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\(3200\times3125=10000000\), इसलिए \( \frac{127}{3200}=0.0396875 \) है। बड़े हर को भी (10) की घात में बदला जा सकता है। / \(3200\times3125=10000000\), so \( \frac{127}{3200}=0.0396875 \). Even a large denominator can be converted into a power of (10).
\(0.00009375=\frac{9375}{100000000}=\frac{3}{32000}\) है। दशमलव स्थान गिनकर भिन्न को सरल करें। / \(0.00009375=\frac{9375}{100000000}=\frac{3}{32000}\). Count decimal places and simplify the fraction.
हर में (19) है जो (2) और (5) के अलावा गुणनखंड है। इसलिए परिमेय संख्या का दशमलव असांत आवर्ती होगा। / The denominator has (19), a factor other than (2) and (5). So the rational number will have a non-terminating recurring decimal.
\( \frac{198}{330}=\frac{3}{5} \) और हर में केवल (5) है। इसलिए इसका दशमलव प्रसार सांत होगा। / \( \frac{198}{330}=\frac{3}{5} \), and the denominator has only (5). Therefore, its decimal expansion is terminating.
दशमलव के अंक हैं: 5, 6, 0, 9, 0, 9, 0, 9, ...। यहाँ 56 अनावर्ती भाग है और उसके बाद 09 का समूह बार-बार दोहरता है। इसलिए सही संकेतन \(0.56\overline{09}\) है। विकल्प \(0.560\overline{9}\) में केवल 9 को आवर्ती माना गया है, जबकि वास्तव में 0 और 9 दोनों दोहरते हैं। परीक्षा टिप: बार लगाने से पहले दशमलव के अंकों को अलग-अलग लिखकर सबसे छोटे दोहरने वाले समूह को पहचानें। / The decimal digits are 5, 6, 0, 9, 0, 9, 0, 9, ... . Here, 56 is the non-repeating part, and the block 09 repeats thereafter. Hence the correct notation is \(0.56\overline{09}\). In \(0.560\overline{9}\), only 9 is treated as recurring, but both 0 and 9 repeat as a block. Exam tip: Write out a few decimal digits first and identify the smallest repeating block before placing the bar.
बार केवल (27) पर है, इसलिए (108) के बाद (27) बार-बार आएगा। बार वाले भाग को लगातार दोहराते हैं। / The bar is only over (27), so after (108), (27) repeats. The barred part repeats continuously.
A. जब \(q\) के अभाज्य गुणनखंड केवल \(2\) और \(5\) हों/When the prime factors of \(q\) are only \(2\) and \(5\)
Explanation
Simple Explanation
न्यूनतम रूप में \(q=2^m5^n\) होने पर ही दशमलव प्रसार समाप्त होता है। केवल सम हर पर्याप्त नहीं है, क्योंकि \(6=2\cdot3\) में 3 भी है। परीक्षा टिप: पहले भिन्न को न्यूनतम रूप में करें। / In lowest form, a decimal terminates only when \(q=2^m5^n\). An even denominator alone is not enough, since \(6=2\cdot3\) also contains 3. Exam tip: reduce the fraction to lowest form first.
\( \frac{11}{17}=0.647058\ldots \), जो (0.6471) से छोटा है। तुलना में सभी संख्याओं को दशमलव रूप में देखें। / \( \frac{11}{17}=0.647058\ldots \), which is less than (0.6471). View all numbers in decimal form for comparison.
दसवें और सौवें स्थान समान हैं, इसलिए हजारवें स्थान पर (a<5) होना चाहिए। सबसे बड़ा मान (4) है। / The tenths and hundredths digits are equal, so the thousandths digit must satisfy (a<5). The greatest value is (4).
इसमें (1) के बीच शून्यों की संख्या बदलती रहती है, इसलिए निश्चित आवर्ती भाग नहीं है। ऐसा दशमलव असांत अनावर्ती होता है। / The number of zeros between (1)'s keeps changing, so there is no fixed recurring part. Such a decimal is non-terminating non-recurring.
(1024) केवल (2) की घात है, इसलिए दशमलव सांत होगा और \( \frac{77}{1024}=0.0751953125 \) है। (2) की घात वाले हर को (10) की घात में बदलें। / (1024) is a power of (2), so the decimal terminates and \( \frac{77}{1024}=0.0751953125 \). Convert a power-of-(2) denominator into a power of (10).
\(0.00046875=\frac{46875}{100000000}=\frac{3}{6400}\) है। अंतिम उत्तर को हमेशा सरल रूप में लिखें। / \(0.00046875=\frac{46875}{100000000}=\frac{3}{6400}\). Always write the final answer in simplest form.
\(72=2^3\times3^2\) में (3) है और भिन्न सरल रूप में है। इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। / \(72=2^3\times3^2\) has (3), and the fraction is in simplest form. Therefore, the decimal will be non-terminating recurring.
पहला (4) दसवें और अंतिम (4) दस लाखवें स्थान पर है। शून्य वाले स्थानों का मान अलग से लिखना आवश्यक नहीं है। / The first (4) is in tenths and the last (4) is in millionths. Zero-value places need not be written separately.
दोनों संख्याओं को (10000) से गुणा करने पर \(7040\div16=440\) मिलता है। दशमलव हटाकर भाग देना आसान होता है। / Multiplying both numbers by (10000) gives \(7040\div16=440\). Removing decimals makes division easier.
(12.006=12.00600), इसलिए (12.00600-7.21975=4.78625) है। घटाते समय दशमलव स्थान समान करें। / (12.006=12.00600), so (12.00600-7.21975=4.78625). Make decimal places equal while subtracting.
समान दशमलव स्थान लिखने पर (0.281250000+0.003906250+0.000078125=0.285234375) मिलता है। जोड़ में दशमलव बिंदु सीध में रखें। / Writing equal decimal places gives (0.281250000+0.003906250+0.000078125=0.285234375). Align decimal points while adding.
13.24999\ldots में दशमलव के बाद 4 के पश्चात अनंत 9 हैं। किसी भी स्थान पर अनंत 9 का मान उस स्थान के अगले अंक को 1 बढ़ाने के बराबर होता है; अर्थात 0.00999\ldots = 0.01। इसलिए 13.24999\ldots = 13.25। विकल्प 13.249 केवल तीन दशमलव स्थानों तक काटा गया मान है, इसलिए यह बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: अनंत आवर्ती 9 को देखकर उसके ठीक पहले वाले अंक में 1 जोड़ दें। / In 13.24999\ldots, infinitely many 9s occur after 13.24. An infinite tail of 9s increases the preceding place value by 1; for example, 0.00999\ldots = 0.01. Hence, 13.24999\ldots = 13.25. Option 13.249 is only a truncated value and is not equal to the given decimal. Exam tip: Replace an infinite string of 9s by adding 1 to the digit immediately before it.
\( \frac{31}{64}=0.484375 \) और \( \frac{17}{35}=0.485714\ldots \), इसलिए (0.4846) इनके बीच है। सीमाओं को दशमलव में बदलें। / \( \frac{31}{64}=0.484375 \) and \( \frac{17}{35}=0.485714\ldots \), so (0.4846) lies between them. Convert the boundaries into decimals.
C. यह अपरिमेय है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार असांत और अनावर्ती है।/It is irrational because its decimal expansion is non-terminating and non-recurring.
Explanation
Simple Explanation
क्रमिक 1 के बाद शून्यों की संख्या 1, 2, 3, ... बढ़ती है; कोई स्थिर अंक-खंड नहीं दोहरता। अतः यह असांत-अनावर्ती, यानी अपरिमेय है। परीक्षा में आवर्ती खंड जाँचें। / The zero gaps after successive 1s are 1, 2, 3, ..., so no fixed digit block repeats. Hence it is non-terminating and non-recurring, therefore irrational. Exam tip: look for a repeating block, not merely repeated digits.
यह असांत है और इसमें निश्चित दोहराव नहीं है। ऐसा दशमलव अपरिमेय संख्या का रूप हो सकता है। / It is non-terminating and has no fixed repetition. Such a decimal can be the form of an irrational number.
\(x=3.90625\div100000=0.0000390625\) है। (100000) से भाग देने पर दशमलव पांच स्थान बाईं ओर जाता है। / \(x=3.90625\div100000=0.0000390625\). On dividing by (100000), the decimal moves five places left.
दशमलव संख्या 32.008009 में दशमलव के बाद के अंक क्रमशः दसवें, सौवें, हजारवें, दस-हजारवें, लाखवें और दस-लाखवें स्थान पर होते हैं। अंक 9 छठे स्थान, अर्थात् दस-लाखवें स्थान पर है। इसलिए उसका स्थानीय मान \(9 \times \frac{1}{1000000}=\frac{9}{1000000}\) है। विकल्प C में \(\frac{9}{100000}\) दिया गया है, जो पाँचवें स्थान का मान है। परीक्षा-युक्ति: दशमलव के बाद स्थानों की गिनती बाएँ से दाएँ करें। / In 32.008009, the digits after the decimal point occupy the tenths, hundredths, thousandths, ten-thousandths, hundred-thousandths and millionths places, respectively. The digit 9 is in the sixth place, the millionths place. Therefore, its place value is \(9 \times \frac{1}{1000000}=\frac{9}{1000000}\). Option C, \(\frac{9}{100000}\), represents the fifth-place value, not the sixth-place value. Exam tip: Count decimal places from left to right, beginning with tenths.
तुलना के लिए सभी संख्याओं को चार दशमलव स्थानों तक लिखें: \(7.0070, 7.0707, 7.0077, 7.7000\)। अब दशमलव के बाद अंकों की बाएँ से दाएँ तुलना करने पर \(7.0070<7.0077<7.0707<7.7000\) मिलता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प D में \(7.0707\) और \(7.0077\) का क्रम गलत है, क्योंकि दहाई के बाद वाले अंकों में \(0<7\) है। परीक्षा टिप: दशमलव संख्याओं की तुलना से पहले जरूरत पड़ने पर अंत में शून्य लगाकर दशमलव स्थान समान कर लें। / Write all the numbers up to four decimal places for comparison: \(7.0070, 7.0707, 7.0077, 7.7000\). Comparing digits after the decimal point from left to right gives \(7.0070<7.0077<7.0707<7.7000\). Hence, option A is correct. In option D, \(7.0707\) and \(7.0077\) are placed in the wrong order because, at the tenths place, \(0<7\). Exam tip: Add trailing zeros when needed to make the decimal places equal before comparing decimals.
\(16000\times625=10000000\), इसलिए \( \frac{173}{16000}=0.0108125 \) है। हर को (10) की घात बनाकर सटीक दशमलव निकालें। / \(16000\times625=10000000\), so \( \frac{173}{16000}=0.0108125 \). Convert the denominator into a power of (10) to get the exact decimal.
यह ज्ञात करने के लिए बड़े दशमलव को छोटे दशमलव से भाग देते हैं: \(0.015625 \div 0.00015625 = 100\)। अतः \(0.015625\), \(0.00015625\) का 100 गुना है। दशमलव को दो स्थान दाईं ओर खिसकाने पर भी यह अनुपात स्पष्ट होता है। परीक्षा-टिप: ‘कितने गुना’ पूछे जाने पर सामान्यतः बड़ी संख्या को छोटी संख्या से भाग दें। / To find the multiple, divide the larger decimal by the smaller one: \(0.015625 \div 0.00015625 = 100\). Therefore, \(0.015625\) is 100 times \(0.00015625\). The ratio is also evident because the decimal point shifts two places to the right. Exam tip: For a ‘how many times’ question, divide the larger quantity by the smaller quantity.
यहाँ बार केवल 81 के ऊपर है, इसलिए दशमलव के बाद पहले तीन अंक 000 अनावर्ती हैं और उसके बाद 81 लगातार दोहरता है। अतः \(0.000\overline{81}=0.000818181\ldots\) होगा। विकल्प B में एक अतिरिक्त 0 आ जाता है, जबकि विकल्प C में 810 का आवर्तन दिखाया गया है। परीक्षा टिप: बार के नीचे आने वाले अंकों को ही आवर्ती भाग मानें; बार से पहले के अंक केवल एक बार लिखे जाते हैं। / The bar is placed only over 81. Thus, the first three digits after the decimal point, 000, do not repeat, and 81 repeats thereafter. Hence, \(0.000\overline{81}=0.000818181\ldots\). Option B has an extra zero, while option C incorrectly makes 810 the repeating block. Exam tip: only the digits under the bar repeat; digits before the bar are written once.
\(\frac{33}{154}=\frac{3}{14}\) और \(14=2\times7\) है। सरलतम रूप के हर में 2 और 5 के अलावा 7 भी है, इसलिए दशमलव प्रसार अनंत आवर्ती होगा। परीक्षा टिप: पहले भिन्न को अवश्य सरल करें। / \(\frac{33}{154}=\frac{3}{14}\), and \(14=2\times7\). Its reduced denominator has a prime factor other than 2 or 5, so the decimal is non-terminating recurring. Exam tip: simplify the fraction before checking denominator factors.
\( \frac{99}{363}=\frac{3}{11} \) है और हर में (11) है। इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। / \( \frac{99}{363}=\frac{3}{11} \), and the denominator has (11). So the decimal will be non-terminating recurring.
यहाँ 17.374999\ldots में दशमलव के बाद 4 के पश्चात अनंत 9 हैं। क्योंकि \(0.009999\ldots=0.010\), इसलिए \(17.374999\ldots=17.375\)। विकल्प 17.374 केवल एक सन्निकट मान है, बराबर मान नहीं। परीक्षा में याद रखें: किसी अंक के बाद अनंत 9 हों, तो उस अंक को 1 बढ़ाकर शेष 9 हटा सकते हैं। / In 17.374999\ldots, infinitely many 9s occur after 4. Since \(0.009999\ldots=0.010\), we get \(17.374999\ldots=17.375\). Option 17.374 is only an approximation, not an equal value. Exam tip: when infinitely many 9s follow a digit, increase that digit by 1 and remove the repeating 9s.
दशमलव के बाद अंक 0, 8, 0, 5 क्रमशः दसवाँ, सौवाँ, हजारवाँ और दस-हजारवाँ स्थान दर्शाते हैं। इसलिए 5 का स्थानीय मान \(\frac{5}{10000}\) है। ध्यान रखें कि दशमलव के बाद प्रत्येक स्थान का मान पिछले स्थान का दसवाँ भाग होता है। / After the decimal point, the digits 0, 8, 0 and 5 occupy the tenths, hundredths, thousandths and ten-thousandths places, respectively. Therefore, the place value of 5 is \(\frac{5}{10000}\). Exam tip: each successive place to the right of the decimal represents one-tenth of the preceding place.
\( \frac{45}{64}=0.703125 \) और \(0.703\overline{1}=0.703111\ldots\) है। इसलिए (0.703125) बड़ा है। / \( \frac{45}{64}=0.703125 \) and \(0.703\overline{1}=0.703111\ldots\). Therefore, (0.703125) is greater.
सही क्रम \(b>a>c\) है, क्योंकि \(0.690=0.6900\), \(0.609=0.6090\) और \(0.6009\) हैं। पहले दशमलव स्थान पर तीनों में 6 समान है। दूसरे दशमलव स्थान पर \(b\) में 9 है, इसलिए वह सबसे बड़ा है। \(a\) और \(c\) में दूसरे स्थान पर 0 समान है, लेकिन तीसरे स्थान पर \(a\) में 9 तथा \(c\) में 0 है, इसलिए \(a>c\)। विकल्प \(b>c>a\) में \(c\) को \(a\) से बड़ा माना गया है, जो गलत है। परीक्षा टिप: दशमलवों की तुलना करते समय उन्हें दाईं ओर शून्य लगाकर समान अंकों तक लिखें। / The correct order is \(b>a>c\), since \(0.690=0.6900\), \(0.609=0.6090\), and \(c=0.6009\). All three have 6 in the tenths place. In the hundredths place, \(b\) has 9, so it is the greatest. For \(a\) and \(c\), the hundredths digit is 0 in both, but the thousandths digit is 9 for \(a\) and 0 for \(c\); hence \(a>c\). The order \(b>c>a\) incorrectly places \(c\) above \(a\). Exam tip: add trailing zeros to compare decimals to the same number of places.
\( \frac{31}{250}=0.124 \) और \( \frac{17}{640}=0.0265625 \), इसलिए योग (0.1505625) है। पहले भिन्नों को दशमलव में बदलें। / \( \frac{31}{250}=0.124 \) and \( \frac{17}{640}=0.0265625 \), so the sum is (0.1505625). First convert the fractions into decimals.
\( \frac{37}{128}=0.2890625 \), इसलिए (0.2890625-0.1640625=0.125) है। भिन्न को दशमलव में बदलकर घटाएं। / \( \frac{37}{128}=0.2890625 \), so (0.2890625-0.1640625=0.125). Convert the fraction into decimal and subtract.
दोनों को (1000) से गुणा करने पर \(945\div15=63\) मिलता है। दशमलव हटाकर भाग देना आसान होता है। / Multiplying both by (1000) gives \(945\div15=63\). Removing decimals makes division easier.
दशमलव के बाद पहला अंक 0 केवल एक बार आता है। इसके बाद 96, 96, 96, … लगातार दोहरता है। इसलिए बार केवल 96 के ऊपर लगेगा: \(0.0\overline{96}\)। विकल्प \(0.\overline{96}\) में 0 भी आवर्ती माना जाएगा, जबकि \(0.09\overline{6}\) में केवल 6 आवर्ती है। परीक्षा टिप: बार लगाने से पहले दशमलव अंकों को अलग करके लिखें और सबसे छोटा दोहरने वाला समूह पहचानें। / The first digit after the decimal point, 0, occurs only once. After it, the block 96 repeats as 96, 96, 96, … . Therefore, the bar is placed only over 96: \(0.0\overline{96}\). In \(0.\overline{96}\), 0 would also repeat, while \(0.09\overline{6}\) makes only 6 recurring. Exam tip: write out a few decimal digits and identify the shortest repeating block before placing the bar.
रवि कहता है, “जिस भिन्न के हर में 3 का गुणनखंड हो, उसका दशमलव प्रसार कभी सांत नहीं हो सकता।” निम्नलिखित में से कौन-सी भिन्न रवि के कथन को गलत सिद्ध करती है?
\(\frac{21}{30}=\frac{7}{10}=0.7\), इसलिए इसका दशमलव प्रसार सांत है। सांत दशमलव का नियम भिन्न को सरलतम रूप में करने के बाद लागू होता है; \(\frac{7}{30}\) में 3 नहीं कटता। परीक्षा में पहले भिन्न को सरल करें। / \(\frac{21}{30}=\frac{7}{10}=0.7\), so its decimal expansion terminates. The prime-factor test is applied only after reducing the fraction; in \(\frac{7}{30}\), factor 3 remains. Exam tip: simplify first.
\(2^{10}\) को \(10^{10}\) बनाने के लिए \(5^{10}\) से गुणा करना पड़ेगा। इसलिए अधिकतम (10) दशमलव स्थान होंगे। / To make \(2^{10}\) into \(10^{10}\), we multiply by \(5^{10}\). So there will be at most (10) decimal places.
(2) और (5) की घातों में बड़ी घात (8) है। इसलिए सांत दशमलव में अधिकतम (8) स्थान होंगे। / The larger exponent among (2) and (5) is (8). So the terminating decimal will have at most (8) places.
इसमें (8) के बीच शून्यों की संख्या बढ़ती है, इसलिए कोई निश्चित दोहराव नहीं है। ऐसा दशमलव असांत अनावर्ती होता है। / The number of zeros between (8)'s increases, so there is no fixed repetition. Such a decimal is non-terminating non-recurring.
दशमलव संख्या को प्रतिशत में बदलने के लिए उसे 100 से गुणा किया जाता है: \(0.0048 \times 100 = 0.48\)। इसलिए सही उत्तर 0.48% है। 4.8% निकटतम भ्रमित करने वाला विकल्प है, लेकिन वह 0.048 को प्रतिशत में बदलने पर मिलता है। परीक्षा-युक्ति: दशमलव को प्रतिशत में बदलते समय दशमलव बिंदु को दो स्थान दाईं ओर खिसकाएँ। / To convert a decimal into a percentage, multiply it by 100: \(0.0048 \times 100 = 0.48\). Therefore, the correct answer is 0.48%. The closest distractor, 4.8%, would result from converting 0.048 into a percentage, not 0.0048. Exam tip: Move the decimal point two places to the right when converting a decimal to a percentage.
(10000000) से गुणा करने पर दशमलव बिंदु सात स्थान दाईं ओर जाता है। इसलिए उत्तर (9765.625) है। / On multiplying by (10000000), the decimal point moves seven places to the right. Therefore, the answer is (9765.625).
\(0.249\overline{9}=0.25000\ldots\) और \( \frac{1}{4}=0.25 \) है। दोहरते (9) को सही पहचानें। / \(0.249\overline{9}=0.25000\ldots\) and \( \frac{1}{4}=0.25 \). Identify repeating (9)'s correctly.
\( \frac{19}{32}=0.59375 \), इसलिए (0.59325), (0.593) से बड़ा और (0.59375) से छोटा है। सीमा मानों को दशमलव में बदलें। / \( \frac{19}{32}=0.59375 \), so (0.59325) is greater than (0.593) and less than (0.59375). Convert boundary values into decimals.
A. हर अभाज्य गुणनखंड केवल 2 या 5 है/Every prime factor is only 2 or 5
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 होने पर हर को \(10^n\) के रूप में बदला जा सकता है, इसलिए दशमलव सांत होता है। 2 या 5 के अलावा कोई गुणनखंड हो तो प्रसार आवर्ती होता है। परीक्षा टिप: पहले भिन्न को सरलतम रूप में करें। / In lowest terms, a denominator containing only 2 and 5 can be converted into a factor of \(10^n\), so the decimal terminates. Any other prime factor gives a recurring decimal. Exam tip: reduce the fraction first before checking its denominator.
\(64000\times15625=1000000000\), इसलिए \( \frac{257}{64000}=0.004015625 \) है। हर को (10) की घात बनाकर सटीक दशमलव निकालें। / \(64000\times15625=1000000000\), so \( \frac{257}{64000}=0.004015625 \). Convert the denominator into a power of (10) to get the exact decimal.
\(0.000234375=\frac{234375}{1000000000}=\frac{3}{12800}\) है। दशमलव स्थान गिनकर भिन्न को सरल रूप में लिखें। / \(0.000234375=\frac{234375}{1000000000}=\frac{3}{12800}\). Count decimal places and write the fraction in simplest form.
दसवें स्थान समान हैं और सौवें स्थान पर (a<3) होना चाहिए। इसलिए (a=0,1,2), यानी (3) मान संभव हैं। / The tenths digits are equal and the hundredths digit must satisfy (a<3). So (a=0,1,2), giving (3) possible values.
पहले (000) के बाद (72) का समूह बार-बार दोहरता है। बार केवल वास्तविक आवर्ती भाग पर लगाएं। / After the first (000), the block (72) repeats again and again. Put the bar only over the actual recurring part.
