इटली कई राज्यों और विदेशी प्रभावों में बंटा था। / Italy was divided into many states and foreign influences.
Step 2
Why this answer is correct
कावूर की कूटनीति और गैरीबाल्डी के अभियान ने एकीकरण में मदद की। / Cavour's diplomacy and Garibaldi's campaigns helped unification.
Step 3
Exam Tip
परिणाम में इटली का एकीकृत राज्य बना। / The result was a united Kingdom of Italy.
A. राजनीतिक बिखराव और राष्ट्रवाद के कारण जर्मन साम्राज्य का निर्माण हुआ/Political fragmentation and nationalism led to the formation of the German Empire
Step 1
Concept
जर्मनी पहले कई राज्यों में बंटा था। / Germany was earlier divided into many states.
Step 2
Why this answer is correct
राष्ट्रवादी भावना और प्रशिया के नेतृत्व ने एकीकरण को आगे बढ़ाया। / Nationalist feeling and Prussian leadership advanced unification.
Step 3
Exam Tip
परिणामस्वरूप जर्मन साम्राज्य बना। / As a result, the German Empire was formed.
मान लें (u=2x-y) और (v=x+y)। (4u+3v=53), (2u-5v=-17) से (u=7), \(v=\frac{25}{3}\), इसलिए \(y=\frac{29}{9}\)। / Let (u=2x-y) and (v=x+y). Solve the two equations first, then convert back to (x) and (y).
मान लें (u=2x-y) और (v=x+y)। (5u-3v=11), (2u+4v=50) से (u=7,v=9), इसलिए \(y=\frac{11}{3}\)। / Let (u=2x-y) and (v=x+y). Solving (5u-3v=11), (2u+4v=50) gives (u=7,v=9), hence \(y=\frac{11}{3}\).
लिनियर बी माइसीनियाई यूनानी प्रशासन से जुड़ी लिपि सिद्ध हुई। परीक्षा में इसे एजियन कांस्य युग से जोड़ें। / Linear B proved to be linked with Mycenaean Greek administration. For exams connect it with the Aegean Bronze Age.
A. प्रशासनिक और आर्थिक रिकॉर्ड/Administrative and economic records
Explanation
Simple Explanation
लिनियर बी अभिलेख महल प्रशासन और अर्थव्यवस्था की जानकारी देते हैं। परीक्षा में स्रोत के प्रकार को पहचानें। / Linear B records provide information about palace administration and economy. Identify the type of source in exams.
A. प्रशासनिक और आर्थिक अभिलेख/Administrative and economic records
Explanation
Simple Explanation
लिनियर बी पट्टिकाएं माइसीनियन प्रशासन और अर्थव्यवस्था बताती हैं। परीक्षा में इन्हें कांस्य युगीन यूनान से जोड़ें। / Linear B tablets show Mycenaean administration and economy. Connect them with Bronze Age Greece.
A. वे प्रशासनिक और आर्थिक जानकारी देते हैं/They provide administrative and economic information
Explanation
Simple Explanation
लिनियर बी पट्टिकाएं माइसीनियन प्रशासन और अर्थव्यवस्था की जानकारी देती हैं। परीक्षा में इन्हें कांस्य युगीन यूनान से जोड़ें। / Linear B tablets give information about Mycenaean administration and economy. Connect them with Bronze Age Greece.
A. प्रशासनिक और आर्थिक जानकारी/Administrative and economic information
Explanation
Simple Explanation
लिनियर बी पट्टिकाएं प्रशासन और अर्थव्यवस्था से जुड़ी जानकारी देती हैं। परीक्षा में इन्हें कांस्य युगीन यूनान से जोड़ें। / Linear B tablets provide administrative and economic information. Connect them with Bronze Age Greece.
C. यह प्राचीन यूनानी भाषा के प्रशासनिक अभिलेखों से जुड़ी है/It is linked with administrative records in ancient Greek
Explanation
Simple Explanation
लिनियर बी को माइसीनियन प्रशासनिक अभिलेखों और प्राचीन यूनानी से जोड़ा जाता है। परीक्षा में इसे कांस्य युगीन यूनान से याद रखें। / Linear B is linked with Mycenaean administrative records and ancient Greek. Remember it with Bronze Age Greece.
लिनियर बी को प्राचीन यूनानी भाषा से जोड़ा जाता है। परीक्षा में इसे माइसीनियन प्रशासनिक रिकॉर्ड से याद रखें। / Linear B is linked with Ancient Greek. In exams, remember it with Mycenaean administrative records.
सारणिक (D=(y+1)(y-2)-10=y-2-y-12) है। अद्वितीय हल के लिए \(D\neq0\) चाहिए। / The determinant is (D=(y+1)(y-2)-10=y-2-y-12). For a unique solution, \(D\neq0\) is required.
तीनों अनुपात \(\frac{3}{5}\) होने चाहिए। इसलिए \(\frac{t}{20}=\frac{3}{5}\) से (t=12)। / All three ratios must be \(\frac{3}{5}\). Therefore, \(\frac{t}{20}=\frac{3}{5}\) gives (t=12).
गुणांक अनुपात समान करने पर \(\frac{s}{21}=\frac{4}{12}\) से (s=7) है। स्थिर पद अनुपात समान नहीं है। / Equating coefficient ratios, \(\frac{s}{21}=\frac{4}{12}\) gives (s=7). The constant ratio is not equal.
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{r}{9}\neq\frac{2}{3}\) चाहिए। इसलिए \(r\neq6\) होगा। / For a unique solution, \(\frac{r}{9}\neq\frac{2}{3}\) is required. Hence \(r\neq6\).
अनंत हलों में \(\frac{q}{18}=\frac{11}{33}=\frac{22}{66}\) होता है। इसलिए (q=6) सही मान है। / For infinitely many solutions, \(\frac{q}{18}=\frac{11}{33}=\frac{22}{66}\). Therefore, (q=6) is correct.
गुणांक अनुपात समान करने पर \(\frac{p}{12}=\frac{-5}{-15}\) से (p=4) है। स्थिर अनुपात अलग है। / Equating coefficient ratios, \(\frac{p}{12}=\frac{-5}{-15}\) gives (p=4). The constant ratio is different.
अनंत हलों के लिए \(\frac{3}{5}=\frac{n}{10}=\frac{18}{30}\) चाहिए। इससे (n=6) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{3}{5}=\frac{n}{10}=\frac{18}{30}\) is needed. This gives (n=6).
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{m}{16}\neq\frac{7}{14}\) होना चाहिए। इसलिए \(m\neq8\)। / For a unique solution, \(\frac{m}{16}\neq\frac{7}{14}\) must hold. Therefore, \(m\neq8\).
गुणांक अनुपात समान करने पर \(\frac{2}{k}=\frac{3}{6}\) से (k=4) है। स्थिर पद अनुपात अलग है। / Equating coefficient ratios, \(\frac{2}{k}=\frac{3}{6}\) gives (k=4). The constant ratio is different.
तीनों अनुपात \(\frac{5}{7}\) होने चाहिए। इसलिए \(\frac{j}{14}=\frac{5}{7}\) से (j=10)। / All three ratios must be \(\frac{5}{7}\). Therefore, \(\frac{j}{14}=\frac{5}{7}\) gives (j=10).
गुणांक अनुपात समान करने पर \(\frac{6}{18}=\frac{i}{27}\) से (i=9) आता है। स्थिर पद अनुपात समान नहीं है। / Equating coefficient ratios, \(\frac{6}{18}=\frac{i}{27}\) gives (i=9). The constant ratio is not equal.
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{h}{10}\neq\frac{12}{15}\) होना चाहिए। इसलिए \(h\neq8\) सही है। / For a unique solution, \(\frac{h}{10}\neq\frac{12}{15}\) must hold. Hence \(h\neq8\) is correct.
अनंत हलों के लिए \(\frac{g-1}{8}=\frac{10}{20}=\frac{15}{30}\) होना चाहिए। इससे (g=5) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{g-1}{8}=\frac{10}{20}=\frac{15}{30}\) must hold. This gives (g=5).
गुणांक अनुपात \(\frac{1}{4}\) बनाने के लिए (f=5) चाहिए। स्थिर पद अनुपात अलग होने से कोई हल नहीं होगा। / To make the coefficient ratio \(\frac{1}{4}\), (f=5) is required. The different constant ratio gives no solution.
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{e}{18}\neq\frac{-4}{-12}\) चाहिए। अतः \(e\neq6\)। / For a unique solution, \(\frac{e}{18}\neq\frac{-4}{-12}\) is needed. Hence \(e\neq6\).
अनंत हलों में \(\frac{4}{12}=\frac{d}{15}=\frac{7}{21}\) होना चाहिए। इसलिए (d=5) सही है। / For infinitely many solutions, \(\frac{4}{12}=\frac{d}{15}=\frac{7}{21}\) must hold. So (d=5) is correct.
गुणांक अनुपात समान करने पर \(\frac{c}{9}=\frac{6}{18}\) से (c=3) आता है। स्थिर अनुपात \(\frac{5}{10}\) अलग है। / Equating coefficient ratios, \(\frac{c}{9}=\frac{6}{18}\) gives (c=3). The constant ratio \(\frac{5}{10}\) is different.
अनंत हलों के लिए \(\frac{2}{b}=\frac{b}{8}=\frac{6}{24}\) होना चाहिए। इससे (b=4) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{2}{b}=\frac{b}{8}=\frac{6}{24}\) must hold. This gives (b=4).
सारणिक \(D=a^2-8\) है। अद्वितीय हल के लिए \(D\neq0\) यानी \(a^2\neq8\)। / The determinant is \(D=a^2-8\). For a unique solution, \(D\neq0\), so \(a^2\neq8\).
अद्वितीय न होने के लिए ((z+2)(z-1)-18=0) होना चाहिए। इससे (z=4) या (z=-3) मिलता है। / For non-unique solutions, ((z+2)(z-1)-18=0) must hold. This gives (z=4) or (z=-3).
C. युग्म का अद्वितीय हल है/The pair has a unique solution
Explanation
Simple Explanation
सारणिक शून्य नहीं होने पर रेखाएँ एक बिंदु पर कटती हैं। इसलिए अद्वितीय हल होता है। / When the determinant is non-zero, the lines intersect at one point. Hence there is a unique solution.
B. \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\)
Explanation
Simple Explanation
अलग समांतर रेखाओं में गुणांक अनुपात समान और स्थिर पद अनुपात अलग होता है। यही कोई हल नहीं की शर्त है। / For distinct parallel lines, coefficient ratios are equal and the constant ratio is different. This is the condition for no solution.
समान ढाल और समान अवरोध का अर्थ एक ही रेखा है। इसलिए ऐसे युग्म में अनंत हल होते हैं। / Same slope and same intercept mean the same line. Therefore, such a pair has infinitely many solutions.
तीनों अनुपात समान होने पर रेखाएँ संपाती होती हैं। इसलिए अनंत हल मिलते हैं। / When all three ratios are equal, the lines are coincident. Therefore, infinitely many solutions occur.
अद्वितीय हल तब मिलता है जब रेखाएँ एक बिंदु पर कटती हैं। इसका अनुपात रूप \(\frac{a_1}{a_2}\neq\frac{b_1}{b_2}\) है। / A unique solution occurs when the lines intersect at one point. Its ratio form is \(\frac{a_1}{a_2}\neq\frac{b_1}{b_2}\).
गुणांक अनुपात समान करने पर \(\frac{5}{25}=\frac{\gamma}{15}\) से \(\gamma=3\) मिलता है। स्थिर अनुपात अलग है। / Equating coefficient ratios, \(\frac{5}{25}=\frac{\gamma}{15}\) gives \(\gamma=3\). The constant ratio is different.
अनंत हलों में \(\frac{9}{27}=\frac{\beta+4}{18}=\frac{15}{45}\) होना चाहिए। इससे \(\beta=2\) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{9}{27}=\frac{\beta+4}{18}=\frac{15}{45}\) must hold. This gives \(\beta=2\).
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{\alpha-1}{8}\neq\frac{5}{10}\) चाहिए। इसलिए \(\alpha\neq5\) सही है। / For a unique solution, \(\frac{\alpha-1}{8}\neq\frac{5}{10}\) is required. Hence \(\alpha\neq5\) is correct.
\(\frac{14}{21}=\frac{2}{3}\) है। गुणांक अनुपात समान करने पर \(\frac{\mu}{6}=\frac{2}{3}\) से \(\mu=4\)। / \(\frac{14}{21}=\frac{2}{3}\). Equating coefficient ratios, \(\frac{\mu}{6}=\frac{2}{3}\) gives \(\mu=4\).
गुणांक अनुपात \(\frac{1}{6}\) है। अनंत हलों के लिए \(\frac{\lambda}{48}=\frac{1}{6}\) इसलिए \(\lambda=8\)। / The coefficient ratio is \(\frac{1}{6}\). For infinitely many solutions, \(\frac{\lambda}{48}=\frac{1}{6}\), so \(\lambda=8\).
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{w}{16}\neq\frac{-6}{-24}\) होना चाहिए। इसलिए \(w\neq4\) होगा। / For a unique solution, \(\frac{w}{16}\neq\frac{-6}{-24}\) must hold. Therefore, \(w\neq4\).
गुणांक अनुपात समान करने पर (v-2=3) मिलता है। इसलिए (v=5) और स्थिर अनुपात अलग होने से कोई हल नहीं। / Equating coefficient ratios gives (v-2=3). Thus (v=5), and the different constant ratio gives no solution.
अनंत हलों के लिए \(\frac{u+3}{10}=\frac{8}{20}=\frac{16}{40}\) चाहिए। इससे (u=1) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{u+3}{10}=\frac{8}{20}=\frac{16}{40}\) is needed. This gives (u=1).
\(\frac{12}{18}\neq\frac{-7}{-11}\) होने से रेखाएँ काटती हैं। इसलिए अद्वितीय हल मिलेगा। / Since \(\frac{12}{18}\neq\frac{-7}{-11}\), the lines intersect. Hence a unique solution is obtained.
तीनों अनुपात समान हैं। अतः रेखाएँ संपाती हैं और युग्म के अनंत हल हैं। / All three ratios are equal. Thus the lines are coincident and the pair has infinitely many solutions.
गुणांक अनुपात समान है लेकिन \(\frac{2}{7}\) अलग है। इसलिए दोनों अलग समांतर रेखाएँ हैं। / The coefficient ratio is equal but \(\frac{2}{7}\) is different. Hence both are distinct parallel lines.
यहाँ \(\frac{10}{20}\neq\frac{3}{9}\) है। इसलिए रेखाएँ एक बिंदु पर मिलती हैं। / Here \(\frac{10}{20}\neq\frac{3}{9}\). Therefore, the lines meet at one point.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए दोनों रेखाएँ संपाती हैं और अनंत हल देती हैं। / The second equation is (2) times the first. So both lines are coincident and give infinitely many solutions.
गुणांक अनुपात समान है पर स्थिर पद का अनुपात अलग है। इसलिए रेखाएँ समांतर हैं और युग्म असंगत है। / Coefficient ratios are equal but the constant ratio is different. Hence the lines are parallel and the pair is inconsistent.
अनंत हलों के लिए \(\frac{6}{14}=\frac{-t}{-21}=\frac{18}{42}\) होना चाहिए। इससे (t=9) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{6}{14}=\frac{-t}{-21}=\frac{18}{42}\) must hold. This gives (t=9).
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{11}{22}\neq\frac{3}{s}\) होना चाहिए। अतः \(s\neq6\) सही है। / For a unique solution, \(\frac{11}{22}\neq\frac{3}{s}\) must hold. Hence \(s\neq6\) is correct.
गुणांक अनुपात समान करने पर \(\frac{2}{6}=\frac{n}{15}\) से (n=5) मिलता है। स्थिर अनुपात अलग है इसलिए युग्म असंगत है। / Equating coefficient ratios, \(\frac{2}{6}=\frac{n}{15}\) gives (n=5). The constant ratio is different, so the pair is inconsistent.
अनंत हलों के लिए \(\frac{5}{15}=\frac{r+1}{18}=\frac{11}{33}\) चाहिए। इससे (r=5) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{5}{15}=\frac{r+1}{18}=\frac{11}{33}\) is needed. This gives (r=5).
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{q}{15}\neq\frac{4}{10}\) होना चाहिए। इसलिए \(q\neq6\) सही शर्त है। / For a unique solution, \(\frac{q}{15}\neq\frac{4}{10}\) must hold. Hence \(q\neq6\) is correct.
गुणांक अनुपात \(\frac{1}{4}\) है। कोई हल नहीं के लिए \(\frac{5}{c}\neq\frac{1}{4}\) इसलिए \(c\neq20\)। / The coefficient ratio is \(\frac{1}{4}\). For no solution, \(\frac{5}{c}\neq\frac{1}{4}\), so \(c\neq20\).
यहाँ \(\frac{8}{20}=\frac{12}{30}\) है। अतः \(\frac{a}{10}=\frac{2}{5}\) से (a=4) होगा। / Here \(\frac{8}{20}=\frac{12}{30}\). Thus \(\frac{a}{10}=\frac{2}{5}\) gives (a=4).
अनंत हलों के लिए तीनों अनुपात समान होने चाहिए। \(\frac{p-2}{9}=\frac{7}{21}\) से (p=5) मिलता है। / For infinitely many solutions, all three ratios must be equal. From \(\frac{p-2}{9}=\frac{7}{21}\), (p=5).
गुणांक अनुपात समान करने पर (m=6) मिलता है। स्थिर पद का अनुपात अलग है इसलिए कोई हल नहीं होगा। / Equating coefficient ratios gives (m=6). The constant ratio is different, so there is no solution.
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{k}{6}\neq\frac{5}{15}\) होना चाहिए। इसलिए \(k\neq2\) सही है। / For a unique solution, \(\frac{k}{6}\neq\frac{5}{15}\) must hold. Therefore, \(k\neq2\) is correct.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए दोनों रेखाएं एक ही हैं और अनंत हल हैं। / The second equation is (2) times the first. Therefore, both lines are the same and have infinitely many solutions.
पहले दो अनुपात बराबर हैं लेकिन (470/955) अलग है। इसलिए प्रणाली असंगत है। / The first two ratios are equal but (470/955) is different. Therefore, the system is inconsistent.
C. (7/13 \ne 19 / 35), इसलिए एक अद्वितीय हल / 35), so one unique solution
Explanation
Simple Explanation
पहले दो अनुपात अलग हैं। इसलिए रेखाएं एक बिंदु पर कटती हैं और एक अद्वितीय हल देती हैं। / The first two ratios are different. Therefore, the lines intersect at one point and give one unique solution.
यहां (12/36=(-7)/(-21)) लेकिन (29/91) अलग है। इसलिए रेखाएं समानांतर और अलग हैं। / Here (12/36=(-7)/(-21)) but (29/91) is different. Therefore, the lines are parallel and distinct.
अद्वितीय हल के लिए \(11/5 \ne k/4\) होना चाहिए। इसलिए \(k\ne44/5\) सही शर्त है। / For a unique solution, \(11/5 \ne k/4\) must hold. Therefore, \(k\ne44/5\) is the correct condition.
कोई हल नहीं के लिए (p/14=10/35) और (50/122) अलग होना चाहिए। इसलिए (p=4)। / For no solution, (p/14=10/35) and (50/122) must be different. Therefore, (p=4).
अनंत हल के लिए (6/18=a/33=42/126) होना चाहिए। इसलिए (a=11) सही है। / For infinitely many solutions, (6/18=a/33=42/126) must hold. Therefore, (a=11) is correct.
पहले दो अनुपात बराबर हैं। असंगत होने के लिए स्थिर पद का अनुपात अलग होना चाहिए इसलिए \(t\ne192\)। / The first two ratios are equal. For inconsistency, the constant ratio must be different so \(t\ne192\).
सारणिक (D=(s+2)(s-1)-15=s-2+s-17) है। अद्वितीय हल के लिए \(D\neq0\) चाहिए। / The determinant is (D=(s+2)(s-1)-15=s-2+s-17). For a unique solution, \(D\neq0\) is required.
गुणांक अनुपात \(\frac{1}{4}\) है। अनंत हलों के लिए \(\frac{\gamma}{36}=\frac{1}{4}\), इसलिए \(\gamma=9\)। / The coefficient ratio is \(\frac{1}{4}\). For infinitely many solutions, \(\frac{\gamma}{36}=\frac{1}{4}\), so \(\gamma=9\).
गुणांक अनुपात समान करने पर \(\beta=3\) मिलता है। स्थिर अनुपात \(\frac{5}{9}\) अलग है, इसलिए कोई हल नहीं। / Equating coefficient ratios gives \(\beta=3\). The constant ratio \(\frac{5}{9}\) is different, so there is no solution.
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{\alpha}{9}\neq\frac{4}{12}\) होना चाहिए। इसलिए \(\alpha\neq3\) सही शर्त है। / For a unique solution, \(\frac{\alpha}{9}\neq\frac{4}{12}\) must hold. Thus \(\alpha\neq3\) is correct.
गुणांक अनुपात समान करने पर (q=2) मिलता है। स्थिर पद अनुपात समान नहीं है, इसलिए कोई हल नहीं। / Equating coefficient ratios gives (q=2). The constant ratio is not equal, so there is no solution.
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{p+4}{5}\neq\frac{-9}{-15}\) होना चाहिए। इसलिए \(p\neq-1\)। / For a unique solution, \(\frac{p+4}{5}\neq\frac{-9}{-15}\) must hold. Hence \(p\neq-1\).
अनंत हलों के लिए \(\frac{4}{12}=\frac{m-5}{6}=\frac{9}{27}\) चाहिए। इससे (m=7) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{4}{12}=\frac{m-5}{6}=\frac{9}{27}\) is required. This gives (m=7).
गुणांक अनुपात समान करने पर (k=0) मिलता है। स्थिर अनुपात \(\frac{3}{8}\) अलग है, इसलिए कोई हल नहीं। / Equating coefficient ratios gives (k=0). The constant ratio \(\frac{3}{8}\) is different, so there is no solution.
