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\(125\times8=1000\), इसलिए \( \frac{23}{125}=\frac{184}{1000}=0.184 \) है। हर को (10) की घात बनाना तेज तरीका है। / \(125\times8=1000\), so \( \frac{23}{125}=\frac{184}{1000}=0.184 \). Making the denominator a power of (10) is a fast method.
\(0.5625=\frac{5625}{10000}=\frac{9}{16}\) है। दशमलव को पहले भिन्न में लिखें और फिर सरल करें। / \(0.5625=\frac{5625}{10000}=\frac{9}{16}\). First write the decimal as a fraction and then simplify.
\(120=2^3\times3\times5\) में (3) भी है। इसलिए यह परिमेय संख्या असांत आवर्ती दशमलव देगी। / \(120=2^3\times3\times5\) also has (3). So this rational number gives a non-terminating recurring decimal.
संख्या 4.0705 में 7 दशमलव बिंदु के बाद दूसरे स्थान पर है। यह स्थान सौवें का होता है, इसलिए 7 का स्थानीय मान \(7 \times \frac{1}{100}=\frac{7}{100}\) है। विकल्प A दसवें स्थान का मान दर्शाता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: दशमलव के बाद अंकों को क्रमशः दसवाँ, सौवाँ, हजारवाँ और दस-हजारवाँ पढ़ें। / In 4.0705, the digit 7 is in the second place to the right of the decimal point. This is the hundredths place, so its place value is \(7 \times \frac{1}{100}=\frac{7}{100}\). Option A represents the tenths place, not the hundredths place. Exam tip: Count the decimal places from left to right as tenths, hundredths, thousandths and ten-thousandths.
संख्या 3.208 में 2 दसवें स्थान पर और 8 हजारवें स्थान पर है। सौवें स्थान पर 0 है, इसलिए उसका विस्तारित रूप \(3+\frac{2}{10}+\frac{0}{100}+\frac{8}{1000}\), अर्थात \(3+\frac{2}{10}+\frac{8}{1000}\) है। विकल्प A में 8 को सौवें स्थान पर रखा गया है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा में दशमलव के बाद अंकों के स्थान—दसवाँ, सौवाँ और हजारवाँ—क्रम से अवश्य जाँचें। / In 3.208, 2 is in the tenths place and 8 is in the thousandths place. The hundredths digit is 0, so its expanded form is \(3+\frac{2}{10}+\frac{0}{100}+\frac{8}{1000}\), which is equivalent to \(3+\frac{2}{10}+\frac{8}{1000}\). Option A is incorrect because it places 8 in the hundredths place. In an exam, check the place values after the decimal point in order: tenths, hundredths and thousandths.
पहले (1) के बाद (45) का समूह लगातार दोहरता है। आवर्ती भाग सबसे छोटा दोहराने वाला समूह होता है। / After the first (1), the block (45) repeats continuously. The recurring part is the smallest repeating block.
A. हर अभाज्य गुणनखंड केवल 2 या 5 हो/Every prime factor is only 2 or 5
Explanation
Simple Explanation
सबसे सरल रूप में हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 होने पर दशमलव प्रसार सांत होता है। जैसे, \(40=2^3\times5\)। केवल 2 या केवल 5 होना भी इसका विशेष मामला है; हर में 3 आने पर प्रसार असांत आवर्ती होगा। परीक्षा में पहले भिन्न को सरल करें। / A rational number has a terminating decimal only when the denominator in lowest terms has no prime factors other than 2 and 5. For example, \(40=2^3\times5\). Options B and C are only special cases, while a factor such as 3 gives a non-terminating recurring decimal. Exam tip: reduce first.
(1.045), (1.040) से बड़ा और (1.050) से छोटा है। बीच की संख्या खोजने के लिए दशमलव स्थान समान करें। / (1.045) is greater than (1.040) and less than (1.050). Make decimal places equal to find a number between them.
पहला (7) दशमलव के बाद दूसरे स्थान पर है। इसलिए उसका स्थानीय मान \( \frac{7}{100} \) है। / The first (7) is in the second place after the decimal point. So its place value is \( \frac{7}{100} \).
\(6.25=\frac{625}{100}=\frac{25}{4}\) है। दशमलव को भिन्न में बदलकर अंतिम उत्तर सरल करें। / \(6.25=\frac{625}{100}=\frac{25}{4}\). Convert the decimal to a fraction and simplify the final answer.
\(0.00625=\frac{625}{100000}=\frac{1}{160}\) है। पांच दशमलव स्थान हों तो हर (100000) लें। / \(0.00625=\frac{625}{100000}=\frac{1}{160}\). For five decimal places, use denominator (100000).
(0.0304) में अंकों का स्थान बदल गया है, इसलिए यह छोटा है। केवल अंत में शून्य जोड़ने या हटाने से मान नहीं बदलता। / In (0.0304), the place of digits has changed, so it is smaller. Only adding or removing zeros at the end does not change value.
\(0.064\times100=6.4\), इसलिए (6.4%) मिलेगा। दशमलव को प्रतिशत में बदलने के लिए (100) से गुणा करें। / \(0.064\times100=6.4\), so it becomes (6.4%). To convert a decimal into a percentage, multiply by (100).
\(8.406\div100=0.08406\) होता है। (100) से भाग देने पर दशमलव बिंदु दो स्थान बाईं ओर जाता है। / \(8.406\div100=0.08406\). On dividing by (100), the decimal point moves two places to the left.
दशमलव बिंदुओं को एक सीध में रखकर 0.375 को 0.3750 लिखें। तब 0.3750 + 0.0625 = 0.4375 होता है, इसलिए सही विकल्प A है। 0.3875 जैसा उत्तर स्थान-मूल्य के अनुसार अंकों को सही ढंग से न जोड़ने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: दशमलव संख्याओं के जोड़ में पहले दशमलव बिंदुओं को मिलाइए और आवश्यकता होने पर अंत में शून्य लगाइए। / Align the decimal points and write 0.375 as 0.3750. Then, 0.3750 + 0.0625 = 0.4375, so option A is correct. An answer such as 0.3875 can result from adding digits without respecting their place values. Exam tip: always align decimal points first and add trailing zeros when needed.
दशमलव स्थानों को मिलाने के लिए 5.5 को 5.500 लिखते हैं। अब \(5.500-2.875=2.625\), इसलिए सही उत्तर 2.625 है। 2.725 तब मिलता है जब घटाव में अंकों का स्थान-मूल्य सही ढंग से न रखा जाए। परीक्षा टिप: दशमलव संख्याओं को घटाने से पहले दशमलव बिंदुओं को एक सीध में लिखें और आवश्यकतानुसार शून्य जोड़ें। / Write 5.5 as 5.500 so that the decimal places are aligned. Then \(5.500-2.875=2.625\), so 2.625 is correct. The value 2.725 can result from subtracting digits without correctly maintaining their place values. Exam tip: align decimal points first and add zeros where needed before subtracting decimal numbers.
इसमें निश्चित दोहराने वाला भाग नहीं है और यह समाप्त भी नहीं होता। ऐसा दशमलव असांत अनावर्ती होता है। / It has no fixed repeating part and it does not terminate. Such a decimal is non-terminating non-recurring.
\(0.\overline{3}\) अनंत होते हुए भी आवर्ती दशमलव है और \(0.\overline{3}=\frac{1}{3}\), इसलिए यह परिमेय है। \(\sqrt{2}\) अनावर्ती है। परीक्षा टिप: आवर्ती दशमलव सदैव परिमेय होते हैं। / Although \(0.\overline{3}\) is non-terminating, it repeats and \(0.\overline{3}=\frac{1}{3}\), so it is rational. \(\sqrt{2}\) is non-repeating. Exam tip: every repeating decimal represents a rational number.
एक विद्यार्थी कहता है, “जिस भिन्न के हर में 3 का गुणनखंड हो, उसका दशमलव प्रसार हमेशा अनंत आवर्ती होता है।” निम्नलिखित में से कौन-सा भिन्न इस कथन को गलत सिद्ध करता है?
\(\frac{3}{15}=\frac{1}{5}=0.2\), इसलिए इसका दशमलव प्रसार सांत है। दशमलव का प्रकार ज्ञात करने से पहले भिन्न को सरल रूप में लिखें; केवल सरल हर के गुणनखंड देखें। / \(\frac{3}{15}=\frac{1}{5}=0.2\), so its decimal expansion terminates. Always reduce a fraction first: only the prime factors of the simplified denominator determine the decimal type.
\( \frac{44}{66}=\frac{2}{3} \) है। हर में (3) होने के कारण दशमलव असांत आवर्ती होगा। / \( \frac{44}{66}=\frac{2}{3} \). Since the denominator has (3), the decimal will be non-terminating recurring.
दिया गया दशमलव \(0.036036036\ldots\) में अंक-समूह \(036\) लगातार दोहराया जा रहा है। इसलिए बार पूरे आवर्ती समूह \(036\) पर लगेगा: \(0.\overline{036}\)। \(0.0\overline{36}\) में केवल \(36\) दोहरता है, जिससे दशमलव \(0.0363636\ldots\) बनता है, जो दिए गए दशमलव से अलग है। परीक्षा टिप: बार लगाने से पहले दोहरने वाले सबसे छोटे पूर्ण अंक-समूह को पहचानें। / In \(0.036036036\ldots\), the digit block \(036\) repeats continuously. Therefore, the bar must be placed over the complete recurring block: \(0.\overline{036}\). In \(0.0\overline{36}\), only \(36\) repeats, giving \(0.0363636\ldots\), which is different from the given decimal. Exam tip: identify the smallest complete repeating block before placing the bar.
\(0.09=0.0900\ldots\) लिख सकते हैं। अब तुलना करने पर दशमलव के पहले तीन अंक समान हैं, लेकिन चौथे अंक पर \(0.0909\ldots\) में 9 है और \(0.0900\ldots\) में 0 है। इसलिए \(0.0909\ldots>0.09\)। विकल्प B गलत है क्योंकि समाप्त दशमलव \(0.09\) में आगे के सभी अंक 0 होते हैं। परीक्षा टिप: दशमलवों की तुलना करते समय समाप्त दशमलव के अंत में शून्य जोड़कर अंकों की क्रम से तुलना करें। / We can write \(0.09\) as \(0.0900\ldots\). The first three decimal digits are the same, but at the fourth digit \(0.0909\ldots\) has 9 whereas \(0.0900\ldots\) has 0. Therefore, \(0.0909\ldots>0.09\). Option B is incorrect because all digits after the terminating decimal \(0.09\) are 0. Exam tip: When comparing decimals, append zeros to a terminating decimal and compare digits from left to right.
\(x=7.25\div1000=0.00725\) है। (1000) से भाग देने पर दशमलव बिंदु तीन स्थान बाईं ओर जाता है। / \(x=7.25\div1000=0.00725\). On dividing by (1000), the decimal point moves three places to the left.
दशमलव को प्रतिशत में बदलने के लिए उसे 100 से गुणा किया जाता है: \(0.875 \times 100 = 87.5\)। इसलिए सही उत्तर 87.5% है। 8.75% में दशमलव को 10 से गुणा करने का प्रभाव आता है, जबकि 875% में 1000 से गुणा करने का। परीक्षा-टिप: दशमलव से प्रतिशत में बदलते समय दशमलव बिंदु को दो स्थान दाईं ओर खिसकाएँ और % लगाएँ। / To convert a decimal into a percentage, multiply it by 100: \(0.875 \times 100 = 87.5\). Therefore, the correct answer is 87.5%. The option 8.75% results from multiplying by 10, while 875% results from multiplying by 1000. Exam tip: Move the decimal point two places to the right and add the percent sign when converting a decimal to a percentage.
\(16\times625=10000\), इसलिए \( \frac{11}{16}=\frac{6875}{10000}=0.6875 \) है। हर को (10) की घात में बदलें। / \(16\times625=10000\), so \( \frac{11}{16}=\frac{6875}{10000}=0.6875 \). Convert the denominator into a power of (10).
दशमलव के बाद अंकों का क्रम दसवाँ, सौंवाँ, हजारवाँ और दस-हजारवाँ होता है। संख्या 12.3045 में 5 दशमलव के बाद चौथे स्थान पर है, इसलिए उसका स्थानीय मान \(\frac{5}{10000}\) है। इसे \(0.0005\) भी लिखा जा सकता है। परीक्षा में दशमलव के बाद स्थान गिनकर हर का 10 की համապատասխան घात लेना याद रखें। / After the decimal point, the places are tenths, hundredths, thousandths, and ten-thousandths. In 12.3045, 5 is in the fourth place after the decimal point, so its place value is \(\frac{5}{10000}\), or 0.0005. As an exam tip, count the digits after the decimal point to determine the denominator as the corresponding power of 10.
A. \(0.\overline{6}\), \(1.2323\ldots\), \(4.105105\ldots\)
Explanation
Simple Explanation
पहले विकल्प की सभी संख्याओं में कोई न कोई भाग बार-बार दोहरता है। यही असांत आवर्ती दशमलव की पहचान है। / All numbers in the first option have some part repeating again and again. This is the key feature of non-terminating recurring decimals.
0.0048 में दशमलव के बाद चार अंक हैं, इसलिए इसे \(\frac{48}{10000}\) लिखा जाता है। अंश और हर को 16 से भाग देने पर \(\frac{48}{10000}=\frac{3}{625}\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर A है। विकल्प B में हर 1000 लिया गया है, जो दशमलव स्थानों की संख्या के अनुसार गलत है। परीक्षा-टिप: दशमलव के बाद जितने अंक हों, हर में उतने शून्यों वाला 10 लिखें और फिर भिन्न को सरल करें। / There are four digits after the decimal point in 0.0048, so it can be written as \(\frac{48}{10000}\). Dividing the numerator and denominator by 16 gives \(\frac{48}{10000}=\frac{3}{625}\). Therefore, option A is correct. In option B, the denominator 1000 is used, but four decimal places require a denominator of 10000. Exam tip: Count the digits after the decimal point, write the corresponding power of 10 as the denominator, and then simplify the fraction.
(0.0202) सबसे छोटा और (0.202) सबसे बड़ा है। तुलना के लिए सभी को समान दशमलव स्थान तक लिखें। / (0.0202) is the smallest and (0.202) is the greatest. Write all numbers up to equal decimal places for comparison.
पहला (6) दसवें और अंतिम (6) दस हजारवें स्थान पर है। इसलिए विस्तारित रूप \(5+\frac{6}{10}+\frac{6}{10000}\) है। / The first (6) is in tenths and the last (6) is in ten-thousandths. So the expanded form is \(5+\frac{6}{10}+\frac{6}{10000}\).
\( \frac{13}{40}=0.325 \), जो (0.32) से बड़ा है। भिन्न को दशमलव में बदलकर तुलना करें। / \( \frac{13}{40}=0.325 \), which is greater than (0.32). Convert the fraction into a decimal to compare.
B. यह परिमेय है, क्योंकि 27 का आवर्तन हो रहा है; इसे \(\frac{3}{11}\) लिखा जा सकता है।/It is rational because 27 repeats; it can be written as \(\frac{3}{11}\).
Explanation
Simple Explanation
\(0.272727\ldots=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}\), इसलिए यह परिमेय संख्या है। असांत दशमलव प्रसार आवर्ती हो तो वह परिमेय होता है; विकल्प A में यही भ्रम है। परीक्षा टिप: आवर्तन दिखे तो उसे \(\frac{9}{99}\) आदि के रूप में बदलें। / \(0.272727\ldots=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}\), so it is rational. A non-terminating decimal is rational when a block repeats; option A ignores this rule. Exam tip: use 9, 99, or 999 in the denominator for repeating blocks.
हर में (3) है, जो (2) और (5) के अलावा गुणनखंड है। इसलिए परिमेय संख्या का दशमलव असांत आवर्ती होगा। / The denominator has (3), a factor other than (2) and (5). So the rational number will have a non-terminating recurring decimal.
यह ज्ञात करने के लिए बड़े दशमलव को छोटे दशमलव से भाग देते हैं: \(0.007 \div 0.0007 = 10\)। अतः \(0.007 = 10 \times 0.0007\), इसलिए सही उत्तर 10 गुना है। 7 गुना लिखना सही नहीं है, क्योंकि दशमलव स्थानों का अंतर यहाँ 10 का गुणक बनाता है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में बड़े मान को छोटे मान से भाग दें। / To find the multiple, divide the larger decimal by the smaller one: \(0.007 \div 0.0007 = 10\). Thus, \(0.007 = 10 \times 0.0007\), so the correct answer is 10 times. The value is not 7 times because shifting the decimal point one place to the right multiplies 0.0007 by 10. In the exam, divide the larger number by the smaller number to find the multiple.
दशमलव बिंदु के बाद अंक क्रम \(9,0,9,0,\ldots\) है। यहाँ \(9\) के बाद \(0\) आता है और यही दो अंकों का क्रम लगातार दोहरता है, इसलिए आवर्ती भाग \(90\) है। \(9\) अकेले नहीं दोहरता, क्योंकि उसके बाद हर बार \(0\) भी आता है। परीक्षा टिप: आवर्ती भाग पहचानने के लिए दशमलव के बाद सबसे छोटे क्रम को देखें जो लगातार उसी क्रम में दोहर रहा हो। / After the decimal point, the digits are \(9,0,9,0,\ldots\). The digit \(9\) is followed by \(0\), and this two-digit block repeats continuously; therefore, the recurring part is \(90\). The digit \(9\) alone is not the repeating block because it is followed by \(0\) each time. Exam tip: identify the shortest block after the decimal point that repeats in the same order.
(0.8750), (0.8705), (0.8700) और (0.8570) से बड़ा है। तुलना में समान दशमलव स्थान लिखें। / (0.8750) is greater than (0.8705), (0.8700), and (0.8570). Write equal decimal places for comparison.
\( \frac{1}{3}=0.333\ldots \) और \( \frac{1}{2}=0.5 \), इसलिए (0.34) बीच में है। सीमाओं को दशमलव में बदलकर तुलना करें। / \( \frac{1}{3}=0.333\ldots \) and \( \frac{1}{2}=0.5 \), so (0.34) lies between them. Convert boundaries to decimals for comparison.
\( \frac{41}{200}=\frac{205}{1000}=0.205 \) है। हर (200) को (1000) बनाने के लिए (5) से गुणा करें। / \( \frac{41}{200}=\frac{205}{1000}=0.205 \). Multiply denominator (200) by (5) to make (1000).
अंतिम (4) दशमलव के बाद पांचवें स्थान पर है। पांचवां दशमलव स्थान लाखवां होता है। / The last (4) is in the fifth place after the decimal point. The fifth decimal place is hundred-thousandths.
\(12.5 \times 0.1 = 1.25\)। क्योंकि \(0.1 = \frac{1}{10}\), इसलिए किसी संख्या को \(0.1\) से गुणा करने पर वह संख्या \(10\) से भाग देने के बराबर होती है। अतः \(12.5 \div 10 = 1.25\)। विकल्प B में संख्या अपरिवर्तित रहती है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: दशमलव संख्या को \(0.1\) से गुणा करते समय दशमलव बिंदु एक स्थान बाईं ओर खिसकाएँ। / \(12.5 \times 0.1 = 1.25\). Since \(0.1 = \frac{1}{10}\), multiplying a number by \(0.1\) is equivalent to dividing it by \(10\). Therefore, \(12.5 \div 10 = 1.25\). Option B leaves the number unchanged, so it is incorrect. Exam tip: When multiplying a decimal by \(0.1\), move the decimal point one place to the left.
दोनों को (100) से गुणा करने पर \(36\div12=3\) मिलता है। दशमलव भाग में समान गुणा करने से भागफल नहीं बदलता। / Multiplying both by (100) gives \(36\div12=3\). Multiplying both parts of a division by the same number does not change the quotient.
C. \(2.7182818\ldots\) बिना निश्चित दोहराव/\(2.7182818\ldots\) without fixed repetition
Explanation
Simple Explanation
बिना निश्चित दोहराव वाला असांत दशमलव असांत अनावर्ती होता है। ऐसे दशमलव अपरिमेय संख्या का रूप हो सकते हैं। / A non-terminating decimal without fixed repetition is non-terminating non-recurring. Such decimals can represent irrational numbers.
B. कथन गलत है; इसका दशमलव प्रसार असांत और अनावर्ती है, इसलिए संख्या अपरिमेय है।/The statement is incorrect; its decimal expansion is non-terminating and non-recurring, so the number is irrational.
Explanation
Simple Explanation
यहाँ 1 के बीच शून्यों की संख्या 1, 2, 3, 4, … बढ़ती जाती है, इसलिए कोई निश्चित अंक-खंड बार-बार नहीं दोहराता। यह असांत-अनावर्ती दशमलव है, अतः अपरिमेय है। परीक्षा में असांत दशमलव के लिए आवर्ती या अनावर्ती होना अवश्य जाँचें। / The number of zeros between successive 1s increases as 1, 2, 3, 4, …, so no fixed block repeats. Its decimal expansion is non-terminating and non-recurring; hence it is irrational. Exam tip: a non-terminating decimal is rational only when it eventually repeats.
दिया गया दशमलव 0.312312312… में 312 का तीन-अंकीय समूह बार-बार दोहर रहा है। इसलिए बार पूरे आवर्ती समूह 312 पर लगेगा: \(0.\overline{312}\)। विकल्प \(0.3\overline{12}\) में केवल 12 को आवर्ती माना गया है, जो दिए गए दशमलव के क्रम से मेल नहीं खाता। परीक्षा टिप: बार लगाने से पहले सबसे छोटे समूह को पहचानें जो लगातार दोहर रहा हो। / In the decimal 0.312312312…, the three-digit block 312 repeats continuously. Therefore, the bar must be placed over the complete repeating block: \(0.\overline{312}\). In \(0.3\overline{12}\), only 12 is treated as repeating, which does not match the given decimal pattern. Exam tip: Before using bar notation, identify the shortest block that repeats continuously.
दशमलव संख्याओं की तुलना बाएँ से दाएँ की जाती है। दोनों में इकाई का अंक 0 है, लेकिन दशमांश स्थान पर x में 6 और y में 0 है। चूँकि 6>0, इसलिए 0.608>0.068, अर्थात (x>y)। (x<y) तभी होता जब x के पहले भिन्न अंक का मान y से छोटा होता। परीक्षा टिप: दशमलवों की तुलना करते समय पहले इकाई, फिर दशमांश, शतांश आदि स्थानों की तुलना करें। / Compare decimal numbers from left to right. Both numbers have 0 in the ones place, but in the tenths place, x has 6 while y has 0. Since 6>0, 0.608>0.068; hence, (x>y). The relation (x<y) would be true only if the first differing decimal digit of x were smaller. Exam tip: Compare ones, then tenths, hundredths, and so on.
\( \frac{45}{150}=\frac{3}{10} \) है। हर में केवल (2) और (5) हैं, इसलिए दशमलव सांत होगा। / \( \frac{45}{150}=\frac{3}{10} \). The denominator has only (2) and (5), so the decimal will terminate.
\( \frac{1}{9}=0.111\ldots \), इसलिए (0.125) सबसे बड़ा है। भिन्नों को दशमलव में बदलकर तुलना करें। / \( \frac{1}{9}=0.111\ldots \), so (0.125) is the greatest. Convert fractions into decimals for comparison.
\(400\times25=10000\), इसलिए \( \frac{27}{400}=\frac{675}{10000}=0.0675 \) है। हर को (10) की घात बनाकर दशमलव निकालें। / \(400\times25=10000\), so \( \frac{27}{400}=\frac{675}{10000}=0.0675 \). Convert the denominator into a power of (10) to find the decimal.
दसवें स्थान समान हैं और सौवें स्थान पर (a) को (3) से बड़ा होना चाहिए। इसलिए (a) का सबसे छोटा मान (4) है। / The tenths digits are equal and the hundredths digit (a) must be greater than (3). So the smallest value of (a) is (4).
इसमें शून्यों की संख्या बदलती रहती है, इसलिए कोई निश्चित आवर्ती भाग नहीं है। ऐसा दशमलव असांत अनावर्ती होता है। / The number of zeros keeps changing, so there is no fixed recurring part. Such a decimal is non-terminating non-recurring.
