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\(2500\times4=10000\), इसलिए \( \frac{109}{2500}=\frac{436}{10000}=0.0436 \) है। हर को (10) की घात बनाना तेज तरीका है। / \(2500\times4=10000\), so \( \frac{109}{2500}=\frac{436}{10000}=0.0436 \). Making the denominator a power of (10) is a fast method.
\(0.00078125=\frac{78125}{100000000}=\frac{1}{1280}\) है। दशमलव स्थान गिनकर भिन्न को सरल करना जरूरी है। / \(0.00078125=\frac{78125}{100000000}=\frac{1}{1280}\). Counting decimal places and simplifying the fraction is important.
हर में (17) है, जो (2) और (5) के अलावा गुणनखंड है। इसलिए परिमेय संख्या का दशमलव असांत आवर्ती होगा। / The denominator has (17), a factor other than (2) and (5). So the rational number will have a non-terminating recurring decimal.
\( \frac{126}{210}=\frac{3}{5} \) और हर में केवल (5) है। इसलिए इसका दशमलव प्रसार सांत होगा। / \( \frac{126}{210}=\frac{3}{5} \), and the denominator has only (5). Therefore, its decimal expansion is terminating.
दशमलव में 45 के बाद 07, 07, 07, ... का क्रम बार-बार आ रहा है। इसलिए केवल आवर्ती भाग 07 पर बार लगाया जाता है: \(0.45\overline{07}\)। विकल्प B में केवल 7 को आवर्ती माना गया है, जबकि प्रत्येक 7 के पहले 0 भी दोहरता है। परीक्षा टिप: बार लगाने से पहले दशमलव अंकों को समूह बनाकर लिखें और सबसे छोटा दोहरने वाला समूह पहचानें। / After 45, the block 07 repeats as 07, 07, 07, ... . Therefore, the bar must be placed only over the recurring block 07: \(0.45\overline{07}\). In option B, only 7 is treated as repeating, but 0 also occurs before every repeating 7. Exam tip: group the decimal digits and identify the shortest block that repeats.
बार केवल (18) पर है, इसलिए (205) के बाद (18) बार-बार आएगा। बार वाले भाग को लगातार दोहराते हैं। / The bar is only over (18), so after (205), (18) repeats. The barred part repeats continuously.
\(29\div42=0.690476190476\ldots\) होता है। लंबी भाग विधि में शेष दोहरने पर आवर्ती भाग मिलता है। / \(29\div42=0.690476190476\ldots\). In long division, the recurring part appears when a remainder repeats.
\( \frac{13}{17}=0.764705\ldots \), जो (0.7648) से छोटा है। तुलना में सभी संख्याओं को दशमलव रूप में देखें। / \( \frac{13}{17}=0.764705\ldots \), which is less than (0.7648). View all numbers in decimal form for comparison.
दसवें और सौवें स्थान समान हैं, इसलिए हजारवें स्थान पर (a>8) होना चाहिए। इसलिए सबसे छोटा मान (9) है। / The tenths and hundredths digits are equal, so the thousandths digit must satisfy (a>8). So the smallest value is (9).
इसमें (8) के बीच शून्यों की संख्या बदलती रहती है, इसलिए निश्चित आवर्ती भाग नहीं है। ऐसा दशमलव असांत अनावर्ती होता है। / The number of zeros between (8)'s keeps changing, so there is no fixed recurring part. Such a decimal is non-terminating non-recurring.
(512) केवल (2) की घात है, इसलिए दशमलव सांत होगा और \( \frac{41}{512}=0.080078125 \) है। बड़े हर के लिए भी (10) की घात का तरीका काम करता है। / (512) is a power of (2), so the decimal terminates and \( \frac{41}{512}=0.080078125 \). The power-of-(10) method also works for large denominators.
\(0.00140625=\frac{140625}{100000000}=\frac{9}{6400}\) है। अंतिम उत्तर को हमेशा सरल रूप में लिखें। / \(0.00140625=\frac{140625}{100000000}=\frac{9}{6400}\). Always write the final answer in simplest form.
\(84=2^2\times3\times7\) में (3) और (7) हैं। सरल रूप की ऐसी परिमेय संख्या असांत आवर्ती दशमलव देती है। / \(84=2^2\times3\times7\) has (3) and (7). Such a rational number in simplest form gives a non-terminating recurring decimal.
पहला (3) दसवें और अंतिम (3) दस लाखवें स्थान पर है। शून्य वाले स्थानों का मान अलग से लिखना आवश्यक नहीं है। / The first (3) is in tenths and the last (3) is in millionths. Zero-value places need not be written separately.
दोनों संख्याओं को (10000) से गुणा करने पर \(5390\div7=770\) मिलता है। दशमलव हटाकर भाग देना आसान होता है। / Multiplying both numbers by (10000) gives \(5390\div7=770\). Removing decimals makes division easier.
घटाने से पहले दशमलव बिंदुओं को एक ही स्थान पर रखकर 9.002 को 9.00200 लिखते हैं। अब \(9.00200-5.18725=3.81475\), इसलिए सही उत्तर \(3.81475\) है। \(3.82475\) जैसे विकल्प में दशमलव स्थानों को मिलाने या उधार लेने में त्रुटि हुई है। परीक्षा टिप: दशमलव संख्याओं को घटाने से पहले आवश्यकतानुसार अंत में शून्य लगाएँ। / Before subtracting, align the decimal points and write 9.002 as 9.00200. Then \(9.00200-5.18725=3.81475\), so the correct answer is \(3.81475\). An option such as \(3.82475\) results from an error in aligning decimal places or borrowing. Exam tip: Add zeros at the end when needed before subtracting decimals.
समान दशमलव स्थान लिखने पर (0.14062500+0.00781250+0.00015625=0.14859375) मिलता है। जोड़ में दशमलव बिंदु सीध में रखें। / Writing equal decimal places gives (0.14062500+0.00781250+0.00015625=0.14859375). Align decimal points while adding.
यहाँ 8.03999\ldots में दशमलव के बाद तीसरे स्थान से 9 अनंत तक दोहराए जा रहे हैं। क्योंकि \(0.00999\ldots=0.01\), इसलिए \(8.03999\ldots=8.03+0.00999\ldots=8.04\)। विकल्प 8.039 केवल संख्या को बीच में रोक देता है; वह अनंत 9 के प्रभाव को शामिल नहीं करता। परीक्षा टिप: किसी अंक के बाद अनंत 9 हों, तो उस अंक तक की संख्या में अंतिम संबंधित अंक को 1 बढ़ाकर लिखें। / In 8.03999\ldots, 9 repeats forever from the third decimal place onward. Since \(0.00999\ldots=0.01\), \(8.03999\ldots=8.03+0.00999\ldots=8.04\). Option 8.039 merely stops the decimal and does not account for the infinitely repeating 9s. Exam tip: When infinitely many 9s follow a digit, increase the relevant preceding digit by 1.
\( \frac{29}{40}=0.725 \) और \( \frac{8}{11}=0.7272\ldots \), इसलिए (0.7265) इनके बीच है। सीमाओं को दशमलव में बदलकर तुलना करें। / \( \frac{29}{40}=0.725 \) and \( \frac{8}{11}=0.7272\ldots \), so (0.7265) lies between them. Convert boundaries into decimals for comparison.
C. असांत अनावर्ती दशमलव प्रसार/A non-terminating non-recurring decimal expansion
Explanation
Simple Explanation
असांत अनावर्ती प्रसार में कोई अंक-समूह बार-बार नहीं दोहराता, इसलिए वह अपरिमेय होता है। आरंभिक अंकों के बाद आवर्ती प्रसार परिमेय है। परीक्षा टिप: आवृत्ति-चिह्न दिखे तो संख्या परिमेय है। / A non-terminating, non-recurring expansion has no repeating block, so it is irrational. A recurring expansion after initial digits is rational. Exam tip: a bar denotes repetition.
यह असांत है और इसमें निश्चित दोहराव नहीं है। ऐसा दशमलव अपरिमेय संख्या का रूप हो सकता है। / It is non-terminating and has no fixed repetition. Such a decimal can be the form of an irrational number.
\(x=2.34375\div100000=0.0000234375\) है। (100000) से भाग देने पर दशमलव पांच स्थान बाईं ओर जाता है। / \(x=2.34375\div100000=0.0000234375\). On dividing by (100000), the decimal moves five places left.
दशमलव के बाद के अंकों के स्थान क्रमशः दसवाँ, सौवाँ, हजारवाँ, दस-हजारवाँ, लाखवाँ और दस-लाखवाँ होते हैं। संख्या 21.005007 में 7 दशमलव के बाद छठे स्थान पर है, इसलिए उसका स्थानीय मान \(\frac{7}{1000000}\) है। निकटतम विकल्प \(\frac{7}{100000}\) गलत है, क्योंकि वह पाँचवें स्थान पर स्थित अंक का स्थानीय मान दर्शाता है। परीक्षा में दशमलव के बाद अंकों की गिनती बाएँ से दाएँ अवश्य करें। / The places after the decimal point are tenths, hundredths, thousandths, ten-thousandths, hundred-thousandths and millionths. In 21.005007, the digit 7 is in the sixth place after the decimal point, so its place value is \(\frac{7}{1000000}\). The closest distractor, \(\frac{7}{100000}\), represents the place value of a digit in the fifth decimal place, not the sixth. Exam tip: count the decimal places from left to right carefully.
तुलना के लिए सभी संख्याओं को चार दशमलव स्थानों तक लिखें: \(9.0090, 9.0099, 9.0909, 9.9000\)। अब दशमलव के बाद के अंकों की बाएँ से दाएँ तुलना करने पर \(9.0090<9.0099<9.0909<9.9000\) मिलता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प D में \(9.0909\) को \(9.0099\) से छोटा बताया गया है, जो गलत है। परीक्षा टिप: दशमलव संख्याओं की तुलना से पहले आवश्यक हो तो अंत में शून्य लगाकर दशमलव स्थान बराबर कर लें। / Write all the numbers up to four decimal places for comparison: \(9.0090, 9.0099, 9.0909, 9.9000\). Comparing the digits after the decimal from left to right gives \(9.0090<9.0099<9.0909<9.9000\). Therefore, option A is correct. Option D incorrectly places \(9.0909\) before \(9.0099\). Exam tip: Add zeros at the end, when needed, to make the decimal places equal before comparing decimals.
\(8000\times125=1000000\), इसलिए \( \frac{137}{8000}=0.017125 \) है। हर को (10) की घात बनाकर सटीक दशमलव निकालें। / \(8000\times125=1000000\), so \( \frac{137}{8000}=0.017125 \). Convert the denominator into a power of (10) to get the exact decimal.
यहाँ अनुपात निकालते हैं: 0.03125 ÷ 0.0003125 = 100। इसलिए 0.03125, 0.0003125 का 100 गुना है। वास्तव में 0.0003125 को 100 से गुणा करने पर दशमलव दो स्थान दाईं ओर खिसककर 0.03125 मिलता है। अतः 10 गुना वाला विकल्प सही नहीं है; परीक्षा में बड़ी संख्या को छोटी संख्या से भाग देकर ‘कितने गुना’ का अनुपात ज्ञात करें। / Find the ratio: 0.03125 ÷ 0.0003125 = 100. Therefore, 0.03125 is 100 times 0.0003125. Equivalently, multiplying 0.0003125 by 100 shifts the decimal point two places to the right and gives 0.03125. Hence, the 10-times option is incorrect; in such questions, divide the compared larger number by the smaller number to find how many times it is greater.
बार चिह्न केवल 63 के ऊपर है, इसलिए 63 बार-बार दोहरता है। दशमलव बिंदु के बाद पहले तीन अंक 000 हैं और उसके बाद 63, 63, 63, ... आता है। अतः सही रूप \(0.000636363\ldots\) है। विकल्प B में 63 को एक स्थान अधिक दाईं ओर खिसका दिया गया है। परीक्षा टिप: बार के पहले के अंक केवल एक बार लिखें, जबकि बार के भीतर के अंकों को बार-बार दोहराएँ। / The bar is over 63 only, so the block 63 repeats indefinitely. There are three zeros immediately after the decimal point, followed by 63, 63, 63, ... Hence the correct form is \(0.000636363\ldots\). Option B incorrectly shifts the repeating block one place to the right. Exam tip: write the digits before the bar once, then repeat only the barred block.
B. यह अपरिमेय है, क्योंकि क्रमिक 1 के बीच शून्यों की संख्या बढ़ती जाती है; इसलिए कोई निश्चित आवर्ती खंड नहीं बनता।/It is irrational because the number of zeros between successive 1s increases; hence no fixed repeating block occurs.
Explanation
Simple Explanation
सही विकल्प B है। 1 के बीच शून्यों के समूह 1, 2, 3, … बढ़ते हैं, इसलिए कोई स्थिर आवर्ती खंड नहीं बनता। यह अनंत अनावर्ती दशमलव है, अतः अपरिमेय है। टिप: केवल सांत या आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। / Option B is correct. Zero blocks of lengths 1, 2, 3, … prevent a fixed period. Thus the decimal is non-terminating, non-repeating and irrational. Tip: rational decimal expansions terminate or repeat.
\( \frac{84}{308}=\frac{3}{11} \) है और हर में (11) है। इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। / \( \frac{84}{308}=\frac{3}{11} \), and the denominator has (11). So the decimal will be non-terminating recurring.
उत्तर 11.625 है। 11.624999\ldots में 4 के बाद अनंत तक 9 आते हैं। किसी स्थान पर अनंत आवर्ती 9 होने पर वह संख्या अगले स्थान पर 1 बढ़ाकर लिखी जा सकती है; अतः 11.624999\ldots = 11.625। 11.624 केवल तीन दशमलव स्थानों तक काटा हुआ मान है, इसलिए यह बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: किसी भी संख्या के अंत में \(999\ldots\) दिखे, तो उसके ठीक पहले वाले अंक में 1 जोड़ दें। / The correct value is 11.625. In 11.624999\ldots, 9s continue indefinitely after 4. An infinite repeating tail of 9s can be replaced by increasing the preceding digit by 1; hence 11.624999\ldots = 11.625. The number 11.624 is only a truncated value, so it is not equal to the given decimal. Exam tip: when a decimal ends in \(999\ldots\), add 1 to the digit immediately before that repeating tail.
दशमलव संख्या 5.070900 में दशमलव के बाद अंक क्रमशः दसवाँ, सौवाँ, हजारवाँ और दस-हजारवाँ स्थान दिखाते हैं। 9 चौथे स्थान पर है, इसलिए उसका स्थानीय मान \(9 \times \frac{1}{10000}=\frac{9}{10000}\) है। अतः सही विकल्प C है। ध्यान रखें: दशमलव के बाद दाईं ओर प्रत्येक स्थान का मान पिछले स्थान के \(\frac{1}{10}\) के बराबर होता है। / In 5.070900, the digits after the decimal point represent tenths, hundredths, thousandths, and ten-thousandths in order. The digit 9 is in the fourth decimal place, so its place value is \(9 \times \frac{1}{10000}=\frac{9}{10000}\). Therefore, option C is correct. Exam tip: each place to the right of the decimal point has one-tenth the value of the preceding place.
\( \frac{27}{64}=0.421875 \) और \(0.421\overline{8}=0.421888\ldots\) है। इसलिए आवर्ती संख्या बड़ी है। / \( \frac{27}{64}=0.421875 \) and \(0.421\overline{8}=0.421888\ldots\). Therefore, the recurring number is greater.
तुलना के लिए दशमलवों को चार दशमलव स्थानों तक लिखें: \(b=0.5800\), \(a=0.5080\), और \(c=0.5008\)। तीनों में दशमांश 5 है; फिर शतांश स्थान पर \(b\) में 8 है, इसलिए \(b\) सबसे बड़ा है। \(a\) और \(c\) में शतांश 0 है, पर हजारवाँ अंक क्रमशः 8 और 0 है, अतः \(a>c\)। इसलिए सही क्रम \(b>a>c\) है। विकल्प \(b>c>a\) में \(c\) को \(a\) से बड़ा माना गया है, जो गलत है। परीक्षा टिप: दशमलवों की तुलना से पहले उनके अंत में शून्य लगाकर समान दशमलव स्थान बना लें। / Write the decimals to four decimal places: \(b=0.5800\), \(a=0.5080\), and \(c=0.5008\). All have 5 in the tenths place. At the hundredths place, \(b\) has 8, so it is the greatest. For \(a\) and \(c\), the hundredths digit is 0, but their thousandths digits are 8 and 0 respectively; hence \(a>c\). Therefore, the descending order is \(b>a>c\). Option \(b>c>a\) incorrectly places \(c\) above \(a\). Exam tip: Add trailing zeroes to make the decimal places equal before comparing decimals.
\( \frac{23}{125}=0.184 \) और \( \frac{13}{320}=0.040625 \), इसलिए योग (0.224625) है। पहले भिन्नों को दशमलव में बदलें। / \( \frac{23}{125}=0.184 \) and \( \frac{13}{320}=0.040625 \), so the sum is (0.224625). First convert the fractions into decimals.
\( \frac{29}{64}=0.453125 \), इसलिए (0.453125-0.265625=0.1875) है। भिन्न को दशमलव में बदलकर घटाएं। / \( \frac{29}{64}=0.453125 \), so (0.453125-0.265625=0.1875). Convert the fraction into decimal and subtract.
दोनों को (1000) से गुणा करने पर \(819\div13=63\) मिलता है। दशमलव हटाकर भाग देना आसान होता है। / Multiplying both by (1000) gives \(819\div13=63\). Removing decimals makes division easier.
दशमलव संख्या में दशमलव बिंदु के बाद पहला अंक 0 है, जो केवल एक बार आता है। इसके बाद 85, 85, 85, ... का क्रम लगातार दोहरता है। इसलिए बार केवल 85 पर लगाया जाता है: \(0.0\overline{85}\)। \(0.\overline{85}\) गलत है, क्योंकि उसमें 85 दशमलव बिंदु के तुरंत बाद से दोहरना शुरू हो जाता है। परीक्षा टिप: बार लगाने से पहले उन अंकों को पहचानें जो वास्तव में बार-बार दोहर रहे हैं। / After the decimal point, the first digit is 0 and it occurs only once. Then the block 85 repeats continuously as 85, 85, 85, ... . Hence, the bar is placed only over 85: \(0.0\overline{85}\). \(0.\overline{85}\) is incorrect because it starts repeating 85 immediately after the decimal point. Exam tip: identify the exact repeating block before placing the bar.
\(\frac{21}{150}\) को 3 से सरल करने पर \(\frac{7}{50}\) मिलता है और \(50=2\times5^2\) है। सरलतम रूप के हर में केवल 2 और 5 हों तो दशमलव समाप्त होता है। परीक्षा में पहले भिन्न को सरल करें। / On reducing \(\frac{21}{150}\) by 3, we get \(\frac{7}{50}\), and \(50=2\times5^2\). A decimal terminates when the denominator in lowest form has only 2 and 5 as prime factors. Exam tip: reduce first.
\(2^9\) को \(10^9\) बनाने के लिए \(5^9\) से गुणा करना पड़ेगा। इसलिए अधिकतम (9) दशमलव स्थान होंगे। / To make \(2^9\) into \(10^9\), we multiply by \(5^9\). So there will be at most (9) decimal places.
(2) और (5) की घातों में बड़ी घात (7) है। इसलिए सांत दशमलव में अधिकतम (7) स्थान होंगे। / The larger exponent among (2) and (5) is (7). So the terminating decimal will have at most (7) places.
इसमें (9) के बीच शून्यों की संख्या बढ़ती है, इसलिए कोई निश्चित दोहराव नहीं है। ऐसा दशमलव असांत अनावर्ती होता है। / The number of zeros between (9)'s increases, so there is no fixed repetition. Such a decimal is non-terminating non-recurring.
किसी दशमलव संख्या को प्रतिशत में बदलने के लिए उसे 100 से गुणा किया जाता है: \(0.0036 \times 100 = 0.36\)। इसलिए प्राप्त प्रतिशत \(0.36\%\) है। विकल्प C में दशमलव को एक स्थान अधिक खिसकाने की गलती हुई है। परीक्षा-युक्ति: प्रतिशत में बदलते समय दशमलव को दो स्थान दाईं ओर खिसकाएँ। / To convert a decimal into a percentage, multiply it by 100: \(0.0036 \times 100 = 0.36\). Therefore, the percentage is \(0.36\%\). Option C results from shifting the decimal one place too far. Exam tip: when multiplying a decimal by 100, move the decimal point two places to the right.
(10000000) से गुणा करने पर दशमलव बिंदु सात स्थान दाईं ओर जाता है। इसलिए उत्तर (19531.25) है। / On multiplying by (10000000), the decimal point moves seven places to the right. Therefore, the answer is (19531.25).
\(0.124\overline{9}=0.125000\ldots\) और \( \frac{1}{8}=0.125 \) है। दोहरते (9) को सही पहचानें। / \(0.124\overline{9}=0.125000\ldots\) and \( \frac{1}{8}=0.125 \). Identify repeating (9)'s correctly.
\( \frac{23}{32}=0.71875 \), इसलिए (0.71825), (0.718) से बड़ा और (0.71875) से छोटा है। सीमा मानों को दशमलव में बदलें। / \( \frac{23}{32}=0.71875 \), so (0.71825) is greater than (0.718) and less than (0.71875). Convert boundary values into decimals.
B. जब \(q\) में 2 और 5 के अतिरिक्त कम-से-कम एक अभाज्य गुणनखंड हो/When \(q\) has at least one prime factor other than 2 or 5
Explanation
Simple Explanation
सरल रूप में हर \(q\) में 2 या 5 के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड होने पर दशमलव अनंत आवर्ती होता है। केवल 2 और 5 होने पर प्रसार सांत होता है। परीक्षा टिप: पहले भिन्न को सरल करें। / In lowest form, a denominator containing any prime factor other than 2 or 5 gives a non-terminating recurring decimal. A denominator with only 2 and 5 gives a terminating decimal. Exam tip: reduce the fraction first.
\(16000\times625=10000000\), इसलिए \( \frac{149}{16000}=0.0093125 \) है। हर को (10) की घात बनाकर सटीक दशमलव निकालें। / \(16000\times625=10000000\), so \( \frac{149}{16000}=0.0093125 \). Convert the denominator into a power of (10) to get the exact decimal.
\(0.00021875=\frac{21875}{100000000}=\frac{7}{32000}\) है। दशमलव स्थान गिनकर अंतिम उत्तर को सरल रूप में लिखें। / \(0.00021875=\frac{21875}{100000000}=\frac{7}{32000}\). Count decimal places and write the final answer in simplest form.
बार केवल (81) पर है, इसलिए (04) के बाद (81) बार-बार दोहरता है। बार संकेतन में केवल बार वाला भाग दोहराएं। / The bar is only over (81), so after (04), (81) repeats again and again. In bar notation, repeat only the barred part.
(2) और (5) की घातों में बड़ी घात (11) है। इसलिए सांत दशमलव में अधिकतम (11) स्थान होंगे। / The larger exponent among (2) and (5) is (11). So the terminating decimal will have at most (11) places.
