Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
वर्गमूल सर्पिल में शुरुआत (1) इकाई रेखाखंड से होती है। इसी आधार से आगे समकोण त्रिभुज बनते हैं। / A square root spiral starts with a (1) unit line segment. Right triangles are then built from this base.
कर्ण \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\) होता है। यह पाइथागोरस प्रमेय से मिलता है। / The hypotenuse is \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\). This follows from Pythagoras theorem.
A. पिछले कर्ण पर (1) इकाई लंब खींचकर/By drawing a (1) unit perpendicular on the previous hypotenuse
Explanation
Simple Explanation
हर नए चरण में पिछले कर्ण पर (1) इकाई लंब रेखा बनाई जाती है। इससे नया समकोण त्रिभुज बनता है। / At each new step a (1) unit perpendicular is drawn on the previous hypotenuse. This makes a new right triangle.
नया कर्ण \(\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\) होगा। हर चरण में संख्या (1) बढ़ती है। / The new hypotenuse is \(\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\). At every step the number increases by (1).
\(\sqrt{6}\) में (1) इकाई लंब जोड़ने पर \(\sqrt{7}\) मिलता है। पिछला कर्ण हमेशा एक कम संख्या का होता है। / Adding a (1) unit perpendicular to \(\sqrt{6}\) gives \(\sqrt{7}\). The previous hypotenuse has one less number.
सर्पिल में कर्ण क्रम से \(\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3}\) आगे बढ़ते हैं। क्रम पहचानना आसान प्रश्नों में बहुत उपयोगी है। / The hypotenuses progress as \(\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3}\) and so on. Recognizing the order is useful in easy questions.
हर नए चरण में अगला वर्गमूल आता है। इसलिए \(\sqrt{6}\) के बाद \(\sqrt{7}\) आता है। / At each new step the next square root appears. Therefore \(\sqrt{7}\) comes after \(\sqrt{6}\).
हर चरण समकोण त्रिभुज पर आधारित है। इसलिए कर्ण निकालने के लिए पाइथागोरस प्रमेय प्रयोग होता है। / Each step is based on a right triangle. Therefore Pythagoras theorem is used to find the hypotenuse.
\(\sqrt{9}\) और (1) इकाई लंब से नया कर्ण \(\sqrt{10}\) बनता है। पिछले चरण को पहचानना जरूरी है। / The previous hypotenuse \(\sqrt{9}\) with a (1) unit perpendicular gives \(\sqrt{10}\). Identifying the previous step is important.
A. ताकि पाइथागोरस प्रमेय लगाया जा सके/So that Pythagoras theorem can be applied
Explanation
Simple Explanation
पाइथागोरस प्रमेय समकोण त्रिभुज में लागू होता है। इसलिए \(90^\circ\) कोण जरूरी है। / Pythagoras theorem applies to a right triangle. Hence a \(90^\circ\) angle is necessary.
नया कर्ण (\sqrt{\(\sqrt{n}\)2+12}=\sqrt{n+1}) होता है। यही सर्पिल का सामान्य नियम है। / The new hypotenuse is (\sqrt{\(\sqrt{n}\)2+12}=\sqrt{n+1}). This is the general rule of the spiral.
वर्गमूल सर्पिल से \(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}\) जैसी लंबाइयाँ मिलती हैं। इन्हें संख्या रेखा पर रखा जा सकता है। / A square root spiral gives lengths like \(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}\). These can be placed on the number line.
\(\sqrt{11}\) पर (1) इकाई लंब बनाने से \(\sqrt{12}\) मिलता है। पिछला कर्ण एक कम संख्या वाला होता है। / Drawing a (1) unit perpendicular on \(\sqrt{11}\) gives \(\sqrt{12}\). The previous hypotenuse has one less number.
हर चरण में अगला कर्ण \(\sqrt{n+1}\) होता है। इसलिए \(\sqrt{15}\) के बाद \(\sqrt{16}\) बनेगा। / At each step the next hypotenuse is \(\sqrt{n+1}\). Therefore \(\sqrt{16}\) is formed after \(\sqrt{15}\).
पहले त्रिभुज की दोनों भुजाएँ (1) इकाई होती हैं। इसलिए कर्ण \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\) है। / Both sides of the first triangle are (1) unit. So the hypotenuse is \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\).
\(\sqrt{2}\) पिछले कर्ण की लंबाई है और (1) इकाई नई लंब है। इसलिए नया कर्ण \(\sqrt{3}\) मिलता है। / \(\sqrt{2}\) is the previous hypotenuse and (1) unit is the new perpendicular. Therefore the new hypotenuse is \(\sqrt{3}\).
A. क्योंकि प्रत्येक चरण में (1) जोड़ने का नियम टूट जाएगा/Because the rule of adding (1) at each step will break
Explanation
Simple Explanation
सामान्य वर्गमूल सर्पिल में हर बार \(1^2\) जुड़ता है। (2) इकाई लेने पर क्रम अलग हो जाएगा। / In the usual square root spiral \(1^2\) is added each time. Taking (2) units will change the sequence.
हर नए चरण में (1) इकाई लंब जुड़ती है। इसलिए संख्या (18) से (19) हो जाती है। / At each new step a (1) unit perpendicular is added. So the number changes from (18) to (19).
\(\sqrt{20}\) और (1) इकाई लंब से \(\sqrt{21}\) बनता है। पिछले कर्ण में संख्या एक कम होती है। / \(\sqrt{21}\) is formed from \(\sqrt{20}\) and a (1) unit perpendicular. The previous hypotenuse has one less number.
\(\sqrt{8}\) पूर्ण वर्ग का वर्गमूल नहीं है। इसलिए यह अपरिमेय है। / \(\sqrt{8}\) is not the square root of a perfect square. Therefore it is irrational.
\(\sqrt{4}=2\) परिमेय है। इसके बाद \(\sqrt{5}\) बनता है जो अपरिमेय है। / \(\sqrt{4}=2\) is rational. After this \(\sqrt{5}\) is formed and it is irrational.
\(\sqrt{29}\) पर (1) इकाई लंब बनाने से \(\sqrt{30}\) मिलता है। यही निर्माण का क्रम है। / Drawing a (1) unit perpendicular on \(\sqrt{29}\) gives \(\sqrt{30}\). This is the construction order.
कंपास से कर्ण की लंबाई लेकर संख्या रेखा पर चाप लगाया जाता है। इससे वर्गमूल का बिंदु मिलता है। / Using a compass the hypotenuse length is transferred to the number line by drawing an arc. This gives the square root point.
A. हर नया कर्ण पिछले से संबंधित अगला वर्गमूल देता है/Each new hypotenuse gives the next related square root
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में नया कर्ण क्रम से अगला वर्गमूल देता है। यह समकोण त्रिभुजों से बनता है। / In a square root spiral the new hypotenuse gives the next square root in order. It is made from right triangles.
A. क्योंकि (\(\sqrt{n}\)2+12=n+1)/Because (\(\sqrt{n}\)2+12=n+1)
Explanation
Simple Explanation
पाइथागोरस प्रमेय में भुजाओं के वर्ग जुड़ते हैं। इसलिए नया कर्ण \(\sqrt{n+1}\) होता है। / In Pythagoras theorem the squares of sides are added. Therefore the new hypotenuse is \(\sqrt{n+1}\).
सही गणना वर्गों के योग से होती है। \(\sqrt{3}+1\) को \(\sqrt{4}\) नहीं माना जाता। / The correct calculation uses the sum of squares. \(\sqrt{3}+1\) is not taken as \(\sqrt{4}\).
\(\sqrt{31}\) में (1) इकाई लंब जोड़ने पर \(\sqrt{32}\) मिलता है। पिछली संख्या (1) कम होती है। / Adding a (1) unit perpendicular to \(\sqrt{31}\) gives \(\sqrt{32}\). The previous number is (1) less.
A. क्योंकि समकोण त्रिभुज क्रम से घूमते हुए बनते हैं/Because right triangles are formed successively while turning
Explanation
Simple Explanation
हर नए त्रिभुज की दिशा बदलती है। लगातार दिशा बदलने से सर्पिल आकृति बनती है। / The direction of each new triangle changes. Continuous turning forms a spiral shape.
\(\sqrt{49}\) पर (1) इकाई लंब जोड़ने से \(\sqrt{50}\) बनेगा। क्रम में पिछले वर्गमूल को लें। / Adding a (1) unit perpendicular to \(\sqrt{49}\) gives \(\sqrt{50}\). Take the previous square root in order.
\(\sqrt{11}\) के साथ (1) इकाई लंब लेने पर \(\sqrt{12}\) बनता है। यह सर्पिल का क्रमिक नियम है। / Taking a (1) unit perpendicular with \(\sqrt{11}\) gives \(\sqrt{12}\). This is the step rule of the spiral.
\(\sqrt{2}\) पूर्ण वर्ग का वर्गमूल नहीं है। इसलिए यह अपरिमेय संख्या है। / \(\sqrt{2}\) is not the square root of a perfect square. Therefore it is irrational.
A. \(\sqrt{2}+1=\sqrt{3}\) मानना/Thinking \(\sqrt{2}+1=\sqrt{3}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) वर्गों के योग से बनता है, सीधे जोड़ से नहीं। सही गणना (\(\sqrt{2}\)2+12=3) है। / \(\sqrt{3}\) is formed from the sum of squares, not direct addition. The correct calculation is (\(\sqrt{2}\)2+12=3).
सेट स्क्वायर से \(90^\circ\) कोण आसानी से बनाया जा सकता है। सही समकोण से ही सही कर्ण मिलता है। / A set square helps make a \(90^\circ\) angle easily. The correct right angle gives the correct hypotenuse.
A. समकोण त्रिभुजों से क्रमिक वर्गमूल लंबाइयाँ बनाना/Making successive square root lengths using right triangles
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में हर नया समकोण त्रिभुज अगला वर्गमूल देता है। यही इसका मुख्य विचार है। / In a square root spiral each new right triangle gives the next square root. This is its main idea.
लंबाई को संख्या रेखा पर दिखाने के लिए कंपास की नोक मूल बिंदु पर रखकर चाप खींचते हैं। इससे सही वर्गमूल बिंदु मिलता है। / To show the length on the number line, the compass point is placed at the origin and an arc is drawn. This gives the correct square root point.
