समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर फलन \(f:A\to A\) को (f(1)=2), (f(2)=3), (f(3)=1) से दिया गया है। यह फलन कैसा है?
On the set \(A=\{1,2,3\}\), a function \(f:A\to A\) is given by (f(1)=2), (f(2)=3), (f(3)=1). What type of function is it?
#relations-functions
#one-one-function
#finite-set
#mapping
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D अपरिभाषित / Undefined
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
दिए गए तीनों आगतों की छवियाँ (2,3,1) हैं। / The images of the three inputs are (2,3,1).
Step 2
Why this answer is correct
कोई भी दो अलग आगत समान छवि नहीं दे रहे हैं। / No two different inputs give the same image.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में छवियों को देखकर एकैकीता जल्दी जाँची जा सकती है। / For a finite set, one-one nature can be checked quickly by comparing images.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(f:A\to A\) में (f(1)=2), (f(2)=2), (f(3)=3), (f(4)=4) है। (f) कैसा है?
For \(f:A\to A\) on \(A=\{1,2,3,4\}\), (f(1)=2), (f(2)=2), (f(3)=3), (f(4)=4). What is (f)?
#relations-functions
#one-one-function
#finite-set
#not-injective
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C केवल आच्छादी है / Only onto
D सदैव एकैकी है / Always one-one
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
(1) और (2) अलग-अलग आगत हैं। / (1) and (2) are different inputs.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों की छवि (2) है इसलिए अलग आगत समान छवि दे रहे हैं। / Both have image (2), so different inputs give the same image.
Step 3
Exam Tip
सीमित सारणी में दोहराई गई छवि दिखते ही एकैकीता असत्य हो जाती है। / In a finite table, a repeated image disproves one-one nature.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 +1) के बारे में सही विकल्प चुनिए।
Choose the correct option about \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 +1).
#relations-functions
#one-one-function
#cubic
#injective
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर है / It is constant
D केवल धनात्मक क्षेत्र में परिभाषित है / Defined only on positive domain
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Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
\(x^3\) वास्तविक संख्याओं पर बढ़ता हुआ है। / \(x^3\) is increasing on real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
किसी बढ़ते फलन में स्थिरांक (1) जोड़ने से एकैकीता नहीं बदलती। / Adding the constant (1) does not change one-one nature.
Step 3
Exam Tip
\(a^3+1=b^3+1\) से (a=b) मिल जाता है। / From \(a^3+1=b^3+1\), we get (a=b).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=(x-2)2 ), तो (f) के लिए सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=(x-2)2 ), which statement is correct for (f)?
#relations-functions
#one-one-function
#quadratic
#translated-function
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C केवल (x=2) पर परिभाषित है / Defined only at (x=2)
D रैखिक फलन है / It is linear
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
वर्ग वाले फलन में केंद्र के दोनों ओर समान छवि मिल सकती है। / In a squared function, points on both sides of the center may give the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1) और (f(3)=1), जबकि \(1\neq 3\)। / (f(1)=1) and (f(3)=1), while \(1\neq 3\).
Step 3
Exam Tip
दो समान छवियाँ मिलने पर फलन एकैकी नहीं होता। / Equal images for different inputs mean the function is not one-one.
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फलन (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\frac{1}{x}) के लिए सही विकल्प चुनिए।
Choose the correct option for (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\frac{1}{x}).
#relations-functions
#one-one-function
#reciprocal-function
#positive-domain
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर है / It is constant
D फलन नहीं है / It is not a function
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Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
मान लें (f(a)=f(b)) जहाँ (a,b>0)। / Let (f(a)=f(b)), where (a,b>0).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\) से (a=b) मिलता है। / From \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\), we get (a=b).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम रूप वाले ऐसे फलन में बराबर छवि बराबर आगत देती है। / In this reciprocal form, equal images lead to equal inputs.
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{1}{x-2 }), तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{1}{x-2 }), what is (f)?
#relations-functions
#one-one-function
#reciprocal-square
#non-injective
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C रैखिक / Linear
D स्थिर / Constant
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं / Not one-one
Step 1
Concept
यहाँ (x) और (-x) दोनों क्षेत्र में हैं। / Here both (x) and (-x) are in the domain.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=\frac{1}{4}) और (f(-2)=\frac{1}{4}), जबकि \(2\neq -2\)। / (f(2)=\frac{1}{4}) and (f(-2)=\frac{1}{4}), while \(2\neq -2\).
Step 3
Exam Tip
समान छवि देने वाले अलग आगत मिलते ही एकैकीता समाप्त होती है। / Different inputs with the same image prove that the function is not one-one.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=2x+9) के लिए (f(a)=f(b)) से क्या निष्कर्ष निकलेगा?
For \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=2x+9), what conclusion follows from (f(a)=f(b))?
#relations-functions
#one-one-function
#algebraic-test
#linear
A (a=b) इसलिए (f) एकैकी है / (a=b), so (f) is one-one
B (a=-b) इसलिए (f) एकैकी नहीं है / (a=-b), so (f) is not one-one
C (a+b=9)
D कोई निष्कर्ष नहीं / No conclusion
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Correct Answer
A. (a=b) इसलिए (f) एकैकी है / (a=b), so (f) is one-one
Step 1
Concept
(f(a)=f(b)) लिखने पर (2a+9=2b+9)। / Writing (f(a)=f(b)) gives (2a+9=2b+9).
Step 2
Why this answer is correct
सरल करने पर (2a=2b) और (a=b)। / Simplifying gives (2a=2b), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
यही एकैकी फलन की बीजगणितीय जाँच है। / This is the algebraic test for a one-one function.
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निम्न में से कौन-सा फलन \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) पर एकैकी है?
Which of the following functions from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is one-one?
#relations-functions
#one-one-function
#identify-function
#linear
A (f(x)=x-2 )
B (f(x)=|x|)
C (f(x)=4x-1)
D (f(x)=6)
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Correct Answer
C. (f(x)=4x-1)
Step 1
Concept
\(x^2\) और (|x|) में (x) तथा (-x) समान छवि दे सकते हैं। / In \(x^2\) and (|x|), (x) and (-x) can give the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(x)=6) स्थिर फलन है। / (f(x)=6) is constant.
Step 3
Exam Tip
(4x-1) में ढाल शून्य नहीं है इसलिए यह एकैकी है। / (4x-1) has non-zero slope, so it is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-5 ), तो (f) की एकैकीता के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-5 ), what is the correct statement about the one-one nature of (f)?
#relations-functions
#one-one-function
#odd-power
#injective
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह स्थिर है / It is constant
D यह केवल पूर्णांकों पर एकैकी है / It is one-one only on integers
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Correct Answer
A. यह एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
विषम घात \(x^5\) वास्तविक संख्याओं पर बढ़ती रहती है। / The odd power \(x^5\) keeps increasing on real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(a^5=b^5\) होने पर (a=b) ही होगा। / If \(a^5=b^5\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
विषम घात वाले सरल फलन अक्सर एकैकी होते हैं जब उनका क्षेत्र पूरा वास्तविक समुच्चय हो। / Simple odd-power functions are often one-one on the whole real set.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-4 ) के लिए सही विकल्प कौन-सा है?
Which option is correct for \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-4 )?
#relations-functions
#one-one-function
#even-power
#non-injective
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C रैखिक है / Linear
D केवल एक मान लेता है / Takes only one value
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
सम घात में (x) और (-x) की छवि समान होती है। / In an even power, (x) and (-x) have the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=16) और (f(-2)=16)। / (f(2)=16) and (f(-2)=16).
Step 3
Exam Tip
सम घात वाले फलन पूरे \(\mathbb{R}\) पर सामान्यतः एकैकी नहीं होते। / Even-power functions are generally not one-one on all of \(\mathbb{R}\).
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