यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=3x-7) है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=3x-7), choose the correct statement about (f).
#one-one-function
#linear-function
#relations-functions
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल नियत फलन है / Only constant function
D परिभाषित नहीं है / Not defined
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
एकैकी जांचने के लिए मान लेते हैं कि (f(a)=f(b))। / To test one-one, assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
तब (3a-7=3b-7), इसलिए (a=b) मिलता है। / Then (3a-7=3b-7), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में रैखिक फलन (mx+c) में \(m\neq 0\) हो तो वह एकैकी होता है। / In exams, a linear function (mx+c) with \(m\neq 0\) is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=5) है, तो यह फलन कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=5), what type of function is it?
#constant-function
#one-one-function
#class-12-math
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल व्युत्क्रमणीय है / Only invertible
D केवल सर्वत्र शून्य है / Only zero everywhere
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
नियत फलन हर आगत को एक ही मान देता है। / A constant function gives the same value for every input.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=5) और (f(2)=5), लेकिन \(1\neq 2\)। / (f(1)=5) and (f(2)=5), but \(1\neq 2\).
Step 3
Exam Tip
यदि दो अलग आगतों का प्रतिबिंब समान मिले, तो फलन एकैकी नहीं होता। / If two different inputs have the same image, the function is not one-one.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(f:A\to A\) को (f(1)=2), (f(2)=3), (f(3)=1) से परिभाषित किया गया है, तो (f) कैसा है?
If \(A=\{1,2,3\}\) and \(f:A\to A\) is defined by (f(1)=2), (f(2)=3), (f(3)=1), what is (f)?
#finite-set
#function-mapping
#one-one-function
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C फलन नहीं है / Not a function
D नियत फलन है / Constant function
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
दिए गए तीनों आगतों के प्रतिबिंब देखें। / Check the images of all three inputs.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिबिंब (2), (3), (1) हैं और कोई मान दोहराया नहीं गया। / The images are (2), (3), and (1), with no repetition.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में एकैकी जांचने के लिए प्रतिबिंबों की पुनरावृत्ति देखें। / For finite sets, check repetition in images to test one-one.
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यदि \(A=\{a,b,c\}\) और \(g:A\to{1,2}\) में (g(a)=1), (g(b)=2), (g(c)=2) है, तो (g) के बारे में सही कथन है।
If \(A=\{a,b,c\}\) and \(g:A\to{1,2}\) has (g(a)=1), (g(b)=2), (g(c)=2), choose the correct statement about (g).
#finite-function
#not-one-one
#mapping
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C परिभाषित नहीं है / Not defined
D पहचान फलन है / Identity function
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
एकैकी होने के लिए प्रत्येक अलग आगत का प्रतिबिंब अलग होना चाहिए। / For one-one, every distinct input must have a distinct image.
Step 2
Why this answer is correct
यहां (g(b)=2) और (g(c)=2), जबकि \(b\neq c\)। / Here (g(b)=2) and (g(c)=2), while \(b\neq c\).
Step 3
Exam Tip
दोहराया हुआ प्रतिबिंब मिलते ही एकैकी होने से इंकार करें। / A repeated image immediately disproves one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-3 ) है, तो (f) के लिए सही विकल्प चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 ), choose the correct option for (f).
#cubic-function
#one-one-function
#increasing-function
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल धनात्मक मानों पर परिभाषित है / Defined only for positive values
D नियत फलन है / Constant function
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
मान लें (f(a)=f(b))। / Assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
तब \(a^3=b^3\), जिससे वास्तविक संख्याओं में (a=b) मिलता है। / Then \(a^3=b^3\), which gives (a=b) for real numbers.
Step 3
Exam Tip
घन फलन पूरे \(\mathbb{R}\) पर बढ़ता है, इसलिए वह एकैकी होता है। / The cube function is increasing on \(\mathbb{R}\), so it is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=|x|) है, तो यह एकैकी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=|x|), why is it not one-one?
#modulus-function
#not-one-one
#counterexample
A क्योंकि (f(3)=f(-3)) और \(3\neq -3\) / Because (f(3)=f(-3)) and \(3\neq -3\)
B क्योंकि (f(0)) मौजूद नहीं है / Because (f(0)) does not exist
C क्योंकि सभी प्रतिबिंब ऋणात्मक हैं / Because all images are negative
D क्योंकि डोमेन खाली है / Because domain is empty
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Correct Answer
A. क्योंकि (f(3)=f(-3)) और \(3\neq -3\) / Because (f(3)=f(-3)) and \(3\neq -3\)
Step 1
Concept
परम मान फलन धनात्मक और ऋणात्मक दोनों समान दूरी वाले आगतों को समान मान देता है। / The modulus function gives the same value to opposite inputs with equal distance from zero.
Step 2
Why this answer is correct
(f(3)=3) और (f(-3)=3), जबकि \(3\neq -3\)। / (f(3)=3) and (f(-3)=3), while \(3\neq -3\).
Step 3
Exam Tip
एक ही प्रतिबिंब देने वाली अलग जोड़ी खोजना सबसे तेज तरीका है। / Finding two distinct inputs with the same image is the fastest test.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}) और (f(x)=x-2 ) है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x-2 ), choose the correct statement about (f).
#restricted-domain
#square-function
#one-one-function
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C फलन नहीं है / Not a function
D नियत फलन है / Constant function
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
इस डोमेन में केवल \(x\geq 0\) लिए जाते हैं। / In this domain, only \(x\geq 0\) is allowed.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a^2=b^2\) और \(a,b\geq 0\), तो (a=b) ही होगा। / If \(a^2=b^2\) and \(a,b\geq 0\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
डोमेन बदलने से वही सूत्र एकैकी भी बन सकता है। / Changing the domain can make the same formula one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=2x-2 +1) है, तो (f) का एकैकीपन जांचिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=2x-2 +1), check whether (f) is one-one.
#quadratic-function
#not-one-one
#even-power
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल (x=0) पर परिभाषित है / Defined only at (x=0)
D प्रतिबिंब खाली है / Image is empty
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
वर्ग वाले फलन में अक्सर (x) और (-x) समान प्रतिबिंब देते हैं। / In square-based functions, (x) and (-x) often give the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=3) और (f(-1)=3), जबकि \(1\neq -1\)। / (f(1)=3) and (f(-1)=3), while \(1\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
पूरे \(\mathbb{R}\) पर सम घात वाले फलनों में ऐसी जोड़ी जरूर जांचें। / For even powers on \(\mathbb{R}\), always test such pairs.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=7-4x) है, तो (f) के लिए सही निष्कर्ष क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=7-4x), what is the correct conclusion for (f)?
#linear-function
#one-one-test
#class-12
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C सिर्फ शून्य पर मान देता है / Gives value only at zero
D यह संबंध है पर फलन नहीं / It is a relation but not a function
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
मान लें (f(a)=f(b))। / Assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
तब (7-4a=7-4b), इसलिए (-4a=-4b) और (a=b)। / Then (7-4a=7-4b), so (-4a=-4b) and (a=b).
Step 3
Exam Tip
ढाल शून्य न हो तो रैखिक फलन एकैकी होता है। / A linear function with non-zero slope is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-2 -6x+9) है, तो (f) एकैकी है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 -6x+9), is (f) one-one or not?
#quadratic-function
#perfect-square
#not-one-one
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल धनात्मक डोमेन पर फलन है / Function only on positive domain
D किसी भी (x) पर मान नहीं देता / Gives no value for any (x)
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
(x-2 -6x+9=(x-3)2 ) है। / (x-2 -6x+9=(x-3)2 ).
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=1) और (f(4)=1), लेकिन \(2\neq 4\)। / (f(2)=1) and (f(4)=1), but \(2\neq 4\).
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग दिखे तो केंद्र के दोनों ओर बराबर दूरी वाले आगत जांचें। / When a perfect square appears, test inputs equally distant from its center.
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