यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 -4x+7), तो (f) के लिए सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 -4x+7), which statement is correct for (f)?
#relations-functions
#one-one-function
#quadratic
#complete-square
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C रैखिक है / It is linear
D स्थिर है / It is constant
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
(x-2 -4x+7=(x-2)2 +3)। / (x-2 -4x+7=(x-2)2 +3).
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=4) और (f(3)=4), जबकि \(1\neq 3\)। / (f(1)=4) and (f(3)=4), while \(1\neq 3\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग पूर्ण करने से ऐसे प्रश्न जल्दी हल होते हैं। / Completing the square helps solve such questions quickly.
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फलन \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-2 -4x+7) के बारे में सही विकल्प चुनिए।
Choose the correct option about \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-2 -4x+7).
#relations-functions
#one-one-function
#restricted-domain
#quadratic
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर है / It is constant
D फलन नहीं है / It is not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
(f(x)=(x-2)2 +3) है। / (f(x)=(x-2)2 +3).
Step 2
Why this answer is correct
क्षेत्र \([2,\infty\)) पर ((x-2)2 ) बढ़ता है। / On the domain \([2,\infty\)), ((x-2)2 ) increases.
Step 3
Exam Tip
इसलिए इस सीमित क्षेत्र में समान छवि तभी मिलेगी जब आगत समान हों। / Hence in this restricted domain, equal images occur only for equal inputs.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 -x), तो (f) के लिए कौन-सा कथन सही है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 -x), which statement is correct for (f)?
#relations-functions
#one-one-function
#cubic-polynomial
#non-injective
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर है / It is constant
D केवल धनात्मक मान देता है / Gives only positive values
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
एकैकीता जाँचने के लिए समान छवि वाले अलग आगत खोजें। / To test one-one nature, look for different inputs with the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(-1)=0), (f(0)=0) और (f(1)=0) हैं। / (f(-1)=0), (f(0)=0), and (f(1)=0).
Step 3
Exam Tip
कई अलग आगत समान छवि दे रहे हैं इसलिए फलन एकैकी नहीं है। / Several different inputs give the same image, so the function is not one-one.
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निम्न में से कौन-सा कथन एकैकी फलन के लिए सही है?
Which statement is correct for a one-one function?
#relations-functions
#one-one-function
#conceptual
#definition
A दो अलग आगतों की छवि कभी समान नहीं होती / Images of two different inputs are never the same
B हर आगत की दो छवियाँ होती हैं / Every input has two images
C हर छवि क्षेत्र में होनी चाहिए / Every image must be in the domain
D हर फलन एकैकी होता है / Every function is one-one
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Correct Answer
A. दो अलग आगतों की छवि कभी समान नहीं होती / Images of two different inputs are never the same
Step 1
Concept
एकैकी फलन की मुख्य पहचान अलग-अलग आगतों की अलग छवियाँ हैं। / The main identity of a one-one function is different images for different inputs.
Step 2
Why this answer is correct
यदि दो अलग आगत समान छवि दें तो शर्त टूट जाती है। / If two different inputs give the same image, the condition fails.
Step 3
Exam Tip
परिभाषा को सरल भाषा में समझना परीक्षा में बहुत उपयोगी है। / Understanding the definition in simple words is very useful in exams.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=ax+b), तो (f) कब एकैकी होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=ax+b), when will (f) be one-one?
#relations-functions
#one-one-function
#linear-general
#parameter
A जब (a=0) / When (a=0)
B जब \(a\neq 0\) / When \(a\neq 0\)
C जब (b=0) ही हो / Only when (b=0)
D कभी नहीं / Never
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Correct Answer
B. जब \(a\neq 0\) / When \(a\neq 0\)
Step 1
Concept
(f(p)=f(q)) मानें। / Assume (f(p)=f(q)).
Step 2
Why this answer is correct
(ap+b=aq+b) से (a(p-q)=0) मिलता है। / From (ap+b=aq+b), we get (a(p-q)=0).
Step 3
Exam Tip
यदि \(a\neq 0\) तो (p=q), इसलिए फलन एकैकी है। / If \(a\neq 0\), then (p=q), so the function is one-one.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=-x-3 ) के लिए सही विकल्प चुनिए।
Choose the correct option for \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=-x-3 ).
#relations-functions
#one-one-function
#cubic
#negative-coefficient
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर है / It is constant
D वर्ग फलन है / It is a square function
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Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
\(x^3\) एकैकी है। / \(x^3\) is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
(-1) से गुणा करने पर अलग छवियाँ अलग ही रहती हैं। / Multiplication by (-1) keeps distinct images distinct.
Step 3
Exam Tip
\(-a^3=-b^3\) से \(a^3=b^3\) और फिर (a=b) मिलता है। / From \(-a^3=-b^3\), we get \(a^3=b^3\), hence (a=b).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 +2x), तो (f) के लिए सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 +2x), which statement is correct for (f)?
#relations-functions
#one-one-function
#quadratic
#not-one-one
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C रैखिक है / It is linear
D केवल एक मान लेता है / It takes only one value
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
(x-2 +2x=(x+1)2 -1)। / (x-2 +2x=(x+1)2 -1).
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) और (f(-2)=0), जबकि \(0\neq -2\)। / (f(0)=0) and (f(-2)=0), while \(0\neq -2\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग रूप में बदलकर समान छवियाँ आसानी से खोजी जा सकती हैं। / Converting to square form helps find equal images easily.
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निम्न में से कौन-सा फलन \(\mathbb{R}\) पर एकैकी नहीं है?
Which of the following functions is not one-one on \(\mathbb{R}\)?
#relations-functions
#one-one-function
#identify-non-injective
#quadratic
A (f(x)=7x+2)
B (f(x)=x-3 +4)
C (f(x)=x-2 -1)
D (f(x)=-5x)
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Correct Answer
C. (f(x)=x-2 -1)
Step 1
Concept
रैखिक फलनों में ढाल शून्य नहीं है इसलिए वे एकैकी हैं। / The linear functions have non-zero slope, so they are one-one.
Step 2
Why this answer is correct
\(x^3+4\) भी बढ़ता हुआ है। / \(x^3+4\) is also increasing.
Step 3
Exam Tip
\(x^2-1\) में (f(1)=0) और (f(-1)=0) इसलिए यह एकैकी नहीं है। / For \(x^2-1\), (f(1)=0) and (f(-1)=0), so it is not one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{x+1}{2}), तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{x+1}{2}), what is (f)?
#relations-functions
#one-one-function
#fraction-linear
#injective
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D अपरिभाषित / Undefined
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
मान लें (f(a)=f(b))। / Assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{a+1}{2}=\frac{b+1}{2}\) से (a+1=b+1), इसलिए (a=b)। / From \(\frac{a+1}{2}=\frac{b+1}{2}\), we get (a+1=b+1), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
शून्य से अलग गुणांक वाले रैखिक रूप में एकैकीता रहती है। / A linear form with non-zero coefficient remains one-one.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|2x+1|) के लिए सही विकल्प चुनिए।
Choose the correct option for \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|2x+1|).
#relations-functions
#one-one-function
#absolute-value
#linear-inside
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C रैखिक है / It is linear
D स्थिर है / It is constant
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
निरपेक्ष मान के कारण दो अलग आगत समान धनात्मक मान दे सकते हैं। / Due to absolute value, two different inputs can give the same positive value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=1) और (f(-1)=1), जबकि \(0\neq -1\)। / (f(0)=1) and (f(-1)=1), while \(0\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
निरपेक्ष मान वाले फलन को पूरे \(\mathbb{R}\) पर सावधानी से जाँचें। / Check absolute value functions carefully on all of \(\mathbb{R}\).
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