यदि फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=3x-7) से परिभाषित किया गया है तो यह कैसा फलन है?
If the function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=3x-7), what type of function is it?
#relations-functions
#one-one-function
#injective
#linear-function
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C केवल स्थिर / Constant only
D परिभाषित नहीं / Not defined
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
एकैकी जाँच के लिए (f(a)=f(b)) मानते हैं। / To test one-one, assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
(3a-7=3b-7) से (a=b) मिलता है इसलिए अलग-अलग मानों की छवि अलग होगी। / From (3a-7=3b-7), we get (a=b), so different inputs have different images.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में रैखिक फलन (mx+c) में \(m\neq 0\) हो तो वह एकैकी होता है। / In exams, a linear function (mx+c) with \(m\neq 0\) is one-one.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 ) के बारे में सही कथन चुनिए।
Choose the correct statement about the function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 ).
#relations-functions
#one-one-function
#quadratic-function
#non-injective
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह केवल धनात्मक मानों पर परिभाषित है / It is defined only for positive values
D यह स्थिर फलन है / It is a constant function
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Correct Answer
B. यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
एकैकी फलन में अलग-अलग आगतों की छवि अलग होनी चाहिए। / In a one-one function, different inputs must have different images.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ (f(2)=4) और (f(-2)=4) जबकि \(2\neq -2\)। / Here (f(2)=4) and (f(-2)=4), while \(2\neq -2\).
Step 3
Exam Tip
जब दो अलग मानों की छवि समान मिले तो फलन एकैकी नहीं होता। / If two different inputs give the same image, the function is not one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=5-2x), तो (f) के लिए कौन-सा कथन सही है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=5-2x), which statement is correct for (f)?
#relations-functions
#one-one-function
#linear-function
#slope
A एकैकी नहीं क्योंकि गुणांक ऋणात्मक है / Not one-one because the coefficient is negative
B एकैकी क्योंकि (x) का गुणांक शून्य नहीं है / One-one because the coefficient of (x) is non-zero
C स्थिर फलन / Constant function
D केवल (x>0) पर एकैकी / One-one only for (x>0)
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Correct Answer
B. एकैकी क्योंकि (x) का गुणांक शून्य नहीं है / One-one because the coefficient of (x) is non-zero
Step 1
Concept
मान लें (f(a)=f(b))। / Let (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
(5-2a=5-2b) से (a=b) प्राप्त होता है। / From (5-2a=5-2b), we get (a=b).
Step 3
Exam Tip
ऋणात्मक ढाल समस्या नहीं है यदि ढाल शून्य नहीं है तो रैखिक फलन एकैकी होता है। / A negative slope is not a problem; a linear function is one-one if its slope is non-zero.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 ) की एकैकीता के बारे में सही विकल्प चुनिए।
Choose the correct option about the one-one nature of \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 ).
#relations-functions
#one-one-function
#cubic-function
#injective
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है क्योंकि \(x^3\) में घात विषम है / It is not one-one because the power is odd
C केवल शून्य पर परिभाषित है / Defined only at zero
D स्थिर फलन है / It is constant
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Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
\(x^3\) बढ़ता हुआ फलन है। / \(x^3\) is an increasing function.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a^3=b^3\) तो (a=b) ही होगा। / If \(a^3=b^3\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
पूरे वास्तविक समुच्चय पर \(x^3\) एकैकी का अच्छा उदाहरण है। / On the whole real set, \(x^3\) is a good example of a one-one function.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x|), तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x|), what is (f)?
#relations-functions
#one-one-function
#absolute-value
#non-injective
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C केवल ऋणात्मक संख्याओं पर परिभाषित / Defined only for negative numbers
D कोई फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं / Not one-one
Step 1
Concept
निरपेक्ष मान में विपरीत चिन्ह वाले मानों की छवि समान हो सकती है। / In an absolute value function, opposite signed inputs can have the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(3)=3) और (f(-3)=3), पर \(3\neq -3\)। / (f(3)=3) and (f(-3)=3), but \(3\neq -3\).
Step 3
Exam Tip
ऐसे उदाहरण से तुरंत पता चलता है कि फलन एकैकी नहीं है। / Such an example quickly shows that the function is not one-one.
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फलन \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\), (f(x)=x+4) के लिए सही कथन क्या है?
What is the correct statement for \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\), (f(x)=x+4)?
#relations-functions
#one-one-function
#natural-numbers
#linear-function
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C केवल सम संख्याओं के लिए एकैकी है / One-one only for even numbers
D स्थिर है / It is constant
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Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
(f(a)=f(b)) मानकर जाँच करते हैं। / Check by assuming (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
(a+4=b+4) से (a=b) मिलता है। / From (a+4=b+4), we get (a=b).
Step 3
Exam Tip
किसी संख्या में समान स्थिरांक जोड़ना अलग-अलग मानों को अलग ही रखता है। / Adding the same constant keeps different values different.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=2x), तो (f) के लिए सही विकल्प कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=2x), which option is correct for (f)?
#relations-functions
#one-one-function
#integers
#injective
A एकैकी नहीं क्योंकि केवल सम मान मिलते हैं / Not one-one because only even values are obtained
B एकैकी है क्योंकि (2a=2b) से (a=b) / One-one because (2a=2b) gives (a=b)
C स्थिर फलन है / It is constant
D फलन नहीं है / It is not a function
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Correct Answer
B. एकैकी है क्योंकि (2a=2b) से (a=b) / One-one because (2a=2b) gives (a=b)
Step 1
Concept
एकैकीता में सहप्रांत के सभी मान मिलना जरूरी नहीं होता। / For one-one nature, it is not necessary to get every value of the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
(f(a)=f(b)) देने पर (2a=2b) और इसलिए (a=b)। / If (f(a)=f(b)), then (2a=2b), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
परास छोटा हो सकता है फिर भी फलन एकैकी हो सकता है। / The range may be smaller, yet the function can still be one-one.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 +1) के लिए कौन-सा कथन सही है?
Which statement is correct for \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 +1)?
#relations-functions
#one-one-function
#quadratic
#not-one-one
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर है / It is constant
D परिभाषित नहीं है / It is not defined
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
\(x^2\) वाले फलन में (x) और (-x) की छवि समान हो सकती है। / In a function involving \(x^2\), (x) and (-x) may have the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=2) और (f(-1)=2) जबकि \(1\neq -1\)। / (f(1)=2) and (f(-1)=2), while \(1\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
एक प्रतिवाद एकैकीता को असत्य सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है। / One counterexample is enough to disprove one-one nature.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-2 ), तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-2 ), choose the correct statement about (f).
#relations-functions
#one-one-function
#restricted-domain
#quadratic
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर फलन है / It is constant
D केवल (x=0) पर परिभाषित है / Defined only at (x=0)
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Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
यहाँ आगत केवल (0) और उससे बड़ी संख्याएँ हैं। / Here the inputs are only (0) and positive numbers.
Step 2
Why this answer is correct
इस क्षेत्र में \(x^2\) बढ़ता है इसलिए \(a^2=b^2\) होने पर (a=b)। / On this domain, \(x^2\) increases, so \(a^2=b^2\) gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
फलन की एकैकीता क्षेत्र पर निर्भर करती है। / One-one nature depends on the domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=7), तो (f) के लिए सही उत्तर क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=7), what is the correct answer for (f)?
#relations-functions
#one-one-function
#constant-function
#non-injective
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C केवल (x=7) पर परिभाषित है / Defined only at (x=7)
D बढ़ता हुआ फलन है / It is increasing
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
स्थिर फलन हर आगत को एक ही मान देता है। / A constant function gives the same value for every input.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=7) और (f(2)=7), पर \(1\neq 2\)। / (f(1)=7) and (f(2)=7), but \(1\neq 2\).
Step 3
Exam Tip
यदि क्षेत्र में एक से अधिक तत्व हों तो स्थिर फलन एकैकी नहीं होता। / If the domain has more than one element, a constant function is not one-one.
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