यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=3x-5) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=3x-5), which statement about (f) is correct?
#one-one function
#linear function
#class 12
#pyq pattern
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) सभी (x) पर स्थिर है / (f) is constant for all (x)
D (f) केवल धनात्मक संख्याओं पर एक-एक है / (f) is one-one only on positive numbers
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Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
एक-एक फलन में अलग-अलग आगतों के प्रतिबिंब अलग होने चाहिए। / In a one-one function different inputs must give different images.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(3x_1-5=3x_2-5\), तो \(x_1=x_2\) मिलता है। / From \(3x_1-5=3x_2-5\), we get \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
रैखिक फलन में (x) का गुणांक शून्य न हो तो वह एक-एक होता है। / A linear function with non-zero coefficient of (x) is one-one.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x-2 ) है, तो (f) के लिए सही कथन चुनिए।
If \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x-2 ), choose the correct statement for (f).
#restricted domain
#quadratic function
#one-one function
#class 12
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) परिभाषित नहीं है / (f) is not defined
D (f) का प्रत्येक मान ऋणात्मक है / Every value of (f) is negative
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
यहां प्रांत में केवल (0) और धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं। / The domain contains only (0) and positive real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(x_1^2=x_2^2\) और \(x_1,x_2\ge 0\), तो \(x_1=x_2\) होगा। / If \(x_1^2=x_2^2\) and \(x_1,x_2\ge 0\), then \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
प्रांत बदलने से एक ही नियम वाला फलन एक-एक बन सकता है। / Changing the domain can make the same rule one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=2x-3 +1) है, तो (f) का स्वभाव क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=2x-3 +1), what is the nature of (f)?
#cubic function
#one-one function
#real functions
#hard
A एक-एक / One-one
B एक-एक नहीं / Not one-one
C केवल सम संख्याओं पर परिभाषित / Defined only on even numbers
D स्थिर / Constant
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Correct Answer
A. एक-एक / One-one
Step 1
Concept
घन फलन वास्तविक संख्याओं पर क्रम बनाए रखता है। / The cube function preserves order on real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(2x_1^3+1=2x_2^3+1\) से \(x_1^3=x_2^3\), इसलिए \(x_1=x_2\) मिलता है। / From \(2x_1^3+1=2x_2^3+1\), we get \(x_1^3=x_2^3\), so \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
विषम घात वाले सरल बढ़ते फलन अक्सर एक-एक होते हैं। / Simple increasing odd-power functions are often one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=|x-2|) है, तो (f) एक-एक है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=|x-2|), is (f) one-one?
#absolute value
#one-one function
#counterexample
#class 12
A नहीं क्योंकि (f(1)=f(3)) / No because (f(1)=f(3))
B हाँ क्योंकि हर मान अलग है / Yes because every value is different
C हाँ क्योंकि परास धनात्मक है / Yes because the range is positive
D नहीं क्योंकि (f(2)) परिभाषित नहीं है / No because (f(2)) is not defined
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Correct Answer
A. नहीं क्योंकि (f(1)=f(3)) / No because (f(1)=f(3))
Step 1
Concept
निरपेक्ष मान वाले फलन में केंद्र से बराबर दूरी वाले आगत समान मान दे सकते हैं। / In an absolute value function inputs equally distant from the center can give the same value.
Step 2
Why this answer is correct
\(1\neq 3\), लेकिन (f(1)=1) और (f(3)=1) है। / \(1\neq 3\), but (f(1)=1) and (f(3)=1).
Step 3
Exam Tip
समान प्रतिबिंब मिलते ही फलन एक-एक नहीं रहता। / One repeated image is enough to reject one-one nature.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) से \(B=\{a,b,c,d\}\) तक फलन (f) के लिए (f(1)=a), (f(2)=b), (f(3)=a) है। सही कथन चुनिए।
For a function (f) from \(A=\{1,2,3\}\) to \(B=\{a,b,c,d\}\), (f(1)=a), (f(2)=b), (f(3)=a). Choose the correct statement.
#finite function
#mapping
#one-one function
#class 12
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) फलन ही नहीं है / (f) is not a function
D (f) केवल (B) पर निर्भर है / (f) depends only on (B)
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Correct Answer
A. (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
Step 1
Concept
एक-एक फलन में (A) के दो अलग तत्व (B) के एक ही तत्व पर नहीं जा सकते। / In a one-one function two different elements of (A) cannot map to the same element of (B).
Step 2
Why this answer is correct
यहां \(1\neq 3\), लेकिन दोनों का प्रतिबिंब (a) है। / Here \(1\neq 3\), but both have image (a).
Step 3
Exam Tip
तालिका वाले प्रश्न में पहले दोहराया प्रतिबिंब खोजें। / In mapping-table questions first look for repeated images.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-3 -x) है, तो (f) के बारे में सही कारण सहित कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 -x), choose the correct statement with reason.
#cubic polynomial
#counterexample
#one-one function
#class 12
A यह एक-एक नहीं है क्योंकि (f(-1)=f(0)=f(1)) / It is not one-one because (f(-1)=f(0)=f(1))
B यह एक-एक है क्योंकि इसमें \(x^3\) है / It is one-one because it contains \(x^3\)
C यह स्थिर है / It is constant
D यह केवल (x=0) पर परिभाषित है / It is defined only at (x=0)
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Correct Answer
A. यह एक-एक नहीं है क्योंकि (f(-1)=f(0)=f(1)) / It is not one-one because (f(-1)=f(0)=f(1))
Step 1
Concept
केवल घन पद देखकर निष्कर्ष नहीं निकालना चाहिए। / Do not decide only by seeing the cubic term.
Step 2
Why this answer is correct
(f(-1)=0), (f(0)=0), और (f(1)=0) है। / (f(-1)=0), (f(0)=0), and (f(1)=0).
Step 3
Exam Tip
तीन अलग आगतों का समान मान मिलना एक-एक होने को तुरंत गलत कर देता है। / Same image for different inputs immediately disproves one-one nature.
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यदि (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) तथा (f(x)=2^x) है, तो (f) के लिए सही कथन क्या है?
If (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) and (f(x)=2^x), what is the correct statement about (f)?
#exponential function
#one-one function
#class 12
#hard
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) शून्य मान देता है / (f) gives zero value
D (f) ऋणात्मक मान देता है / (f) gives negative values
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Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
\(2^x\) वास्तविक संख्याओं पर लगातार बढ़ता है। / \(2^x\) is strictly increasing on real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(2^{x_1}=2^{x_2}\), तो \(x_1=x_2\) होता है। / If \(2^{x_1}=2^{x_2}\), then \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन में आधार (1) से बड़ा हो तो वह एक-एक होता है। / An exponential function with base greater than (1) is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[-1,1]\) तथा (f(x)=\sin x) है, तो (f) एक-एक क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to[-1,1]\) and (f(x)=\sin x), why is (f) not one-one?
#trigonometric function
#sine
#one-one function
#class 12
A क्योंकि (f(0)=f\(\pi\)) / Because (f(0)=f\(\pi\))
B क्योंकि \(\sin x\) कभी शून्य नहीं होता / Because \(\sin x\) is never zero
C क्योंकि (f) केवल धनात्मक है / Because (f) is only positive
D क्योंकि (f) परिभाषित नहीं है / Because (f) is not defined
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Correct Answer
A. क्योंकि (f(0)=f\(\pi\)) / Because (f(0)=f\(\pi\))
Step 1
Concept
त्रिकोणमितीय फलन पूरे वास्तविक प्रांत पर दोहराव वाला व्यवहार रखते हैं। / Trigonometric functions repeat values over the full real domain.
Step 2
Why this answer is correct
\(0\neq \pi\), लेकिन \(\sin 0=0\) और \(\sin \pi=0\) है। / \(0\neq \pi\), but \(\sin 0=0\) and \(\sin \pi=0\).
Step 3
Exam Tip
आवर्ती फलन अक्सर पूरे वास्तविक प्रांत पर एक-एक नहीं होते। / Periodic functions are usually not one-one on the whole real domain.
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यदि \(f:[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\to[-1,1]\) तथा (f(x)=\sin x) है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f:[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\to[-1,1]\) and (f(x)=\sin x), choose the correct statement about (f).
#restricted domain
#sine function
#one-one function
#class 12
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) स्थिर है / (f) is constant
D (f) केवल (0) पर परिभाषित है / (f) is defined only at (0)
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Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
दिए गए अंतराल पर \(\sin x\) लगातार बढ़ता है। / On the given interval \(\sin x\) is strictly increasing.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए दो अलग (x) के लिए समान \(\sin x\) नहीं मिलता। / So two different (x)-values do not give the same sine value.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलनों में प्रांत सीमित करना बहुत महत्वपूर्ण होता है। / Restricting the domain is very important for trigonometric functions.
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\(0,\infty\)) तथा (f(x)=\frac{1}{x}) है, तो (f) के लिए सही कथन क्या है?
If (f:\(0,\infty\)\to\(0,\infty\)) and (f(x)=\frac{1}{x}), what is the correct statement about (f)?
#reciprocal function
#one-one function
#domain
#class 12
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) हर जगह शून्य है / (f) is zero everywhere
D (f) (x=0) पर भी परिभाषित है / (f) is also defined at (x=0)
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Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
\(\frac{1}{x}\) में समान मान मानकर जांच करें। / Test the function by assuming equal images.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\frac{1}{x_1}=\frac{1}{x_2}\), तो \(x_1=x_2\) मिलता है। / If \(\frac{1}{x_1}=\frac{1}{x_2}\), then \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
भिन्न वाले फलन में प्रांत देखकर ही निष्कर्ष निकालें। / For reciprocal functions always check the domain first.
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