For every \(y\ge 2\), taking \(x=\sqrt{y-2}\) gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
In exams, first find the range and compare it with the codomain. चरण 1: \(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2+2\ge 2\)। चरण 2: हर \(y\ge 2\) के लिए \(x=\sqrt{y-2}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: परीक्षा में पहले परास निकालें और उसे सहप्रांत से मिलाएँ।
A. क्योंकि (1) का पूर्वप्रतिबिंब नहीं है/Because (1) has no preimage
Step 1
Concept
The value of (f(x)=x-2+2) is always at least (2).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains (1), but no real (x) satisfies \(x^2+2=1\).
Step 3
Exam Tip
For onto checking, one missing codomain element is enough. चरण 1: (f(x)=x-2+2) का मान हमेशा (2) या उससे बड़ा होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (1) है, पर कोई वास्तविक (x) ऐसा नहीं कि \(x^2+2=1\)। चरण 3: आच्छादी जाँच में एक भी छूटा हुआ सहप्रांत तत्व पर्याप्त है।
For \(x\ge 0\), (f(x)=\frac{x}{1+x}), and for (x<0), (f(x)=\frac{x}{1-x}).
Step 2
Why this answer is correct
For any \(y\in(-1,1)\), choose \(x=\frac{y}{1-y}\) when \(y\ge0\), and \(x=\frac{y}{1+y}\) when (y<0).
Step 3
Exam Tip
For piecewise-looking expressions, find the preimage according to sign. चरण 1: \(x\ge 0\) पर (f(x)=\frac{x}{1+x}) और (x<0) पर (f(x)=\frac{x}{1-x}) है। चरण 2: किसी भी \(y\in(-1,1)\) के लिए उपयुक्त \(x=\frac{y}{1-y}\) जब \(y\ge0\), और \(x=\frac{y}{1+y}\) जब (y<0) लिया जा सकता है। चरण 3: टुकड़ों में दिए फलन में चिन्ह के अनुसार पूर्वप्रतिबिंब खोजें।
The codomain is also (\(0,\infty\)), so every positive (y) has preimage \(x=\ln y\).
Step 3
Exam Tip
In exponential functions, (0) is not in the range, so read the codomain carefully. चरण 1: \(e^x\) का परास (\(0,\infty\)) होता है। चरण 2: सहप्रांत भी (\(0,\infty\)) है, इसलिए हर धनात्मक (y) के लिए \(x=\ln y\) मिलता है। चरण 3: घातीय फलन में (0) परास का भाग नहीं होता, इसलिए सहप्रांत ध्यान से पढ़ें।
The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative numbers and (0), which have no preimage.
Step 3
Exam Tip
If the range (\(0,\infty\)) differs from codomain \(\mathbb{R}\), the function is not onto. चरण 1: \(e^x\) हमेशा धनात्मक होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक संख्याएँ और (0) भी हैं, जिनका कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है। चरण 3: परास (\(0,\infty\)) और सहप्रांत \(\mathbb{R}\) अलग हों तो फलन आच्छादी नहीं होता।
(yx-y=x+1), so \(x=\frac{y+1}{y-1}\), defined for every \(y\ne1\).
Step 3
Exam Tip
If every codomain value gives a valid (x), the function is onto. चरण 1: \(y=\frac{x+1}{x-1}\) मानकर (x) निकालें। चरण 2: (yx-y=x+1), इसलिए \(x=\frac{y+1}{y-1}\), जो हर \(y\ne1\) के लिए परिभाषित है। चरण 3: जब हर सहप्रांत मान के लिए मान्य (x) मिले, फलन आच्छादी होता है।
A. तीन सहप्रांत तत्वों में पूर्वप्रतिबिंबों की संख्या (2,1,1)/Preimage counts (2,1,1) among three codomain elements
Step 1
Concept
In an onto function, every element of (B) must be used at least once.
Step 2
Why this answer is correct
Since (A) has (4) elements and (B) has (3), the possible count is (2,1,1).
Step 3
Exam Tip
If any codomain element has count (0), the function is not onto. चरण 1: आच्छादी फलन में (B) का हर तत्व कम से कम एक बार आना चाहिए। चरण 2: (A) में (4) तत्व और (B) में (3) तत्व हैं, इसलिए संभव गणना (2,1,1) है। चरण 3: किसी भी सहप्रांत तत्व की गणना (0) हो तो फलन आच्छादी नहीं होगा।
By inclusion-exclusion, onto functions \(=3^5-\binom{3}{1}2^5+\binom{3}{2}1^5=243-96+3=150\).
Step 3
Exam Tip
For finite sets, subtract functions missing codomain elements. चरण 1: कुल फलन \(3^5\) होंगे। चरण 2: समावेशन-बहिष्करण से आच्छादी संख्या \(3^5-\binom{3}{1}2^5+\binom{3}{2}1^5=243-96+3=150\)। चरण 3: सीमित समुच्चयों में आच्छादी गणना के लिए छूटे हुए सहप्रांत तत्वों को घटाएँ।
An onto function needs at least one preimage for every codomain element.
Step 2
Why this answer is correct
(A) has only (3) elements, so it cannot cover all (5) elements of (B).
Step 3
Exam Tip
For finite sets, if domain size is less than codomain size, onto functions are impossible. चरण 1: आच्छादी फलन में सहप्रांत के हर तत्व को कम से कम एक पूर्वप्रतिबिंब चाहिए। चरण 2: (A) में केवल (3) तत्व हैं, इसलिए (B) के (5) तत्वों को पूरा नहीं ढका जा सकता। चरण 3: जब प्रांत के तत्व सहप्रांत से कम हों, सीमित समुच्चयों में आच्छादी फलन असंभव है।
As \(x\to\infty\), \(x^3-x\to\infty\), and as \(x\to-\infty\), \(x^3-x\to-\infty\).
Step 2
Why this answer is correct
The polynomial is continuous, so it takes every real value in between.
Step 3
Exam Tip
For cubic polynomials, end behavior is very useful for onto checking. चरण 1: \(x\to\infty\) पर \(x^3-x\to\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(x^3-x\to-\infty\)। चरण 2: बहुपद सतत है, इसलिए बीच के सभी वास्तविक मान लेता है। चरण 3: घन बहुपद में सिरों का व्यवहार आच्छादी जाँच में बहुत उपयोगी है।
The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative numbers, which are not in the range.
Step 3
Exam Tip
Even-power polynomials are often bounded below. चरण 1: \(x^4\ge0\) और \(x^2\ge0\), इसलिए (f(x)\ge0)। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक संख्याएँ हैं, जो परास में नहीं आ सकतीं। चरण 3: सम घात वाले बहुपद में अक्सर परास नीचे से सीमित होता है।
The codomain is also ([-1,1]), so every codomain value is obtained.
Step 3
Exam Tip
For trigonometric functions, compare the known range directly with the codomain. चरण 1: \(\sin x\) का परास ([-1,1]) होता है। चरण 2: सहप्रांत भी ([-1,1]) है, इसलिए हर सहप्रांत मान प्राप्त होता है। चरण 3: त्रिकोणमितीय फलन में ज्ञात परास को सीधे सहप्रांत से मिलाएँ।
On (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)), the range of \(\tan x\) is all \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
For every real (y), \(x=\tan^{-1}y\) lies in this interval.
Step 3
Exam Tip
In \(\tan x\) questions, the domain is very important. चरण 1: (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)) पर \(\tan x\) का परास पूरा \(\mathbb{R}\) है। चरण 2: हर वास्तविक (y) के लिए \(x=\tan^{-1}y\) इसी अंतराल में आता है। चरण 3: \(\tan x\) वाले प्रश्नों में प्रांत बहुत महत्त्वपूर्ण होता है।
A. फलन सतत है और \(-\infty\) से \(\infty\) तक मान लेता है/The function is continuous and goes from \(-\infty\) to \(\infty\)
Step 1
Concept
\(x^3+3x\) is a continuous cubic polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
As \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\), and as \(x\to\infty\), it goes to \(\infty\).
Step 3
Exam Tip
Continuous cubic polynomials are often onto from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\). चरण 1: \(x^3+3x\) एक सतत घन बहुपद है। चरण 2: \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) और \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) की ओर जाता है। चरण 3: सतत घन बहुपद प्रायः \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) पर आच्छादी होता है।
(|x-5|) has minimum value (0) and can take every non-negative value.
Step 2
Why this answer is correct
For any \(y\ge0\), choosing (x=5+y) gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
If range and codomain are both \([0,\infty\)), the function is onto. चरण 1: (|x-5|) का न्यूनतम मान (0) है और यह सभी अऋणात्मक मान ले सकता है। चरण 2: किसी भी \(y\ge0\) के लिए (x=5+y) लेने पर (f(x)=y)। चरण 3: परास \([0,\infty\)) हो और सहप्रांत वही हो तो फलन आच्छादी है।
The codomain \(\mathbb{R}\) contains (-2), but it has no preimage.
Step 3
Exam Tip
For absolute value functions from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\), check negative values. चरण 1: (|x-5|) कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-2) है, पर इसका कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं। चरण 3: निरपेक्ष मान फलन को \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) पर जाँचते समय ऋणात्मक मान देखें।
The codomain \(\mathbb{Z}\) also has even integers, such as (2), with no preimage.
Step 3
Exam Tip
For integer functions, parity is a quick check. चरण 1: (2n+1) हमेशा विषम पूर्णांक देता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) में सम पूर्णांक भी हैं, जैसे (2), जिनका पूर्वप्रतिबिंब नहीं। चरण 3: पूर्णांक वाले प्रश्नों में सम और विषम का निरीक्षण तेज तरीका है।
Every odd (y) can be written as (y=2n+1), where \(n=\frac{y-1}{2}\in\mathbb{Z}\).
Step 3
Exam Tip
Changing the codomain can make the same formula onto. चरण 1: सहप्रांत केवल विषम पूर्णांकों का समुच्चय है। चरण 2: हर विषम (y) को (y=2n+1) लिख सकते हैं जहाँ \(n=\frac{y-1}{2}\in\mathbb{Z}\)। चरण 3: सहप्रांत बदलने से वही सूत्र आच्छादी बन सकता है।
If \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), then the minimum value of (n+2) is (3).
Step 2
Why this answer is correct
(1) and (2) are in the codomain but not in the range.
Step 3
Exam Tip
For natural numbers, always check the first few values. चरण 1: यदि \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), तो (n+2) का न्यूनतम मान (3) है। चरण 2: (1) और (2) सहप्रांत में हैं, पर परास में नहीं। चरण 3: प्राकृतिक संख्याओं में शुरुआती मानों की जाँच अवश्य करें।
Since \(y\ge1\), \(y-1\ge0\), so \(x=\sqrt{y-1}\) is real.
Step 3
Exam Tip
To prove onto, solve for (x) in terms of (y) and check that (x) belongs to the domain. चरण 1: \(y=x^2+1\) से \(x^2=y-1\) मिलता है। चरण 2: \(y\ge1\) होने से \(y-1\ge0\), इसलिए \(x=\sqrt{y-1}\) वास्तविक है। चरण 3: आच्छादी सिद्ध करते समय (y) से (x) निकालकर जाँचें कि (x) प्रांत में है।
The domain is \([0,\infty\)), and \(x^2\) can give every non-negative value.
Step 2
Why this answer is correct
For every \(y\ge0\), \(x=\sqrt{y}\) lies in the domain.
Step 3
Exam Tip
Whether \(x^2\) is onto depends on the codomain. चरण 1: प्रांत \([0,\infty\)) है और \(x^2\) सभी अऋणात्मक मान दे सकता है। चरण 2: हर \(y\ge0\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) प्रांत में है। चरण 3: \(x^2\) का आच्छादी होना सहप्रांत पर निर्भर करता है।
The codomain \(\mathbb{R}\) contains values like (-1), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
Enlarging the codomain can make a function not onto. चरण 1: \(x\ge0\) होने पर भी \(x^2\ge0\) ही रहता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-1) जैसे मान हैं, जो नहीं मिलते। चरण 3: सहप्रांत बड़ा कर देने पर फलन आच्छादी नहीं रह सकता।
A. क्योंकि (2) परास में नहीं आता/Because (2) is not in the range
Step 1
Concept
\(\frac{x}{1+x^2}\) is bounded and satisfies (-\frac{1}{2}\le f(x)\le\frac{1}{2}).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains (2), but (f(x)=2) is impossible.
Step 3
Exam Tip
For rational expressions, identify range bounds. चरण 1: \(\frac{x}{1+x^2}\) का मान सीमित रहता है और (-\frac{1}{2}\le f(x)\le\frac{1}{2})। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (2) है, पर (f(x)=2) संभव नहीं। चरण 3: भिन्नात्मक फलनों में परास की सीमा पहचानें।
(f(x)=\frac{x}{1+x-2}) has maximum \(\frac{1}{2}\) at (x=1) and minimum \(-\frac{1}{2}\) at (x=-1).
Step 2
Why this answer is correct
All intermediate values are obtained by continuity.
Step 3
Exam Tip
If the codomain is a closed interval, check endpoints too. चरण 1: (f(x)=\frac{x}{1+x-2}) का अधिकतम \(\frac{1}{2}\) (x=1) पर और न्यूनतम \(-\frac{1}{2}\) (x=-1) पर है। चरण 2: बीच के सभी मान सततता के कारण मिलते हैं। चरण 3: बंद अंतराल सहप्रांत हो तो अंतिम बिंदुओं को भी जाँचें।
For (f(x)=y), choose \(x=\frac{1}{y}\), which belongs to the domain because \(y\ne0\).
Step 3
Exam Tip
For reciprocal functions, excluding (0) from domain and codomain is important. चरण 1: सहप्रांत का हर \(y\ne0\) मान लें। चरण 2: (f(x)=y) के लिए \(x=\frac{1}{y}\), जो प्रांत में है क्योंकि \(y\ne0\)। चरण 3: व्युत्क्रम रूप वाले फलन में (0) को प्रांत और सहप्रांत से हटाना जरूरी है।
A. क्योंकि (0) का पूर्वप्रतिबिंब नहीं है/Because (0) has no preimage
Step 1
Concept
\(\frac{1}{x}\) can never be (0).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0), so one codomain element is missing.
Step 3
Exam Tip
If a reciprocal has constant numerator, check whether (0) is obtained. चरण 1: \(\frac{1}{x}\) कभी (0) नहीं हो सकता। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) है, इसलिए एक सहप्रांत तत्व छूट रहा है। चरण 3: भिन्न के अंश स्थिर हो तो (0) के मिलने की जाँच करें।
For any (y\in(0,1]), \(x^2=\frac{1}{y}-1\ge0\), so a real (x) exists.
Step 3
Exam Tip
To find range, rewrite the equation in terms of \(x^2\). चरण 1: \(1+x^2\ge1\), इसलिए (0<f(x)\le1)। चरण 2: किसी भी (y\in(0,1]) के लिए \(x^2=\frac{1}{y}-1\ge0\), इसलिए वास्तविक (x) मिल जाता है। चरण 3: परास निकालने के लिए समीकरण को \(x^2\) के रूप में लिखें।
The codomain ([0,1]) contains (0), but no real (x) gives it.
Step 3
Exam Tip
Pay close attention to open and closed endpoints. चरण 1: (f(x)) हमेशा (0) से बड़ा रहता है। चरण 2: सहप्रांत ([0,1]) में (0) है, पर कोई वास्तविक (x) इसे नहीं देता। चरण 3: खुले और बंद अंतराल के अंतर पर खास ध्यान दें।
For every \(y\in[0,1]\), \(x=\sqrt{y}\) lies in the domain.
Step 3
Exam Tip
Even on a restricted domain, a function can be onto if codomain is chosen correctly. चरण 1: ([-1,1]) पर \(x^2\) का परास ([0,1]) है। चरण 2: हर \(y\in[0,1]\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) प्रांत में आता है। चरण 3: सीमित प्रांत में भी फलन आच्छादी हो सकता है यदि सहप्रांत सही चुना जाए।
The codomain ([-1,1]) also contains negative values such as \(-\frac{1}{2}\), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
Having a similar-looking domain does not guarantee onto. चरण 1: ([-1,1]) पर \(x^2\) के मान ([0,1]) में रहते हैं। चरण 2: सहप्रांत ([-1,1]) में ऋणात्मक मान भी हैं, जैसे \(-\frac{1}{2}\), जो नहीं मिलते। चरण 3: समान प्रांत रखने से आच्छादी होना तय नहीं होता।
\(x=\frac{y-b}{a}\) is real for every real (y) because \(a\ne0\).
Step 3
Exam Tip
A non-zero slope linear function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is onto. चरण 1: (y=ax+b) मानकर (x) निकालें। चरण 2: \(x=\frac{y-b}{a}\) हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है क्योंकि \(a\ne0\)। चरण 3: गैर-शून्य ढाल वाला रैखिक फलन \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) पर आच्छादी होता है।
The codomain \(\mathbb{R}\) has values such as (6), (0), and (-1), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
A constant function is not onto over a large codomain. चरण 1: स्थिर फलन का परास केवल ({5}) है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (6), (0), (-1) जैसे अनेक मान हैं जो नहीं मिलते। चरण 3: स्थिर फलन बड़े सहप्रांत पर आच्छादी नहीं होता।
The codomain element (r) is not the image of any domain element.
Step 3
Exam Tip
In table-based questions, mark the missing codomain element. चरण 1: फलन के मान (p,q,p) हैं। चरण 2: सहप्रांत का तत्व (r) किसी भी प्रांत तत्व की छवि नहीं है। चरण 3: सारणी वाले प्रश्नों में सहप्रांत के छूटे तत्व को चिह्नित करें।
All three codomain elements (a,b,c) appear as images.
Step 2
Why this answer is correct
Repetition of (a) does not stop onto property.
Step 3
Exam Tip
Onto requires every codomain element at least once, not exactly once. चरण 1: (a,b,c) तीनों सहप्रांत तत्व छवि के रूप में आ रहे हैं। चरण 2: (a) दो बार आना आच्छादी होने में बाधा नहीं है। चरण 3: आच्छादी में हर सहप्रांत तत्व कम से कम एक बार मिलना चाहिए, केवल एक बार होना जरूरी नहीं।
In an onto function, every element of (B) needs at least one element from (A).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, (A) cannot have fewer elements than (B).
Step 3
Exam Tip
For finite sets, (n(A)\ge n(B)) is a necessary condition for onto. चरण 1: आच्छादी फलन में (B) के हर तत्व को (A) से कम से कम एक तत्व चाहिए। चरण 2: इसलिए (A) में तत्वों की संख्या (B) से कम नहीं हो सकती। चरण 3: सीमित समुच्चयों में (n(A)\ge n(B)) आच्छादी की जरूरी शर्त है।
Since (g) is onto, some \(b\in B\) has (g(b)=c); since (f) is onto, some \(a\in A\) has (f(a)=b).
Step 3
Exam Tip
In composition, trace the preimage backward. चरण 1: (C) का कोई भी तत्व (c) लें। चरण 2: (g) आच्छादी है, इसलिए कोई \(b\in B\) ऐसा है कि (g(b)=c); और (f) आच्छादी है, इसलिए कोई \(a\in A\) ऐसा है कि (f(a)=b)। चरण 3: संयोजन में पूर्वप्रतिबिंब को पीछे की ओर खोजें।
Cube root is defined for every real number, so it helps prove onto. चरण 1: \(y=x^3+1\) से \(x^3=y-1\) मिलता है। चरण 2: हर वास्तविक (y) के लिए \(\sqrt[3]{y-1}\) वास्तविक होता है। चरण 3: घनमूल हर वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है, इसलिए यह आच्छादी सिद्ध करने में सहायक है।
The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0) and negative values, which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
Changing the domain restriction changes the range. चरण 1: \(x\ge0\) होने से \(x^3+1\ge1\)। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) और ऋणात्मक मान हैं, जो प्राप्त नहीं होते। चरण 3: सूत्र के साथ प्रांत की सीमा बदलने से परास बदल जाता है।
A. हर \(y\ge1\) के लिए \(x=\sqrt[3]{y-1}\) प्रांत में है/For every \(y\ge1\), \(x=\sqrt[3]{y-1}\) is in the domain
Step 1
Concept
From \(y=x^3+1\), \(x=\sqrt[3]{y-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
If \(y\ge1\), then \(y-1\ge0\), so \(x\ge0\) and belongs to the domain.
Step 3
Exam Tip
Finding a valid preimage in the domain is the key condition for onto. चरण 1: \(y=x^3+1\) से \(x=\sqrt[3]{y-1}\) मिलता है। चरण 2: \(y\ge1\) होने पर \(y-1\ge0\), इसलिए \(x\ge0\) और प्रांत में है। चरण 3: पूर्वप्रतिबिंब प्रांत में मिलना आच्छादी सिद्ध करने की मुख्य शर्त है।
For every \(y\ge-3\), choosing \(x=\sqrt{y+3}\) gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
Use the minimum value of a square function to decide its range. चरण 1: \(x^2\ge0\), इसलिए \(x^2-3\ge-3\)। चरण 2: हर \(y\ge-3\) के लिए \(x=\sqrt{y+3}\) लेने पर (f(x)=y)। चरण 3: वर्ग फलन के न्यूनतम मान से परास तय करें।
For every \(y\le4\), \(x=\sqrt{4-y}\) is real and gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
For a downward quadratic, use the maximum value to identify the range. चरण 1: \(x^2\ge0\), इसलिए \(4-x^2\le4\)। चरण 2: हर \(y\le4\) के लिए \(x=\sqrt{4-y}\) वास्तविक है और (f(x)=y)। चरण 3: नीचे की ओर खुलने वाले वर्ग फलन में अधिकतम मान से परास देखें।
The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0) and negative values, which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
Even powers with a positive shift have a range bounded below. चरण 1: \(x^6\ge0\), इसलिए \(x^6+1\ge1\)। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) और ऋणात्मक मान हैं, जो प्राप्त नहीं होते। चरण 3: सम घात और धनात्मक जोड़ वाले फलन का परास नीचे से सीमित होता है।
For every \(y\ge0\), \(x=\sqrt{y+1}\ge1\), so it lies in the domain.
Step 3
Exam Tip
Always check the domain condition for the (x) you find. चरण 1: \(x\ge1\) होने से \(x^2-1\ge0\)। चरण 2: हर \(y\ge0\) के लिए \(x=\sqrt{y+1}\ge1\), इसलिए वह प्रांत में है। चरण 3: प्रांत की शर्त को निकाले गए (x) पर जरूर जाँचें।
The range of \(\ln x\) is all \(\mathbb{R}\) for (x>0).
Step 2
Why this answer is correct
For any \(y\in\mathbb{R}\), \(x=e^y>0\), so (x) is in the domain.
Step 3
Exam Tip
Logarithmic and exponential functions help find preimages of each other. चरण 1: \(\ln x\) का परास पूरा \(\mathbb{R}\) है जब (x>0)। चरण 2: किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=e^y>0\), इसलिए (x) प्रांत में है। चरण 3: लघुगणक और घातीय फलन एक-दूसरे के पूर्वप्रतिबिंब खोजने में सहायक हैं।
\(\ln x\) takes negative, zero, and positive real values.
Step 2
Why this answer is correct
Although every positive (y) has \(x=e^y\), many outputs of \(\ln x\) are outside (\(0,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
A function \(A\to B\) must have every output inside (B), so with this codomain it is not a valid function into (B). चरण 1: \(\ln x\) ऋणात्मक, शून्य और धनात्मक सभी वास्तविक मान लेता है। चरण 2: सहप्रांत (\(0,\infty\)) है, लेकिन \(\ln x\) के धनात्मक मान ही सहप्रांत में आते हैं; हर धनात्मक (y) के लिए \(x=e^y\) मिलता है, पर फलन का मान सहप्रांत से बाहर भी जाता है। चरण 3: फलन \(A\to B\) तभी ठीक से परिभाषित माना जाता है जब हर छवि (B) में हो, इसलिए यहाँ दिए गए सहप्रांत के साथ यह मान्य फलन नहीं बनता।
\(\lfloor x\rfloor\) always gives an integer value.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains non-integers such as \(\frac{1}{2}\), with no preimage.
Step 3
Exam Tip
The greatest integer function has range \(\mathbb{Z}\), not \(\mathbb{R}\). चरण 1: \(\lfloor x\rfloor\) हमेशा पूर्णांक मान देता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में \(\frac{1}{2}\) जैसे अपूर्णांक मान हैं, जिनका कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं। चरण 3: महत्तम पूर्णांक फलन में परास \(\mathbb{Z}\) होता है, \(\mathbb{R}\) नहीं।
(yx+2y=3x+1), so \(x=\frac{1-2y}{y-3}\), which is defined for every \(y\ne3\).
Step 3
Exam Tip
In rational functions, the value that makes solving impossible is often excluded from the codomain. चरण 1: \(y=\frac{3x+1}{x+2}\) मानकर (x) निकालें। चरण 2: (yx+2y=3x+1), इसलिए \(x=\frac{1-2y}{y-3}\), जो हर \(y\ne3\) के लिए परिभाषित है। चरण 3: भिन्नात्मक फलन में जिस मान पर हर कटता है, उसे सहप्रांत से हटाकर आच्छादी जाँची जाती है।
A. क्योंकि (3) का कोई वास्तविक पूर्वप्रतिबिंब नहीं है/Because (3) has no real preimage
Step 1
Concept
(x-2-2x+5=(x-1)2+4), so its minimum value is (4).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains (3), but the range is \([4,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
Completing the square is a fast and reliable exam method for finding range. चरण 1: (x-2-2x+5=(x-1)2+4), इसलिए इसका न्यूनतम मान (4) है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (3) है, लेकिन परास \([4,\infty\)) है। चरण 3: वर्ग पूर्ण करके परास निकालना परीक्षा में तेज और सुरक्षित तरीका है।
On the given interval, \(\sin x\) increases continuously.
Step 2
Why this answer is correct
At \(x=-\frac{\pi}{2}\), the value is (-1), and at \(x=\frac{\pi}{2}\), the value is (1), so all values between them are obtained.
Step 3
Exam Tip
On a closed interval, checking endpoint values helps identify onto behavior quickly. चरण 1: दिए गए अंतराल पर \(\sin x\) लगातार बढ़ता है। चरण 2: \(x=-\frac{\pi}{2}\) पर मान (-1) और \(x=\frac{\pi}{2}\) पर मान (1) है, इसलिए बीच के सभी मान मिलते हैं। चरण 3: बंद अंतराल में अंतिम बिंदुओं के मान जाँचकर आच्छादी को जल्दी पहचाना जा सकता है।
By inclusion-exclusion, onto functions \(=3^6-\binom{3}{1}2^6+\binom{3}{2}1^6=729-192+3=540\).
Step 3
Exam Tip
For counting onto functions, start with all functions and subtract those missing codomain elements. चरण 1: कुल फलन \(3^6\) होंगे। चरण 2: समावेशन-बहिष्करण से आच्छादी फलन \(3^6-\binom{3}{1}2^6+\binom{3}{2}1^6=729-192+3=540\) मिलते हैं। चरण 3: आच्छादी फलनों की गिनती में पहले सभी फलन लें, फिर छूटे हुए सहप्रांत तत्वों वाले फलन घटाएँ।
