यदि (|A|=3) और (|B|=6) हो तो (A) से (B) में एकैकी फलनों की संख्या कितनी होगी?
If (|A|=3) and (|B|=6), how many one-one functions are there from (A) to (B)?
#one-one-function
#counting
#finite-sets
A (120)
B (18)
C (216)
D (720)
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Step 1
Concept
एकैकी फलन में प्रतिबिंब दोहराए नहीं जाते। / In a one-one function, images are not repeated.
Step 2
Why this answer is correct
पहले, दूसरे और तीसरे तत्व के लिए क्रमशः (6,5,4) चुनाव हैं। / The first, second, and third elements have (6,5,4) choices respectively.
Step 3
Exam Tip
कुल संख्या \(6\cdot5\cdot4=120\) होगी। / The total number is \(6\cdot5\cdot4=120\).
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यदि (|A|=4) और (|B|=3) हो तो (A) से (B) में एकैकी फलनों की संख्या क्या है?
If (|A|=4) and (|B|=3), how many one-one functions are there from (A) to (B)?
#one-one-function
#counting
#impossible-case
A (0)
B (12)
C (81)
D (24)
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Step 1
Concept
एकैकी फलन के लिए (A) के चार तत्वों को चार अलग प्रतिबिंब चाहिए। / A one-one function needs four distinct images for the four elements of (A).
Step 2
Why this answer is correct
(B) में केवल तीन तत्व हैं इसलिए यह संभव नहीं है। / (B) has only three elements, so this is impossible.
Step 3
Exam Tip
प्रांत बड़ा और सहप्रांत छोटा हो तो एकैकी फलन नहीं बन सकता। / If the domain is larger than the codomain, no one-one function can exist.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{a,b,c,d,e\}\) और \(f=\{(1,a),(2,c),(3,e),(4,b)\}\) हो तो (f) कैसा है?
If \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{a,b,c,d,e\}\), and \(f=\{(1,a),(2,c),(3,e),(4,b)\}\), what type of function is (f)?
#one-one-function
#finite-set
#ordered-pairs
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
(A) के हर तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब है। / Every element of (A) has exactly one image.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिबिंब (a,c,e,b) सभी अलग हैं। / The images (a,c,e,b) are all distinct.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में प्रतिबिंबों की पुनरावृत्ति न हो तो फलन एकैकी होता है। / For finite sets, no repetition of images means the function is one-one.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{p,q,r\}\) और \(f=\{(1,p),(2,q),(3,r),(4,q)\}\) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{p,q,r\}\), and \(f=\{(1,p),(2,q),(3,r),(4,q)\}\), which statement about (f) is correct?
#one-one-function
#finite-set
#not-one-one
A यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
B यह एकैकी है / It is one-one
C यह सर्वसमिका है / It is identity
D यह फलन नहीं है / It is not a function
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Correct Answer
A. यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
(2) और (4) अलग प्रांत तत्व हैं। / (2) and (4) are different domain elements.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों का प्रतिबिंब (q) है इसलिए प्रतिबिंब दोहराया गया। / Both have image (q), so an image is repeated.
Step 3
Exam Tip
एकैकी फलन में दो अलग प्रांत तत्वों का प्रतिबिंब समान नहीं हो सकता। / In a one-one function, two different domain elements cannot have the same image.
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यदि \(f:A\to B\) एकैकी है और (A) में (8) तत्व हैं तो (f(A)) में कितने तत्व होंगे?
If \(f:A\to B\) is one-one and (A) has (8) elements, how many elements are in (f(A))?
#one-one-function
#range
#finite-set
A (8)
B (1)
C (0)
D (16)
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Step 1
Concept
एकैकी फलन में अलग प्रांत तत्वों के प्रतिबिंब अलग होते हैं। / In a one-one function, distinct domain elements have distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
(A) के (8) तत्वों से (8) अलग प्रतिबिंब मिलेंगे। / The (8) elements of (A) give (8) distinct images.
Step 3
Exam Tip
इसलिए परास में प्रांत जितने तत्व होंगे। / Therefore the range has as many elements as the domain.
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यदि किसी फलन का आलेख (y=4) रेखा को दो अलग बिंदुओं पर काटता है तो फलन कैसा होगा?
If the graph of a function intersects the line (y=4) at two distinct points, what type of function is it?
#one-one-function
#graph
#horizontal-line-test
A एकैकी नहीं / Not one-one
B हमेशा एकैकी / Always one-one
C हमेशा स्थिर / Always constant
D परिभाषित नहीं / Undefined
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Correct Answer
A. एकैकी नहीं / Not one-one
Step 1
Concept
रेखा (y=4) एक ही निर्गत मान को दर्शाती है। / The line (y=4) represents one output value.
Step 2
Why this answer is correct
दो अलग बिंदुओं पर कटना मतलब दो अलग (x) के लिए समान (y) मान मिलना। / Two intersections mean two different (x)-values give the same (y)-value.
Step 3
Exam Tip
क्षैतिज रेखा परीक्षण से ऐसा फलन एकैकी नहीं होता। / By the horizontal line test, such a function is not one-one.
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यदि किसी फलन का आलेख हर क्षैतिज रेखा को अधिकतम एक बार काटता है तो कौन सा निष्कर्ष सही है?
If the graph of a function intersects every horizontal line at most once, which conclusion is correct?
#one-one-function
#graphical-test
#horizontal-line-test
A फलन एकैकी है / The function is one-one
B फलन स्थिर है / The function is constant
C फलन एकैकी नहीं है / The function is not one-one
D फलन का प्रांत खाली है / The domain is empty
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Correct Answer
A. फलन एकैकी है / The function is one-one
Step 1
Concept
हर क्षैतिज रेखा एक निश्चित निर्गत मान बताती है। / Each horizontal line represents a fixed output value.
Step 2
Why this answer is correct
अधिकतम एक कटान का अर्थ है वह निर्गत केवल एक आगत से आया है। / At most one intersection means that output comes from only one input.
Step 3
Exam Tip
यह एकैकीपन का आलेखीय परीक्षण है। / This is the graphical test for one-one property.
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यदि (f) और (g) दोनों एकैकी फलन हैं तो \(g\circ f\) कैसा होगा?
If both (f) and (g) are one-one functions, what type of function is \(g\circ f\)?
#one-one-function
#composition
#proof
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
(\(g\circ f\)(a)=\(g\circ f\)(b)) मानें। / Assume (\(g\circ f\)(a)=\(g\circ f\)(b)).
Step 2
Why this answer is correct
(g(f(a))=g(f(b))) से पहले (f(a)=f(b)), फिर (a=b) मिलेगा। / From (g(f(a))=g(f(b))), first get (f(a)=f(b)), and then (a=b).
Step 3
Exam Tip
दो एकैकी फलनों का समिश्र भी एकैकी होता है। / The composition of two one-one functions is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=2^x+1) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=2^x+1), what type of function is (f)?
#one-one-function
#exponential-function
#increasing-function
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D सम फलन / Even function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
\(2^x\) बढ़ने वाला फलन है। / \(2^x\) is an increasing function.
Step 2
Why this answer is correct
उसमें (1) जोड़ने से अलग आगतों के मान अलग ही रहते हैं। / Adding (1) keeps different input values different.
Step 3
Exam Tip
बढ़ते घातीय फलन में स्थिर संख्या जोड़ने से एकैकीपन नहीं बदलता। / Adding a constant to an increasing exponential function does not change one-one property.
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यदि (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) तथा (f(x)=\left\(\frac{1}{2}\right\)^x) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) and (f(x)=\left\(\frac{1}{2}\right\)^x), which statement about (f) is correct?
#one-one-function
#exponential-function
#decreasing-function
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह स्थिर है / It is constant
D यह केवल पूर्णांकों पर परिभाषित है / It is defined only on integers
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Correct Answer
A. यह एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
(\left\(\frac{1}{2}\right\)^x) घटने वाला घातीय फलन है। / (\left\(\frac{1}{2}\right\)^x) is a decreasing exponential function.
Step 2
Why this answer is correct
घटते हुए फलन में दो अलग आगत समान मान नहीं देते। / A decreasing function does not give the same value for two different inputs.
Step 3
Exam Tip
(0) और (1) के बीच आधार वाला घातीय फलन भी एकैकी होता है। / An exponential function with base between (0) and (1) is also one-one.
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