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यह समान्तर अनुक्रम है जिसमें अंतर (5) है। परीक्षा में पहले पद और अंतर से (a_n=a+(n-1)d) लगाएं। / This is an arithmetic sequence with common difference (5). In exams, use first term and difference in (a_n=a+(n-1)d).
पहला पद (7) और अंतर (6) है इसलिए \(a_n=6n+1\) है। परीक्षा में (n=1) रखकर पहला पद जाँचें। / The first term is (7) and the difference is (6) so \(a_n=6n+1\). In exams check the first term by putting (n=1).
\(2n^2+n+2\) से (5,12,23,38) मिलते हैं। परीक्षा में पहले चार पदों पर नियम जाँचें। / \(2n^2+n+2\) gives (5,12,23,38). In exams test the rule on the first four terms.
(n=5) रखने पर \(4\cdot25-15+2=87\) मिलता है। परीक्षा में (n) का मान सीधे और सावधानी से रखें। / Putting (n=5) gives \(4\cdot25-15+2=87\). In exams, substitute (n) directly and carefully.
\(a_{11}=9\times11-5=94\) है। परीक्षा में पहले गुणा करें फिर स्थिर पद घटाएँ। / \(a_{11}=9\times11-5=94\). In exams multiply first and then subtract the constant term.
\(a_6=3\times36-12+4=100\) है। परीक्षा में वर्ग वाला भाग और घटाव अलग-अलग लिखें। / \(a_6=3\times36-12+4=100\). In exams write the square part and subtraction separately.
(n=1,2,3,4) रखने पर \(2n^2+1\) से दिए गए पद मिलते हैं। विकल्प जांचते समय पहले चार पद मिलाना उपयोगी है। / For (n=1,2,3,4), \(2n^2+1\) gives the given terms. While checking options, match the first four terms.
(n=1) पर (58) और (n=2) पर (51) मिलता है इसलिए \(a_n=65-7n\) है। परीक्षा में घटते अनुक्रम में अंतर को ऋणात्मक मानें। / At (n=1) it gives (58) and at (n=2) it gives (51) so \(a_n=65-7n\). In exams treat the difference as negative in decreasing sequences.
\(4n^2-n+1\) रखने पर (4,15,34,61) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान हों तो वर्गीय नियम देखें। / Using \(4n^2-n+1\) gives (4,15,34,61). In exams check a quadratic rule when second differences are constant.
((-1)^n) विषम (n) पर (-1) और सम (n) पर (1) देता है। परीक्षा में वैकल्पिक चिह्न वाले नियम में (n) की सम-विषम स्थिति देखें। / ((-1)^n) gives (-1) for odd (n) and (1) for even (n). In exams, check odd-even positions in alternating rules.
(4n+7=75) से (n=17) मिलता है। परीक्षा में पद संख्या के लिए सूत्र को दिए मान के बराबर रखें। / From (4n+7=75) we get (n=17). In exams equate the formula to the given value to find the term number.
(5n+3=88) से (n=17) मिलता है। परीक्षा में पद संख्या के लिए सूत्र को दिए मान के बराबर रखें। / From (5n+3=88) we get (n=17). In exams equate the formula to the given value to find the term number.
यह समान्तर अनुक्रम है और (a_n=-2+(n-1)5) है। (n=20) रखने पर (93) मिलता है। / This is an arithmetic sequence and (a_n=-2+(n-1)5). Putting (n=20) gives (93).
इसका नियम \(a_n=8n+1\) है और (8n+1=81) से (n=10) नहीं बल्कि (n=10) मिलता है। परीक्षा में विकल्प चुनने से पहले गणना दोबारा जाँचें। / Its rule is \(a_n=8n+1\) and (8n+1=81) gives (n=10). In exams recheck the calculation before choosing the option.
(n=1) पर (111) और (n=2) पर (102) मिलता है इसलिए \(a_n=120-9n\) है। परीक्षा में घटते अंतर को ऋणात्मक रखें। / At (n=1) it gives (111) and at (n=2) it gives (102) so \(a_n=120-9n\). In exams keep the decreasing difference negative.
(5) स्थानों में वृद्धि (25) है इसलिए अंतर (5) है। \(a_3=14\) से \(a_n=5n-1\) मिलता है। / The increase over (5) positions is (25), so the difference is (5). From \(a_3=14\), \(a_n=5n-1\).
\(a_5=7^2-3=46\) है। परीक्षा में पहले कोष्ठक का मान निकालें फिर वर्ग करें। / \(a_5=7^2-3=46\). In exams find the bracket value first and then square it.
ये पूर्ण वर्ग हैं इसलिए \(a_n=n^2\) है। परीक्षा में वर्ग संख्या पहचानना समय बचाता है। / These are perfect squares, so \(a_n=n^2\). Recognizing square numbers saves time in exams.
\(n^2+4n+1\) से (6,13,22,33) मिलते हैं। परीक्षा में विकल्पों में (n=1,2,3) रखकर मिलान करें। / \(n^2+4n+1\) gives (6,13,22,33). In exams substitute (n=1,2,3) in the options to match.
\(a_{10}=113\) और \(a_9=93\) है इसलिए अंतर (20) है। परीक्षा में दोनों पद अलग-अलग निकालकर घटाएं। / \(a_{10}=113\) and \(a_9=93\), so the difference is (20). In exams, find both terms separately and subtract.
\(a_8=\frac{8\times12}{2}=48\) है। परीक्षा में पहले गुणन करें और फिर (2) से भाग दें। / \(a_8=\frac{8\times12}{2}=48\). In exams multiply first and then divide by (2).
दूसरे अंतर समान (2) हैं इसलिए नियम द्विघात हो सकता है। \(n^2+2n+2\) से सभी दिए पद मिलते हैं। / The second differences are equal to (2), so the rule can be quadratic. \(n^2+2n+2\) gives all given terms.
(\frac{n(n+4)}{2}) रखने पर दिए पद मिलते हैं। परीक्षा में भिन्न पदों को छोटे (n) मानों से जाँचें। / Using (\frac{n(n+4)}{2}) gives the given terms. In exams check fractional terms using small (n) values.
\(2^n+3n-2\) से (3,8,17,36) मिलते हैं। परीक्षा में घात वाले नियम में अतिरिक्त रैखिक भाग भी जाँचें। / \(2^n+3n-2\) gives (3,8,17,36). In exams also check the extra linear part in a power-based rule.
(6n-4=62) से (6n=66) और (n=11) मिलता है। परीक्षा में पद संख्या के लिए \(a_n\) को दिए मान के बराबर रखें। / From (6n-4=62), (6n=66) and (n=11). For term position, equate \(a_n\) to the given value.
\(a_4=78\) और \(a_2=16\) इसलिए सरल अनुपात (39:8) है। परीक्षा में अनुपात को सरल करना न भूलें। / \(a_4=78\) and \(a_2=16\) so the simplified ratio is (39:8). In exams do not forget to simplify the ratio.
पद \(1\cdot2,2\cdot3,3\cdot4,4\cdot5\) हैं। इसलिए (a_n=n(n+1)) सही है। / The terms are \(1\cdot2,2\cdot3,3\cdot4,4\cdot5\). Therefore (a_n=n(n+1)) is correct.
\(6n^2-5n+2\) से (3,16,41,78) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर देखकर वर्गीय नियम पहचानें। / \(6n^2-5n+2\) gives (3,16,41,78). In exams identify a quadratic rule by observing second differences.
\(3n^2+1\) रखने पर (4,13,28,49) मिलते हैं। विकल्पों में (n=1) और (n=2) जल्दी जांचें। / Putting \(3n^2+1\) gives (4,13,28,49). Check (n=1) and (n=2) quickly in options.
\(3\cdot2^n+n\) से (7,14,27,52) मिलते हैं। परीक्षा में तेज वृद्धि में घात और अतिरिक्त पद दोनों जाँचें। / \(3\cdot2^n+n\) gives (7,14,27,52). In exams check both the power and extra term in rapid growth.
पहले छह पद (2,13,24,35,46,57) हैं और औसत (29.5) है। परीक्षा में औसत के लिए योग को पदों की संख्या से भाग दें। / The first six terms are (2,13,24,35,46,57) and the average is (29.5). In exams divide the sum by the number of terms.
ये त्रिभुज संख्याएं हैं और नियम (a_n=\frac{n(n+1)}{2}) है। लगातार (1,2,3,4) जोड़ने का पैटर्न पहचानें। / These are triangular numbers and the rule is (a_n=\frac{n(n+1)}{2}). Recognize the pattern of adding (1,2,3,4).
नियम \(a_n=11n-9\) है और (11n-9=134) से (n=13) है। परीक्षा में दिए पद को सामान्य पद के बराबर रखें। / The rule is \(a_n=11n-9\) and (11n-9=134) gives (n=13). In exams equate the given term to the general term.
(n=1,2,3,4) रखने पर \(n^2+5\) से (6,9,14,21) नहीं बल्कि विकल्प जांच में गलती दिखती है। सही पद (6,11,18,27) के लिए \(n^2+2n+3\) चाहिए। / This option set has a mismatch because \(n^2+5\) gives (6,9,14,21), not the given sequence. The correct rule for (6,11,18,27) is \(n^2+2n+3\).
\(n^3+2n^2-n\) से (2,14,51,140) मिलते हैं। परीक्षा में घन आधारित नियमों को छोटे (n) से जाँचें। / \(n^3+2n^2-n\) gives (2,14,51,140). In exams test cube-based rules with small (n).
\(a_2=74\) और \(a_9=18\) इसलिए अंतर (56) है। परीक्षा में घटते सूत्र में दोनों पद सावधानी से निकालें। / \(a_2=74\) and \(a_9=18\) so the difference is (56). In exams find both terms carefully in a decreasing formula.
(n=1) पर (82) और (n=2) पर (74) मिलता है इसलिए \(a_n=90-8n\) है। परीक्षा में घटते अनुक्रम के पहले दो पद जाँचें। / At (n=1) it gives (82) and at (n=2) it gives (74) so \(a_n=90-8n\). In exams check the first two terms of a decreasing sequence.
A. \(a_2=27\) और \(a_3=64\)/\(a_2=27\) and \(a_3=64\)
Explanation
Simple Explanation
\(a_2=28+4-5=27\) और \(a_3=63+6-5=64\) है। परीक्षा में हर पद के लिए (n) का नया मान रखें। / \(a_2=28+4-5=27\) and \(a_3=63+6-5=64\). In exams use a new value of (n) for each term.
\(7n^2+2n-5\) से (4,27,64,115) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान देखकर वर्गीय नियम चुनें। / \(7n^2+2n-5\) gives (4,27,64,115). In exams choose a quadratic rule when second differences are constant.
\(4^n+2n-5\) से (1,15,65,259) मिलते हैं। परीक्षा में घात वाले नियमों में स्थिर घटाव भी जाँचें। / \(4^n+2n-5\) gives (1,15,65,259). In exams also check constant subtraction in power-based rules.
\(a_5=109\) और \(a_1=5\) इसलिए योग (114) नहीं बल्कि (114) है। परीक्षा में अंतिम विकल्प चुनने से पहले योग दोबारा जाँचें। / \(a_5=109\) and \(a_1=5\) so the sum is (114). In exams recheck the sum before choosing the final option.
पहला पद (18) और अंतर (-4) है इसलिए (a_n=18+(n-1)(-4)=22-4n)। घटते अनुक्रम में अंतर को ऋणात्मक रखें। / The first term is (18) and the difference is (-4), so (a_n=18+(n-1)(-4)=22-4n). Keep the difference negative in a decreasing sequence.
(a_5=4(5)2-3(5)=100-15=85)। पद निकालते समय (n) की जगह सही पद-संख्या रखें। / (a_5=4(5)2-3(5)=100-15=85). Substitute the correct term number for (n) while finding a term.
(6n+1=55) से (6n=54) और (n=9)। पद का स्थान पूछे तो नियम को दिए पद के बराबर रखें। / From (6n+1=55), (6n=54) and (n=9). When position is asked, set the rule equal to the given term.
(n=1,2,3,4) रखने पर (6,12,20,30) मिलते हैं। नियम से पद निकालते समय (n) को (1) से शुरू करें। / Putting (n=1,2,3,4) gives (6,12,20,30). Start (n) from (1) when forming terms from a rule.
अंश (n+1) और हर (2n+1) है इसलिए \(a_n=\frac{n+1}{2n+1}\)। भिन्न में अंश और हर के पैटर्न अलग देखें। / The numerator is (n+1) and the denominator is (2n+1), so \(a_n=\frac{n+1}{2n+1}\). In fractions observe numerator and denominator patterns separately.
(n=1,2,3,4) रखने पर (3,8,15,24) मिलते हैं। गुणन रूप वाले नियम में सीधे मान रखना आसान है। / Putting (n=1,2,3,4) gives (3,8,15,24). In a product-form rule direct substitution is easy.
यह \(3^2,4^2,5^2,6^2,\ldots\) है इसलिए (a_n=(n+2)2)। वर्ग अनुक्रम में आधार संख्या और (n) का संबंध देखें। / This is \(3^2,4^2,5^2,6^2,\ldots\), so (a_n=(n+2)2). In square sequences relate the base number to (n).
चिह्न बारी-बारी से बदलता है और परिमाण (n) है इसलिए (a_n=(-1)^{n+1}n)। वैकल्पिक चिह्न में ((-1)^n) की शक्ति ध्यान से चुनें। / The sign alternates and the magnitude is (n), so (a_n=(-1)^{n+1}n). In alternating signs choose the power of ((-1)^n) carefully.
यह \(1^3,2^3,3^3,4^3,\ldots\) है इसलिए \(a_n=n^3\)। घन अनुक्रम में पदों को घन रूप में पहचानें। / This is \(1^3,2^3,3^3,4^3,\ldots\), so \(a_n=n^3\). In cube sequences identify terms as cubes.
\(a_4=9\) और \(b_4=15\) इसलिए योग (24) है। दो नियम हों तो दोनों में वही (n) रखें। / \(a_4=9\) and \(b_4=15\), so the sum is (24). When there are two rules use the same (n) in both.
इसका नियम \(a_n=n^2+3n+1\) है इसलिए \(a_8=64+24+1=89\)। पहले सामान्य नियम पहचानें फिर पद निकालें। / Its rule is \(a_n=n^2+3n+1\), so \(a_8=64+24+1=89\). First identify the general rule and then find the term.
\(n^2+2n-1\) से (2,7,14,23) मिलते हैं। बढ़ते अंतर दिखें तो द्विघात नियम की जांच करें। / \(n^2+2n-1\) gives (2,7,14,23). When differences increase, check a quadratic rule.
C. (50) इस अनुक्रम का पद नहीं है/(50) is not a term of this sequence
Explanation
Simple Explanation
सामान्य पद \(a_n=4n+4\) है और (4n+4=50) से \(n=\frac{23}{2}\) मिलता है। पद-संख्या प्राकृतिक संख्या न हो तो दिया पद अनुक्रम में नहीं होगा। / The general term is \(a_n=4n+4\), and (4n+4=50) gives \(n=\frac{23}{2}\). If the position is not a natural number, the given number is not a term.
यह विषम संख्याओं के वर्ग \(1^2,3^2,5^2,7^2,\ldots\) हैं इसलिए (a_n=(2n-1)2)। वर्गों में आधार का पैटर्न देखें। / These are squares of odd numbers \(1^2,3^2,5^2,7^2,\ldots\), so (a_n=(2n-1)2). In squares observe the base pattern.
अंश (2n-1) और हर (n+1) है इसलिए \(a_n=\frac{2n-1}{n+1}\)। भिन्न अनुक्रम में दोनों भागों का अलग नियम बनाएं। / The numerator is (2n-1) and the denominator is (n+1), so \(a_n=\frac{2n-1}{n+1}\). In a fraction sequence form rules for both parts separately.
\(a_5-a_2=9\) और तीन अंतर हैं इसलिए (d=3), फिर \(a_n=3n+1\)। दो दिए पदों से पहले समान अंतर निकालें। / \(a_5-a_2=9\) and there are three gaps, so (d=3), then \(a_n=3n+1\). From two given terms first find the common difference.
(n=1,2,3) रखने पर (3,9,17) मिलते हैं। विकल्प जांचने के लिए शुरुआती पद जल्दी निकालें। / Putting (n=1,2,3) gives (3,9,17). To check options, quickly find the initial terms.
(7k+2=37) से (7k=35) और (k=5)। अज्ञात गुणांक निकालने के लिए दिया पद substitute करें। / From (7k+2=37), (7k=35) and (k=5). Substitute the given term to find the unknown coefficient.
पहला पद (4) और अंतर (6) है इसलिए (a_n=4+(n-1)6=6n-2)। वर्णन से नियम बनाते समय पहला पद न भूलें। / The first term is (4) and the difference is (6), so (a_n=4+(n-1)6=6n-2). Do not forget the first term while forming a rule from words.
\(n^2+n+1\) से (3,7,13,21) मिलते हैं। द्विघात विकल्पों को (n=1) से जांचना शुरू करें। / \(n^2+n+1\) gives (3,7,13,21). Start checking quadratic options from (n=1).
\(\frac{n}{n+2}=\frac{5}{7}\) से (7n=5n+10) और (n=5)। भिन्न समीकरण में क्रॉस गुणा करें। / From \(\frac{n}{n+2}=\frac{5}{7}\), (7n=5n+10) and (n=5). Use cross multiplication in fractional equations.
\(a_3=21\) और \(a_4=35\), इसलिए योग (56) है। जोड़ने से पहले दोनों पद अलग-अलग निकालें। / \(a_3=21\) and \(a_4=35\), so the sum is (56). Find both terms separately before adding.
\(n^2-1\) से (0,3,8,15) मिलते हैं। यदि दूसरा अंतर स्थिर हो तो द्विघात नियम जांचें। / \(n^2-1\) gives (0,3,8,15). If the second difference is constant, check a quadratic rule.
(n=1,2,3,4) रखने पर (3,6,11,20) मिलते हैं। घात और (n) दोनों को साथ जोड़ें। / Putting (n=1,2,3,4) gives (3,6,11,20). Add both the power part and (n) together.
परिमाण \(3,5,7,9,\ldots\) है और चिह्न ऋण से शुरू होकर बदलता है, इसलिए (a_n=(-1)^n(2n+1))। वैकल्पिक चिह्न में पहले पद का चिह्न जरूर जांचें। / The magnitude is \(3,5,7,9,\ldots\) and the signs start negative and alternate, so (a_n=(-1)^n(2n+1)). In alternating signs always check the sign of the first term.
सामान्य पद \(a_n=6n+1\) है इसलिए \(a_{25}=151\)। बड़े पद के लिए भी वही सामान्य नियम लगाएं। / The general term is \(a_n=6n+1\), so \(a_{25}=151\). Use the same general rule even for a large term.
\(a_4-a_1=12\) और तीन अंतर हैं इसलिए (d=4), अतः (a_n=8+(n-1)4=4n+4)। पहले समान अंतर निकालें। / \(a_4-a_1=12\) and there are three gaps, so (d=4), hence (a_n=8+(n-1)4=4n+4). Find the common difference first.
\(n^2+2n=80\) में (n=8) रखने पर (64+16=80) मिलता है। विकल्पों को सीधे जांचना तेज तरीका है। / Putting (n=8) in \(n^2+2n=80\) gives (64+16=80). Directly checking options is a quick method.
\(n^2-2n+2\) से (1,2,5,10) मिलते हैं। बढ़ते अंतर वाले क्रम में द्विघात विकल्प जांचें। / \(n^2-2n+2\) gives (1,2,5,10). In a sequence with increasing differences, check quadratic options.
(a_4=\frac{2(4)+3}{4+1}=\frac{11}{5})। भिन्न वाले नियम में अंश और हर दोनों में (n) रखें। / (a_4=\frac{2(4)+3}{4+1}=\frac{11}{5}). In a fractional rule substitute (n) in both numerator and denominator.
यह \(2^3,3^3,4^3,5^3,\ldots\) है इसलिए (a_n=(n+1)3)। घन अनुक्रम में आधार संख्या पहचानें। / This is \(2^3,3^3,4^3,5^3,\ldots\), so (a_n=(n+1)3). In cube sequences identify the base number.
रैखिक नियम में (n) का गुणांक (-3) है इसलिए समान अंतर (-3) है। \(a_n\) के गुणांक को ध्यान से पढ़ें। / In a linear rule the coefficient of (n) is (-3), so the common difference is (-3). Read the coefficient of \(a_n\) carefully.
\(a_5=99\) और \(a_1=3\), इसलिए योग (102) है। दोनों पद निकालकर ही जोड़ें। / \(a_5=99\) and \(a_1=3\), so the sum is (102). Find both terms before adding.
सामान्य पद \(a_n=50-5n\) है और (50-5n=0) से (n=10)। घटते अनुक्रम में भी पद-संख्या प्राकृतिक रहती है। / The general term is \(a_n=50-5n\), and (50-5n=0) gives (n=10). Even in a decreasing sequence the position remains natural.
(n=1,2,3) रखने पर (5,13,25) मिलते हैं। द्विघात नियम में हर पद की गणना सावधानी से करें। / Putting (n=1,2,3) gives (5,13,25). Calculate each term carefully in a quadratic rule.
अंश \(n^2+1\) और हर (n+2) है इसलिए \(a_n=\frac{n^2+1}{n+2}\)। भिन्न अनुक्रम में अंश का अलग पैटर्न पहचानें। / The numerator is \(n^2+1\) and the denominator is (n+2), so \(a_n=\frac{n^2+1}{n+2}\). In a fractional sequence identify the numerator pattern separately.
अंश (n) और हर (2n+1) है इसलिए \(a_n=\frac{n}{2n+1}\)। भिन्नों में हर की बढ़त को ध्यान से देखें। / The numerator is (n) and the denominator is (2n+1), so \(a_n=\frac{n}{2n+1}\). In fractions observe the denominator growth carefully.
\(a_8=68\) और \(a_3=23\), इसलिए अंतर (45) है। घटाने से पहले दोनों पदों की अलग गणना करें। / \(a_8=68\) and \(a_3=23\), so the difference is (45). Calculate both terms separately before subtracting.
(9+3c=18) से (3c=9) और (c=3)। अज्ञात स्थिरांक के लिए दिया पद रखें। / From (9+3c=18), (3c=9) and (c=3). Substitute the given term to find the unknown constant.
\(a_6=0\) और \(a_7=-2\) है, इसलिए पहला ऋणात्मक पद (7)वाँ है। शून्य को ऋणात्मक न मानें। / \(a_6=0\) and \(a_7=-2\), so the first negative term is the (7)th. Do not count zero as negative.
तीन अंतरों में वृद्धि (12) है इसलिए (d=4), अतः (a_9=25+3(4)=37)। समान अंतर को आगे बढ़ाकर पद निकालें। / The increase over three gaps is (12), so (d=4), hence (a_9=25+3(4)=37). Extend the terms using the common difference.
यह \(1^3+1,2^3+1,3^3+1,4^3+1,\ldots\) है इसलिए \(a_n=n^3+1\)। घन अनुक्रम में स्थिर वृद्धि को पहचानें। / This is \(1^3+1,2^3+1,3^3+1,4^3+1,\ldots\), so \(a_n=n^3+1\). In cube sequences identify the constant shift.
(n=9) रखने पर \(\frac{9\cdot10}{2}=45\) मिलता है। विकल्पों को सीधे जांचना तेज तरीका है। / Putting (n=9) gives \(\frac{9\cdot10}{2}=45\). Direct option checking is a quick method.
परिमाण \(6,9,12,15,\ldots\) है और चिह्न बदलता है इसलिए (a_n=(-1)^{n+1}3(n+1))। पहले पद के चिह्न से ((-1)) की शक्ति तय करें। / The magnitude is \(6,9,12,15,\ldots\) and signs alternate, so (a_n=(-1)^{n+1}3(n+1)). Use the first term sign to decide the power of ((-1)).
(a_1=18-3(5)=3) इसलिए (a_n=3+(n-1)5=5n-2)। दिए हुए बीच के पद से पहले पहला पद निकालें। / (a_1=18-3(5)=3), so (a_n=3+(n-1)5=5n-2). From a middle term first find the first term.
\(a_6=77\) और \(a_2=9\), इसलिए अंतर (68) है। घटाने से पहले दोनों पद अलग-अलग निकालें। / \(a_6=77\) and \(a_2=9\), so the difference is (68). Find both terms separately before subtracting.
पहला पद (2) और समान अंतर (7) है इसलिए (a_n=2+(n-1)7=7n-5)। रैखिक अनुक्रम में (n) का गुणांक समान अंतर होता है। / The first term is (2) and the common difference is (7), so (a_n=2+(n-1)7=7n-5). In a linear sequence the coefficient of (n) is the common difference.
पहला पद (31) और अंतर (-5) है इसलिए (a_n=31+(n-1)(-5)=36-5n)। घटते अनुक्रम में समान अंतर ऋणात्मक लें। / The first term is (31) and the difference is (-5), so (a_n=31+(n-1)(-5)=36-5n). In a decreasing sequence take the common difference as negative.
(8n-3=77) से (8n=80) और (n=10)। पद-संख्या निकालने के लिए नियम को दिए पद के बराबर रखें। / From (8n-3=77), (8n=80) and (n=10). To find the position set the rule equal to the given term.
(n=1,2,3,4) रखने पर (12,20,30,42) मिलते हैं। नियम से पद बनाते समय (n) को (1) से शुरू करें। / Putting (n=1,2,3,4) gives (12,20,30,42). When forming terms from a rule start (n) from (1).
अंश (2n+1) और हर (3n+1) है इसलिए \(a_n=\frac{2n+1}{3n+1}\)। भिन्न में अंश और हर का नियम अलग-अलग पहचानें। / The numerator is (2n+1) and the denominator is (3n+1), so \(a_n=\frac{2n+1}{3n+1}\). In fractions identify the numerator and denominator rules separately.
(n=1,2,3,4) रखने पर (4,12,24,40) मिलते हैं। गुणन रूप में दिए नियम में सीधे पद-संख्या रखें। / Putting (n=1,2,3,4) gives (4,12,24,40). In a product-form rule substitute the term number directly.
यह \(4^2,5^2,6^2,7^2,\ldots\) है इसलिए (a_n=(n+3)2)। वर्ग अनुक्रम में आधार संख्या और (n) का संबंध देखें। / This is \(4^2,5^2,6^2,7^2,\ldots\), so (a_n=(n+3)2). In square sequences relate the base number to (n).
यह \(3^3,4^3,5^3,6^3,\ldots\) है इसलिए (a_n=(n+2)3)। घन अनुक्रम में आधार संख्या पहचानें। / This is \(3^3,4^3,5^3,6^3,\ldots\), so (a_n=(n+2)3). In cube sequences identify the base number.
\(a_5=13\) और \(b_3=19\), इसलिए योग (32) है। दो नियमों में पद-संख्या अलग हो सकती है इसलिए ध्यान से रखें। / \(a_5=13\) and \(b_3=19\), so the sum is (32). With two rules the term numbers may differ, so use them carefully.
इसका नियम \(a_n=2n^2+3n+3\) है इसलिए \(a_9=162+27+3=192\) नहीं आता; सही नियम \(a_n=2n^2+3n+3\) से (192) आता है। यह विकल्प-संगति जांचने वाला प्रश्न है। / The rule \(a_n=2n^2+3n+3\) gives \(a_9=192\), so the shown options do not match. This is an option-consistency check question.
\(n^2+3n\) से (4,10,18,28) मिलते हैं। बढ़ते अंतर दिखें तो द्विघात नियम की जांच करें। / \(n^2+3n\) gives (4,10,18,28). When differences increase, check a quadratic rule.
D. (74) इस अनुक्रम का पद नहीं है/(74) is not a term of this sequence
Explanation
Simple Explanation
सामान्य पद \(a_n=7n+4\) है और (7n+4=74) से (n=10) मिलता है। इसलिए (74) दसवाँ पद है। / The general term is \(a_n=7n+4\), and (7n+4=74) gives (n=10). Therefore (74) is the tenth term.
यह \(2^2,6^2,10^2,14^2,\ldots\) है इसलिए (a_n=(4n-2)2)। वर्गों में आधारों का अंतर पहचानें। / This is \(2^2,6^2,10^2,14^2,\ldots\), so (a_n=(4n-2)2). In squares identify the difference between bases.
अंश (3n+1) और हर (2n+3) है इसलिए \(a_n=\frac{3n+1}{2n+3}\)। भिन्न अनुक्रम में दोनों भागों का नियम अलग बनाएं। / The numerator is (3n+1) and the denominator is (2n+3), so \(a_n=\frac{3n+1}{2n+3}\). In a fractional sequence form rules for both parts separately.
\(a_7-a_3=16\) और चार अंतर हैं इसलिए (d=4), फिर \(a_n=4n\)। दो दिए पदों से पहले समान अंतर निकालें। / \(a_7-a_3=16\) and there are four gaps, so (d=4), then \(a_n=4n\). From two given terms first find the common difference.
(n=1,2,3) रखने पर (5,10,19) मिलते हैं। विकल्प जांचने के लिए शुरुआती पद निकालें। / Putting (n=1,2,3) gives (5,10,19). To check options, find the initial terms.
(6m-4=50) से (6m=54) और (m=9)। अज्ञात गुणांक के लिए दिया पद नियम में रखें। / From (6m-4=50), (6m=54) and (m=9). Substitute the given term in the rule to find the unknown coefficient.
पहला पद (9) और अंतर (-7) है इसलिए (a_n=9+(n-1)(-7)=16-7n)। शब्दों से नियम बनाते समय घटाव को ऋणात्मक अंतर मानें। / The first term is (9) and the difference is (-7), so (a_n=9+(n-1)(-7)=16-7n). When forming a rule from words, treat decrease as a negative difference.
पद \(1\cdot2,2\cdot3,3\cdot4,4\cdot5\) हैं इसलिए (a_n=n(n+1))। लगातार दो प्राकृतिक संख्याओं का गुणन पहचानें। / The terms are \(1\cdot2,2\cdot3,3\cdot4,4\cdot5\), so (a_n=n(n+1)). Identify the product of two consecutive natural numbers.
\(n^2+4n+1\) से (6,13,22,33) मिलते हैं। बढ़ते अंतर द्विघात नियम का संकेत देते हैं। / \(n^2+4n+1\) gives (6,13,22,33). Increasing differences indicate a quadratic rule.
\(\frac{2n}{n+3}=\frac{4}{5}\) से (10n=4n+12) और (n=2) मिलता है, इसलिए दिए विकल्पों में कोई सही नहीं है। भिन्न समीकरण में क्रॉस गुणा करें। / From \(\frac{2n}{n+3}=\frac{4}{5}\), (10n=4n+12) and (n=2), so none of the given options is correct. Use cross multiplication in a fractional equation.
\(a_2=16\) और \(a_5=79\), इसलिए योग (95) है। जोड़ने से पहले दोनों पद अलग-अलग निकालें। / \(a_2=16\) and \(a_5=79\), so the sum is (95). Find both terms separately before adding.
यह \(3^2,5^2,7^2,9^2,\ldots\) है इसलिए (a_n=(2n+1)2)। विषम आधारों के वर्ग पहचानें। / This is \(3^2,5^2,7^2,9^2,\ldots\), so (a_n=(2n+1)2). Identify squares of odd bases.
\(n^2+2\) से (3,6,11,18) मिलते हैं। अंतर (3,5,7) जैसा बढ़े तो वर्ग आधारित नियम देखें। / \(n^2+2\) gives (3,6,11,18). When differences grow like (3,5,7), look for a square-based rule.
(n=1,2,3) रखने पर (5,13,33) मिलते हैं। घात और रैखिक भाग दोनों जोड़ना न भूलें। / Putting (n=1,2,3) gives (5,13,33). Do not forget to add both the power part and the linear part.
सामान्य पद \(a_n=7n+5\) है इसलिए \(a_{30}=215\)। बड़े पद के लिए भी वही सामान्य नियम लगाएं। / The general term is \(a_n=7n+5\), so \(a_{30}=215\). Use the same general rule even for a large term.
पाँच अंतरों में कुल परिवर्तन (-15) है इसलिए (d=-3), अतः (a_n=14+(n-1)(-3)=17-3n)। पहले समान अंतर निकालें। / The total change over five gaps is (-15), so (d=-3), hence (a_n=14+(n-1)(-3)=17-3n). Find the common difference first.
(n=7) रखने पर (49+28=77) मिलता है। विकल्पों को सीधे जांचना तेज तरीका है। / Putting (n=7) gives (49+28=77). Directly checking options is a quick method.
\(n^2-n+3\) से (3,5,9,15) नहीं बल्कि विकल्प जांच जरूरी है; सही नियम \(n^2-2n+4\) होगा। इस प्रकार के प्रश्न में दिए विकल्पों की संगति जांचें। / Option checking is necessary because \(n^2-n+3\) does not give the sequence; the correct rule would be \(n^2-2n+4\). This type tests consistency of options.
(a_3=\frac{3(3)+2}{2(3)-1}=\frac{11}{5})। भिन्न वाले नियम में अंश और हर दोनों में (n) रखें। / (a_3=\frac{3(3)+2}{2(3)-1}=\frac{11}{5}). In a fractional rule substitute (n) in both numerator and denominator.
यह \(5^3,6^3,7^3,8^3,\ldots\) है इसलिए (a_n=(n+4)3)। घन अनुक्रम में आधार संख्या का क्रम देखें। / This is \(5^3,6^3,7^3,8^3,\ldots\), so (a_n=(n+4)3). In cube sequences observe the order of base numbers.
रैखिक नियम में (n) का गुणांक (-4) है इसलिए समान अंतर (-4) है। गुणांक पढ़ते समय चिह्न न छोड़ें। / In a linear rule the coefficient of (n) is (-4), so the common difference is (-4). Do not miss the sign while reading the coefficient.
सामान्य पद \(a_n=68-8n\) है और (68-8n=-4) से (n=9)। घटते अनुक्रम में भी पद-संख्या प्राकृतिक होती है। / The general term is \(a_n=68-8n\), and (68-8n=-4) gives (n=9). Even in decreasing sequences the position is natural.
(n=1,2,3) रखने पर (6,13,26) मिलते हैं। द्विघात नियम में हर पद की गणना सावधानी से करें। / Putting (n=1,2,3) gives (6,13,26). Calculate each term carefully in a quadratic rule.
अंश \(n^2+4\) और हर \(n^2+1\) है इसलिए \(a_n=\frac{n^2+4}{n^2+1}\)। भिन्न अनुक्रम में अंश और हर के वर्ग पैटर्न अलग पहचानें। / The numerator is \(n^2+4\) and the denominator is \(n^2+1\), so \(a_n=\frac{n^2+4}{n^2+1}\). In a fractional sequence identify square patterns separately.
अंश (2n) और हर (3n+2) है इसलिए \(a_n=\frac{2n}{3n+2}\)। हर की बढ़त को ध्यान से देखें। / The numerator is (2n) and the denominator is (3n+2), so \(a_n=\frac{2n}{3n+2}\). Observe the denominator growth carefully.
\(a_7=71\) और \(a_2=16\), इसलिए अंतर (55) है। घटाने से पहले दोनों पदों की अलग गणना करें। / \(a_7=71\) and \(a_2=16\), so the difference is (55). Calculate both terms separately before subtracting.
परिमाण (5n) है और चिह्न धन से शुरू होकर बदलता है इसलिए (a_n=(-1)^{n+1}5n)। पहले पद का चिह्न देखकर ((-1)) की शक्ति चुनें। / The magnitude is (5n) and signs start positive and alternate, so (a_n=(-1)^{n+1}5n). Choose the power of ((-1)) by checking the first term sign.
\(3n^2+4n\) से (7,20,39,64) नहीं आता; सही नियम \(4n^2+3\) है। विकल्पों को पहले चार पदों से मिलाना चाहिए। / \(3n^2+4n\) does not give the sequence; the correct rule is \(4n^2+3\). Options should be matched with the first four terms.
(16+4d+2=34) से (4d=16) और (d=4)। अज्ञात स्थिरांक के लिए दिया पद नियम में रखें। / From (16+4d+2=34), (4d=16) and (d=4). Substitute the given term in the rule to find the unknown constant.
\(a_5=0\) और \(a_6=-3\) है, इसलिए पहला ऋणात्मक पद (6)वाँ है। शून्य को ऋणात्मक न मानें। / \(a_5=0\) and \(a_6=-3\), so the first negative term is the (6)th. Do not count zero as negative.
पाँच अंतरों में वृद्धि (25) है इसलिए (d=5), अतः (a_{12}=42+3(5)=57)। समान अंतर को आगे बढ़ाकर पद निकालें। / The increase over five gaps is (25), so (d=5), hence (a_{12}=42+3(5)=57). Extend the terms using the common difference.
\(n^2+8n+1\) से (10,21,34,49) मिलते हैं। बढ़ते अंतर दिखें तो द्विघात नियम जांचें। / \(n^2+8n+1\) gives (10,21,34,49). When differences increase, check a quadratic rule.
पाँच अंतरों में परिवर्तन (-15) है इसलिए (d=-3), अतः \(a_n=21-3n\)। दो दिए पदों से पहले समान अंतर निकालें। / The change over five gaps is (-15), so (d=-3), hence \(a_n=21-3n\). From two given terms first find the common difference.
