यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=\log_3 x) हो तो (f) कैसा है?
If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=\log_3 x), what type of function is (f)?
#one-one-function
#logarithmic-function
#domain
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
\(\log_3 x\) धनात्मक प्रांत पर बढ़ता है। / \(\log_3 x\) is increasing on the positive domain.
Step 2
Why this answer is correct
\(\log_3 a=\log_3 b\) होने पर (a=b) मिलता है। / If \(\log_3 a=\log_3 b\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
लघुगणक फलन अपने सही प्रांत पर एकैकी होता है। / A logarithmic function is one-one on its proper domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-5 ) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-5 ), what type of function is (f)?
#one-one-function
#power-function
#odd-power
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D परिभाषित नहीं / Not defined
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
\(x^5\) विषम घात वाला बढ़ता फलन है। / \(x^5\) is an increasing odd-power function.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a^5=b^5\) हो तो (a=b) होता है। / If \(a^5=b^5\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
सरल विषम घात वाले फलन वास्तविक संख्याओं पर एकैकी होते हैं। / Simple odd-power functions are one-one on real numbers.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-6 ) हो तो (f) एकैकी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-6 ), why is (f) not one-one?
#one-one-function
#power-function
#even-power
A क्योंकि (f(1)=f(-1)) / Because (f(1)=f(-1))
B क्योंकि (f(0)=0) / Because (f(0)=0)
C क्योंकि \(x^6\) हमेशा ऋणात्मक है / Because \(x^6\) is always negative
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
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Correct Answer
A. क्योंकि (f(1)=f(-1)) / Because (f(1)=f(-1))
Step 1
Concept
(1) और (-1) अलग वास्तविक संख्याएँ हैं। / (1) and (-1) are different real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
(16 =(-1)6 =1) इसलिए समान मान मिलता है। / (16 =(-1)6 =1), so the same value is obtained.
Step 3
Exam Tip
सम घात वाले फलन पूरे वास्तविक प्रांत पर एकैकी नहीं होते। / Even-power functions are not one-one on the whole real domain.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) तथा (f(x)=x-6 ) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) and (f(x)=x-6 ), what type of function is (f)?
#one-one-function
#power-function
#restricted-domain
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
\(x\geq0\) पर \(x^6\) बढ़ता है। / On \(x\geq0\), \(x^6\) increases.
Step 2
Why this answer is correct
इस प्रांत में अलग (x) अलग \(x^6\) मान देते हैं। / In this domain, different (x) values give different \(x^6\) values.
Step 3
Exam Tip
सम घात वाला फलन धनात्मक आधे प्रांत पर एकैकी हो सकता है। / An even-power function can be one-one on the non-negative half-domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=\sqrt[3]{x-2}) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\sqrt[3]{x-2}), what type of function is (f)?
#one-one-function
#cube-root-function
#translation
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D केवल \(x\geq2\) पर परिभाषित / Defined only for \(x\geq2\)
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
घनमूल फलन वास्तविक संख्याओं पर बढ़ता है। / The cube-root function increases on real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
(x-2) भी अलग (x) पर अलग मान देता है। / (x-2) also gives different values for different (x).
Step 3
Exam Tip
बढ़ते फलन का ऐसा स्थानांतरण एकैकीपन बनाए रखता है। / Such a translation of an increasing function preserves one-one property.
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यदि \(f:[4,\infty\)\to[0,\infty)) तथा (f(x)=\sqrt{x-4}) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:[4,\infty\)\to[0,\infty)) and (f(x)=\sqrt{x-4}), which statement about (f) is correct?
#one-one-function
#square-root-function
#domain
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह स्थिर है / It is constant
D यह (x=3) पर परिभाषित है / It is defined at (x=3)
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Correct Answer
A. यह एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
\(\sqrt{x-4}\) अपने प्रांत पर बढ़ता है। / \(\sqrt{x-4}\) increases on its domain.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\sqrt{a-4}=\sqrt{b-4}\) हो तो (a-4=b-4), इसलिए (a=b)। / If \(\sqrt{a-4}=\sqrt{b-4}\), then (a-4=b-4), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल फलन सही प्रांत पर एकैकी होता है। / A square-root function is one-one on its proper domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=|2x-1|) हो तो कौन सा युग्म एकैकीपन तोड़ता है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=|2x-1|), which pair breaks one-one property?
#one-one-function
#modulus-function
#counterexample
A (0) और (1) / (0) and (1)
B (1) और (2) / (1) and (2)
C (2) और (3) / (2) and (3)
D (3) और (4) / (3) and (4)
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Correct Answer
A. (0) और (1) / (0) and (1)
Step 1
Concept
(f(0)=|-1|=1) है। / (f(0)=|-1|=1).
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=|1|=1) है जबकि \(0\neq1\)। / (f(1)=|1|=1), while \(0\neq1\).
Step 3
Exam Tip
मापांक में अंदर की मात्रा विपरीत चिन्ह वाली होकर भी समान मान दे सकती है। / In modulus functions, inner expressions with opposite signs can give the same output.
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यदि \(f:\left[\frac{1}{2},\infty\right\)\to[0,\infty)) तथा (f(x)=|2x-1|) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\left[\frac{1}{2},\infty\right\)\to[0,\infty)) and (f(x)=|2x-1|), what type of function is (f)?
#one-one-function
#modulus-function
#restricted-domain
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
\(x\geq\frac{1}{2}\) होने पर \(2x-1\geq0\) है। / For \(x\geq\frac{1}{2}\), \(2x-1\geq0\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (f(x)=2x-1), जो रैखिक और बढ़ता है। / Hence (f(x)=2x-1), which is linear and increasing.
Step 3
Exam Tip
मापांक फलन को केंद्र के एक ओर सीमित करने से एकैकीपन मिल सकता है। / Restricting a modulus function to one side of its center can make it one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-2 +x+1) हो तो कौन सा युग्म समान मान देता है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 +x+1), which pair gives the same value?
#one-one-function
#quadratic-function
#counterexample
A (0) और (-1) / (0) and (-1)
B (1) और (2) / (1) and (2)
C (2) और (3) / (2) and (3)
D (3) और (4) / (3) and (4)
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Correct Answer
A. (0) और (-1) / (0) and (-1)
Step 1
Concept
(f(0)=1) है। / (f(0)=1).
Step 2
Why this answer is correct
(f(-1)=1-1+1=1) है जबकि \(0\neq-1\)। / (f(-1)=1-1+1=1), while \(0\neq-1\).
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन के लिए धुरी के दोनों ओर समान मान मिल सकते हैं। / A quadratic function can give equal values on both sides of its axis.
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यदि \(f:\left[-\frac{1}{2},\infty\right\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x-2 +x+1) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\left[-\frac{1}{2},\infty\right\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x-2 +x+1), what type of function is (f)?
#one-one-function
#quadratic-function
#restricted-domain
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
(x-2 +x+1=\left\(x+\frac{1}{2}\right\)2 +\frac{3}{4}) है। / (x-2 +x+1=\left\(x+\frac{1}{2}\right\)2 +\frac{3}{4}).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए प्रांत में \(x+\frac{1}{2}\geq0\), इसलिए वर्ग भाग बढ़ता है। / In the given domain, \(x+\frac{1}{2}\geq0\), so the squared part increases.
Step 3
Exam Tip
धुरी के एक ओर द्विघात फलन एकैकी हो जाता है। / A quadratic becomes one-one on one side of its axis.
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