Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\))/(f) is not one-one because (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\))
Step 1
Concept
समान प्रतिबिंब खोजकर एक-एकता की जांच की जा सकती है। / Injectivity can be checked by finding repeated images.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=\frac{2}{5}) और (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{2}{5}) है, जबकि \(2\neq \frac{1}{2}\)। / (f(2)=\frac{2}{5}) and (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{2}{5}), while \(2\neq \frac{1}{2}\).
Step 3
Exam Tip
भिन्न रूप देखकर तुरंत एक-एक न मानें। / Do not assume a rational expression is one-one without testing.
एक-एक फलन में (A) के तीन तत्वों के लिए (B) से तीन अलग प्रतिबिंब चुनने होते हैं। / For a one-one function the three elements of (A) need three distinct images from (B).
Step 2
Why this answer is correct
संख्या \(^{5}P_{3}=5\cdot4\cdot3=60\) होगी। / The number is \(^{5}P_{3}=5\cdot4\cdot3=60\).
Step 3
Exam Tip
एक-एक फलन गिनते समय क्रमचय का प्रयोग करें। / Use permutations when counting one-one functions.
दोनों समुच्चयों में (4) तत्व हैं। / Both sets have (4) elements.
Step 2
Why this answer is correct
एक-एक फलन के लिए (B) के सभी (4) तत्व अलग-अलग ढंग से लगेंगे, इसलिए संख्या (4!=24) है। / For a one-one function all (4) elements of (B) are arranged distinctly, so the number is (4!=24).
Step 3
Exam Tip
बराबर आकार वाले सीमित समुच्चयों में एक-एक फलन साथ ही आच्छादक भी होता है। / Between finite sets of equal size a one-one function is also onto.
मान लें (\(g\circ f\)\(x_1\)=\(g\circ f\)\(x_2\))। / Assume (\(g\circ f\)\(x_1\)=\(g\circ f\)\(x_2\)).
Step 2
Why this answer is correct
(g) एक-एक है, इसलिए (f\(x_1\)=f\(x_2\)), और (f) एक-एक है, इसलिए \(x_1=x_2\)। / Since (g) is one-one, (f\(x_1\)=f\(x_2\)), and since (f) is one-one, \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
दो एक-एक फलनों का संयोजन भी एक-एक होता है। / The composition of two one-one functions is one-one.
(\(g\circ f\)) की एक-एकता में पहला फलन (f) दो अलग आगतों को एक ही मान नहीं दे सकता। / If \(g\circ f\) is one-one, the first function (f) cannot send two different inputs to the same value.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (f\(x_1\)=f\(x_2\)), तो (\(g\circ f\)\(x_1\)=\(g\circ f\)\(x_2\)), इसलिए \(x_1=x_2\)। / If (f\(x_1\)=f\(x_2\)), then (\(g\circ f\)\(x_1\)=\(g\circ f\)\(x_2\)), so \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
\(g\circ f\) एक-एक हो तो (f) जरूर एक-एक होता है। / If \(g\circ f\) is one-one, then (f) must be one-one.
A. (g) का एक-एक होना जरूरी नहीं है/(g) need not be one-one
Step 1
Concept
\(g\circ f\) केवल (f) के परास पर (g) के व्यवहार को देखता है। / \(g\circ f\) only uses the behavior of (g) on the range of (f).
Step 2
Why this answer is correct
(g) पूरे प्रांत पर एक-एक न हो, फिर भी (f) के परास पर अलग मान दे सकता है। / (g) may fail to be one-one on its full domain but still behave distinctly on the range of (f).
Step 3
Exam Tip
संयोजन वाले प्रश्नों में पूरे प्रांत और प्रयुक्त भाग में अंतर समझें। / In composition questions distinguish the whole domain from the used part.
