यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-4 +1) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-4 +1), what is the correct statement about (f)?
#even power
#polynomial
#counterexample
#one-one function
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) हर जगह घटता है / (f) is decreasing everywhere
D (f) का मान कभी (1) नहीं होता / The value of (f) is never (1)
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Correct Answer
A. (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
Step 1
Concept
सम घात वाले फलन में विपरीत आगत समान घात मान दे सकते हैं। / Even-power functions can give the same power value for opposite inputs.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=2) और (f(-1)=2), जबकि \(1\neq -1\)। / (f(1)=2) and (f(-1)=2), while \(1\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
सम घात को पूरे वास्तविक प्रांत पर सावधानी से जांचें। / Check even powers carefully on the whole real domain.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[1,\infty)) तथा (f(x)=\sqrt{x+1}) है, तो (f) के लिए सही कथन क्या है?
If \(f:[0,\infty\)\to[1,\infty)) and (f(x)=\sqrt{x+1}), what is the correct statement about (f)?
#square root function
#one-one function
#domain
#class 12
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) हर जगह स्थिर है / (f) is constant everywhere
D (f) ऋणात्मक मान देता है / (f) gives negative values
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Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
(x+1) बढ़ने पर \(\sqrt{x+1}\) भी बढ़ता है। / As (x+1) increases, \(\sqrt{x+1}\) also increases.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{x_1+1}=\sqrt{x_2+1}\) से \(x_1+1=x_2+1\), इसलिए \(x_1=x_2\)। / From \(\sqrt{x_1+1}=\sqrt{x_2+1}\), we get \(x_1+1=x_2+1\), hence \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल फलन अपने सही प्रांत पर एक-एक होता है। / A square-root function is one-one on its proper domain.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x) यदि (x<0) और (f(x)=x+1) यदि \(x\ge0\) से परिभाषित किया गया है। सही कथन चुनिए।
The function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x) if (x<0) and (f(x)=x+1) if \(x\ge0\). Choose the correct statement.
#piecewise function
#range check
#one-one function
#class 12
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) फलन नहीं है / (f) is not a function
D (f) हर जगह शून्य है / (f) is zero everywhere
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Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
(x<0) पर मान ऋणात्मक आते हैं। / For (x<0), the values are negative.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\ge0\) पर मान (1) या उससे बड़े आते हैं, इसलिए दोनों भागों के परास आपस में नहीं मिलते। / For \(x\ge0\), the values are (1) or more, so the ranges of the two parts do not overlap.
Step 3
Exam Tip
टुकड़ों में दिए फलन में हर भाग और उनके परास अलग-अलग जांचें। / For piecewise functions check each part and the overlap of their ranges.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-2 ) यदि (x<0) और (f(x)=x+1) यदि \(x\ge0\) से परिभाषित किया गया है। (f) के लिए सही कथन क्या है?
The function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x-2 ) if (x<0) and (f(x)=x+1) if \(x\ge0\). What is the correct statement about (f)?
#piecewise function
#counterexample
#one-one function
#hard
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) परिभाषित नहीं है / (f) is not defined
D (f) का परास रिक्त है / The range of (f) is empty
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Correct Answer
A. (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
Step 1
Concept
दोनों भागों के परास में समान मान आ सकते हैं। / The ranges of the two parts can overlap.
Step 2
Why this answer is correct
(f(-2)=4) और (f(3)=4), जबकि \(-2\neq3\)। / (f(-2)=4) and (f(3)=4), while \(-2\neq3\).
Step 3
Exam Tip
टुकड़ों वाले फलन में अलग भागों से समान मान मिलना एक-एकता तोड़ देता है। / In a piecewise function same value from different pieces breaks injectivity.
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यदि \(f=\{(1,4),(2,5),(3,6)\}\) है, जहां \(f:{1,2,3}\to{4,5,6,7}\), तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f=\{(1,4),(2,5),(3,6)\}\), where \(f:{1,2,3}\to{4,5,6,7}\), what is the correct statement about (f)?
#ordered pairs
#finite function
#one-one function
#class 12
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) फलन नहीं है / (f) is not a function
D (f) में कोई प्रतिबिंब नहीं है / (f) has no image
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Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
प्रत्येक आगत का एक ही प्रतिबिंब है, इसलिए यह फलन है। / Each input has exactly one image, so it is a function.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिबिंब (4,5,6) सभी अलग हैं। / The images (4,5,6) are all distinct.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में प्रतिबिंबों की पुनरावृत्ति न हो तो फलन एक-एक होता है। / For finite sets a function is one-one when images do not repeat.
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यदि \(f=\{(1,4),(2,5),(3,5)\}\) है, जहां \(f:{1,2,3}\to{4,5,6}\), तो सही कथन चुनिए।
If \(f=\{(1,4),(2,5),(3,5)\}\), where \(f:{1,2,3}\to{4,5,6}\), choose the correct statement.
#ordered pairs
#finite sets
#counterexample
#one-one function
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) फलन नहीं है / (f) is not a function
D (f) का प्रांत रिक्त है / The domain of (f) is empty
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Correct Answer
A. (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
Step 1
Concept
एक-एकता में प्रतिबिंबों की पुनरावृत्ति नहीं होनी चाहिए। / Injectivity requires no repetition among images.
Step 2
Why this answer is correct
(2) और (3) दोनों का प्रतिबिंब (5) है। / Both (2) and (3) have image (5).
Step 3
Exam Tip
क्रमित युग्मों में दूसरे अवयवों को देखकर जल्दी जांच करें। / In ordered-pair questions quickly check the second components.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=3-2x) है, तो (f) कैसा फलन है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=3-2x), what type of function is (f)?
#linear function
#negative slope
#one-one function
#class 12
A एक-एक / One-one
B एक-एक नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D अपरिभाषित / Undefined
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Correct Answer
A. एक-एक / One-one
Step 1
Concept
यह रैखिक फलन है और (x) का गुणांक (-2) है। / This is a linear function and the coefficient of (x) is (-2).
Step 2
Why this answer is correct
\(-2\neq0\), इसलिए अलग-अलग (x) के लिए अलग-अलग मान मिलते हैं। / Since \(-2\neq0\), different (x)-values give different outputs.
Step 3
Exam Tip
ऋणात्मक ढाल वाला रैखिक फलन भी एक-एक हो सकता है। / A linear function with negative slope can also be one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=7) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=7), what is the correct statement about (f)?
#constant function
#counterexample
#one-one function
#class 12
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) (x=7) पर ही परिभाषित है / (f) is defined only at (x=7)
D (f) का कोई मान नहीं है / (f) has no value
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Correct Answer
A. (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
Step 1
Concept
स्थिर फलन हर आगत को एक ही मान देता है। / A constant function sends every input to the same value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=7) और (f(2)=7), जबकि \(1\neq2\)। / (f(1)=7) and (f(2)=7), while \(1\neq2\).
Step 3
Exam Tip
स्थिर फलन तभी एक-एक हो सकता है जब प्रांत में केवल एक तत्व हो। / A constant function can be one-one only when the domain has a single element.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-2 -4x+7) है, तो कौन सा विकल्प (f) के एक-एक न होने को दिखाता है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 -4x+7), which option shows that (f) is not one-one?
#quadratic function
#vertex
#counterexample
#one-one function
A (f(1)=f(3))
B (f(0)=f(1))
C (f(2)=f(4))
D (f(-1)=f(1))
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Correct Answer
A. (f(1)=f(3))
Step 1
Concept
(x-2 -4x+7=(x-2)2 +3) है। / (x-2 -4x+7=(x-2)2 +3).
Step 2
Why this answer is correct
(1) और (3), (2) से बराबर दूरी पर हैं, इसलिए (f(1)=4) और (f(3)=4)। / (1) and (3) are equally distant from (2), so (f(1)=4) and (f(3)=4).
Step 3
Exam Tip
शिखर के दोनों ओर समान दूरी वाले मान जांचना उपयोगी है। / For quadratics check points equally distant from the vertex.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=(k-2)x+5) है, तो (f) एक-एक कब होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=(k-2)x+5), when will (f) be one-one?
#parameter
#linear function
#one-one function
#class 12
A जब \(k\neq2\) / When \(k\neq2\)
B जब (k=2) / When (k=2)
C जब (k=0) ही हो / Only when (k=0)
D कभी नहीं / Never
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Correct Answer
A. जब \(k\neq2\) / When \(k\neq2\)
Step 1
Concept
यह रैखिक फलन है और (x) का गुणांक (k-2) है। / This is a linear function and the coefficient of (x) is (k-2).
Step 2
Why this answer is correct
एक-एक होने के लिए यह गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए। / For one-one nature this coefficient must not be zero.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(k-2\neq0\), अर्थात \(k\neq2\)। / Hence \(k-2\neq0\), so \(k\neq2\).
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