Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
मूल के अंदर \(x^2+1\) है, इसलिए (x) और (-x) समान निर्गत देंगे। / The expression inside the root is \(x^2+1\), so (x) and (-x) give the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=\sqrt{2}) और (f(-1)=\sqrt{2}), जबकि \(1\ne -1\)। / (f(1)=\sqrt{2}) and (f(-1)=\sqrt{2}), while \(1\ne -1\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग पर आधारित सम रूप वाले फलन को पूरे वास्तविक क्षेत्र पर सावधानी से जाँचें। / Functions based on even expressions must be checked carefully on the whole real domain.
\(\lfloor x\rfloor\) एक अंतराल के कई मानों को एक ही पूर्णांक देता है। / \(\lfloor x\rfloor\) sends many values in an interval to the same integer.
Step 2
Why this answer is correct
\(\lfloor 1.2\rfloor=1\) और \(\lfloor 1.8\rfloor=1\), जबकि \(1.2\ne 1.8\)। / \(\lfloor 1.2\rfloor=1\) and \(\lfloor 1.8\rfloor=1\), while \(1.2\ne 1.8\).
Step 3
Exam Tip
ऐसे चरणदार फलन पूरे वास्तविक क्षेत्र पर एकैकी नहीं होते। / Such step functions are not one-one on the whole real domain.
प्राकृतिक संख्याओं के छोटे मान रखकर देखें। / Check the rule separately for even and odd natural numbers.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=0) और (f(2)=3) अलग हैं, लेकिन (f(3)=2) और (f(1)=0) से निर्णय पूरा नहीं होता; बेहतर युग्म (f(2)=3) और (f(4)=5) भी अलग है, इसलिए नियम की सही जाँच चाहिए। / (f(2k)=2k+1) and (f(2k+1)=2k), so the outputs alternate but do not repeat.
Step 3
Exam Tip
(f(2k)=2k+1) और (f(2k+1)=2k), ये सभी अलग मान देते हैं; अतः यह एकैकी है। / Since no two different natural numbers give the same output, the function is one-one.
\(x\ge 0\) पर निर्गत \([1,\infty\)) में आता है। / For \(x\ge 0\), outputs lie in \([1,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
(x<0) पर निर्गत (\(-\infty,-1\)) में आता है। दोनों भागों के निर्गत अलग-अलग क्षेत्रों में हैं। / For (x<0), outputs lie in (\(-\infty,-1\)). The output ranges of the two parts do not overlap.
Step 3
Exam Tip
जब अलग भागों के निर्गत भी न टकराएँ और हर भाग एकैकी हो, तो पूरा फलन एकैकी होता है। / If each part is one-one and their output ranges do not clash, the whole piecewise function is one-one.
एकैकी न होने के लिए दो अलग आगतों पर समान निर्गत दिखाना पर्याप्त है। / To disprove one-one, it is enough to show two different inputs with the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) और (f(-3)=0), जबकि \(0\ne -3\)। / (f(0)=0) and (f(-3)=0), while \(0\ne -3\).
Step 3
Exam Tip
घन फलन दिखने पर भी पहले समान निर्गत वाले सरल मान जाँचें। / Even if a function looks cubic, first check simple values that may give the same output.
पहले तत्व के लिए (7) विकल्प हैं। / The first element has (7) choices.
Step 2
Why this answer is correct
एकैकी होने के कारण अगले तत्वों के लिए विकल्प क्रमशः (6,5,4,3) रहेंगे। / Because the function is one-one, the next elements have (6,5,4,3) choices respectively.
Step 3
Exam Tip
कुल संख्या \(7\times6\times5\times4\times3=2520\) होगी। / Total number is \(7\times6\times5\times4\times3=2520\).
अलग-अलग भागों में समान निर्गत आने की संभावना जाँचें। / Check whether the two pieces can produce the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=1) और (f(-1)= -1) अलग हैं, लेकिन (f(1)=3) तथा (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=2) से अभी निर्णय नहीं होगा; सही जाँच में (f(1)=3) और (f\left\(1\right\)=3) वही आगत है, इसलिए दूसरा मान लें (f(2)=4) तथा पहले भाग में (2x+1=4) से \(x=\frac{3}{2}\) आता है जो पहले भाग में नहीं है। अब देखें (f(1)=3) और पहले भाग में (2x+1=3) से (x=1) आता है जो पहले भाग में शामिल नहीं है। दोनों भागों के निर्गत नहीं टकराते, इसलिए (f) एकैकी है। / For (x<1), outputs are less than (3); for \(x\ge 1\), outputs are at least (3).
Step 3
Exam Tip
Each piece is increasing and their output ranges do not overlap, so (f) is one-one.
