यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=2x-3 -5), तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=2x-3 -5), what is (f)?
#relations-functions
#one-one-function
#cubic-transformation
#injective
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D वर्ग फलन / Quadratic function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
\(x^3\) बढ़ता हुआ फलन है। / \(x^3\) is an increasing function.
Step 2
Why this answer is correct
\(2x^3-5\) में गुणा और स्थिरांक घटाने से क्रम नहीं टूटता। / Multiplication by (2) and subtracting a constant do not break the order.
Step 3
Exam Tip
\(2a^3-5=2b^3-5\) से (a=b) मिलेगा। / From \(2a^3-5=2b^3-5\), we get (a=b).
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एक फलन के एकैकी होने की सही शर्त कौन-सी है?
What is the correct condition for a function to be one-one?
#relations-functions
#one-one-function
#definition
#injective-condition
A यदि (f(a)=f(b)) तो (a=b) / If (f(a)=f(b)), then (a=b)
B यदि (a=b) तो (f(a)\neq f(b)) / If (a=b), then (f(a)\neq f(b))
C हर छवि शून्य हो / Every image is zero
D हर आगत की दो छवियाँ हों / Every input has two images
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Correct Answer
A. यदि (f(a)=f(b)) तो (a=b) / If (f(a)=f(b)), then (a=b)
Step 1
Concept
एकैकी फलन में अलग-अलग आगत एक ही छवि नहीं दे सकते। / In a one-one function, different inputs cannot give the same image.
Step 2
Why this answer is correct
इसका बीजगणितीय रूप है (f(a)=f(b)\Rightarrow a=b)। / Its algebraic form is (f(a)=f(b)\Rightarrow a=b).
Step 3
Exam Tip
परिभाषा याद रखने से कई प्रश्न जल्दी हल हो जाते हैं। / Remembering the definition helps solve many questions quickly.
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फलन \(f:{1,2,3,4}\to{a,b,c,d}\) में (f(1)=a), (f(2)=b), (f(3)=c), (f(4)=d) है। सही कथन चुनिए।
For \(f:{1,2,3,4}\to{a,b,c,d}\), (f(1)=a), (f(2)=b), (f(3)=c), (f(4)=d). Choose the correct statement.
#relations-functions
#one-one-function
#finite-mapping
#injective
A (f) एकैकी है / (f) is one-one
B (f) एकैकी नहीं है / (f) is not one-one
C (f) स्थिर है / (f) is constant
D (f) फलन नहीं है / (f) is not a function
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Correct Answer
A. (f) एकैकी है / (f) is one-one
Step 1
Concept
सभी चार आगतों की छवियाँ अलग-अलग हैं। / The images of all four inputs are different.
Step 2
Why this answer is correct
कोई भी छवि दो बार नहीं आई है। / No image is repeated.
Step 3
Exam Tip
सीमित फलन में छवियाँ दोहराई न जाएँ तो फलन एकैकी होता है। / In a finite function, if images are not repeated, the function is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x-1|), तो (f) के लिए सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x-1|), which statement is correct for (f)?
#relations-functions
#one-one-function
#absolute-value
#shifted-function
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C रैखिक है / It is linear
D स्थिर है / It is constant
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
निरपेक्ष मान वाले फलन में केंद्र के दोनों ओर समान दूरी वाले आगत समान छवि देते हैं। / In an absolute value function, inputs at equal distance from the center give the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=1) और (f(2)=1), जबकि \(0\neq 2\)। / (f(0)=1) and (f(2)=1), while \(0\neq 2\).
Step 3
Exam Tip
समान छवि देने वाले दो अलग आगत एकैकीता को रोकते हैं। / Two different inputs with the same image prevent one-one nature.
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निम्न में से कौन-सा फलन \([0,\infty\)) से \(\mathbb{R}\) पर एकैकी है?
Which of the following functions from \([0,\infty\)) to \(\mathbb{R}\) is one-one?
#relations-functions
#one-one-function
#domain-restriction
#quadratic
A (f(x)=x-2 )
B (f(x)=5)
C (f(x)=|x-2|)
D (f(x)=(x-1)2 )
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Correct Answer
A. (f(x)=x-2 )
Step 1
Concept
\([0,\infty\)) पर \(x^2\) लगातार बढ़ता है। / On \([0,\infty\)), \(x^2\) increases continuously.
Step 2
Why this answer is correct
इस क्षेत्र में दो अलग गैर-ऋणात्मक संख्याएँ समान वर्ग नहीं देंगी। / In this domain, two different non-negative numbers will not have the same square.
Step 3
Exam Tip
क्षेत्र बदलने से एकैकीता बदल सकती है इसलिए क्षेत्र ध्यान से देखें। / One-one nature can change with the domain, so read the domain carefully.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sqrt[3]{x}), तो (f) कैसा फलन है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sqrt[3]{x}), what type of function is (f)?
#relations-functions
#one-one-function
#cube-root
#injective
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D केवल धनात्मक संख्याओं पर परिभाषित / Defined only for positive numbers
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
घनमूल फलन पूरे वास्तविक समुच्चय पर परिभाषित है। / The cube root function is defined on all real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{b}\) होने पर (a=b)। / If \(\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{b}\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
घनमूल बढ़ता हुआ फलन है इसलिए यह एकैकी है। / The cube root function is increasing, so it is one-one.
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फलन \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\sqrt{x}) के लिए सही विकल्प कौन-सा है?
Which option is correct for \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\sqrt{x})?
#relations-functions
#one-one-function
#square-root
#domain
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर फलन है / It is constant
D फलन नहीं है / It is not a function
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Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
वर्गमूल फलन (0) से आगे बढ़ता हुआ रहता है। / The square root function increases from (0) onward.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{a}=\sqrt{b}\) से (a=b) मिलता है जहाँ \(a,b\geq 0\)। / \(\sqrt{a}=\sqrt{b}\) gives (a=b), where \(a,b\geq 0\).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल की एकैकीता में क्षेत्र का (0) से आगे होना जरूरी है। / The domain starting from (0) is important for this one-one nature.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sin x), तो (f) के लिए सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sin x), what is the correct statement for (f)?
#relations-functions
#one-one-function
#trigonometric-function
#periodic
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर है / It is constant
D रैखिक है / It is linear
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
\(\sin x\) आवर्ती फलन है। / \(\sin x\) is periodic.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin 0=0\) और \(\sin \pi=0\), जबकि \(0\neq \pi\)। / \(\sin 0=0\) and \(\sin \pi=0\), while \(0\neq \pi\).
Step 3
Exam Tip
आवर्ती फलनों में पूरे वास्तविक क्षेत्र पर एकैकीता सामान्यतः नहीं होती। / Periodic functions are generally not one-one on the whole real domain.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\cos x) एकैकी है या नहीं?
Is the function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\cos x), one-one or not?
#relations-functions
#one-one-function
#cosine
#non-injective
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C केवल (0) पर परिभाषित / Defined only at (0)
D सदैव बढ़ता है / Always increasing
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
\(\cos x\) भी आवर्ती फलन है। / \(\cos x\) is also periodic.
Step 2
Why this answer is correct
\(\cos 0=1\) और \(\cos 2\pi=1\), पर \(0\neq 2\pi\)। / \(\cos 0=1\) and \(\cos 2\pi=1\), but \(0\neq 2\pi\).
Step 3
Exam Tip
समान छवि देने वाले अलग आगत मिलते ही फलन एकैकी नहीं रहता। / Once different inputs give the same image, the function is not one-one.
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यदि (f:\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\tan x), तो (f) के लिए सही विकल्प चुनिए।
If (f:\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\tan x), choose the correct option for (f).
#relations-functions
#one-one-function
#tangent
#restricted-domain
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर है / It is constant
D केवल (x=0) पर परिभाषित है / Defined only at (x=0)
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Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
दिए गए अंतराल पर \(\tan x\) बढ़ता हुआ फलन है। / On the given interval, \(\tan x\) is increasing.
Step 2
Why this answer is correct
इस अंतराल में कोई दो अलग मान समान \(\tan\) मान नहीं देते। / In this interval, no two different values give the same \(\tan\) value.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलनों में क्षेत्र सीमित करने से एकैकीता मिल सकती है। / For trigonometric functions, restricting the domain can give one-one nature.
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